Modélisationcontinueàl’échelledugrain CHAPITRE VII

CHAPITRE VII

Modélisation continue à l’échelle du grain

Au chapitre précédent, nous présentons un modèle d’évaporation en milieu poreux qui suit l’approche discrète. Ce modèle présente cependant plusieurs défauts pour l’étude de problèmes appliqués, dont deux nous semblent limitant à l’heure actuelle :

– le modèle est complexe de mise au point et d’interprétation. De plus, l’impact de certaines hypothèses sous jacentes n’est pas encore bien maitrisé,

– une puissance de calcul importante est nécessaire pour permettre la simulation de milieux poreux de taille significative [151]. A l’heure actuelle, les modèles sont limités à quelques dizaines de milliers de pores. Ce nombre permet déjà l’étude de sujets variés. Il reste malgré tout limitant pour une large gamme d’applications.

Ces deux problèmes seront sans aucun doute résolus à l’avenir, d’une part par l’avancée de la recherche dans le domaine et d’autre part par l’augmentation de la puissance de calcul disponible.

Face à ces limitations, il est assez naturel de se tourner vers l’autre approche de modélisa- tion : l’approche continue. Elle permet, au travers de la définition de propriétés moyennes sur un volume élémentaire, de décrire les phénomènes impliqués suivant les formalismes habituel- lement utilisés dans des milieux continus. Bien que rarement resolvables analytiquement, ces équations peuvent être simplifiées, permettant l’obtention de résultats sans avoir forcement recours à une puissance de calcul importante. Il est également possible de définir des modèles continus extrêmement complets et complexes [152]. Cet état de fait est illustré par l’abondance de la littérature sur le sujet [121].

L’application des deux approches combinées permet de tirer parti des forces de chacune.

Dans le cadre de ce travail, nous nous limitons à des modèles continus simples pour lesquels nous fixons un mécanisme de transfert limitant. Le modèle par réseau de pores, basé sur un nombre plus restreint d’hypothèses à ce niveau, nous permet, dans le mesure du possible, d’identifier un modèle continu simple applicable.

Nous présentons maintenant quelques éléments bien connus concernant la définition d’un volume élémentaire représentatif (V.E.R.). Nous les utilisons pour esquisser une vérification de validité de cette approche pour la modélisation de grains de PVC et de levure. De là, nous présentons trois modèles continus simples. Chacun de ces modèles correspond à un cas particulier :

modèle à isotherme : le transport de matière interne au grain n’est pas limitant. L’évapora-

fait, l’isotherme de désorption peut être utilisé pour caractériser le séchage.

modèle à front pénétrant : le séchage est divisée en deux phases successives. Dans la pre- mière, la surface est saturée en humidité. La vitesse de séchage est alors limitée par le transport de matière externe au grain. Dans la seconde, l’interface gaz-liquide s’enfonce progressivement et de manière uniforme dans le solide. Une limitation liée au transport de matière par diffusion en phase gazeuse dans le grain s’ajoute donc à celle liée au transport de matière externe.

modèle à surface d’échange variable : le séchage est également divisée en deux phases suc- cessives. La première étape est la même que pour le modèle à front pénétrant. Dans la seconde, la fraction de saturation diminue uniformément dans le grain. La diminution locale de saturation se traduit par une diminution de la surface d’échange.

VII.1 Evaluation d’un volume élémentaire représentatif

L’approche continue se base sur la résolution d’équations de transport pour des grandeurs moyennant les informations locales dans le milieu poreux. Le calcul d’une grandeur moyenne doit être réalisé sur un certain domaine, le volume élémentaire. La valeur moyenne obtenue doit être réprésentative de la propriété recherchée [1]. Il faut donc que le volume choisi ne soit pas trop petit, pour ne pas être représentatif que d’une information locale, ni trop grand, pour ne pas inclure de variations macroscopiques des grandeurs étudiées. Pour pouvoir appliquer l’approche continue, il doit donc exister une gamme de volumes représentatifs compris entre ces deux extrêmes [153].

Pour chaque grandeur moyennée, nous pouvons en théorie définir une telle gamme. L’ap- proche continue n’est applicable que s’il existe un volume commun appartenant à toutes les gammes des V.E.R. considerés. Pratiquement, l’évaluation de ces volumes représentatifs n’est pas aisée, puisqu’elle nécessite une connaissance des propriétés locales du milieu. Certains cal- culs simplifiés sont cependant possibles. Nous l’illustrons sur le calcul d’un V.E.R. pour la porosité [154].

