Analyse et applications

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Analyse et applications

Bessem Samet

To cite this version:

Bessem Samet. Analyse et applications. Mathématiques [math]. Ecole Supérieure des Sciences et Techniques de Tunis, 2010. �tel-00493107�

ECOLE SUPERIEURE DES SCIENCES ET TECHNIQUES DE TUNIS

HABILITATION UNIVERSITAIRE

Spécialité: Mathématiques

Présentée par Bessem SAMET

Sujet

ANALYSE ET APPLICATIONS

Soutenance le 16 Juin 2010 devant le jury:

Mr. Habib Maagli Président Mr. Jean-Michel Ghidaglia Rapporteur Mr. Hassine Maatoug Rapporteur

Mr. Mohamed Sifi Membre

Mr. Sami Omar Membre

ECOLE SUPERIEURE DES SCIENCES ET TECHNIQUES DE TUNIS

HABILITATION UNIVERSITAIRE

Spécialité: Mathématiques

Présentée par Bessem SAMET

Sujet

ANALYSE ET APPLICATIONS

Soutenance le 16 Juin 2010 devant le jury:

Mr. Habib Maagli Président Mr. Jean-Michel Ghidaglia Rapporteur Mr. Hassine Maatoug Rapporteur

Mr. Mohamed Sifi Membre

Mr. Sami Omar Membre

D é dicace

A la mémoire de mon père

Remerciements

Je tiens à exprimer toute ma gratitude et ma profonde reconnaissance envers le Professeur Mohamed Masmoudi, pour l’attention particulièrement bienveillante dont il m’avait entourée et l’influence déterminante qu’il avait exercée sur mon activité de chercheur, durant la

préparation de ma thèse de doctorat à l’université Paul Sabatier de Toulouse.

Je remercie chaleureusement Monsieur Habib Maagli, Professeur à la Faculté des Sciences de Tunis, de m’avoir fait l’honneur d’accepter de présider le jury de soutenance.

Je suis très reconnaissant à Monsieur Jean-Michel Ghidaglia, Professeur des Universités à l’ENS Cachan, qui m’a fait plaisir d’accepter de rapporter ce travail.

Je remercie Monsieur Hassine Maatoug, Maître de Conférence à l’Ecole Supérieure des Sciences et Technologies de Hammam Sousse, de m’avoir fait l’honneur d’accepter d’être rapporteur et membre du jury.

Je souhaite remercier vivement le Professeur Mohamed Sifi, Directeur de l’Institut Préparatoire Aux Etudes d’Ingénieurs de Tunis de m’avoir fait l’honneur d’accepter d’être membre du jury.

Mes plus sincères remerciements à Monsieur Sami Omar, Maître de Conférence à l’Ecole Supérieure des Sciences et Techniques de Tunis, pour son acceptation d’être membre du jury.

Je voudrais remercier Monsieur Sami Baraket, Professeur à la Faculté des Sciences de Tunis, de m’avoir accueilli dans son équipe de recherche Analyse non linéaire et géométrie.

Je remercie tous mes collègues de l’Ecole Supérieure des Sciences et Techniques de Tunis avec une attention particulière à Monsiuer Abdeljelil Baccari.

Je remercie tous mes collègues du département de mathématiques de la Faculté des

Sciences de Tunis avec une attention particulière à Monsieur Nejmeddine Chorfi, Mme Amel Baraket et Mme Ines Ben Omrane.

Mes remerciements vont aussi à tous mes amis avec une attention particulière à Mohamed Jleli, Habib Yazidi, Taysir Goucha et Abdelhamid Zaghdani.

Un grand merci à ma tante Fathia Samet et à son mari Jilani Lamlouli. Je remercie aussi mon beau-père Mohamed Jrad et ma belle-mère Fattouma Jrad.

Je tiens à remercier mes parents et ma sœur pour leur aide et leurs encouragements. Enfin, je remercie ma femme Ikram de m’avoir toujours soutenu et pour sa patience.

Bessem

Curriculum Vitae

Curriculum Vitae

Nom et Pr´ enom : SAMET Bessem

Date et lieu de naissance : N´ e le 05 Mai 1976 ` a Tunis.

Situation de famille : Mari´ e.

Nationalit´ e : Tunisienne.

Adresse Personnelle : Cit´ e de March´ e, Bloc G appart n˚50, Megrine 2033, Tunis.

Adresse Professionnelle : Ecole Sup´ erieure des Sciences et Techniques de Tunis, D´ epartement de Math´ ematiques, 5, Avenue Taha Hussein-Tunis, B.P. :56, Bab Menara-1008, Tunisie.

T´ el : 97978938

E-mail : bessem.samet@gmail.com Site web : www.sametbessem.com

Situation actuelle : Maˆıtre Assistant en Math´ ematiques Appliqu´ ees ` a l’Ecole Sup´ erieure des Sciences et Techniques de Tunis (ESSTT).

Cursus universitaire

• 29 Mars 2004 : Th` ese de Doctorat en Math´ ematiques Appliqu´ ees de l’Universit´ e Paul Sabatier de Toulouse (France).

-Titre : Analyse asymptotique topologique pour les ´ equations de Maxwell et applications.

-Directeur de th` ese : Mohamed Masmoudi (Universit´ e Paul Sabatier de Toulouse).

-Rapporteurs : Jacques Blum (Universit´ e de Nice-Sophia-Antipolis), Habib Ammari (CNRS), Xa- vier Antoine (Universit´ e Paul Sabatier), Jean-Claude Nedelec (Ecole Polytechnique, Palaiseau).

-Mention : Tr` es honorable.

• 1999-2000 : DEA en Math´ ematiques Appliqu´ ees ` a l’Universit´ e Paul Sabatier de Tou- louse.

-Mention : Assez Bien.

•1998-1999 : Maitrise de Math´ ematiques ` a la facult´ e des Sciences de Tunis.

-Mention : Bien.

• Juin 1994 : Baccalaur´ eat, section Math´ ematiques.

