Suites numériques - limites

Suites numériques - limites

Définition

soit l un nombre réel, on dit quela suite (x_n)n∈N tend versl si on a

∀ε >0, ∃k ∈N, ∀n ≥k, |x_n−l| ≤ε,

Le nombre l est alors appelélimitede la suite(x_n)n∈N. On note alors

n→+∞lim x_n=l

Vocabulaire

Au lieu de“la suite (xn)n∈N tend vers l” on dit aussi

I “la suite (x_n)n∈N converge versl”

I “la suite (x_n)n∈N admetl pour limite”.

Suites numériques - limites

Définition

on dit quela suite (x_n)n∈N tend vers+∞ si on a

∀M ∈R, ∃k∈N, ∀n≥k, xn≥M,

On note alors

n→+∞lim xn= +∞

Définition

on dit quela suite (x_n)n∈N tend vers−∞ si on a

∀M ∈R, ∃k∈N, ∀n≥k, x_n≤M,

On note alors

n→+∞lim x_n=−∞

Suites numériques - limites

Définition

on dit quela suite (x_n)n∈N tend vers+∞ si on a

∀M ∈R, ∃k∈N, ∀n≥k, xn≥M,

On note alors

n→+∞lim xn= +∞

Définition

on dit quela suite (x_n)n∈N tend vers−∞ si on a

∀M ∈R, ∃k∈N, ∀n≥k, x_n≤M,

On note alors

n→+∞lim x_n=−∞

Suites numériques - limites

Définition

Lorsque la suite(x_n)n∈N n’admet pas de limite, on dit qu’elle est divergente.

Suites numériques - limites

opérations dans R∪ {+∞,−∞}

Par convention, on utilisera les identités :

∀l ∈R, l+ (±∞) =±∞ et l

±∞ =0

(+∞) + (+∞) = +∞ et (−∞) + (−∞) =−∞

∀l >0, l×(+∞) = +∞ et l×(−∞) =−∞

∀l <0, l×(+∞) =−∞ et l×(−∞) = +∞

(±∞)×(±∞) =±∞;

En revanche, les quantités suivantes n’ont a priori pas de sens : (+∞) + (−∞), 0×(±∞), ±∞

±∞, 0 0

Suites numériques - limites

opérations sur les limites

Soit(x_n)n∈N et(y_n)n∈N admettant chacune une limite (réelle, +∞

ou−∞).

Losrque le membre de droite existe, on a les égalités :

I lim

n→+∞(x_n+y_n) = lim

n→+∞x_n+ lim

n→+∞y_n

I lim

n→+∞(x_n×y_n) = lim

n→+∞x_n× lim

n→+∞y_n

I lim

n→+∞

x_n

y_n = lim_n→+∞x_n lim_n→+∞y_n

I si ϕ:N→N est strictement croissante alors

n→+∞lim x_ϕ(n) = lim

n→+∞x_n

Exemple

On considère des combinaisons à partir des suites(n)_n∈N,(2n)_n∈N.

Suites numériques - limites

opérations sur les limites

Soit(x_n)n∈N et(y_n)n∈N admettant chacune une limite (réelle, +∞

ou−∞).

Losrque le membre de droite existe, on a les égalités :

I lim

n→+∞(x_n+y_n) = lim

n→+∞x_n+ lim

n→+∞y_n

I lim

n→+∞(x_n×y_n) = lim

n→+∞x_n× lim

n→+∞y_n

I lim

n→+∞

x_n

y_n = lim_n→+∞x_n lim_n→+∞y_n

I si ϕ:N→N est strictement croissante alors

n→+∞lim x_ϕ(n) = lim

n→+∞x_n

Exemple

On considère des combinaisons à partir des suites(n)_n∈N,(2n)_n∈N.

Suites numériques - limites

opérations sur les limites

Soit(x_n)n∈N et(y_n)n∈N admettant chacune une limite (réelle, +∞

ou−∞).