VII.1.1 Calcul d’un V.E.R. pour la porosité

Considérons un volume élémentaire divisé enC_{V ER} éléments de volume V constant. Cha- cun de ces éléments est tel qu’il contient uniquement du solide ou du fluide. La fonction mathématique indicatriceI (x)exprime la présence de fluide ou de solide dans le volumex :

I (x) =

(1 si x est fluide

0 si x est solide (VII.1)

Nous assignons la valeur de cette fonction indicatrice suivant une loi de Bernoulli [155] : P (I (x) = 1) = (VII.2) P (I (x) = 0) =1 (VII.3) où

– la fonctionP (X) exprime la probabilité de l’événementX, – est la porosité du milieu.

Fig. VII.1 – Variance de l’estimée de la porosité en fonction du nombre d’éléments pris en compte pour différentes porosités.

Moyenner la fonction I (x) sur l’ensemble du domaine nous donne donc une estimée de la porosité du milieu e. L’inégalité de Chebyschev majore la probabilité que l’écart entre cette estimée et la valeur réelle de la porosité soit inférieur à une valeurC_err [155] :

P (je j Cerr) < ²

e

C_err² (VII.4)

où²

e est la variance de l’estimée de la porosité. Elle est approchée par l’expression [154] : ²

e = (1 ) C_{V ER}



C_{V ER}+

CV ER

X

i=1 CV ER

X

j=1

exp

h_ijS 4V (1 )



 (VII.5)

où

– h_ij est la distance entre les éléments i etj,

– S est l’aire interfaciale fluide/solide dans le volume étudié.

Si nous considérons que le volume élémentaire est un cube composé lui-même de C_{V ER} élé- ments cubiques, nous pouvons calculer ²

e. La figure VII.1 nous donne donc la variance de l’estimée de la porosité en fonction du nombre d’élements pris en compte. Si nous fixons une erreur admissibleCerr et la probabilité maximale que cette erreur survienne, nous pouvons en déduire le nombre d’éléments à prendre en compte dans un V.E.R. Pour que la loi de Bernoulli permette une description aussi proche que possible de la structure poreuse, un élément doit avoir un volume comparable à celui d’un poreV_pore. La longueur du côté d’un V.E.R., L_{V ER}, est donc donnée par

L_{V ER} =p³

C_{V ER}V_pore (VII.6)

Nous fixons Cerr = 0; 025et nous tolérons une probabilité de 5 % de dépassement de cet erreur. Suivant (VII.4), nous avons alors ²

e = 3; 125 10 ⁵. Pour la levure, de porosité 0,6 et dont les pores font de l’ordre de 5 m de diamètre, la figure VII.1 nous indique que nous avons besoin de 9000 éléments, et donc, d’après l’équation (VII.6) d’une longueur de 105m. Un grain faisant un millimètre de diamètre, nous pouvons donc considérer qu’il est possible de définir une porosité locale dans le grain. Rappelons que la fonction d’autocorrélation appliquée (au point IV.3) aux images obtenues par microtomographie mène à une évaluation d’un V.E.R.

valant approximativement 100mde côté. Ces deux valeurs sont donc bien cohérentes entre- elles.

Pour le PVC, le calcul est rendu plus complexe de par l’existence de plusieurs tailles de pores. Nous supposons cependant qu’en prenant nos éléments constitutifs du V.E.R d’une taille comparable aux plus grands pores, nous pouvons obtenir une moyenne satisfaisante. Pour une porosité de 0,2, 18000 éléments sont nécessaires. Pour des pores de 1m, la longueur minimale d’un V.E.R vaut donc 26,5m. Les grains faisant 160 mde diamètre, nous sommes donc à la limite de validité de l’approche.

VII.1.2 Application à la fraction de saturation

Nous pouvons étendre ce calcul à une autre grandeur, fréquemment utilisée lorsque deux fluides sont présents dans le milieu : la fraction de saturation . Nous la définissons comme étant la fraction de l’espace poreux remplie de liquide :

= V_l

V_l+ V_g = V_l V_tot

1

(VII.7)

où V_l, V_g et V_tot sont respectivement le volume de liquide, le volume de gaz et le volume total du grain. La démarche présentée pour la porosité peut être appliquée au rapport _V^Vl

tot. Les deux ensembles répartis aléatoirement ne sont plus le fluide et le solide mais bien le liquide et l’union du gaz et du solide. Une diminution de la fraction de saturation peut représenter deux situations :

1. l’existence de pores partiellement remplis de liquide,

2. la coexistence dans le volume élémentaire de pores remplis de liquide et de pores remplis de gaz.

