Application du calcul stochastique à une classe d'EDP non linéaire

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non linéaire

Siham Filali

To cite this version:

Siham Filali. Application du calcul stochastique à une classe d’EDP non linéaire. Mathématiques

[math]. Université des Sciences et Technologie de Lille - Lille I, 2005. Français. �tel-00012025�

N˚d’ordre : 3706

THÈSE

présentée à :

l’Université des Sciences et Technologies de Lille, Lille I

pour obtenir

le grade de Docteur de l’université Discipline : Mathématiques

Spécialité : Probabilités

par

Siham FILALI

Application du calcul stochastique à une classe d’EDP nonlinéaires

Thèse soutenue le 29 Novembre 2005, devant le jury composé de Président : Dominique Lépingle, Université d’Orléans Directeur de Thèse : Azzouz Dermoune , Université Lille 1

Rapporteurs : Dominique Lépingle, Université d’Orléans Samy Tindel, Univesité Henri Poincaré Nancy Examinateurs : Youri Davydov , Université Lille 1

Thiery Goudon, Université Lille 1

Nikolay Tzvetkov,Université Lille 1

Remerciements

Accomplissement d’un cursus universitaire, la thèse de Doctorat représente égale- ment une étape personnelle importante.

Je pense qu’il est temps pour moi de remercier toutes les personnes qui m’ont tant donné avant et pendent la thèse.

Je remercie tout à d’abord mon directeur Azzouz Dermoune qui avant de diriger ma thèse, avait encadré mon mémoire de DEA avec professionnalisme. Ses compétences, sa rigueur mathématiques sont autant de qualité que j’ai appréciées chez lui.

Je tiens à le remercier pour sa confiance et pour tout le temps qu’il a su généreusement me consacrer.

J’adresse mes plus vifs remerciements à M. Dominique Lépingle pour l’honneur qu’il m’a fait en présidant le jury de soutenance, après avoir au préalable accepté d’être rapporteur de ce travail. c’est également avec reconnaissance que je remercie M. Samy Tindel, d’avoir été rapporteur de ce travail.

Ils ont fait des rapports pertinents qui ont permis la soutenance de cette thèse.

Je souhaite formuler de vifs remerciements à M. Youri Davydov, M. Thiery Goudon et M. Nikolay Tzvetkov d’avoir accepté de participer au jury.

Une thèse repose également sur les conditions de travail dans lesquelles elle peut être réalisée, et sur les relations cordiales et amicales que le doctorant peut nouer avec son entourage professionnel. Je remercie les membres du laboratoire de mathématiques appliquées de l’Université des Sciences et Technologies de Lille. Je pense en particulier à M

Marie-Claude Viano qui a été d’un aide précieux pour me trouver des vacations. Je remercie ici le personnel et les collègues enseignants, en particulier ceux du laboratoire de statistique et probabilités.

Mes remerciements vont également à l’ensemble des doctorants et jeunes doctorants

dont les parcours croisèrent le mien, en particulier : Frédéric, Abbas, David, Octave et la

nouvelle venu Shuyan que je lui souhaite bonne chance. Sans oublier bien sûr mes amis

numériciens Anas, Abdellatif, Reda, christophe et Delphine. Je remercie également mes

autres amis en particulier Jérome et sa famille, Jessica, Welloli.

partir à l’étranger loin de ma famille, ma mère pour toute sa tendresse et son soutien,

ma petite soeur Nora qui est aussi ma meilleur copine, ma grande soeur Loubna pour

tout ce qu’il a fait pour moi sans oublier mon grand frère Mounir. Je n’oublierais jamais

le soutien de mon oncle Azzedine et ma chére tante Catherine.

Résumé de thèse

Dans cette thèse nous avons utilisé les outils du calcul stochastique pour obtenir l’exis- tence et l’unicité de la solution du système d’équations aux dérivées partielles nonlinéaire suivant :

S (a, b)



 



 



∂

(ρ) + div(uρ) = L

(ρ)

∂

(u

ρ) + div(u

uρ) = L

(u

ρ),

∀ 1 ≤ i ≤ d, ρ(dx, t) → ρ

(dx), u

(x, t)ρ(dx, t) → v

(x)ρ

(dx) faiblement pour t → 0

où v = (v

, ..., v

) : R

→ R

est mesurable bornée, ρ

(dx) est une mesure de probabilté sur R

, L

désigne l’adjoint formel de L =

P

i,j=1

a

(x)∂

+ b(x). ∇ et a est une matrice symétrique définie positive. Nous avons construit une solution faible au système des équations différentielles stochastiques nonlinéaire

dX

= E

v(X

)/X

+ b(X

)

dt + σ(X

)dB

où (B

) est un mouvement brownien sur R

, et σ est une racine carrée de la ma- trice a. En utilisant la formule de Itô combinée avec des estimations de la solution fondamentale de l’équation parabolique ∂

u = Lu, nous avons montré que la famille

P (X

∈ dx), E

v(X

)/X

= x

: t ≥ 0, x ∈ R

est l’unique solution faible à notre système d’EDP S(a, b). Dans le cas où a est la matrice identité, et b = 0, on retrouve le système de gaz sans pression avec viscosité.

Abstract

Let X be the diffusion Markov process on R

with the generator L =

P

i,j=1

a

(x)∂

+ P

i=1

b

(x)∂

, and transition density G(t, x, y). Under some conditions on the matrix a(x) we get the estimate sup

√ t

< + ∞ for all T > 0. The latter estimate is used to get the existence and uniqueness of a solution of the following gas system

S (a, b)



 



 



∂

(ρ) + div(uρ) = L

(ρ)

∂

(u

ρ) + div(u

uρ) = L

(u

ρ),

∀ 1 ≤ i ≤ d, ρ(dx, t) → ρ

(dx), u

(x, t)ρ(dx, t) → v

(x)ρ

(dx) weakly, as t → 0

where ρ

(dx) ( a probability measure on R

), and the bounded vector field v := (v

, ..., v

) :

R

→ R

are given. The family of probability measures ρ := ρ(dx, t) and the velocities

u := u(x, t) are unknown. Here L

is the formal adjoint operator of L.