Activit´ e en mati` ere d’enseignements

Enseignements

• 2001-2003 : Vacataire ` a l’Institut National des Sciences Appliqu´ ees de Toulouse.

Mati` eres enseign´ ees :

– TD d’Optimisation en 4 ` eme ann´ ee de G´ enie Math´ ematique.

– TP d’Optimisation sur Matlab en 4 ` eme ann´ ee de G´ enie Math´ ematique.

• 2003-2004 : Attach´ e Temporaire d’Enseignements et de Recherche ` a l’Institut National des Sciences Appliqu´ ees de Toulouse.

Mati` eres enseign´ ees : TD de Math´ ematiques g´ en´ erales niveau Bac+3 dans les fili` eres G´ enie Civil et G´ enie M´ ecanique : Transform´ ee de Laplace, Fourier, Introduction aux E.D.P, Optimisation.

• 2004 - 2007 : Assistant ` a l’Ecole Sup´ erieure des Sciences et Techniques de Tunis.

Mati` eres enseign´ ees : – 2004-2005 :

– TD d’Alg` ebre et G´ eom´ etrie en seconde ann´ ee tronc commun.

– TD d’Analyse Num´ erique en troisi` eme ann´ ee Physiques Appliqu´ ees.

– 2005-2006 :

– TD d’Analyse en premi` ere ann´ ee tronc commun.

– TD d’Analyse Num´ erique en deuxi` eme ann´ ee Math´ ematiques et Informatiques.

– 2006-2007 :

– Cours et TD d’Analyse Num´ erique en troisi` eme ann´ ee Physiques Appliqu´ ees.

– TD d’Analyse en premi` ere ann´ ee tronc commun.

• Depuis 2007 : Maˆıtre Assistant ` a l’Ecole Sup´ erieure des Sciences et Techniques de Tunis.

Mati` eres enseign´ ees : – 2007-2008 :

– Cours et TD d’Analyse en premi` ere ann´ ee License appliqu´ ee et fondamentale.

– Cours et TD d’Analyse Num´ erique en troisi` eme ann´ ee Physiques Appliqu´ ees.

– 2008-2010 : Cours et TD d’Analyse en premi` ere ann´ ee cycle pr´ eparatoire.

Activit´ es p´ edagogiques

Analyse premi` ere ann´ ee cours et exercices corrig´ es (en collaboration avec Mohamed Jleli), Livre publi´ e par le Centre de Publication Universitaire.

Activit´ e en mati` ere de recherche

Th` emes de recherche

– Optimisation de formes.

– Equations aux d´ eriv´ ees partielles.

– Analyse de convexit´ e.

– Th´ eorie du point fixe.

Equipe de recherche

Depuis 2007, je suis membre de l’unit´ e de recherche : Analyse non lin´ eaire et g´ eom´ etrie dirig´ ee par Professeur Sami Baraket.

Encadrement

Co-encardrement avec Professeur Sami Baraket de Ines Ben Omrane dans sa Th` ese intitul´ ee :

Etude de quelques ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles non-lin´ eaires issues de la g´ eom´ etrie et de la

physique.

Publications scientifiques

1. I. B. Omrane, M. Jleli, B. Samet, The Wente problem associated to the modified Helmoholtz operator on weighted Sobolev spaces, accepted (2009) in Advanced Nonlinear Studies 2. B. Samet, Topological sensitivity analysis with respect to a small hole located at the boundary

of the domain, Asymptotic Analysis. 66 (1) (2010) 35-49.

3. B. Samet, H. Yazidi, An extension of Banach fixed point theorem for mappings satisfying a contractive condition of integral type, accepetd (2009) in Italian Journal of Pure and Applied Mathematics.

4. B. Samet, A fixed point theorem in a generalized metric space for mappings satisfying a contractive condition of integral type, Int. Journal of Math. Analysis. 3 (26) (2009) 1256-1271.

5. M. Jleli, B. Samet, The Kannan’s fixed point theorem in a cone rectangular metric space, J.Nonlinear Sci. Appl. 2 (3) (2009) 161-167.

6. A. Baccari, B. Samet, An extension of Polyak’s theorem in a Hilbert space, J. Optim Theory Appl. 140 (2009) 409-418.

7. M. Jleli, B. Samet, The Wente problem associated to the modified Helmholtz operator, J.

Math. Anal. Appl. 339 (2008) 332-343.

8. M. Jleli, B. Samet, Generalization of the Wente problem for a large class of operators, Inter- national Journal of Modern Mathematics. 2(2) (2007) 205-216.

9. M. Masmoudi, J. Pommier, B. Samet, The topological asymptotic expansion for the Maxwell equations and some applications, Inverse problems. 21 (2005) 547-564.

10. J. Pommier, B. Samet, The topological asymptotic for the Helmholtz equation with Dirichlet condition on the boundary of an arbitrarily shaped hole, SIAM Journal On Control and Optimization. 43(3) (2004) 899-921.

11. M. Masmoudi, P. Mader, B. Samet, The topological asymptotic expansion and its applica- tions to optimal design, European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering, 2004.

12. S. Amstutz, N. Dominguez, B. Samet, Sensitivity analysis with respect to the insertion of small inhomogeneities, European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering, 2004.

13. M. Masmoudi, B. Samet, Application of the topological asymptotic expansion to inverse scat- tering problems, Numerical Methods For Scientific Computing Variational Problems And Applications, 2003.

14. B. Samet, The topological asymptotic with respect to a singular boundary perturbation, CR Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003) 1033-1038.

15. B. Samet, S. Amstutz, M. Masmoudi, The topological asymptotic for the Helmholtz equation, SIAM Journal On Control and Optimization. 42(5) (2003) 1523-1544.

Communications

1. L’asymptotique topologique pour l’´ equation de Helmholtz, Dans 35 ` eme Congr` es National d’Analyse Num´ erique, La Grande Motte, France, 2003.

