Utilisation de Polynômes de Chebychev pour l'Identification à Temps Continu

(1)

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l’Identification à Temps Continu

Jérémy Lizandier, Minh Tu Pham, Didier Rémond, Corinne Rouby

To cite this version:

Jérémy Lizandier, Minh Tu Pham, Didier Rémond, Corinne Rouby. Utilisation de Polynômes de

Chebychev pour l’Identification à Temps Continu. JIME, Apr 2011, Douai, France. pp.CD. �hal-

00619025�

(2)

Utilisation de Polynˆ omes de Tchebychev pour l’Identification ` a Temps Continu

J´ er´ emy Lizandier

¹

, Minh Tu Pham

¹

, Didier R´ emond

²

, Corinne Rouby

³

1

Laboratoire Amp` ere, UMR CNRS 5005, Universit´ e de Lyon, INSA-Lyon, Bˆ atiment St-Exup´ ery, 25 Avenue Jean Capelle,

F-69621 Villeurbanne Cedex, France (jeremy.lizandier, minh-tu.pham,)@insa-lyon.fr

2

LaMCoS, CNRS UMR5259 Universit´ e de Lyon, INSA-Lyon, F-69621 Villeurbanne Cedex, France

[email protected]

3

UR Navier Ecole des Ponts ParisTech Universit´ e Paris-Est

77455 Marne-la-Vall´ ee, France [email protected]

Résumé— Dans ce papier, une présentation des propriétés des polynômes de Tchebychev et une formulation dérivée utilisant ces polynômes sont effectuées. La méthode d’identification présentée consiste à appliquer une transformation linéaire sur le système d’équations qui régit le processus.

Pour cela, l’opérateur mathématique utilisé s’appuie sur une décomposition du signal dans une base formée de polynômes orthogonaux. Nous montrons que cette projection se comporte comme un filtre passe-bande, de telle sorte qu’une seule opération est nécessaire pour le pré-traitement des données avant le processus d’identification, à savoir la dimension de la base des polynômes Tchebychev. L’identification expérimentale en boucle fermée d’un robot à 2 axes avec cette méthode est effectuée dans une dernière partie.

Les résultats obtenus sont comparés à une technique uti- lisée classiquement en robotique et montrent des résultats identiques.

Mots-clés— polynômes orthogonaux, analyse fréquentielle, identification en boucle fermée, problème inverse, robotique

I. Introduction

Dans le contexte de la m´ ecanique, la pr´ ediction du comportement dynamique de m´ ecanismes ou de struc- tures complexes exige des mod` eles fins. Malheureusement les conditions aux fronti` eres, le caract` ere incertains des param` etres, les coefficients de viscosit´ e rendent l’identification de tels mod` eles d´ elicate. L’une des difficult´ es principales se situe dans la transformation des ´ equations diff´ erentielles de ce type de proc´ ed´ e en un syst` eme d’´ equations alg´ ebriques. Traditionnellement, lorsque les hypoth` eses de lin´ earit´ e sont possibles et v´ erifi´ ees, une forme discr` ete des ´ equations ` a temps continu est obtenue en appliquant la transform´ ee en Z sur les signaux.

Ceci conduit ` a des ´ equations r´ ecurrentes ´ equivalentes quand les signaux sont r´ ecolt´ es ` a pas constant avec un

´

echantillonneur et un bloqueur d’ordre z´ ero. A ce stade, le choix de la p´ eriode d’´ echantillonnage peut ˆ etre cri- tique car un sur´ echantillonnage rend difficile l’identification des param` etres physiques [14]. Au cours de ces derni` eres