Table des matières

THESE 1

Remerciements i

Résumé de la thèse iii

1 Introduction 1

2 Diffusion avec interaction entre deux particules 5

2.1 Introduction et motivation . . . . 5

2.2 Idée de la construction et résultats principaux . . . . 6

2.3 Existence d’une solution . . . . 7

2.3.1 Étape 1 : la tension . . . . 7

2.3.2 Étape 2 : passage à la limite . . . . 8

2.3.3 Étape 3 : identification de la diffusion . . . 10

2.4 Unicité de la solution . . . 15

3 Estimation de la densité de diffusion 19 3.1 Résultat principal . . . 19

3.2 La preuve . . . 20

3.2.1 Transformation logarithmique . . . 20

3.2.2 Estimation de la borne supérieure . . . 21

3.2.3 Estimation de la borne inférieure. . . 32

4 Existence et unicité de la solution d’un système d’EDP nonlinéaire 39 4.1 Existence de la solution. . . 40

4.2 La preuve de l’existence . . . 41

4.2.1 Première étape : la tension . . . 41

4.2.2 Deuxième étape : identification de la dérive. . . 43

4.3 Unicité de la solution. . . 46

4.3.1 Preuve de l’unicité . . . 47

Annexe 59 4.4 Formule de Itô . . . 59

4.5 Équations différentielles stochastiques . . . 59

4.5.1 Solution forte . . . 59

4.5.2 Solution faible . . . 60

4.6 Critère de tension . . . 61

4.7 Inégalité de Burkholder-Davis-Gundy . . . 61

4.8 Théorème de Skorohod . . . 61

4.9 Résultat d’Oelshläger . . . 61

Chapitre 1 Introduction

Pour expliquer la formation des grosses structures dans l’univers (amas des particules et leur évolution), Zeldovich [36] propose le modèle des particules collantes suivant : on considère un système de particules { x

} ⊂ R ayant comme vitesses initiales { v

} et pour masses initiales { m

} . Les particules se déplacent avec une vitesse constante entre les instants de chocs. À l’instant de choc, les particules qui se rencontrent forment une nouvelle particule massive. Sa masse et sa vitesse sont données par les lois de conservation de la masse et de la quantité de mouvement. Plus précisément si les particules x

, k ≤ i ≤ j se rencontrent, alors elles forment une nouvelle particule de masse m

= P

l=k

m

et qui part avec une nouvelle vitesse v

donnée par l’équation m

v

= P

l=k

m

v

. Dans le cas continu, l’état initial du système des particules est défini par une mesure positive ρ(dx, 0) et par une fonction vitesse x → u

(x), et si on note par ρ(dx, t) et u(x, t) respectivement la distribution de la matière et la fonction vitesse à l’instant t, alors les lois de conservation de la masse et de la quantité de mouvement sont données par le système







∂(ρ)

∂t

+ ∂

(uρ) = 0,

∂(uρ)

∂t

+ ∂

(u

ρ) = 0,

ρ(dx, t) → ρ(dx, 0), u(x, t)ρ(dx, t) → u

(x)ρ

(dx), lorsque t → 0

.

Ce système est appelé système de gaz sans pression, et il a fait l’objet de plusieurs travaux [7, 4, 5, 29]. D’un point de vue de la physique, ce système a été étudié comme un modèle de particules collantes par Zeldovich. Mathématiquement les solutions de ce système sont naturellement des mesures. Ainsi La famille t → (ρ(dx, t), u(x, t)) doit être une solution faible de ce dernier système, c’est-à-dire pour toute fonction f ∈ C

, l’espace C

est l’ensemble des fonctions de classe C

à support compact, et pour tous 0 < t

< t

,

i) R

f(x)ρ(dx, t

) − R

f (x)ρ(dx, t

) = R

R f

(x)u(x, t)ρ(dx, t)dt, ii) R

f(x)u(x, t

)ρ(dx, t

) − R

f(x)u(x, t

)ρ(dx, t

) = R

t1

R f

(x)u

(x, t)ρ(dx, t)dt, iii) R

f(x)ρ(dx, t) → R

f(x)ρ

(dx), R

f(x)u(x, t)ρ(dx, t) → R

f(x)u

(x)ρ

(dx) lorsque t → 0

.

L’existence globale d’une solution faible a été obtenue par Brenier, Grenier [7] et

E, Rykov and Sinai [29]. Une approche probabiliste a été faite par Dermoune [12]. Il

a montré que les trajectoires des particules collantes sont modélisées par un processus stochastique, solution de l’équation différentielle

dX

= E [u

(X

) | X

]dt, loi(X

) = ρ(dx, 0). (1.1) Les techniques utilisées dans tous ces travaux sont difficiles à étendre en dimension d > 1. Une tentative a été faite par Dermoune et Djehiche [13, 14]. Ils ont introduit la viscosité dans le système (1.1) et ont obtenu le système différentiel stochastique non- linéaire suivant :

dX

= E (u(X

) | X

)dt + νdB

(1.2) où B est un mouvement brownien sur R

et P (X

∈ dx) := ρ(dx, 0) est la loi de X

. En utilisant la formule d’Itô combinée avec des techniques d’analyse, Dermoune [11] a montré l’existence et l’unicité faible du système (1.2). Il a déduit que (ρ(dx, t) = P (X

∈ dx), u(x, t) := E (u

(X

) | X

= x)) est l’unique solution faible du système suivant :

S (d, ν)







∂

(ρ) + P

j=1

∂

(u

ρ) =

∆(ρ)

∂

(u

ρ) + P

j=1

∂

(u

u

ρ) =

∆(u

ρ), ∀ 1 ≤ i ≤ d

ρ(dx, t) → ρ(dx, 0), u(x, t)ρ(dx, t) → v(x)ρ(dx, 0) as t → 0

.

Les données initiales (ρ(dx, 0), v := (v

, ..., v

)) représentent respectivement la densité de la matière et la vitesse à l’instant t = 0. Dans le cas ν = 0 le dernier système devient

S (d, 0)







∂

(ρ) + P

j=1

∂

(u

ρ) = 0

∂

(u

ρ) + P

j=1

∂

(u

u

ρ) = 0, ∀ 1 ≤ i ≤ d

ρ(dx, t) → ρ

(dx), u

(x, t)ρ(dx, t) → v

(x)ρ

(dx) as t → 0

.

Ce système est appelé système de gaz sans pression. Il apparaît dans les méthodes de constructions numériques des solutions de l’équation d’Euler [2, 3, 24].