Losrque le membre de droite existe, on a les égalités :

I lim

n→+∞(x_n+y_n) = lim

n→+∞x_n+ lim

n→+∞y_n

I lim

n→+∞(x_n×y_n) = lim

n→+∞x_n× lim

n→+∞y_n

I lim

n→+∞

x_n yn

= lim_n→+∞x_n limn→+∞yn

I si ϕ:N→N est strictement croissante alors

n→+∞lim x_ϕ(n) = lim

n→+∞x_n

Exemple

On considère des combinaisons à partir des suites(n)_n∈N,(2n)_n∈N.

Suites numériques - limites

opérations sur les limites

Soit(x_n)n∈N et(y_n)n∈N admettant chacune une limite (réelle, +∞

ou−∞).

Losrque le membre de droite existe, on a les égalités :

I lim

n→+∞(x_n+y_n) = lim

n→+∞x_n+ lim

n→+∞y_n

I lim

n→+∞(x_n×y_n) = lim

n→+∞x_n× lim

n→+∞y_n

I lim

n→+∞

x_n yn

= lim_n→+∞x_n limn→+∞yn

I si ϕ:N→N est strictement croissante alors

n→+∞lim x_ϕ(n) = lim

n→+∞x_n

Exemple

On considère des combinaisons à partir des suites(n)_n∈N,(2n)_n∈N.

Suites numériques - limites

comparaison des limites

Soit(x_n)n∈N et(y_n)n∈N deux suites telles que

∃n₀ ∈N, ∀n≥n₀, x_n≤y_n

Alors :

I si ces deux suites admettent une limite (réelle, ±∞) alors

n→+∞lim x_n ≤ lim

n→+∞y_n

I si lim

n→+∞x_n= +∞ alors : lim

n→+∞y_n= +∞

I si lim

n→+∞y_n=−∞ alors : lim

n→+∞x_n=−∞

Suites numériques - limites

Remarque

Attention : le passage à la limite ne conserve pas l’inégalité stricte, c’est-à-dire qu’on peut avoirx_n<y_n à partir d’un certain rang et

n→+∞lim x_n= lim

n→+∞y_n. Exemple

Pour tout entiern∈Non a 0< 1

n+1 mais

n→+∞lim 0= lim

n→+∞

1

n+1 =0.

Exemple

On considère la suite(aⁿ)n∈N poura>1, puis la suite(x_n)n≥1 de terme général xn=1+ 1

√2+. . .+ 1

√n =

n

X

i=1

√1 k.

Suites numériques - limites

Remarque

Attention : le passage à la limite ne conserve pas l’inégalité stricte, c’est-à-dire qu’on peut avoirx_n<y_n à partir d’un certain rang et

n→+∞lim x_n= lim

n→+∞y_n. Exemple

Pour tout entiern∈Non a 0< 1

n+1 mais

n→+∞lim 0= lim

n→+∞

1

n+1 =0.

Exemple

On considère la suite(aⁿ)n∈N poura>1, puis la suite(x_n)n≥1 de terme général xn=1+ 1

√2+. . .+ 1

√n =

n

X

i=1

√1 k.

Suites arithmétiques

Suites arithmétiques

Soit(x_n)n∈N= (a n+b)n∈N aveca6=0, alors

I si a>0, alors lim

n→+∞x_n= lim

n→+∞an+b= +∞

I si a<0, alors lim

n→+∞x_n= lim

n→+∞an+b=−∞

I la somme desn+1 premiers termes de la suite (x_n)n∈Nest x₀+. . .+x_n =

n

X

k=0

x_k =

n

X

k=0

(ak+b) = n(n+1)

2 a+ (n+1)b

Exemple

Calculer la somme des n+1 premiers entiers pairs : 0+2+4+. . .+2n.

Suites arithmétiques

Suites arithmétiques

Soit(x_n)n∈N= (a n+b)n∈N aveca6=0, alors

I si a>0, alors lim

n→+∞x_n= lim

n→+∞an+b= +∞

I si a<0, alors lim

n→+∞x_n= lim

n→+∞an+b=−∞

I la somme desn+1 premiers termes de la suite (x_n)n∈Nest x₀+. . .+x_n=

n

X

k=0

x_k =

n

X

k=0

(ak+b) = n(n+1)

2 a+ (n+1)b

Exemple

Calculer la somme des n+1 premiers entiers pairs : 0+2+4+. . .+2n.