2. The topological asymptotic for the Maxwell equations, Colloque du GDR, Applications

Nouvelles de l’Optimisation de Forme, Luminy, Juillet 2003.

Synth` ese des travaux de recherche

Synth` ese des travaux

Ce m´ emoire regroupe les r´ esultats obtenus durant la pr´ eparation de mon doctorat en Math´ ematiques Appliqu´ ees ` a l’universit´ e Paul Sabatier de Toulouse et apr` es le doctorat. Quatre th` emes distincts ont ´ et´ e d´ evelopp´ es :

– La m´ ethode de la d´ eriv´ ee topologique en optimisation de formes et applications, – Constante optimale dans l’in´ egalit´ e de Wente pour l’op´ erateur de Helmholtz modifi´ e, – Convexit´ e par transformation quadratique en dimension infinie,

– Quelques g´ en´ eralisations du principe de contraction de Banach.

Th` eme I. La d´ eriv´ ee topologique en optimisation de formes (Articles 1-8)

Introduction

L’optimisation de formes est un th` eme tr´ es porteur en Math´ ematiques Appliqu´ ees. L’un de ses attraits est que cette discipline marie les techniques les plus fines de l’analyse moderne aux applications industrielles les plus concr` etes et aux secteurs de haute technologie (´ electromagn´ etisme, a´ eronautique, automobile, mat´ eriaux...). Elle consiste ` a rechercher la g´ eom´ etrie d’un objet qui soit optimale vis ` a vis de certains crit` eres.

De mani` ere assez g´ en´ erale, les probl` emes d’optimisation de formes rencontr´ es dans les sciences de l’ing´ enieur peuvent ˆ etre mod´ elis´ es de la fa¸con suivante :

min

J(Ω, u

), (1)

o` u O est un ensemble de domaines admissibles et u

est la solution d’une certaine ´ equation aux d´ eriv´ ees partielles pos´ ee dans Ω.

En dehors des m´ ethodes stochastiques comme les algorithmes g´ en´ etiques [13] qui restent d’un coˆ ut de calcul ´ elev´ e, les techniques usuelles d’optimisation requi` erent le calcul de la d´ eriv´ ee de la fonction coˆ ut. Il apparaˆıt donc important de pouvoir disposer de la d´ eriv´ ee du crit` ere qu’on souhaite minimiser. Et c’est l` a que les difficult´ es commencent ! En effet, pour des raisons ´ evidentes, on a l’habitude de ne d´ efinir une notion de diff´ erentiabilit´ e que dans des espaces vectoriels norm´ es. Or l’ensemble des domaines de R

n’est pas muni d’une telle structure d’espace vectoriel.

Plusieurs possibilit´ es ont ´ et´ e ´ etudi´ ees :

– En optimisation de formes classique [5,11], chaque domaine Ω ∈ O est ´ ecrit sous la forme

Ω = F (Ω

), o` u Ω

est un domaine de r´ ef´ erence et F est une fonction de transport. C’est

l’application F qui est utilis´ ee comme param´ etrisation. Dans ces conditions, une variation

infinit´ esimale de forme se traduit uniquement par un petit d´ eplacement de la fronti` ere du

domaine. Dans ce cadre, la topologie ne peut pas changer. Par exemple, si Ω

est simple-

ment connexe, alors tous les domaines Ω obtenus par it´ erations successives seront simplement

connexes. C’est le principal d´ efaut de la m´ ethode, car dans beaucoup d’applications, les bonnes g´ eom´ etries contiennent un ceratin nombre de trou, nombre qui n’est pas connu a priori.

– L’optimisation de formes topologique consiste ` a rechercher la g´ eom´ etrie d’un objet qui soit optimale vis ` a vis d’un crit` ere donn´ e, sans connaissance a priori sur sa topologie, c’est-` a- dire sur le nombre de trous qu’il peut contenir. Plusieurs strat´ egies ont ´ et´ e ´ elabor´ ees pour y parvenir : la m´ ethode des lignes de niveaux (level-sets) [2], la m´ ethode d’homog´ en´ eisation [1, 12] et la m´ ethode de la d´ eriv´ ee topologique.

La m´ ethode qui nous int´ eresse ici est la m´ ethode de la d´ eriv´ ee topologique. Elle consiste ` a

´

etudier le comportement du crit` ere lors de la cr´ eation d’un petit trou ` a l’int´ erieur du domaine.

En effet, le calcul de son d´ eveloppement asymptotique par rapport ` a la taille du trou fournit une direction de descente qui est ` a la base de nouveaux algorithmes d’optimisation de formes.

Plus pr´ ecis´ ement, soit Ω un ouvert born´ e de R

(N = 2 ou 3) et J (Ω) = J(Ω, u

) est le crit` ere

`

a minimiser. Nous notons B(x, ε) la boule ouverte de centre x ∈ Ω et de rayon ε > 0 et B(x, ε) d´ esigne la fermeture de B(x, ε). Dans la plus part des cas, la variation J (Ω\B(x, ε)) − J (Ω) admet un d´ eveloppement asymptotique par rapport ` a ε → 0 sous la forme :

J (Ω\B(x, ε)) − J (Ω) = f (ε)g(x) + o(f (ε)), (2) o` u f (ε) > 0, f(ε) → 0 quand ε → 0, et g est une fonction qui d´ epend seulement de x. L’expression (2) est appel´ ee asymptotique topologique et la fonction g est appel´ ee d´ eriv´ ee (ou gradient) topolo- gique. A chaque it´ eration, un certain pourcentage de mati` ere est enlev´ e ou ins´ er´ e (selon la nature du probl` eme) aux endroits o` u g est la plus n´ egative. Ainsi, la forme optimale Ω

est caract´ eris´ ee par :

g(x) ≥ 0, ∀ x ∈ Ω

.