Dans le premier cas, la méthode d’évaluation du V.E.R. doit être modifiée. En effet, une description aléatoire de la position du liquide n’est plus du tout adaptée.

Dans le second cas, le calcul réalisé pour la porosité reste d’application. Un V.E.R. obtenu pour la porosité offre une précision à peu près équivalente pour l’évaluation de _V^Vl

tot. Or, est le rapport entre _V^Vl

tot et . L’erreur relative sur est donc la somme des erreurs relatives sur

Vl

Vtot et . En première approximation, nous pouvons donc supposer que l’erreur est doublée.

Maintenir la même précision pour l’évaluation de la fraction de saturation que celle que nous avons choisie précédemment pour la porosité donne les longueurs de V.E.R. de 163m pour la levure et de 46m pour le PVC. Les conclusions restent donc similaires. Notons que nous ne disposons pas d’une large gamme de V.E.R. dans le cas du PVC. Certaines méthodes de productions mènent à des grains de PVC similaires mais présentant un rayon de 50m [18].

Dans ce cas, l’approche continue semble difficilement applicable.

VII.2 Modèles continus simplifiés

Nous venons de voir que, dans les deux cas pratiques qui nous intéressent, l’approche conti- nue semble pouvoir être utilisée. Nous présentons maintenant quelques modèles simples qui, s’ils ne sont pas explicitement des modèles basés sur la définition d’un V.E.R., supposent impli- citement que certaines équations de la mécanique des milieux continus peuvent être appliquées pour les milieux poreux que nous étudions.

De manière générale, un modèle nous donne le taux d’évaporation global d’un système.

Les modèles que nous présentons ici se ramènent tous à une expression de la forme :

J = kS (_{vint vext}) (VII.8) où

– J est le taux d’évaporation,

– k est un coefficient de transfert de matière, – S est la surface d’évaporation,

– (_{vint vext})est la force motrice de l’évaporation, exprimée sous la forme d’une diffé- rence de densité de vapeur entre l’interface et un milieu extérieur.

Les trois modèles que nous présentons maintenant expriment ces différents termes de manières variées.

VII.2.1 Modèle à isothermes

Nous présentons au point V.4.1 un modèle d’un film mince stagnant s’évaporant au travers d’une couche de diffusion d’épaisseur fixéeL_D. Nous pouvons y voir une décroissance du taux

d’évaporation lorsque l’épaisseur du film diminue. La pression de disjonction y est utilisée pour modéliser les forces d’attractions existant entre le solide et le liquide. Une autre manière d’exprimer ces interactions passe par l’utilisation des isothermes de sorption. Le modèle qui en résulte se base sur une équation tout à fait similaire à l’équation (VII.8). Le coefficient de transfert de matière est alors exprimé par :

k = D

L_D (VII.9)

oùD est le coefficient de diffusion. La valeur de la masse volumique de vapeur à l’interface _vint est déduite de l’expression de l’isotherme de sorption. Nous utilisons l’équation (III.10) du modèle GAB pour exprimer l’isotherme :

X = X_monoC_GAB1C_GAB2a_eau

(1 C_GAB2a_eau) (1 C_GAB2a_eau+ C_GAB1C_GAB2a_eau) (VII.10) où

– X_mono,C_GAB1 etC_GAB1 sont les 3 paramètres du modèle,

– X est la quantité d’eau comprise dans le solide, exprimée en kilogramme d’eau par kilo de solide sec,

– aeau est l’activité en eau.

Cette dernière peut s’exprimer en terme de densité de vapeur en tenant compte de la définition de l’activité de l’eau, donnée par l’équation (III.9) :

a_eau = _vint

_sat (VII.11)

oùsat est la masse volumique de vapeur saturante. Pratiquement il est nécessaire d’inverser l’équation (VII.10).

Historiquement, ce modèle a été largement employé pour modéliser le séchage. La grandeur X est : [156]

– soit la teneur moyenne en eau du solide,

– soit la teneur locale en eau à l’endroit où se produit l’évaporation, généralement la sortie du milieu poreux. L’approche suivie classiquement passe par une modélisation du transport d’eau au travers d’une équation de diffusion dans tout le milieu poreux :

@X

@t = D_{ef f}r²X (VII.12)

où

– r² est l’opérateur Laplacien,

– D_{ef f} est le coefficient de diffusion effective, parfois considéré comme fonction de X. De nombreux reproches peuvent être fait à ce modèle. Tout d’abord concernant le choix de l’équation de transport dans le milieu poreux. Cette approche, antérieure à la notion de V.E.R., exprime le transport de matière dans le milieu poreux à l’aide d’une équation relativement arbitraire, et masque en définitive la majorités des phénomènes physiques impliqués dans le coefficientDef f. L’application d’une démarche rigoureuse basée sur le V.E.R. ne mène pas, de manière générale, à une équation de diffusion [36]. Les phénomènes qui doivent être pris en compte sont beaucoup plus variés.