Une question intéressante et difficile consiste à obtenir S (d, 0) en faisant tendre la viscosité ν → 0 dans le système S (d, ν) ou d’une façon équivalente dans (1.2). Mal- heureusement même dans le cas de deux particules initialement situées en a, b ∈ R

et ayant respectivement comme vitesses et masses initiales v

, v

et p, 1 − p (c’est-à-dire ρ(dx, 0) = pδ

+ (1 − p)δ

, v(x)ρ(dx, 0) = pv

δ

+ (1 − p)v

δ

), l’étude de la limite de EDS(ν) lorsque ν → 0 s’avère difficile.

Le premier résultat de ma thèse propose une nouvelle solution probabiliste au système S (d, ν). Nous construisons deux diffusions indépendantes X

= a + R

0

u(X

, s)ds + νB

, X

= b + R

0

u(X

, s)ds + νB

, ayant la même viscosité ν 6 = 0 et la même dérive u(x, t) = pρ

(x)v

+ (1 − p)ρ

(x)v

pρ

(x) + (1 − p)ρ

(x) ,

où ρ

, ρ

sont respectivement les densités de X

et X

. Nous montrons que la famille

(ρ

(x)dx = pρ

(x)dx + (1 − p)ρ

(x)dx, u(x, t) : t ≥ 0, x ∈ R

) est l’unique solution faible

3

du système de gaz sans pression S (d, ν) avec condition initiale (pδ

+ (1 − p)δ

, v

:=

v(a), v

:= v(b)). Nous espérons dans un travail ultérieur que l’étude de la limite de S (d, ν) lorsque ν → 0 aboutira via ce nouveau processus. Ce travail a été publié dans les Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris (CRAS) [9], et sera détaillé dans le chapitre 1.

Le chapitre 2 de ma thèse traite de l’estimation de la densité G(t, x, y) de la diffusion dont le générateur est donné par

L = 1 2

d

X

i,j=1

a

(x)∂

+

d

X

i=1

b

(x)∂

.

Afin d’expliquer notre contribution dans ce chapitre, on rappelle le résultat suivant de Sheu : [30]

Soit g(x) la matrice inverse de a(x). Il existe des fonctions k

, k

, c

et c

à valeurs strictement positives telles que pour x, y ∈ R

,

1 (2tπ)

p

det a(y) k

(t) exp( − c

(t)I

(t, x, y)) ≤ G(t, x, y) (1.3) G(t, x, y) ≤ 1

(2tπ)

p

det a(y) k

(t) exp( − c

(t)I

(t, x, y)) (1.4) où

I

(t, x, y) = inf ( 1

2 Z

0

X

i,j

g

(φ(s))( ˙ φ(s) − b(φ(s)))

( ˙ φ(s) − b(φ(s)))

ds,

φ(0) = x, φ(t) = y, φ absolument continue )

.

Notre contribution consiste à préciser les constantes c

, c

en fonction du spectre de la matrice inverse de a et du temps.

Dans le chapitre 3, on utilise ce résultat pour obtenir l’existence et l’unicité du système

S (a, b)



 



 



∂

(ρ) + div(uρ) = L

(ρ)

∂

(u

ρ) + div(u

uρ) = L

(u

ρ),

∀ 1 ≤ i ≤ d, ρ(dx, t) → ρ

(dx), u

(x, t)ρ(dx, t) → v

(x)ρ

(dx) faiblement, quand t → 0

où L

est l’adjoint formel de l’opérateur L. Ce système coïncide avec celui étudié par

Dermoune [11], lorsque a est la matrice identité et b = 0. Ce travail a fait l’objet d’une

publication dans Journal de Mathématiques Pures et Appliquées [10].

Chapitre 2

Diffusion avec interaction entre deux types de particules et système de gaz sans pression avec viscosité

2.1 Introduction et motivation

Dans ce chapitre on étudie le système des équations aux dérivées partielles suivant :

S (ν, d)



 



 



∂

ρ + P

j=1

∂

(uρ) =

(∆ρ)

∂

(u

ρ) + P

j=1

∂

(u

u

ρ) =

∆(u

ρ)

(ρ(dx, t), u(x, t)ρ(dx, t)) → (pδ

+ (1 − p)δ

, pv

δ

+ (1 − p)v

δ

) lorsque t → 0 + .

Ici a, b, v

, v

∈ R

et p ∈ (0, 1) sont les données initiales. Le système S(ν, d) avec les conditions initiales (ρ(dx, 0), v (x)ρ(dx, 0)), où ρ(dx, 0) est une mesure de probabilité sur R

et v est une fonction continue, est appelé système de gaz sans pression avec viscosité ν

. Le lien entre S(0, 1) et les particules collantes a été largement étudié, voir par exemple [7]. Par contre le lien entre le système S(0, d) avec d > 1 et les particules collantes n’est pas encore bien établi (voir, [38]).

Une première étape pour comprendre ce lien a été proposée dans [11, 12, 13, 14]. Dans cette étape, les auteurs ont construit une unique solution au système S(ν, d), avec ν 6 = 0, via l’équation différentielle stochastique EDS (ν) :

X

= X

+ Z

0

E[v(X

)/X

]ds + νB

.

La variable aléatoire X

est indépendante du mouvement brownien B et a pour loi ρ(dx, 0). Maintenant, la deuxième étape consiste à obtenir S(d, 0) en faisant tendre la viscosité ν → 0 dans le système S(ν, d) ou d’une façon équivalente dans EDS(ν).

Malheureusement même dans le cas de deux particules initialement situées en a, b ∈ R

et ayant respectivement comme vitesses et masses initiales v

, v

et p, 1 − p (c’est-à-dire

ρ(dx, 0) = pδ

+ (1 − p)δ

, v (x)ρ(dx, 0) = pv

δ

+ (1 − p)v

δ

), l’étude de la limite de EDS(ν) lorsque ν → 0 s’avère difficile. On propose dans ce chapitre une nouvelle solution probabiliste au système S(ν, d).

Nous espérons que l’étude de la limite de S(ν, d) lorsque ν → 0 aboutira via ce nouveau processus.