Cette m´ ethode n´ ecessite donc de connaˆıtre f(ε) et g(x). Ces quantit´ es d´ ependent de l’´ equation aux d´ eriv´ ees patrtielles v´ erifi´ ee par u

et la condition aux limites impos´ ee sur le bord du trou. La d´ eriv´ ee topologique g s’exprime en g´ en´ eral en fonction de u

et p

, o` u p

est l’´ etat adjoint d´ efini sur le domaine Ω. Ainsi, pour calculer g, deux EDP sont ` a r´ esoudre : une EDP pour calculer u

et une autre pour calculer p

.

Les premiers travaux sur ce sujet sont dus ` a A. M. IL’IN [8], V. Maz’ya, S. Nazarov et B.

Plamenevskij [10]. Ils ont obtenu des d´ eveloppements asymptotiques ` a un ordre quelconque de la variation de la solution et de certaines fonctions coˆıut (´ energie, premi` ere valeur propre) pour divers probl` emes de la physique et un grand nombre de perturbations de domaine. A. Schumacher [14]

eut le premier l’id´ ee d’utiliser ce genre de d´ eveloppements en optimisation de forme : en ´ elasticit´ e lin´ eaire, il a d´ etermin´ e la variation ` a l’ordre 1 de la compliance par rapport ` a la taille d’un trou ins´ er´ e ` a l’int´ erieur du domaine, ce qui le renseignait sur le meilleur endroit o` u all´ eger la structure.

Puis, toujours en ´ elasticit´ e, J. Sokolowski et A. Zochowski [15] ont ´ etendu ce r´ esultat ` a une certaine cat´ egorie de fonctions coˆ ut. Ensuite, en utilisant une technique de troncature de domaine et une g´ en´ eralisation de la m´ ethode adjointe, M. Masmoudi [9] a obtenu l’asymptotique topologique pour l’´ equation de Laplace avec condition de Dirichlet au bord d’un trou circulaire. Cette m´ ethodologie a ensuite ´ et´ e adapt´ ee ` a l’´ etude de trous de forme quelconque avec condition de Dirichlet ou de Neumann [6,7].

Sur ce sujet, nous avons ´ etabli des formules d’asymptotique topologique pour des probl` emes plus difficiles que ceux consid´ er´ es jusqu’alors :

– Equation de Helmholtz en dimension 2 et 3 avec une condition de Dirichlet sur le bord du trou [Articles 1-3, 5],

– Equation de Helmholtz en dimension 2 et 3 par rapport ` a une inhomog´ en´ eit´ e [Articles 4-5],

– Equations de Maxwell en dimension 3 par rapport ` a une inhomog´ en´ eit´ e [Article 6],

– Equation de Laplace avec un trou sur le bord du domaine [Articles 7-8].

Sur le plan num´ erique, nous avons confirm´ e que la m´ ethode de la d´ eriv´ ee topologique ´ etait d’une grande efficacit´ e dans de nombreux domaines : optimsation de guides d’onde en dimension 2 et 3 (Ar- ticles 1,5), d´ etection de mines enfouis dans un sol (Articles 2-3), identification d’objets di´ electriques (Article 4), d´ etection d’objets m´ etalliques en dimension 3 (Article 6).

Equation de Helmholtz : condition de Dirichlet sur le bord du trou

Soit Ω un domaine born´ e de R

(N = 2 ou 3) de fronti` ere Γ assez r´ eguli` ere. Le crit` ere ` a minimiser est d´ efini par :

j (0) = J (Ω) = J (u

) = F (u

), (3) o` u D est domaine voisin du bord Γ, u

∈ H

(Ω) est la solution du probl` eme :

∆u

+ αu

= 0 dans Ω,

∂

u

= h sur Γ, (4)

avec α = k

, k ∈ C

, ∂

la d´ eriv´ ee normale sur Γ, h ∈ H

(Γ) et F : H

(D) → R une fonction assez r´ eguli` ere.

Soit ω un ouvert born´ e de R

contenant l’origine et x

∈ Ω. Pour tout param` etre positif ε suffisamment petit, nous d´ efinissons la cavit´ e ω

= x

+ εω et le domaine perfor´ e Ω

= Ω\ω

. Un changement de coordonn´ ees nous permet d’imposer pour l’´ etude th´ eorique x

= 0. Nous nous int´ eressons ` a u

∈ H

(Ω

) la solution du probl` eme perturb´ e :







∆u

+ αu

= 0 dans Ω

, u

= 0 sur ∂ω

,

∂

u

= h sur Γ.

(5) On pose :

j(ε) = J (Ω

) = J(u

) = F (u

), ∀ ε > 0. (6) Nous rechercherons le comportement asymptotique de la diff´ erence j(ε) − j (0) lorsque ε tend vers z´ ero.

Remarqe. La condition aux limites sur Γ est sans influence sur la sensibilit´ e topologique. Elle pourrait ˆ etre remplac´ ee par n’importe quelle condition telle que les probl` emes (4) et (5) soient bien pos´ es.

La m´ ethode adjointe g´ en´ eralis´ ee

Nous rappelons que cette m´ ethode a ´ et´ e introduite par M. Masmoudi dans [9]. Nous la g´ en´ eralisons au cas un peu plus compliqu´ e d’un champs complexe et d’un probl` eme non coercif.

Soit V un espace de Hilbert sur C . Pour tout ε ≥ 0, on consid` ere une forme sesquilin´ eaire et continue a

sur V . On suppose qu’il existe une constante A > 0 telle que :

u6=0

inf sup

v6=0

|a

(u, v)|

kuk

kv k

≥ A. (7)

On dit que a

satisfait la condition inf-sup ou encore la condition de coercivit´ e g´ en´ eralis´ ee. On suppose aussi qu’il existe une forme sesquilin´ eaire et continue δ

sur V telle que :

ka

− a

− f (ε)δ

k

= o(f (ε)), (8)

o` u f (ε) > 0 et f(ε) → 0 quand ε → 0. Ici, k · k

d´ esigne la norme sur l’espace des formes sesquilin´ eaires sur V . Pour tout ε ≥ 0, on pose u

∈ V le solution de :

a

(u

, v) = `(v), ∀ v ∈ V, (9)

o` u ` est une forme semilin´ eaire sur V.