Suites géométriques

Suites géométriques

Soit(x_n)n∈N= (c qⁿ)n∈N avecq6=0 etq6=1 etc 6=0, alors

I si q>1 etc >0, alors lim

n→+∞x_n= lim

n→+∞c qⁿ= +∞

I si q>1 etc <0, alors lim

n→+∞x_n= lim

n→+∞c qⁿ=−∞

I si q∈]−1,1[, alors lim

n→+∞x_n= lim

n→+∞c qⁿ=0

I si q≤ −1, alors la suite (x_n)n∈N diverge

I la somme desn+1 premiers termes de la suite (x_n)n∈Nest x₀+. . .+x_n=

n

X

k=0

x_k =

n

X

k=0

c qⁿ= qⁿ⁺¹−1 q−1 c

Suites géométriques

Suites géométriques

Soit(x_n)n∈N= (c qⁿ)n∈N avecq6=0 etq6=1 etc 6=0, alors

I si q>1 etc >0, alors lim

n→+∞x_n= lim

n→+∞c qⁿ= +∞

I si q>1 etc <0, alors lim

n→+∞x_n= lim

n→+∞c qⁿ=−∞

I si q∈]−1,1[, alors lim

n→+∞x_n= lim

n→+∞c qⁿ=0

I si q≤ −1, alors la suite (x_n)n∈N diverge

I la somme desn+1 premiers termes de la suite (x_n)n∈Nest x₀+. . .+x_n=

n

X

k=0

x_k =

n

X

k=0

c qⁿ= qⁿ⁺¹−1 q−1 c

Suites arithmético-géométriques

Exemple

Calculer la somme 1+1 2+ 1

4+. . .+ 1 2ⁿ =

n

X

k=0

1

2^k. Quelle est la limite de cette somme ?

Exemple

Une population microbienne augmente de 10%toutes les heures.

On l’observe initialement avec 200 individus. Combien d’heures s’écouleront pour atteindre 10000 individus ?

Suites - limites classiques

I Quotient de deux polynômes :

n→+∞lim

a_kn^k +a_k−1n^k−1+. . .+a₀

b_ln^l +b_l−1n^l−1+. . .+b₀ = lim

n→+∞

a_kn^k

b_ln^l = lim

n→+∞

a_k b_l n^k−l et on obtient que cette limite vaut :

I 0 sik<l

I a_k

b_k si k=l

I +∞sik>l etak du même signe quebl I −∞sik<l etak du signe contraire debl

Suites - limites classiques

I limites associées aux fonctions ln et exp:

n→+∞lim ln 1

n

=−∞; lim

n→+∞ln(n) = +∞;

n→+∞lim e⁻ⁿ=0; lim

n→+∞eⁿ= +∞

n→+∞lim n ln

1+1 n

=1; lim

n→+∞

1+α

n n

=e^α

I limites associées aux fonctions cos et sin :

n→+∞lim n sin 1

n

=1; lim

n→+∞n

cos 1

n

−1

=0

Suites - limites classiques

I limites associées aux fonctions ln et exp:

n→+∞lim ln 1

n

=−∞; lim

n→+∞ln(n) = +∞;

n→+∞lim e⁻ⁿ=0; lim

n→+∞eⁿ= +∞

n→+∞lim n ln

1+1 n

=1; lim

n→+∞

1+α

n n

=e^α

I limites associées aux fonctions cos et sin :

n→+∞lim n sin 1

n

=1; lim

n→+∞n

cos 1

n

−1

=0

Suites - limite et monotonie

Définition

Une suite(x_n)n∈N est dite croissante à partir du rang n₀ si

∀n≥n₀, x_n+1 ≥x_n.

Une suite(x_n)n∈N est dite décroissante à partir du rang n₀ si

∀n≥n0, xn+1 ≤xn.

Une suite estmonotonesi elle est croissante ou décroissante à partir d’un certain rang.

Exemple

Cas des suites arithmétiques et géométriques.

Suites - limite et monotonie

Définition

Soit M un nombre réel. Une suite(x_n)n∈N est ditemajorée par M si tous ses termes sont inférieurs ou égaux à M :

∀n∈N, x_n≤M.