Nous construisons deux diffusions indépendantes X

= a +

Z

u(X

, s)ds + νB

, X

= b + Z

0

u(X

, s)ds + νB

(2.1) ayant la même viscosité ν 6 = 0 et la même dérive

u(x, t) = pρ

(x)v

+ (1 − p)ρ

(x)v

pρ

(x) + (1 − p)ρ

(x) (2.2) où ρ

, ρ

sont respectivement les densités de X

et X

. Nous montrons que la famille (ρ

(dx) = pρ

(x)dx + (1 − p)ρ

(x)dx, u(x, t) : t ≥ 0, x ∈ R

) est l’unique solution faible du système de gaz sans pression S (ν, d) avec données initiales ρ(dx, 0) = pδ

+ (1 − p)δ

, v(a) = v

, v(b) = v

.

2.2 Idée de la construction et résultats principaux

Nous commençons par donner l’idée générale de cette construction. Soit ψ une densité de probabilité strictement positive, symétrique sur R

, continue bornée ainsi que ses dérivées d’ordre inférieur ou égal à 2. On pose pour tout r > 0, φ(x) = r

ψ(rx), ∀ x ∈ R

. On considère le système de N = n + m équations différentielles stochastiques suivant :

X

= a + νB

+ Z

0

D

s

ds (2.3)

X

= b + νB

+ Z

0

D

s

ds (2.4)

où

D

s

=

P

j6=i

φ(X

− X

)v

+ P

j=1

φ(X

− X

)v

P

j6=i

φ(X

− X

) + P

j=1

φ(X

− X

) (2.5) et

D

s

=

P

i=1

φ(X

− X

)v

+ P

k6=j

φ(X

− X

)v

P

i=1

φ(X

− X

) + P

k6=j

φ(X

− X

) (2.6)

où (B

, B

, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m), sont N = n + m- mouvement browniens à valeurs

dans R

indépendants. la régularité de φ entraîne l’existence et l’unicité de la solution

forte de ce système, (voir l’annexe section 4.5).

2.3 Existence d’une solution 7

On montre que pour chaque couple (i, j) fixé, la suite (X

, X

) converge en loi lorsque m, n → + ∞ ,

→ p, r → 0, vers une diffusion (X

, X

) décrite par :

X

= a + Z

0

u(X

, s)ds + νB

, X

= b + Z

0

u(X

, s)ds + νB

Puis on prouve que la famille

(ρ

(dx) := pP (X

∈ dx) + (1 − p)P (X

∈ dx), u(x, t) : t ≥ 0) est l’unique solution faible du système S(ν, d).

On peut maintenant énoncer les résultats principaux de ce chapitre, qui ont été publiés dans le Comptes Rendus de l’Académie des Sciences [9].

2.2.1 Théorème

Soit ψ une densité de probabilité strictement positive, symétrique sur R

, continue bornée ainsi que ses dérivées d’ordre inférieur ou égal à 2. On pose pour tout r > 0, φ(x) = r

ψ(rx), ∀ x ∈ R

. Soit (i, j ) fixé. Si n, m → + ∞ ,

→ p dans (2.3)-(4.4) et r → + ∞ , alors (X

, X

) converge en loi vers (X

, X

) solution de (2.1), (2.2).

2.2.2 Corollaire

Il existe deux mouvements browniens indépendants B

, B

sur R

, et un processus Z solution de l’équation différentielle stochastique non-linéaire suivante :

Z

= Z

+ νB

+ Z

0

E

v(Z

)/Z

ds, t ≥ 0, (2.7)

où Z

est indépendante de B

, B

est tel que P (Z

= a) = p = 1 − P (Z

= b). La famille (ρ(dx, t) := P (Z

∈ dx) = (pρ

(x) + (1 − p)ρ

(x))dx, u(x, t) = E[v(Z

)/Z

= x] : t ≥ 0, x ∈ R

) est une solution du système S(ν, d).

2.2.3 Théorème

La famille (ρ(dx, t) := P (Z

∈ dx) = (pρ

(x) + (1 − p)ρ

(x))dx, u(x, t) = E[v(Z

)/Z

= x] : t ≥ 0, x ∈ R

) est l’unique solution du système S(ν, d).

Le reste de ce chapitre est consacré à la preuve de ces résultats.

2.3 Existence d’une solution

La preuve se fait en plusieurs étapes.

2.3.1 Étape 1 : la tension

On fixe r et on fait tendre n, m vers l’infini,

→ p. D’après le critère de tension (voir l’annexe section 4.6), il est clair que pour tout 1 ≤ i ≤ n, pour tout 1 ≤ j ≤ m la suite

(X

, B

, X

, B

: n, m

est tendue dans l’espace C([0, T ], R

). En utilisant la régularité de φ, les suites t → T

= 1

n − 1

n

X

j6=i

φ X

− X

,

t → T

t

= 1

m

m

X

j=1

φ X

− X

,

t → T

= 1 m − 1

m

X

j6=i

φ X

− X

, et

t → T

t

= 1

n

n

X

j=1

φ X

− X

sont aussi tendues dans C([0, T ], R ).

Pour (i, j) fixé, on considère la limite faible d’une sous suite extraite de X

, B

, X

, B

, T

, T

, T

, T

, notée X

, B

, X

, B

, T

, T

, T

, T

.

2.3.2 Étape 2 : passage à la limite

En utilisant le théorème de représentation de Skorohod (voir l’annexe section 4.8) et le fait que

→ p, on a

X

= a + νB

+ Z

0

pT

v

+ (1 − p)T

v

pT

+ (1 − p)T

ds, (2.8)

et

X

= b + νB

+ Z

0

pT

v

+ (1 − p)T

v

pT

+ (1 − p)T

ds. (2.9)

Maintenant, nous montrons que T

=

Z

φ(X

− z)ρ

(dz), T

= Z

φ(X

− z)ρ

(dz), (2.10) et

T

= Z

φ(X

− z)ρ

(dz), T

= Z

φ(X

− z)ρ

(dz), (2.11) où ρ

(dz), ρ

(dz) sont les lois de probabilité respectives de X

et X

.

Étape 1

Nous allons montrer l’estimation suivante E

"

T

− 1 n − 1

n

X

j=2

φ(X

− X

)

#

≤ C(n).

2.3 Existence d’une solution 9

avec lim

C(n) = 0.

En effet, la loi du vecteur aléatoire (X

, 1 ≤ i ≤ n) est inter-échangeable, d’où pour n < N ,

E h

1 n − 1

n

X

j=2

φ(X

− X

) − 1 N − 1

N

X

j=2

φ(X

− X

)

2

i

= 1

(n − 1)

(N − 1)

(N − 1)

(n − 1) + (n − 1)

(N − 1)

− 2(n − 1)(N − 1)(n − 2))E[φ(X

− X

)]

+ ((N − 1)

(n − 2)(n − 3) + (n − 1)

(N − 2)(N − 3)

− 2(n − 1)(N − 1)(n − 2)(N − 3))E

φ(X

− X

)

.