Proposition 1. Sous les hypoth` eses (7) et (8), on a : ku

− u

k

= O(f(ε)).

En effet, la condition inf-sup v´ erifi´ ee par a

implique l’existence de v

∈ V , v

6= 0 tel que : Aku

− u

k

kv

k

≤ |a

(u

− u

, v

)|,

ce qui implique

Aku

− u

k

kv

k

≤ |a

(u

, v

) − `(v

)|

= |a

(u

, v

) − a

(u

, v

)|

= |(a

− a

− f (ε)δ

)(u

, v

) + f (ε)δ

(u

, v

)|

≤ o(f(ε))ku

k

kv

k

+ f (ε)kδ

k

ku

k

kv

k

. On simplifie par kv

k

, on obtient :

ku

− u

k

≤ ku

k

A o(f(ε)) + f (ε)kδ

k

= O(f (ε)),

d’o` u le r´ esultat.

On consid` ere maintenant la fonction coˆ ut :

j(ε) = J(u

), ∀ ε ≥ 0, o` u J : V → R v´ erifie :

J (u + h) = J(u) + R(L

(h)) + o(khk

), ∀ u, h ∈ V . (10) Ici, R d´ esigne la partie r´ eelle d’un nombre complexe et L

est une forme lin´ eaire et continue sur V . On pose p

∈ V la solution de :

a

(v, p

) = −L

(v), ∀ v ∈ V. (11) On appelle p

l’´ etat adjoint associ´ e ` a la fonction coˆ ut J . Le r´ esultat suivant nous donne l’expression asymptotique de la variation j(ε) − j(0) par rapport ` a ε → 0.

Th´ eor` eme 1. Sous les hypoth` eses (7), (8) et (10), on a :

j(ε) = j(0) + f (ε)R(δ

(u

, p

)) + o(f (ε)).

On ´ ecrit :

j(ε) − j (0) = J(u

) − J(u

)

= J(u

) − J(u

) + R (a

(u

, p

) − a

(u

, p

))

= J(u

) − J(u

) + R (a

(u

, p

) − a

(u

, p

) + a

(u

− u

, p

))

= R (L

(u

− u

) + a

(u

− u

, p

)) + o(ku

− u

k

) + R ((a

− a

)(u

, p

)) +R ((a

− a

)(u

− u

, p

))

= R ((a

− a

− f (ε)δ

)(u

, p

)) + f(ε)R(δ

(u

, p

)) + R ((a

− a

− f (ε)δ

)(u

− u

, p

)) +f (ε)R (δ

(u

− u

, p

))

= f(ε)R(δ

(u

, p

)) + o(f(ε)).

D’o` u le r´ esultat.

La troncature de domaine

Le probl` eme perturb´ e (5) est pos´ e sur un espace fonctionnel qui d´ epend de ε : V

= {u ∈ H

(Ω

) | u

= 0}.

La m´ ethode adjointe g´ en´ eralis´ ee n´ ecessite un espace fonctionnel V ind´ ependant de ε. La technique de troncature fournit une formulation ´ equivalente pos´ ee dans le domaine fixe :

Ω

= Ω\B(0, R), 0 < ε < R.

On pose :

Γ

= ∂B(0, R).

Pour ε > 0, soit T

: H

(Γ

) → H

(Γ

) l’op´ erateur Dirichlet-to-Neumann d´ efini par : T

ϕ = ∂

u

,

o` u u

est la solution de :







∆u

+ αu

= 0 dans B(0, R)\ω

, u

= ϕ sur Γ

,

u

= 0 sur ∂ω

.

Pour ε = 0, soit T

: H

(Γ

) → H

(Γ

) l’op´ erateur Dirichlet-to-Neumann d´ efinit par : T

ϕ = ∂

u

,

o` u u

est la solution de :

∆u

+ αu

= 0 dans B(0, R), u

= ϕ sur Γ

.

On d´ efinit l’espace fonctionnel fixe exig´ e par la m´ ethode adjointe g´ en´ eralis´ ee par :

V = H

(Ω

).

Soit u

∈ V la solution du probl` eme (4) tronqu´ e :







∆u

+ αu

= 0 dans Ω

,

∂

u

+ T

u

= 0 sur Γ

,

∂

u

= h sur Γ.

(12)

Pour ε > 0, soit u

∈ V la solution du probl` eme (5) tronqu´ e :







∆u

+ αu

= 0 dans Ω

,

∂

u

+ T

u

= 0 sur Γ

,

∂

u

= h sur Γ.

(13) Par construction, on la

Proposition 2. On a u

est la restriction ` a Ω

de la solution u

de (4). Pour tout ε > 0, u

est la restriction ` a Ω

de la solution u

de (5).

La fonction coˆ ut (6) peut s’´ ecrire alors sous la forme : j(ε) = J(u

), ∀ ε ≥ 0, avec

a

(u

, v) = `(v), ∀ v ∈ V, o` u

a

(u, v) = Z

ΩR

∇u(x) · ∇v(x) dx − α Z

ΩR

u(x) · v(x) dx + Z

ΓR

T

u · v ds, ∀ u, v ∈ V et

`(v) = Z

Γ

h · v ds, ∀ v ∈ V.

Pour pouvoir appliquer Th´ eor` eme 1, il faut alors regarder le comportement asymptotique de la variation a

− a

. On voit facilement que :

(a

− a

)(u, v) = Z

ΓR

(T

− T

)u · v ds, ∀ u, v ∈ V. (14) L’´ etude est ainsi ramen´ ee au calcul asymptotique de la variation T

− T

.