d´ ecennies, des m´ ethodes alternatives ont ´ et´ e propos´ ees

et r´ ef´ erenc´ ees sous la terminologie m´ ethodes d’identifica-

tion ` a temps continu [14], [1], [3], [11]. Parmi ces ap-

proches, des m´ ethodes s’appuyant sur des fonctions or-

thogonales ont ´ et´ e employ´ ees ` a travers une formulation

int´ egrale des ´ equations diff´ erentielles. Leur principal avan-

tage est qu’elles transforment l’int´ egration directe des si-

gnaux en int´ egration plus simple de ces fonctions en se ser-

vant d’une matrice carr´ ee qui d´ epend des fonctions ortho-

gonales. Par cons´ equent, les ´ equations r´ egissant le compor-

tement du syst` eme m´ ecanique peuvent ˆ etre transform´ ees en

un jeu d’´ equations alg´ ebriques. Un autre avantage de ces

fonctions est leur propri´ et´ e d’orthogonalit´ e qui permet de

d´ ecomposer un signal sur une base polynomiale.Dans [15],

les auteurs comparent diff´ erentes bases orthogonales telles

que les polynˆ omes de Jacobi, de Legendre ou de Tcheby-

chev, les fonctions Walsh et, naturellement, les s´ eries de

Fourier. Ils y mentionnent ´ egalement la facilit´ e de mise

en oeuvre de la formulation int´ egrale dans le contexte

de l’identification de probl` emes inverses et la simplifica-

tion du calcul dans des probl` emes d’analyse de sensibi-

lit´ e. Dans [16], les auteurs emploient ´ egalement cette for-

mulation int´ egrale en pr´ esence des non-lin´ earit´ es telles que

l’oscillateur de Duffing ou les frottements secs. Dans le

domaine de l’identification du comportement non lin´ eaire,

d’autres auteurs ont propos´ e des approches semblables uti-

lisant des polynˆ omes de Tchebychev [12] ou en employant

les autres polynˆ omes ou s´ erie chronologique [2], [8]. Dans

[6], [7], les auteurs pr´ esentent des travaux reposant sur

une formulation d´ eriv´ ee ` a partir d’ondelettes. Les au-

teurs arrivent aux mˆ emes conclusions sur la pertinence

de l’utilisation des fonctions orthogonales pour r´ esoudre

des probl` emes d’identification dynamique de syst` emes ` a

comportement lin´ eaire ou non lin´ eaire ` a param` etres va-

riants ou non. Il apparaˆıt ` a travers cette bibliographie que

la formulation d´ eriv´ ee est beaucoup plus commode pour

(3)

l’identification, o` u l’´ evaluation des ´ etats initiaux n’est pas exig´ ee, et pour des probl` emes inverses, o` u aucune inversion matricielle n’est n´ ecessaire. Finalement Pacheco et Steffen montrent dans [5] que les r´ esultats d’identification obtenus avec des polynˆ omes de Tchebychev, de Jacobi ou de Legendre ne sont pas satisfaisants quand des excitations al´ eatoires sont appliqu´ ees, bien qu’aucune explication n’ait

´

et´ e fournie. Cette difficult´ e s’explique par la forme des po- lynˆ omes de Tchebychev qui aboutit ` a des projections de faible qualit´ e pour des signaux ` a large bande de fr´ equences.

Par cons´ equent, une attention particuli` ere doit ˆ etre prˆ et´ ee

`

a la qualit´ e de la projection des signaux avant l’´ etape d’estimation param´ etrique. Cet inconv´ enient des polynˆ omes de Tchebychev nous oblige ` a proposer une m´ ethodologie plus g´ en´ erale d’identification qui peut ˆ etre facilement prolong´ ee

`

a d’autres polynˆ omes classiques.

L’organisation de l’article est le suivant, dans un premier temps les propri´ et´ es des polynˆ omes de Tchebychev et une formulation d´ eriv´ ee utilisant ces polynˆ omes sont rappel´ ees. La m´ ethode d’identification pr´ esent´ ee dans ce papier consiste ` a appliquer une transformation lin´ eaire sur le syst` eme d’´ equations qui r´ egit le processus. Pour cela, l’op´ erateur math´ ematique utilis´ e s’appuie sur une d´ ecomposition du signal dans une base form´ ee de po- lynˆ omes orthogonaux. Nous montrons dans un second temps que cette projection a l’avantageuse propri´ et´ e de se comporter comme un filtre passe-bande, de telle sorte qu’une seule op´ eration est n´ ecessaire pour le pr´ e-traitement des donn´ ees avant le processus d’identification. L’identification en boucle ferm´ ee d’un robot ` a 2 axes avec cette m´ ethode est effectu´ e dans une derni` ere partie. Les r´ esultats obtenus sont compar´ es ` a une technique utilisant les diff´ erences finies classiquement utilis´ ee en robotique.