Faisant tendre m, N → ∞ ,

→ p, on en déduit l’existence d’une fonction C(n) telle que

n→∞

lim C(n) = 0 et

E

"

T

− 1 n − 1

n

X

j=2

φ(X

− X

)

#

≤ C(n). (2.12)

Étape 2

Pour identifier T

nous allons utiliser la loi forte conditionnelle dont l’énoncé est le suivant.

Soit X = C([0, T ], R

). Il est clair que pour chaque i, X

∈ X . Par construction, la loi du vecteur (X

: i ≥ 1) est inter-échangeable. Soit Π l’ensemble des bijections π : N

→ N

qui permute un nombre fini d’éléments de N

. On désigne par B

l’en- semble des boréliens de X

et X = (X

: i ≥ 1). On note πX = (X

: i ≥ 1).

La tribu S = { X

(B) : B ∈ B

, P [X

(B )∆(πX)

(B)] = 0, ∀ π ∈ Π } est appelé l’esemble des événements permutables de X .

Le résultat suivant se trouve par exemple dans [35].

2.3.1 Lemme ([35])

1. Sachant S , les variables (X

, i ≥ 1) sont indépendantes et identiquement distri- buées.

2. De plus, si pour chaque fonction f mesurable de X à valeurs réelles, (f (X

), i ≥ 1) sont mutuellement indépendantes, alors elles sont indépendantes de S .

On en déduit d’après la loi forte des grands nombres que 1

n − 1

n

X

j6=i

φ(X

− X

)

−→

Z

φ(X

− z)ρ

(dz).

D’où

T

= Z

φ(X

− z)ρ

(dz).

Ce qui fini l’identfication de T

. De la même manière, on montre que

T

= Z

φ(X

− z)ρ

(dz) T

=

Z

φ(X

− z)ρ

(dz) T

=

Z

φ(X

− z)ρ

(dz).

Finalement, chaque limite de la suite (X

, X

) lorsque n, m → + ∞ ,

→ p est une solution faible de l’équation différentielle stochastique suivante :

(dX

, dX

) = ν(dB

, dB

)+(D

(X

)dt, D

(X

)dt), (X

, X

) = (a, b) (2.13) où pour chaque y ∈ R

,

D

(y) = p R

φ(y − x)ρ

(dx)v

+ (1 − p) R

φ(y − x)ρ

(dx)v

p R

φ(y − x)ρ

(dx)v

+ (1 − p) R

φ(y − x)ρ

(dx)v

(2.14) Ici (ρ

(dx), ρ

(dx)) sont respectivement les lois de X

et X

.

Conclusion : Pour montrer ce résultat on a utilisé la loi forte des grands nombres comme dans [11] pages 9,10,11. Cette technique a été utilisée pour la première fois par Zheng [35], voir aussi [8].

2.3.3 Étape 3 : identification de la diffusion

Pour achever la démonstration de l’existence de la solution, il nous reste à faire tendre r → 0, et à montrer que (X

, X

) convergent en loi vers (X

, X

) données par (2.1) et (2.2).

Nous avons besoin des quatre lemmes suivants : 2.3.2 Lemme ([31], lemme 11.4.1)

Soit (f

, n ≥ 1) une suite de fonctions positives B

-mesurables, vérifiant : i) Pour tout n ≥ 1,

Z

f

(x)dx = 1, ii) lim

h→0

sup

n≥1

Z

| f

(x + h) − f

(x) | dx = 0.

iii)On suppose qu’il existe f ∈ L

( R

) telle que, pour tout ψ ∈ C

( R

), Z

f(x)ψ(x)dx = lim

n→∞

Z

f

(x)ψ(x)dx.

Alors f

→ f dans L

( R

).

2.3 Existence d’une solution 11

On rappelle que S

est l’espace des matrices réelles carrées d × d positives et symé- triques.

2.3.3 Lemme ([31] Théorème 9.1.15)

Soient a : [0, ∞ ) × R

→ S

et b : [0, ∞ ) × R

→ R

deux fonctions mesurables bornées.

Pour T > 0, on suppose qu’il existe 0 < λ

≤ Λ

< ∞ , B

< ∞ et δ

: (0, ∞ ) → (0, ∞ ) une fonction croissante, tels que :

i)λ

| θ |

≤ h θ, a(x, s)θ i ≤ Λ

| θ |

, et | b(x, s) | ≤ B

pour (s, x) ∈ [0, T ] × R

et θ ∈ R

. ii) lim

δ

(ε) = 0

sup

0≤s≤T

|x1−x2|≤δT(ε)

k a(x

, s) − a(x

, s) k ≤ ε, ε > 0.

Alors pour chaque T > 0 il existe Φ : (0, ∞ ) → (0, ∞ ) fonction croissante qui dépend seulement de d, T, λ

, Λ

et δ

telle que lim

Φ(ε) = 0 et

Z

dt Z

| p(s, x, t, y + h) − p(s, x, t, y) | dy ≤ Φ( | h | ),

où p(s, x; t, y) sont les probabilités de transition de la diffusion de générateur 1

2

d

X

i,j=1

a

(t, x)∂

+

d

X

i=1

∂

2.3.4 Lemme

Soit t > 0 et soit σ

la densité de la loi gaussienne de moyenne 0 et de variance ν

t, c’est-à-dire

σ

(x) = (2πν

t)

exp − | x |

2ν

t

.

Pour h > 0, t > p, nous avons les estimations suivantes pour h > 0, t > p

|∇ σ

(x) | ≤ c

√ t σ

(x), (2.15)

| σ

(x) − σ

(x

) | ≤ c | x − x

| (t − p)

. (2.16) Preuve.

On a

|∇ σ

(x) | = | x | (2πν

t)

(ν

t)

exp − | x |

2ν

t

= | x |

√ 4ν

t exp − | x |

4ν

t

(4πν

t)

exp − | x |

4ν

t

2

ν √

t

≤ c

√ t σ

(x),

puisque sup

x exp( − x

) < + ∞ .

Pour la deuxième estimation, d’après le théorème des accroissements finis, il existe c

∈ (x, x

) tel que

| σ

(x) − σ

(x

) | ≤ | x − x

||∇ σ

(c

) | et en appliquant (2.15), on obtient (2.16).