Le cas N=2 pour un trou circulaire [Article 1]

Dans le cas de dimension N = 2, o` u ω

= B(0, ε), on montre que :

kT

− T

− R(ε)δ

k

= o(f (ε)), (15) o` u

R(ε) = −1 log ε et δ

: H

(Γ

) → H

(Γ

) est d´ efinit par :

δ

ϕ = 1

RJ

(kR) ϕ

, (16)

o` u J

est la fonction de Bessel de premi` ere esp` ece d’ordre z´ ero et ϕ

est le coefficient de Fourier de ϕ d’ordre z´ ero. Par (14) et (16), on obtient :

ka

− a

− f (ε)δ

k

= o(f (ε)), o` u

f (ε) = −2π log ε et

δ

(u, v) = u

J

(kR) · v

J

(kR) , ∀ u, v ∈ V.

Ici, u

et v

sont respectivement les valeurs moyennes de u et de v sur Γ

. En particulier, pour u = u

et v = p

(l’´ etat adjoint tronqu´ e), on obtient :

δ

(u

, p

) = u

(0) · p

(0) = u

(0) · p

(0),

o` u p

est l’´ etat adjoint initial d´ efinit sur Ω. Finalement, par Th´ eor` eme 1, on obtient : J (Ω\B (0, ε)) = J (Ω) + −2π

log ε R(u

(0) · p

(0)) + o 1

log ε

. (17)

Remarqe. On montre (voir Article 2) qu’en dimension N = 2, la formule (17) est ind´ ependante de la forme du trou.

Le cas N=3 pour un trou de forme quelconque [Articles 2,3,5]

Dans le cas o` u ω est un trou de forme quelconque, nous proposons la technique suivante pour obtenir un d´ eveloppement asymptotique de T

− T

. L’id´ ee principale consiste ` a approcher u

− u

par la solution d’un probl` eme ext´ erieur ` a ω

, o` u seulement la partie principale de l’op´ erateur non- homog` ene est consid´ er´ ee. Plus pr´ ecis´ ement, pour ´ etudier la variation (T

− T

)ϕ, ϕ ∈ H

(Γ

), nous regardons d’abord le comportement asymptotique de u

− u

, ce qui est naturel vu que :

(T

− T

)ϕ = ∂

(u

− u

).

La variation u

− u

est solution de :







∆(u

− u

) + α(u

− u

) = 0 dans B(0, R)\ω

, u

− u

= 0 sur Γ

,

u

− u

= −u

sur ∂ω

. Nous approchons u

− u

par u

solution de :







∆u

+ αu

= 0 dans B(0, R)\ω

,

u

= 0 sur Γ

,

u

= −u

(0) sur ∂ω

.

Cette premi` ere approche se justifie facilement par l’utilisation d’un d´ eveloppement de Taylor de u

. Nous approchons ensuite u

par v

, o` u

v

(x) = v

(x/ε)

et v

est la solution du probl` eme ext´ erieur :







∆v

= 0 dans R

\ω, v

= 0 ` a ∞,

v

= −u

(0) sur ∂ω.

Nous exprimons v

sous la forme : v

(x) = ε

Z

∂ω

p

(x) ds

E(x) + O(ε

),

o` u E est la solution fondamentale du laplacien et p

∈ H

(∂ω) est la solution de l’´ equation int´ egrale :

Z

∂ω

E(y − x)p

(x) ds = −u

(0), ∀ y ∈ ∂ω.

En posant :

P

(x) = Z

∂ω

p

(x) ds

E(x), nous obtenons :

(u

− u

)(x) = εP

(x) + E (x), (18) o` u E (x) est un reste.

Si nous introduisons l’op´ erateur δ

d´ efini par :

δ

ϕ = ∂

P

, ∀ ϕ ∈ H

(Γ

), o` u ∂

est la d´ eriv´ ee normale sur Γ

, nous obtenons :

kT

− T

− εδ

k

= O(ε).

Ce r´ esultat est non exploitable, la m´ ethode adjointe g´ en´ eralis´ ee exige o(ε) et non O(ε). C’est ici qu’intervient le fait que l’op´ erateur consid´ er´ e (operateur de Helmholtz) est non-homog` ene. Pour cela, nous corrigeons l’approximation (18) par la prise en compte du terme diagonal, en utilisant un terme correctif Q

, solution de :

∆Q

+ αQ

= αP

dans B(0, R), Q

= P

R

sur Γ

. En posant δ

l’op´ erateur d´ efini par :

δ

ϕ = ∂

(P

− Q

), ∀ ϕ ∈ H

(Γ

), nous obtenons le r´ esultat d´ esir´ e :

kT

− T

− εδ

k

= o(ε).

Enfin, par application du Th´ eor` eme 1, on obtient le d´ eveloppement asymptotique suivant : J (Ω\ω

) = J (Ω) + εR [A

(u

(0)) · p

(0)] + o(ε),

o` u A

(u

(0)) est une quantit´ e qui d´ epend de la forme du trou. Dans le cas particulier o` u ω est la sph` ere unit´ e, nous obtenons :

J (Ω\ω

) = J (Ω) + 4πεR(u

(0) · p

(0)) + o(ε).

Insertion d’une inhomog´ en´ eit´ e

Dans [Articles 4-5], nous nous int´ eressons ` a l’insertion de petites inhomog´ en´ eit´ es dans les co- efficients de l’´ equation de Helmholtz en dimension N = 2 et 3. Plus pr´ ecis´ ement, on consid` ere l’EDP :

div(α

∇u

) + β

u

= 0, o` u

α

(x) =

α

si x ∈ Ω\ω

α

si x ∈ ω

et β

(x) =

β

si x ∈ Ω\ω

β

si x ∈ ω

.