II. Polynˆ omes Orthogonaux A. Base de polynˆ omes orthogonaux

L’´ etude pr´ esent´ ee dans ce papier donne suite ` a une m´ ethode originale [18] visant ` a exploiter les propri´ et´ es de d´ erivation des familles de polynˆ omes orthogonaux. La famille consid´ er´ ee est la base de Tchebychev type I mais la technique utilis´ ee est tout aussi bien applicable aux familles de Tchebychev II ou encore Legendre. Le i-` eme terme de la suite polynomiale de Tchebychev d´ efini sur l’intervalle de temps [-1 ; 1] s’´ ecrit :

P

i

(τ ) = cos (iarcos(τ)) (1) Cet ´ el´ ement satisfait l’´ equation de r´ ecurrence suivante :

P

_i+1

(τ) = 2τ P

_i

(τ) − P

_i−1

(τ) avec 1 ≤ i ≤ n − 1 (2) O` u les premiers membres de la suite sont :

P

₀

(τ) = 1

P

1

(τ) = τ (3)

B. Projection d’une fonction continue sur la base de Tche- bychev

Toute fonction x(τ) continue sur l’intervalle [-1 ; 1] peut alors se d´ ecomposer de telle sorte que :

x(τ) =

∞

X

i=0

˜

x

i

P

i

(τ) (4)

Afin de reconstituer de mani` ere exacte la fonction x(τ), nous devons disposer d’une base form´ ee par une infinit´ e de polynˆ omes. Dans la pratique, une troncature ` a l’ordre n est n´ ecessaire menant ` a une approximation de la fonction x(τ ). Soit :

x(τ ) '

n

X

i=0

˜

x

_i

P

_i

(τ ) (5) Ou encore sous forme vectorielle :

x(τ) '

˜

x

₀

x ˜

₁

. . . x ˜

_n−1

x ˜

_n

{P

ⁿ

(τ)} (6) avec

{P

ⁿ

(τ)} =

P

0

(τ ) P

1

(τ ) . . . P

_n−1

(τ) P

n

(τ)

^T

(7) Ces derni` eres composantes ˜ x

i

peuvent s’obtenir analytique- ment en int´ egrant le signal multipli´ e par le polynˆ ome sur le domaine d’orthogonalit´ e. N´ eanmoins l’´ echantillonnage de l’´ equation (5) le long d’une trajectoire ` a diff´ erent instants τ

i

(i = 0, . . . , f ) permet d’´ ecrire la relation suivante :

hxi = h˜ xi [P] (8)

avec hxi =





 x(τ

0

) x(τ

₁

)

.. . x(τ

_f−1

)

x(τ

f

)







T

, h˜ xi =







˜ x

0

˜ x

₁

.. .

˜ x

_n−1

˜ x

n







T

et

[P ] =







P

₀

(τ

₀

) . . . P

₀

(τ

_f

) P

1

(τ

0

) . . . P

1

(τ

f

)

.. . . . . .. . P

n−1

(τ

0

) . . . P

n−1

(τ

f

)

P

_n

(τ

₀

) . . . P

_n

(τ

_f

)







De cette mani` ere il est possible d’estimer les composantes

˜

x

i

par une m´ ethode de moindres carr´ es menant ` a l’expression :

h˜ xi = hxi [P]

⁺

(9) o` u [P ]

⁺

est la matrice pseudo-inverse de [P ].