2.3.5 Lemme (Oelschlager [25])

Soit m une fonction mesurable bornée de R

× R

→ R et f ∈ C

( R

× R

).

Soit t → ρ

∈ M

( R

), ensemble des probabilités sur R

, solution du système suivant : Z

f (t, x)ρ

(dx) − Z

f(0, x)ρ

(dx)

= Z

0

Z h X

j=1

m(x, s)∂

f(s, x) + ∂

f (s, x) i

ρ

(dx) + ν

2

Z

∆f (s, x)ρ

(dx) ds.

(2.17) Alors

1) ρ

(dx) est absolument continue, de densité ρ

(x), par rapport à la mesure de Lebesgue sur R

,

2)Il existe c une constante qui dépend uniquement de d, k m k

, T et ν, telle que :

i) k ρ

(.) k

≤ c(t

+ 1) ∀ t ≤ T, (2.18)

ii) | ρ

(x) − ρ

(x) | ≤ c((t ∧ s)

+ 1) | t − s |

, (2.19)

∀ s ≤ t ≤ T, ∀ x ∈ R

iii) | ρ

(x) − ρ

(y) | ≤ c(t

+ 1) | x − y |

∀ t ≤ T, ∀ x, y ∈ R

. (2.20) La preuve de ce résultat se trouve dans l’annexe section 4.9.

Retour à la preuve de l’étape 3.

Maintenant, on fixe i, j (par exemple (i, j) = (1, 1)), et nous allons faire tendre r → 0 dans les équations (2.13), (2.14). D’abord il est facile de voir que (X

:= X

, X

:=

X

) est C-tendu. Par conséquent toute limite (X

, X

) lorsque r → 0 est solution d’une équation différentielle de type

X

= a + Z

0

d

(s)ds + νB

X

= b + Z

0

d

(s)ds + νB

où (B

, B

) sont deux browniens indépendants, et d

, d

sont deux processus adaptés

bornés.

2.3 Existence d’une solution 13

Il est bien connu (voir par exemple le lemme 4.3.1) que X

, X

ont chacune une densité notée respectivement par ρ

(x), ρ

(x).

Nous voulons montrer que dxdt-p.p.

Z

r

ψ(r(x − y))ρ

(dy) → ρ

(x), α = a, b.

Soient T

> T

> 0, δ(t) = 1

(t) et f

: (x, t) → C

Z

φ(x − z)ρ

(dz)δ(t)

où C

= T

− T

. La fonction f

est une densité de probabilité sur R

× R

. Par conséquent la suite (f

, , r ≥ 0) vérifié la condition i) du lemme 2.3.2.

Si on note f

(x, t) = ρ

(x), La convergence faible de ρ

vers ρ

entraîne la condition iii) du lemme.

On va maintenant montrer que (f

, f

) vérifie l’hypothèse ii) du lemme 2.3.2.

Pour h, η deux réels positifs, on a Z Z

| f

(x + h, t + η) − f

(x, t) | dxdt

= C[

Z Z

Z

φ(x + h − z)ρ

(z)δ(t + η) − φ(x − z)ρ

(z)dzδ(t) dxdt

≤ I

+ I

, avec

I

= C

Z Z

Z

φ(x + h − z) − φ(x − z)

ρ

a, r(z)dz

δ(t + η) dxdt et

I

= C Z

0

Z

Z

φ(x − z)[δ(t + η)ρ

a, r(z) − δ(t)ρ

(z)] dz dxdt.

On a

I

= C

Z Z

Z

φ(z)[ρ

(z + x + h) − ρ

(z + x)]dz

δ(t + η) dx dt.

Du lemme 2.3.3, on déduit qu’il existe une fonction Φ qui dépend de d, T

telle que I

≤ CΦ(h).

Pour I

, il suffit de montrer que I

= sup

r

Z

T1

Z

Z

φ(x − z)

ρ

(z) − ρ

(z) dz

dxdt

tend vers 0 quand η → 0.

Pour chaque K > 0 le terme I

est la somme de deux termes I

et I

, où I

= sup

r

Z

T1

Z

Z

[|z|≤K]

φ(x − z)

ρ

(z) − ρ

(z) dz

dx dt et

I

= sup

r

Z

T1

Z

Z

[|z|>K]

φ(x − z)

ρ

(z) − ρ

(z) dz

dx dt.

D’après le point ii) du lemme 2.3.5 Z

T1

Z

Z

[|z|≤K]

φ(x − z)

ρ

(z) − ρ

(z) dz

dxdt

≤ cη

Z

T1

(t

+ 1)λ(B (0, K))dt.

D’autre part, comme X

= a + Z

0

D

(X

)ds + νB

, avec D

bornée, on déduit que

I

≤ 2 k v

k

sup

t∈[T1,T2+1]

Z

ρ

(dy)P | X

| ≥ K . Comme

P ( | X

| ≥ K) ≤ P | νB

| ≥ K/2

+ P | y | + t k D k

≥ K/2 , alors R

P | X

| ≥ K

ρ

(dy) → 0 lorsque K → + ∞ uniformément pour t ∈ (T

, T

+ 1).

On conclut, en appliquant le lemme 2.3.2 que f

→ f

dans L

( R

). En utilisant le théorème de representation de Skorohod, on peut supposer que f

(x, t) → f

(x, t) presque partout,

La démonstration pour (f

, f

) est la même que celle de (f

, f

). On en déduit que C

Z

φ(x − z)ρ

(dz) → ρ

(x) dxdt presque partout et

C Z

φ(x − z)ρ

(dz) → ρ

(x) dxdt presque partout.

D’où

u(x, t) = pρ

(x)v

+ (1 − p)ρ

(x)v

pρ

(x) + (1 − p)ρ

(x) . (2.21) Ceci termine la preuve du théorème 2.2.1.

On termine cette section par la preuve du corollaire.

2.4 Unicité de la solution 15

Soit (X

, X

) donnée par X

= a + νB

+

Z

pρ

(X

)v

+ (1 − p)ρ

(X

)v

pρ

(X

) + (1 − p)ρ

(X

) ds, (2.22) et

X

= b + νB

+ Z

0

pρ

(X

)v

+ (1 − p)ρ

(X

)v

pρ

(X

) + (1 − p)ρ

(X

) ds, (2.23) avec ρ

(x), ρ

(x) sont respectivement des densités de X

et X

.