Les coefficients α

, α

, β

et β

´ etant des constantes r´ eelles. Pour l’estimation de la solution, nous nous inspirons de la m´ ethode utilis´ ee dans [16]. La fonction coˆ ut consid´ er´ ee est d´ efinie par :

j(ε) = J

(u

), ∀ ε ≥ 0,

o` u J

: H

(Ω) → R est une fonction assez r´ eguli` ere. Les hypoth` eses demand´ ees sur la fonction J

sont donn´ ees dans [Article 4]. Nous avons ´ etabli le r´ esultat suivant :

j (ε) − j (0) = ε

R

(α

− α

)∇u

(0)

· M

∇p

(0) − (β

− β

)|ω|u

(0) · p

(0) + δJ + o(ε

), o` u p

est un ´ etat adjoint et M

est une matrice qui d´ epend de la forme de ω. Dans le cas particulier o` u ω est la boule unit´ e, nous obtenons :

j (ε) − j (0) = ε

R

N α

(α

− α

)

(N − 1)α

+ α

|ω|∇u

(0) · ∇p

(0) − (β

− β

)|ω|u

(0) · p

(0) + δJ

+ o(ε

).

Notons que le terme δJ qui apparaˆıt dans ces formules d´ epend du choix de la fonction coˆ ut consid´ er´ ee.

Remarque. En prenant α

= 1, β

= k

et en faisant tendre α

et β

vers 0, on trouve les formules du trou avec condition de Neumann sur le bord pour l’op´ erateur de Helmholtz ∆ + k

I.

Dans [Article 6], nous nous int´ eressons ` a l’insertion de petites inhomog´ en´ eit´ es dans les coefficients des ´ equations de Maxwell en dimension 3. Plus pr´ ecis´ ement, on consid` ere l’EDP :

∇ × (α

∇ × H

) + β

H

= 0.

Pour l’estimation de la solution, nous nous inspirons de la m´ ethode utilis´ ee dans [3]. Dans le cas d’une inhomog´ en´ eit´ e de forme quelconque, nous obtenons :

j (ε) − j (0) = ε

R n

(α

− α

)∇ × H

(0) · M

(α

/α

)∇ × p

(0) + β

(1 − β

/β

)H

(0) · M

(β

/β

)p

(0) o

+ o(ε

), o` u M

est une matrice qui d´ epend de la forme de ω. Dans le cas particulier o` u ω est la boule unit´ e, nous obtenons :

j(ε) − j(0) = 4πε

R

α

(α

− α

) α

+ 2α

∇ × H

(0) · ∇ × p

(0) + β

(β

− β

) β

+ 2β

H

(0) · p

(0)

+ o(ε

).

Insertion d’un trou sur le bord du domaine

Dans [Article 7], nous ´ etudions le cas d’un trou situ´ e sur le bord du domaine. Plus pr´ ecis´ ement, nous consid´ erons le probl` eme suivant. Soit Ω un domaine born´ e du plan. Une partie Γ

du bord est d´ efinie par deux segments formant un angle de sommet O (l’origine) et de mesure λπ, 0 < λ ≤ 2.

Nous notons u

la solution du probl` eme de Laplace pos´ e dans le domaine Ω, v´ erifiant u

= 0 sur Γ

et une condition aux limites sur Γ

= ∂ Ω\Γ

. Pour ε > 0 assez petit, nous consid´ erons le domaine perturb´ e Ω

= Ω\S

, o` u S

est le secteur d´ efini par :

S

= {(r, θ) | 0 ≤ r < ε, 0 ≤ θ ≤ λπ}.

Notre but consiste ` a donner une expression asymptotique de la variation J (u

) − J (u

), o` u u

est la solution du probl` eme de Laplace pos´ e dans le domaine perturb´ e Ω

avec une condition de Dirichlet impos´ ee sur l’arc de cercle joignant les deux segments du secteur S

. Dans le cas λ

∈ N

, nous obtenons :

J(u

) − J (u

) = π 1

λ

!

ε

∂

u

∂x

(O) ∂

p

∂x

(O) + o(ε

),

o` u p

est l’´ etat adjoint. Nous remarquons que l’expression de la d´ eriv´ ee topologique d´ epend de l’angle de singularit´ e. Plus l’angle est petit et plus des d´ eriv´ ees d’ordre ´ elev´ e de l’´ etat direct et l’´ etat adjoint apparaissent.

Dans [Article 8], nous consid´ erons un cas similaire mais avec dif´ erentes conditions aux limites sur le bord du trou : Dirichlet, Neumann et Robin.

Bibliographie

1. G. Allaire, Shape optimization by the homogenization method, Springer, Applied Mathematics Sciences Vol. 146, 2002.

2. G. Allaire, F. Jouve, A. M. Toader, A level-set method for shape optimization, C. R. Acad.

Sci. Paris, Ser. I 334, pp. 1125-1130, 2002.

3. H. Ammari , M. S. Vogelius, D. Volkov, Asymptotic formulas for perturbations in the electro- magnetic fields due to the presence of inhomogeneities of small diameter II. The full Maxwell equations, J. Math. Pures Appl. 80, pp. 769-814, 2001.

4. S. Garreau, PH. Guillaume, M. Masmoudi, The topological asymptotic for PDE systems : the elasticity case, SIAM J. Control Optim. 39(6), pp. 1756-1778, 2001.

5. PH. Guillaume, D´ eriv´ ees d’ordre sup´ erieur en conception optimale de forme, Th` ese de l’Uni- versit´ e Paul Sabatier, 1994.

6. PH. Guillaume, K. Sid Idris, The topological asymptotic expansion for the Dirichlet problem, SIAM J. Control Optim. 41(4), pp. 1052-1072, 2002.

7. PH. Guillaume, K. Sid Idris, Topological sensitivity and shape optimization for the Stokes equations, SIAM J. Control Optim. 43(1), pp. 1-31, 2004.

8. A. M. IL’IN, Matching of asymptotic expansions of solutions of boundary value problems, Translations of Mathematical monographs, Vol. 102, 1992.

9. M. Masmoudi, The topological asymptotic, Computational methods for control applications,

Ed. H. Kawarada and J. P´ eriaux, International Series GAKUTO, 2002.

10. V. Maz’ya, S. Nazarov, B. Plamenevskij, Asymptotic theory of elliptic boundary value pro- blems in singularly perturbed domains, Operator theory, advances and applications, Vol. 101, Birkh¨ auser Verlag, 2000.