C. Estimation des d´ eriv´ ees successives

Parmi les propri´ et´ es des polynˆ omes, notons que la d´ eriv´ ee de chaque polynˆ ome P

i

se d´ ecompose en somme de polynˆ omes de degr´ es inf´ erieurs, l’expression obtenue est d´ ecrite ci-dessous pour le cas de la famille de Tchebychev type I [1] :

dP

n

dt =



 



 



P

0

pour n = 1

2n

n/2−1

P

m=0

P

2m+1

pour n ≥ 2 et n pair nP

0

+2n

(n−1)/2

P

m=1

P

2m

pour n ≥ 3 et n impair

(10)

Il est ainsi possible d’introduire une matrice carr´ ee D tel que :

dx(τ) dτ '

˜

x

0

x ˜

1

. . . x ˜

_n−1

x ˜

n

n P ˙

ⁿ

(τ) o

= . . . (11) . . .

˜

x

0

x ˜

1

. . . ˜ x

n−1

x ˜

n

D {P

ⁿ

(τ)}

(4)

Et de la mˆ eme mani` ere, pour la d´ eriv´ ee seconde : d

²

x(τ )

dτ

²

'

˜

x

0

x ˜

1

. . . x ˜

_n−1

x ˜

n

n P ¨

ⁿ

(τ) o

= . . . (12) . . .

˜

x

₀

x ˜

₁

. . . x ˜

_n−1

x ˜

_n

D

²

{P

ⁿ

(τ)}

A titre d’information, la matrice D en question est donn´ ee par (13), dans le cas de Tchebychev type I, pour n pair [1] :

D = 2

τ

f

− τ

0







0 0 0 0 0 0 . . . 0 1 0 0 0 0 0 . . . 0 0 4 0 0 0 0 . . . 0 3 0 6 0 0 0 . . . 0 0 8 0 8 0 0 . . . 0 5 0 10 0 10 0 . . . 0 .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . .. . 0 2n 0 2n 0 2n . . . 0





 (13)

D. Analyse fr´ equentielle de la projection sur la base de Tchebychev

La dimension de la base de projection (i.e. le degr´ e maximum du plus grand polynˆ ome de la base) influence la qualit´ e de l’approximation (6) du signal. Afin de caract´ eriser le comportement d’un tel op´ erateur, une ´ etude portant sur l’influence du contenu spectral observ´ e par rapport au degr´ e maximum de polynˆ omes choisis est pr´ esent´ ee ci- dessous. Dans un premier temps, l’analyse est men´ e sur un signal sinuso¨ıdal de fr´ equence f

i

. Un nombre de 15 points par p´ eriode a ´ et´ e d´ efini arbitrairement pour r´ ealiser une telle ´ etude. L’att´ enuation en amplitude en d´ ecibel entre le signal initial et le signal reconstitu´ e apr` es projection est repr´ esent´ ee par la nappe de la figure 1.

Fig. 1. Att´enuation du signal reconstitu´e par rapport au signal initial

Cette courbe montre que lorsque la fr´ equence f

_i

croˆıt, une augmentation de la dimension de la base de projection est n´ ecessaire pour reconstituer correctement le signal ori- ginal. Ainsi l’op´ erateur lin´ eaire de projection polynomiale peut-ˆ etre consid´ er´ e comme un filtre passe bas avec la dimension de la base comme param` etre variant en fonction de la fr´ equence de coupure du filtre. Un autre aspect que nous avons souhait´ e analyser est le comportement fr´ equentiel de

l’op´ erateur de d´ erivation construit sur la base de Tche- bychev en fonction de la fr´ equence normalis´ ee f

N

. Cette derni` ere est d´ efinie par l’´ equation suivante :

f

N

= f

f

_e

(14)

o` u f

e

est la fr´ equence d’´ echantillonnage. Le principe d’obtention des gabarits fr´ equentiels de l’op´ erateur de d´ erivation est r´ esum´ e sur le sch´ ema suivant :

Fig. 2. Analyse fr´equentielle

On constate dans la pratique que si le signal ˙ u

p

approxi- mant la d´ eriv´ ee parfaite ˙ u est en phase avec celle-ci, en revanche ce signal reconstruit subit une distorsion en amplitude en fonction de la fr´ equence du signal d’entr´ ee u.