Nous abandonnons donc l’équation de diffusion et considérons uniquement le cas oùX est l’humidité moyenne du solide. Une telle hypothèse revient à supposer que le transport dans

Fig.VII.2 – Schéma du modèle à front pénétrant.

le grain est suffisamment rapide par rapport à l’évaporation pour qu’une humidité moyenne uniforme soit observable. Le phénomène limitant est alors uniquement l’évaporation.

Si nous présentons ce modèle, c’est essentiellement en guise de comparaison aux autres modèles. Malgré ses nombreux défauts, le modèle basé sur les isothermes reste largement utilisé dans le domaine agro-alimentaire en tant que modèle général. La littérature récente (par exemple en 2008 : [157], [158]) continue à s’en servir malgré le fait que ses limitations aient été largement démontrées. Pour la levure, il s’agit de la seule approche de modélisation existante. Tout au plus, certains auteurs mettent-ils en avant la nécessité de prendre en compte les phénomènes de transport dans les grains [45].

VII.2.2 Modèle à front pénétrant

Le modèle front pénétrant est appelé ainsi par analogie au modèle utilisé classiquement en génie de la catalyse [42]. Il attribue l’existence des deux étapes successives de séchage à deux phénomènes limitants différents.

Pendant l’étape à vitesse constante, le séchage est limité par l’évaporation en surface du milieu poreux. Le transport à l’intérieur du grain assure l’arrivée constante d’eau en surface, maintenant la masse volumique de vapeur de la surface égale à la valeur de saturation (vint = _sat). La fraction de saturation du milieu diminue uniformément dans le solide. Nous pouvons la relier à l’humidité totale dans le solide :

= X

X₀ (VII.13)

Cette étape prend fin lorsque l’humidité critique est atteinte. La fraction de saturation du milieu atteint la valeur_cri = ^X_X^cri₀ .

Pendant l’étape à vitesse décroissante, le transport dans le grain n’est plus suffisant pour maintenir en surface une masse volumique de vapeur égale à la saturation. Le front d’éva- poration n’est plus situé en surface, mais se situe dans le solide, à une distance uniforme de la sortie du milieu. Dans la région entre ce front et la sortie du milieu, la fraction de satura- tion est égale à une valeur résiduelle_res. Cette valeur correspond à la teneur en eau restant dans le milieu lorsque plus aucune évaporation n’est observée. Dans la région au delà du front d’évaporation, vers l’intérieur du solide, la saturation est uniforme, constante dans le temps et égale à_cri. Le phénomène limitant est la combinaison du transfert de matière externe, et de la diffusion de la vapeur dans les pores du milieu. L’évaporation entraîne un retrait progressif du front d’évaporation vers le centre du grain, augmentant ainsi progressivement la résistance au transfert de matière.

Le taux d’évaporation est exprimé par l’équation (VII.8). Selon l’étape du séchage, nous adaptons l’expression de k. Pendant l’étape de séchage à vitesse constante, k présente une valeur constante k_ext et la surface du grain est saturée en vapeur (_vint = _sat). Pendant l’étape de séchage à vitesse décroissante,kest le résultat de la mise en série de deux résistances au transfert de matière. Une composante internek_intra vient se combiner à k_ext suivant :

1 k = 1

kext + 1

k_intra (VII.14)

Pour exprimer cette composante, considérons un grain sphérique, concentrique au front péné- trant, lui aussi sphérique. Cette situation est illustrée sur la figure VII.2. La surface du front pénétrant présente une masse volumique de vapeur correspondant à la saturation. Cette va- peur diffuse vers l’extérieur au travers un milieu de tortuosité . Comme au chapitre V, nous

supposons que le front d’évaporation est quasi-stationnaire et donc que le profil de pression de vapeur est le profil stationnaire obtenu en fixant la position du front. Dans ce cas, l’équation de diffusion en coordonnées sphériques a pour solution une équation de la forme :

v = C₁

r + C2 (VII.15)

oùr est la coordonnée radiale et C1 et C2 sont des constantes d’intégration. En considérant comme conditions aux limites :

– une masse volumique de saturation de vapeur sat au niveau du front d’évaporation (r = L_l),

– une masse volumique de vapeur fixéevint en sortie du grain (r = Lgrain).