Soit Z

est une variable aléatoire indépendante de (X

, X

) et tel que P (Z

= a) = p = 1 − P (Z

= b). Si on pose

Z

= X

1

+ X

1

, t ≥ 0,

alors Z satisfait (2.7). Pour montrer que (P (Z

∈ dx), u(x, t) : t ≥ 0, x ∈ R

) est solution faible du système S(d, ν), on utilise la formule d’Itô :

∀ f ∈ C

c

( R

), t

< t

f (Z

) − f (Z

) − Z

t¹

h u(Z

, t) ∇ f(Z

) + ν

2 ∆f (Z

) i

dt = martingale centrée. (2.24) En prenant l’espérance des deux membres de (2.24), on obtient la première équation du système S(ν, d). Soit (v

(Z

), ..., v

(Z

)) les composantes du vecteur v(Z

). En multi- pliant l’égalité (2.24) par v

(Z

), 1 ≤ i ≤ d, et en appliquant l’espérance on aboutit à la deuxième équation du système S(ν, d).

2.4 Unicité de la solution

Il nous reste à montrer l’unicité de la solution du système S(ν, d). Si on pose v(a) = v

, v(b) = v

et ρ(dx, t) = pδ

+ (1 − p)δ

, on retrouve un cas particulier du travail fait par Dermoune dans [11], qu’on rappelle ici :

Soit (ρ, u) une solution faible du système S(ν, d) et de condition initiale (ρ

, v), ayant la représentation suivante :

q(x, t) := u(x, t)ρ(x, t) = Z

v(y)ρ(0, y; t, x)ρ

(dx), (2.25) ρ(0, y; t, x) étant solution fondamentale de l’équation parabolique :

∂

(ρ) +

d

X

j=1

∂

(ρu) = ν

2 ∆(ρ).

On introduit q

(x, t) = q

(x, t, +) = q

(x, t, − ) = ρ(x, t) et q

(x, t, +) =

Z

v

(y)ρ

(dy)ρ(0, y; t, x)dy,

q

(x, t, − ) = Z

v

(y)ρ

(dy)ρ(0, y; t, x)dy, ∀ 1 ≤ i ≤ d.

On a alors

q

(x, t) = q

(x, t, +) − q

(x, t, − ).

Pour tout ε = +, − , si

i

= R

v

(y)ρ

(dy)dy, alors (t → c

q

(., t, ε)) est une famille de densité de probabilité sur R

, solution de

∂

(m) +

d

X

j=1

∂

(b m) = ν

2 ∆(m), (2.26)

où

b(x, t) = 1

q

(x, t) (q

(x, t), ..., q

(x, t)) 0 ≤ i ≤ d.

D’après le lemme 2.3.5 , il existe une constante c qui dépend uniquement de k v k

, ν et d tel que pour tout i = 0, ..., d,

k q

(., t, ε) k

≤ c(t

+ 1),

| q

(y, t, ε) − q

(y, s, ε) | ≤ c((t ∧ s)

+ 1) | t − s |

,

| q

(y, t, ε) − q

(y

, t, ε) | ≤ c(t

+ 1) | x − y |

.

On peut montrer également que q = (q

(x, t), q

(x, t, +), q

(x, t, − )..., q

(x, t, +), q

(x, t, − )) := (q

(ε) : 0 ≤ i ≤ d, ε = +, − ) est solution faible du système







∂

(q

(ε)) + P

j=1

∂

q

(ε)F (q) =

∆q

(ε)

∀ 1 ≤ i ≤ d , ε = +, −

q

(ε, dx, t) → q

(ε, dx, 0) faiblement pour t → 0

avec

F (q) = 1 q

(q

(+) − q

( − ), ..., q

(+) − q

( − )).

On peut remarquer que q → q

(ε)F (q) est lipschitzienne continue sur le domaine D = { q ∈ R

× R

: | q

| ≤ k v k

q

, | q

| ≤ k v k

q

∀ 1 ≤ i ≤ d } . On note | q | := q

+ P

i=1

| q

(+) | + | q

( − ) | .

Soient deux solutions faibles (q

, 0 ≤ d), (q

, 0 ≤ d) de S(ν, d) avec condition initiale identique ρ

, v et ayant la représentation 2.25.

On se propose de montrer que ∀ 1 ≤ i ≤ d

q

(x, t) = q

(x, t), q

(x, t, +) = q

(x, t, +), q

(x, t, − ) = q

(x, t, − ).

De (2.26), on déduit pour toute f ∈ C

( R

× [0, T ] et pour i = 0, .., d Z

f(t, x)q

(x, t, +)dx − Z

f (0, x)q

(dx, 0)

= Z

0

Z

h F (q) ∇ f (s, x) + ∂

f (s, x) i

q

(x, t)dxds + ν

2 Z

∆f(s, x)dxq

(x, t, +)dx

ds (2.27)

2.4 Unicité de la solution 17

Soit σ

(x) = (2πh)

exp( −

), on a pour tous h > 0 la fonction (x, s) → γ ∗ σ

appartient à l’espace C

( R

× [0, t]) quelque soit γ ∈ L

( R

) et en utilisant l’équation 2.27 et

∂

σ

− 1

2 ∆σ

= 0, on a

| q

(y, t, +) − q

(y, t, +) |

=

Z

Z h

F (q

(x, s)).( − x − y

t − s )σ

(y − x) i

q

(x, s, +) − h F (q

(x, s)).( − x − y

t − s )σ

(y − x) i

q

(x, s, +) . Par convolution avec σ

, h > 0, on a

Z

| q

(y, t, +) − q

(y, t, +) | σ

(x − y)dy ≤ Z

0

Z Z

h F (q

(z, s))q

(z, s, +)

− F (q

(x, s))q

(z, s, +) i

| z − y |

t − s σ

(z − y)σ

(x − y)dzdyds

≤ c Z

0

Z Z

q

(z, s) − q

(z, s)

(t − s)

| z − y |

(t − s)

exp

− (z − y)

4ν

(t − s)

.(2πν

(t − s)) − d/2 exp

− (z − y)

4ν

(t − s)

σ

(x − y)dzdyds

≤ c Z

0

Z

q

(z, s) − q

(z, s)

(t − s)

σ

(z − x)dzds.