Fig. 3. Caractérisation fréquentielle de l’opérateur dérivé par projection polynomiale. Fréquence d’échantillonnage de 100 Hz

La courbe 3 fournit les rapports des amplitudes en fonction de la fr´ equence du sinus initial puis pour diff´ erentes dimensions de la base de projection :

–

^B_A

_dB

en trait continu repr´ esente le gabarit fr´ equentiel

de la d´ eriv´ ee exacte ;

(5)

–

A_dp A

_dB

en trait pointill´ es repr´ esente celui de l’op´ erateur de d´ erivation par projection polynomiale.

L’analyse de la figure 4 montre clairement que l’op´ erateur de d´ erivation par projection polynomial se comporte comme un filtre. Plus le degr´ e de d´ ecomposition augmente et plus haute est la fr´ equence de coupure. Il devient alors possible de choisir la dimension de la base de projection en fonction de la fr´ equence de coupure d´ esir´ ee. L’op´ erateur peut alors ˆ etre assimil´ e ` a un filtre passe bande, compos´ e d’un filtre d´ erivateur en basses fr´ equences et d’un filtre passe bas en haute fr´ equence.

Fig. 4. Distorsion en amplitude du filtre dérivateur en fonction de la fréquence du signal d’entrée et du degré des polynômes

De mani` ere similaire les figures 5 et 6 montrent le comportement frequentiel de l’op´ erateur de d´ erivation polynomial pour l’estimation de la d´ eriv´ ee seconde.

III. Application ` a l’identification d’un robot ` a deux degr´ es de libert´ es

A. Mod` ele d’identification

Le syst` eme ´ etudi´ e est un robot planaire SCARA ` a deux articulations roto¨ıdes. La d´ emarche g´ en´ eralement adopt´ ee pour ce type de syst` eme consiste ` a utiliser le mod` ele dynamique inverse du robot qui s’exprime sous une forme lin´ eaire par rapport aux param` etres dynamiques ` a estimer.

Ce mod` ele dynamique inverse d’un tel robot exprime le vecteur de couples Γ de moteur (l’entr´ ee de commande) en fonction des coordonn´ ees g´ en´ eralis´ ees (le vecteur d’´ etat et sa d´ eriv´ ee). Il peut ˆ etre obtenu ` a partir du lagrangien ou de l’algorithme de Newton Euler et il est possible de montrer qu’il peut s’´ ecrire sous la forme suivante [9], [10] :

Γ = D

s

(¨ q, q, q)θ ˙ (15) o` u q = [q

1

, q

2

]

^T

est le vecteur des variables articulaires et la matrice de r´ egression D

_s

est donn´ ee par :

Ds(¨q,q, q) =˙







¨

q1 0

˙

q1 0

sign( ˙q1) 0

¨

q1+ ¨q2 q¨1+ ¨q2

(2¨q1+ ¨q2)C2−q˙2(2 ˙q1+ ˙q2)S2 q¨1C2+ ˙q₁²S2

−(2¨q1+ ¨q2)S2−q˙2(2 ˙q1+ ˙q2)C2 q˙²₁C2−q¨1S2

0 q˙2

0 sign( ˙q₂)







T

(16)

Fig. 5. Caractérisation fréquentielle de l’opérateur dérivé d’ordre 2 par projection polynomiale. Fréquence d’échantillonnage de 100 Hz

Fig. 6. Distorsion en amplitude du filtre dérivateur d’ordre 2 en fonction de la fréquence du signal d’entrée et du degré des polynômes

avec C

₂

= cos (q

₂

) and S

₂

= sin (q

₂

)

et le vecteur des param` etres inconnus est d´ efini par :

θ=

ZZR1 Fv1 Fs1 ZZ2 LM X2 LM Y2 Fv2 Fs2T

(17)

o` u ZZR

₁

= ZZ

₁

+ M

₂

L

²

, L ´ etant la longueur du corps 1, M

2

´ etant la masse du corps 2,

ZZ

1

and ZZ

2

´ etant respectivement les moments d’inertie

(6)

des corps 1 and 2,

LM X

2

and LM Y

2

sont les moments principaux d’inertie du corps 2 multipli´ es par L,

F

v1

, F

s1

, F

v2

, F

s2

sont respectivement les param` etres de frottements visqueux et sec des articulations 1 et 2.