La suite(x_n)n∈N est dite minorée par M si tous ses termes sont supérieurs ou égaux à M :

∀n∈N, x_n≥M.

La suite(x_n)n∈N est dite bornéesi la suite (|x_n|)_n∈Nest majorée.

Exemple

Exemple de la suite(1+ (−1)ⁿ)n∈N.

Suites - limite et monotonie

Théorème (Limites des suites croissantes)

Soit(x_n)n∈N une suite croissante à partir d’un certain rang.

On a alors l’alternative :

I Soit la suite (x_n)n∈N est majorée par un réel M, auquel cas la suite(x_n)n∈N admet une limite finie et

n→+∞lim x_n ≤ M

I Soit la suite (x_n)n∈N n’est pas majorée, auquel cas la suite (x_n)n∈N tend vers+∞.

Exemple

On démontre que la suite(x_n)n∈N de terme généralx_n=

n

X

k=1

1 k! est convergente.

Suites - limite et monotonie

Théorème (Limites des suites décroissantes)

Soit(x_n)n∈Nune suite décroissante à partir d’un certain rang, alors

I Soit la suite (x_n)n∈N est minorée par un réelM, auquel cas la suite(x_n)n∈N admet une limite finie et

n→+∞lim x_n ≥ M

I Soit la suite (x_n)n∈N n’est pas minorée, auquel cas la suite (xn)n∈N tend vers−∞.

Théorème des gendarmes

Théorème (“des gendarmes”)

Soit(xn)n∈N,(yn)n∈N et(zn)n∈N trois suites numériques pour lesquelles on ax_n≤y_n≤z_n à partir d’un certain rang :

∃n₀ ∈N, ∀n≥n₀, x_n≤y_n≤z_n

On suppose que les deux suites(x_n)n∈N et(z_n)n∈N convergent vers une limite finiel ∈R:

n→+∞lim x_n= lim

n→+∞z_n=l Alors la suite(yn)n∈N converge versl : lim

n→+∞yn=l.

Exemple

On considère la suite

(−1)ⁿ n

n∈N

.

Suites adjacentes

Théorème (Suites adjacentes)

Soit(x_n)n∈N et(y_n)n∈N deux suites numériques. On suppose :

I la suite(x_n)n∈N est croissante,

I la suite(y_n)n∈N est décroissante,

I la suite(x_n−y_n)n∈N tend vers 0 : lim

n→+∞(x_n−y_n) =0.

Alors les deux suites(x_n)n∈Net (y_n)n∈N sont ditesadjacentes, elles sont toutes deux convergentes et ont la même limite finie :

n→+∞lim x_n = lim

n→+∞y_n et de plus on ax_n≤y_n pour tout entiern.

Suites adjacentes

Exemple

On considère les suites(x_n)n≥1 et(y_n)n≥1 de terme général x_n =

n

X

k=1

1

k² et y_n=x_n+1 n

On démontre que ces deux suites sont adjacentes, donc la suite (x_n)n∈N est convergente.

Suites récurrentes

Définition

Une suite(x_n)n∈N est dite récurrentesi il existe une fonction numérique f :R→Rtelle que (x_n)n∈Nest définie par leprocessus itératif(ourelation de récurrence) suivant :

x₀ fixé

pour tout n≥0, x_n+1 =f(x_n).

Exemple

La suite arithmétique de premier termeb et de raisona est caractérisée par la relation de récurrence

x₀ = b

pour toutn ≥0, x_n+1 =x_n+a

C’est une suite récurrente associée à la fonctionf :x 7→x +a.

Suites récurrentes

Théorème (Limite d’une suite récurrente)

Soit(x_n)n∈N une suite récurrente définie parx_n+1 =f(x_n).

On suppose que(x_n)n∈N tend vers une limite finie l et que f est continue au pointl.

Alorsl est un point fixedef, c’est-à-diref(l) =l.

Exemple

La méthode de Héron pour calculer la racine carrée d’un nombre a>0 consiste à calculer les termes de la suite récurrente associée à la fonctionf(x) = 1

2

x +a x

.