11. F. Murat, J. Simon, Sur le contrˆ ole par un domaine g´ eom´ etrique, Th` ese d’´ etat, Paris, 1976.

12. F. Murat, L. Tartar, Calcul des variations et homog´ enisation, Les m´ ethodes de l’homog´ enisation : th´ eorie et applications en physique, Eyrolles, Paris, pp. 319-369, 1985.

13. M. Shoenauer, L. Kallel, F. Jouve, Mechanics inclusions identification by evolutionary com- putation, Revue europ´ eenne des ´ el´ ements finis, 5(5-6), pp. 619-648, 1996.

14. A. Schumacher, Topologieoptimisierung von Bauteilstrukturen unter Verwendung von Lopch- positionierungkrieterien, Th` ese, Universit¨ at-Gesamthochschule-Siegen, 1995.

15. J. Sokolowski, A. Zochowski, On the topological derivative in shape optimization, Technical report, INRIA, 1997.

16. M. S. Vogelius, D. Volkov, Asymptotic formulas for perturbations in the electromagnetic fields due to the presence of inhomogeneities of small diameter, Math. Model. Numer. Anal. 34, pp.

723-748, 2000.

Th` eme II. In´ egalit´ e de Wente pour l’´ equation de Helmhlotz modifi´ ee (Articles 9-11)

Introduction

In´ egalit´ e de Wente

Soit Ω un ouvert de R

et X : Ω → R

une immersion conforme, c’est-` a-dire :

• X est de classe C

, rg(dX(x

, x

)) = 2 ∀ x = (x

, x

) ∈ Ω,

• |X

| ≡ |X

|, (X

, X

) = 0 dans Ω,

o` u X

d´ esigne la d´ eriv´ ee partielle de X par rapport ` a la variable x

(i = 1, 2) et (·, ·) d´ esigne le produit scalaire usuel sur R

. On montre alors que X v´ erifie l’´ equation des surfaces ` a courbure moyenne prescrite :

−∆X = 2H(x

, x

) · (X

× X

), (19) o` u H(x

, x

) repr´ esente la courbure moyenne au point X(x

, x

) de la surface S = X(Ω) et × d´ esigne le produit vectoriel entre deux vercteurs de R

. On pose :

X(x) = (X

(x), X

(x), X

(x)), ∀ x ∈ Ω, o` u X

: Ω → R , i = 1, 2, 3. Le syst` eme (19) s’´ ecrit alors :





−∆X

−∆X

−∆X



 = 2H(x) ·





X

X

− X

X

X

1

X

2

− X

1

X

2

X

X

− X

X





ou encore :







−∆X

= 2H(x) det ∇(X

, X

),

−∆X

= 2H(x) det ∇(X

, X

),

−∆X

= 2H(x) det ∇(X

, X

).

En prenant H(x) = H

une constante, chaque composante X

(i = 1, 2, 3) v´ erifie alors un probl` eme du type :

−∆Φ

= det ∇u = a

b

− a

b

dans Ω, (20) o` u u = (a, b). Avec la condition aux limites (condition de Dirichlet) :

(D) :

Φ

= 0 sur ∂Ω si Ω est born´ e, Φ(x) → 0 quand |x| → +∞ si Ω = R

,

le probl` eme (20)-(D) est connu en litt´ erature sous le nom du probl` eme de Wente classique.

Si on remplace le terme source dans (20) par une fonction quelconque f ∈ L

(Ω), la solution du probl` eme (20)-(D) sera seulement dans W

loc (Ω) avec 1 ≤ p < 2. Cependant, pour f = a

b

− a

b

, o` u a, b ∈ H

(Ω), H. Wente [13] et H. Brezis, J. M. Coron [4] ont obtenu une r´ egularit´ e plus forte de la solution du probl` eme (20)-(D). Ils ont obtenu le r´ esultat suivant.

Th´ eor` eme 2. (Brezis-Coron)

Soit Ω un ouvert born´ e et r´ egulier de R

. Supposons que a, b ∈ H

(Ω) et soit Φ

∈ W

(Ω) l’unique solution de (20)-(D). Alors, Φ

∈ C(Ω) ∩ H

(Ω) et

kΦ

k

+ k∇Φ

k

≤ C(Ω)k∇ak

k∇bk

, (21)

o` u C(Ω) est une constante positive qui d´ epend de Ω.

D´ emonstration. On suppose pour le moment que a, b ∈ D( R

) et on pose : ψ = E ∗ (a

b

− a

b

),

o` u E est la solution fondamentale de −∆ : E(x

, x

) = 1

2π ln 1

r

, r = (x

+ x

)

. Alors,

−∆ψ = a

b

− a

b

dans R

. (22) En coordonn´ ees polaires, on a :

a

b

− a

b

= 1

r (a

b

− a

b

) = 1

r [(ab

)

− (ab

)

].

Apr` es quelques manipulations, on obtient : ψ(0) = 1

2π Z

θ=0

Z

r=0

1

r (ab

) dr dθ.

D’autre part, on a :

Z

ab

dθ = Z

0

(a − a)b

dθ, o` u

a(r) = 1 2π

Z

a(r, σ) dσ.

Par l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwartz, on obtient :

Z

ab

dθ

≤ ka − ak

kb

k

≤ ka

k

kb

k

.

Encore par l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwartz, on obtient :

|ψ(0)| ≤ 1 2π

Z

0

ka

k

1 r dr

Z

0

kb

k

1 r dr

≤ 1

2π k∇ak

k∇bk

. Par suite, on obtient :

kψk

≤ 1

2π k∇ak

k∇bk

. (23) Par (20) et (22), on a :

∆(Φ

− ψ) = 0 dans Ω.

Par le principe de maximum, on obtient :

kΦ

− ψk

≤ kΦ

− ψk

= kψk

. (24) Ainsi, (23)-(24) nous donne :

kΦ

k

≤ 2kψk

k ≤ 1

π k∇ak

k∇bk

. (25)