B. M´ ethode d’identification

Le principe de l’identification consiste ` a ´ echantillonner le mod` ele dynamique inverse le long de mouvements excitants en boucle ferm´ ee, ` a diff´ erents instants t

i

(i = 1, . . . , n

e

), de fa¸ con ` a obtenir un syst` eme lin´ eaire surd´ etermin´ e. Apr` es

´

echantillonnage de l’´ equation (15), la concat´ enation des diff´ erentes mesures conduit ` a l’´ equation :

Y = W ( q, b b q, ˙ b q)θ ¨ + ρ (18) O` u :

– q, b b q ˙ et b q ¨ sont respectivement les mesures de positions et les estimations des vitesses et acc´ el´ erations articulaires,

– Y est le vecteur de dimension (2n

e

×1) correspondant ` a l’´ echantillonnage de l’effort moteur Γ du mod` ele (15), – W est la matrice de dimension (2n

_e

×8) correspondant

`

a l’´ echantillonnage de la matrice D

_s

du mod` ele (15), – ρ est le vecteur des r´ esidus dus aux bruits de mesures

et aux erreurs de mod` ele.

A partir de l’´ ` equation (18), il est possible d’obtenir une estimation au sens des moindres carr´ es, not´ ee ˆ θ, du vecteur inconnu θ :

θ ˆ = Arg min

θ

kρk

²

= W

⁺

Y (19) W

⁺

est la matrice pseudo-inverse de W :

W

⁺

= (W

^T

W )

⁻¹

W

^T

(20) L’unicit´ e de la solution d´ epend du rang de la matrice d’observation. La perte de rang de W peut avoir deux origines : – Une perte de rang structurelle de W peut apparaˆıtre quels que soit les ´ echantillons (q, q, ˙ q) de (18). Cette ¨ perte de rang survient lorsque le mod` ele d’identification a ´ et´ e param´ etr´ e de fa¸ con surabondante. Ce probl` eme d’identifiabilit´ e est r´ esolu en utilisant les param` etres de base qui fournissent une repr´ esentation minimale du mod` ele [13], [4].

– Une perte de rang num´ erique li´ ee ` a un mauvais choix des ´ echantillons (q, q, ˙ q) sur une trajectoire d’excita- ¨ tion pauvre en informations. Ce probl` eme peut ˆ etre r´ esolu en r´ ealisant une identification en boucle ferm´ ee de position avec suivi de mouvements excitants pour les param` etres [17].

Les matrices W et Y de (18) sont perturb´ ees par les mesures bruit´ ees ou les estimations de ( q, b b q, ˙ b q). Il importe donc ¨ de filtrer les donn´ ees avant de calculer la solution au sens des moindres carr´ es. D’un point de vue pratique, les estimations des d´ eriv´ ees successives de (18) sont obtenues en appliquant la m´ ethode de filtrage pr´ esent´ ee dans la sec- tion II-C. Le probl` eme est de bien choisir le param` etre de synth` ese n pour que W (ˆ q, q, ˆ˙ q) tende vers ˆ ¨ W (q, q, ˙ q) dans ¨ la bande de fr´ equence du mod` ele dynamique ` a identifier.

Une distorsion ` a ce niveau du filtrage introduirait un biais dans l’estimation du vecteur des inconnues θ.

C. R´ esultats exp´ erimentaux

La fr´ equence d’´ echantillonnage pour l’acquisition des donn´ ees est ´ egale ` a 200Hz. Une identification en boucle ferm´ ee, utilisant une commande proportionnelle d´ eriv´ ee, a

´

et´ e effectu´ ee avec un suivi de trajectoires excitantes en position constitu´ ees de polynˆ omes d’ordre 5. Cette trajectoire a ´ et´ e au pr´ ealable calcul´ ee par optimisation de mani` ere ` a optimiser le conditionnement de la matrice d’observation W [19].