Cette équation devient

_v = _{sat vint} 1

Ll

Lgrain1

r +L_svint L_lsat

Lgrain Ll (VII.16)

Remarquons que cette expression tient compte implicitement de la variation de l’aire du front d’évaporation lorsque celui-ci s’enfonce dans le grain.

Le taux d’évaporation au niveau de la sortie du grain s’écrit [47]

J = S_grainD

d_v dr

r=Lgrain

(VII.17) où la tortuosité du milieu etS_grainest la surface externe du grain. En introduisant l’équation (VII.16) dans l’expression (VII.17) nous obtenons :

J = S_graink_intra(_{sat vint}) (VII.18) avec

k_intra=

_L^D2 grain

L1l

Lgrain1

(VII.19) En combinant l’équation (VII.18) avec l’expression (VII.8) du taux d’évaporation traversant la couche de diffusion externe, nous pouvons éliminer_vint. Nous obtenons alors l’équation

J = kSgrain(sat vext) (VII.20) où k est donné par l’équation (VII.14) de la combinaison des deux résistances. L’expression de kintra fait intervenir la distance entre le centre du grain et le front d’évaporation. Nous pouvons relier cette grandeur à la quantité d’eau comprise dans le grain :

L_l L_grain = ³

s X Xres

X_cri X_res (VII.21)

L’expression dekintra est alors :

k_intra=

_L^D_grain q3

Xcri Xres

X Xres 1 (VII.22)

VII.2.3 Modèle à surface d’évaporation variable

Le dernier modèle que nous présentons est très similaire dans sa conception au modèle à front pénétrant. La phase à vitesse constante est exprimée de la même manière. Pour la phase à vitesse décroissante, nous prenons une hypothèse différente. Les phénomènes de transport interne au grain restent suffisamment efficaces que pour maintenir une fraction de saturation uniforme dans tout le grain. Cependant cette fraction n’est plus suffisante que pour maintenir une pression de vapeur saturante en surface du grain. Seule une fraction de la surface reste saturée. Cette fraction est proportionnelle à la fraction de saturation. Nous supposons de plus que l’évaporation à partir des autres régions est négligeable.

Dans ce cas, le taux d’évaporation est toujours donné par l’équation (VII.8), avec_vint = sat et une surface

S = S_grain X X_res

X_cri Xres (VII.23)

où, comme dans le modèle à front pénétrant, nous considérons qu’il reste une humiditéX_res en fin d’opération.

VII.3 Conclusion pour la modélisation continue à l’échelle du grain

La modélisation par l’approche continue moyenne les grandeurs locales du milieu poreux pour mener à une description analogue à celle d’un milieu continu. Pour que les moyennes calculées soient réellement représentatives de la structure, il est nécessaire qu’elles soient cal- culées sur des régions de volume suffisant, les V.E.R. Nous présentons un calcul simplifié de la taille du V.E.R. pour la porosité et la fraction de saturation. Nous vérifions que les grains de PVC et de levure que nous modélisons par la suite ont une taille suffisante que pour permettre l’application de ces V.E.R. Ce calcul reste cependant fort approximatif.

Ensuite, nous présentons trois modèles continus simples. Le premier suppose que l’évapo- ration est limitée par les interactions physico-chimiques entre la paroi du solide et le liquide.

Il se base pour cela sur les isothermes de désorption. Ce modèle, souvent utilisé à tort, est présenté pour être comparés aux deux autres.

Le modèle à front pénétrant tient compte de l’existence successive de deux étapes marquées par des limitations du transfert de matière différentes. La première étape est limitée par le transfert de matière externe au solide. Dans la seconde, la résistance au transfert de matière entre le front d’évaporation, qui s’enfonce dans le milieu, et l’extérieur du milieu poreux vient s’ajouter à la résistance externe.

Le modèle à surface d’évaporation variable reprend la même division en étapes ainsi que le mécanisme de la première étape. La seconde étape est, elle, caractérisée par une fraction de saturation constante dans tout le solide. La diminution de celle-ci entraîne une diminution de la surface participant à l’évaporation.

Ces différents modèles doivent maintenant être couplés à un modèle à l’échelle du réacteur pour être appliqués au séchage de PVC et de levure.