De la même façon, on montre que Z

q

(y, t, − ) − q

(y, t, − )

σ

(x − y)dy

≤ c Z

0

Z

q

(z, s) − q

(z, s)

(t − s)

σ

(z − x)dzds.

Par conséquent Z

q

(y, t) − q

(y, t)

σ

(x − y)dy

≤ c Z

0

Z

q

(z, s) − q

(z, s)

(t − s)

σ

(z − x)dzds.

Si on pose

Q(h, t, x) = Z

q

(y, t) − q

(y, t)

σ

(x − y)dy alors

Q(h, t, x) ≤ Z

0

Q(2(t − s) + h, s, x)(t − s)

ds. (2.28)

D’autre part, on a

Q(h, t, x) ≤ ch

. On insère cette inégalité dans (2.28). On obtient

Q(h, t, x) ≤ Z

0

(t − s)

(2(t − s) + h)

ds

≤ c Z

(t − s)

ds + Z

t−h

(t − s)

h

ds

≤ c(h

+ δ

| log h | + 1).

On recommence la même opération et on obtient :

Q(h, t, x) ≤ c(h

+ δ

| log h | + 1).

Finalement en itérant ce procédé jusqu’à l’ordre d + 1, on arrive au résultat suivant : Q(h, t, x) ≤ c uniformément pour h > 0, t ∈ (0, T ], x ∈ R

.

D’autre part

h→0

lim Q(h, t, x) = | q

(x, t) − q

(x, t) | ce qui implique

sup

x∈R^d,t∈(0,T]

q

(x, t) − q

(x, t) < ∞ . De plus pour t ∈ (0, T

] pour chaque i fixé

| q

(y, t) − q

(y, t) | ≤ c Z

0

sup

z∈R^d,v∈(0,T⁰]

q

(z, v) − q

(z, v)

(t − s)

(2πν

(t − s))

.

Z | x − y |

(t − s)

exp

− (x − y)

4ν

(t − s)

exp

− (x − y)

4ν

(t − s)

dx ds

≤ c sup

z∈R^d,v∈(0,T⁰]

q

(z, v) − q

(z, v)

Z

(t − s)

ds

≤ c sup

z∈R^d,v∈(0,T⁰]

q

(z, v) − q

(z, v)

√ T

.

On a cette majoration uniformément pour t ∈ (0, T

], y ∈ R

, d’où sup

z∈R^d,t∈(0,T⁰]

q

(z, t) − q

(z, t)

≤ c sup

z∈R^d,v∈(0,T⁰]

q

(z, v) − q

(z, v)

√ T

. Soit T

< c

, pour ce choix on obtient

sup

z∈R^d,t∈(0,T⁰]

q

(z, t) − q

(z, t) = 0.

On peut procéder pour [T

, 2T

] comme pour (0, T

] précédemment et on arrive enfin au résultat désiré, c’est-à-dire

sup

z∈R^d,t∈(0,T]

q

(z, t) − q

(z, t) = 0.

Ceci achève la démonstration.

Chapitre 3

Estimation de la densité de diffusion

Soit L =

P

i,j=1

a

(x)∂

+ P

i=1

b

(x)∂

l’opérateur différentiel de second ordre sur R

. Les coefficients a

, b

appartiennent à C

( R

) l’espace des fonctions f deux fois dérivables avec f et ses dérivées bornées et ∂

f Hölderiennes d’ordre β ∈ (0, 1). La matrice a(x) est symétrique, de plus on suppose que a(x) ≥ λI

, où λ > 0 et I

est la matrice identité de dimension d. Sous ces conditions (voir [30]), il existe un processus de Markov X

à valeurs dans R

solution de l’équation différentielle stochastique

dX

= a

(X

)dB

+ b(X

)dt.

De plus X admet des densités de transitions G(t, x, y) solution de l’équation aux dérivées partielles suivante :

∂

G(t, s, y) = LG(t, x, y), t > 0, x ∈ R

avec G(0, x, y) = δ(x − y).

3.1 Résultat principal

Le résultat suivant est dû Sheu [30] : 3.1.1 Théorème

Soit g (x) la matrice inverse de a(x). Il existe k

, k

, c

et c

des fonctions positives telles que pour x, y ∈ R

1 (2tπ)

p

deta(y) k

(t) exp

− c

(t)I

(t, x, y)

≤ G(t, x, y) (3.1)

G(t, x, y) ≤ 1 (2tπ)

p

deta(y) k

(t) exp

− c

(t)I

(t, x, y)

(3.2) où

I

(t, x, y) = inf 1

2 Z

0

X

i,j

g

(φ(s)) ˙ φ(s) − b(φ(s))

i

φ(s) ˙ − b(φ(s))

j

ds

φ(0) = x, φ(t) = y

Le résultat principal de ce chapitre est d’obtenir les estimations suivantes : 3.1.2 Théorème (A. Dermoune, S. Filali, 2003 [10])

Si

−∞ < λ

= inf

x∈R^d

inf

|η|=1

h g(x)η, η i ≤ Λ

= sup

x∈R^d

sup

|η|=1

h g(x)η, η i < + ∞ , alors ∀ T > 0, t ∈ ]0, T ], ∀ ε > 0, il existe une fonction δ telle que sup

δ(t, ε) ≤ ε

c

(t) = δ(t, ε) + λ

Λ

, c

(t) =

1 + c( k σ

k

, k ∂

σ

k

)λ

t ou bien δ(t, ε) + Λ

λ

. Ici σ

= a

L’intérêt de ce résultat apparaîtra dans le chapitre qui suit.

3.2 La preuve

Le schéma de la preuve est le même que celui de Sheu. Les outils utilisés sont dûs à Fleming [18].

3.2.1 Transformation logarithmique (Flemming [18] )

Si f ∈ C

( R

), alors la fonction f (t, x) =

Z

G(t, x, y)f(y)dy = E

[f(X

)]

a les propriétés suivantes :

∂

f (t, x), ∂

f (t, x), ∂

f(t, x) sont continues et

∂

f(t, x) = Lf (t, x), t > 0, x ∈ R

, f (0, x) = f(x).

On définit pour y

∈ R

et α > 0, f

(y) =

1

√ 2πα

1

p det a(y

) exp

− 1

2α g

(y

)(y − y

)

(y − y

)

(3.3)

et G

(t, x) = E

[f

(X

)]. Nous avons

α→0

lim G

(t, x) = G(t, x, y

)