Les r´ esultats de l’identification exp´ erimentale sont rapport´ es dans le tableau I avec une base de polynˆ omes de Tchebychev de dimension 225 et mis en perspective avec les r´ esultats obtenus par la m´ ethode pr´ esent´ ee dans [5]. Les param` etres estim´ es sont donn´ es avec leur ´ ecart type relatif. Un param` etre avec un ´ ecart type tel que %σ

θrˆ

≥ 10%

signifie qu’il n’est pas ou peu identifiable sur la trajectoire donn´ ee. L’´ ecart-type σ

θˆ_i

sur chaque param` etre estim´ e est calcul´ e en supposant ρ comme ´ etant un bruit blanc d’´ ecart- type σ

ρ

et de matrice de variance C

ρρ

:

C

ρρ

= σ

_ρ²

I

2n_e×2ne

(21) O` u I

_2n_e_×2n_e

est la matrice identit´ e (2n

_e

×2n

e

). La matrice de variance-covariance de l’erreur d’estimation est donn´ ee par :

C

θˆ

= σ

_ρ²

W

^T

W

−1

(22) σ

²_ˆ

θi

= C

θiiˆ

, est le i

^`^eme

coefficient de la diagonale de C

θˆ

. L’´ ecart-type relatif % σ

θrˆ

est d´ efini par la relation :

%σ

_θ_ˆ

ri

= 100 σ

θˆ_i

θ ˆ

i

(23)

TABLE I

R´esultats d’identification

Param` etres r´ ef. [5] %σ

_θ_ˆ

r

θ ˆ %σ

_θ_ˆ

r

(unit´ es SI)

ZZR

1

3.442 0.184 3.433 0.204 F

_v1

0.036 34.827 0.042 33.607 F

_s1

0.768 2.682 0.753 3.070 ZZ

2

0.060 3.302 0.061 3.654 LM X

2

0.123 1.512 0.123 1.673 LM Y

2

0.008 15.564 0.008 16.824

F

_v2

0.032 38.364 0.033 41.031 F

s2

0.0101 19.587 0.098 22.663

On observe que les valeurs identifi´ ees sont sensiblement les mˆ emes quelle que soit la m´ ethode utilis´ ee. Il en va de mˆ eme pour les ´ ecarts type relatifs o` u aucune tendance ne diff´ erencie particuli` erement une m´ ethode par rapport ` a l’autre. On remarque n´ eanmoins que ce sont les frottements qui restent les plus difficile ` a identifier. Afin de valider cette identification, les couples de commande sont reconstitu´ es ` a partir des param` etres identifi´ es. Leur comparaison avec la commande r´ eellement appliqu´ ee au syst` eme montrent la qualit´ e de l’identification (figure 7).

IV. Conclusion

Dans ce papier, une pr´ esentation des propri´ et´ es des po-

lynˆ omes de Tchebychev et une formulation d´ eriv´ ee utilisant

(7)

Fig. 7. Validation des efforts mesur´es (en bleu) et simul´es (en rouge).

a) Par la m´ethode de [5] b) par la m´ethode de projection polynomiale

ces polynˆ omes ont ´ et´ e effectu´ ees. La m´ ethode d’identification pr´ esent´ ee consiste ` a appliquer une transformation lin´ eaire sur le syst` eme d’´ equations qui r´ egit le processus.

Pour cela, l’op´ erateur math´ ematique utilis´ e s’appuie sur une d´ ecomposition du signal dans une base form´ ee de po- lynˆ omes orthogonaux. Nous avons montr´ e que cette projection se comporte comme un filtre passe-bande, de telle sorte qu’une seule op´ eration est n´ ecessaire pour le pr´ e-traitement des donn´ ees avant le processus d’identification ` a savoir la dimension de la base des polynˆ omes Tchebychev. L’identification exp´ erimentale en boucle ferm´ ee d’un robot ` a 2 axes avec cette m´ ethode est effectu´ e dans une derni` ere partie.

Les r´ esultats obtenus ont ´ et´ e compar´ es ` a une technique utilis´ ee classiquement en robotique et montrent des r´ esultats identiques.

R´ ef´ erences

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