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Nombre maximal d’hyperplans instables pour un fibré de Steiner
Jean Vallès
To cite this version:
Jean Vallès. Nombre maximal d’hyperplans instables pour un fibré de Steiner. Mathematische
Zeitschrift, Springer, 2000. �hal-01991069�
Nombre maximal d’hyperplans instables pour un fibr´e de Steiner
Jean Vall` es Algebraic Geometry
R ´ ESUM ´ E — Soit S
n,kla famille des fibr´ es de Steiner S sur P
nd´ efinis par une suite exacte (k > 0) 0 → kO
Pn(−1) −→ (n + k)O
Pn−→ S → 0
Nous montrons le r´ esultat suivant : Soient S ∈ S
n,ket H
1, · · · , H
n+k+2des hyperplans distincts tels que h
0(S
∨Hi
) 6= 0. Alors il existe une courbe rationnelle normale C
n⊂ P
∨ntelle que H
i∈ C
npour i = 1, ..., n + k + 2 et S ' E
n+k−1(C
n), o` u E
n+k−1(C
n) est le fibr´ e de Schwarzenberger sur P
nappartenant ` a S
n,kassoci´ e ` a la courbe C
n⊂ P
∨n.
On en d´ eduit qu’un fibr´ e de Steiner S ∈ S
n,k, s’il n’est pas un fibr´ e de Schwarzenberger, poss` ede au plus (n + k + 1) hyperplans instables; ceci prouve dans tous les cas un r´ esultat de Dolgachev et Kapranov ([DK], thm. 7.2) concernant les fibr´ es logarithmiques.
ABSTRACT — Let S
n,kdenote the family of Steiner’s bundle S on P
ndefined by the exact sequence (k > 0)
0 → kO
Pn(−1) −→ (n + k)O
Pn−→ S → 0
We show the following result : Let S ∈ S
n,kand H
1, · · · , H
n+k+2distincts hyperplanes such that h
0(S
H∨i) 6= 0. Then it exists a rational normal curve C
n⊂ P
∨nsuch that H
i∈ C
nfor i = 1, ..., n + k + 2 and S ' E
n+k−1(C
n), where E
n+k−1(C
n) is the Schwarzenberger’s bundle on P
nwhich belongs to S
n,kassociated to C
n⊂ P
∨nIt implies that a Steiner’s bundle S ∈ S
n,k, if it isn’t a Schwarzenberger’s bundle, possesses no more than (n + k + 1) unstable hyperplanes; this proves in any case a result of Dolgachev and Kapranov ([DK], thm 7.2) about logarithmic bundles.
1 Introduction
Soient H = {H 1 , · · · , H n+k+1 } un arrangement de (n + k + 1)-hyperplans de P n = P n (C) (on dira aussi par abus de langage qu’un hyperplan H de P n est un point de P ∨ n ) en position lin´ eaire g´ en´ erale et E(H) = Ω P
n(log S
H i ) le fibr´ e logarithmique associ´ e ` a H (i.e.
le fibr´ e vectoriel des 1-formes diff´ erentielles sur P n ` a pˆ oles logarithmiques sur le diviseur S H i , voir [De]). Dans [DK] les auteurs montrent que E(H) ∈ S n,k (th´ eor` eme 3.5) o` u S n,k est la famille des fibr´ es de Steiner S d´ efinis par une suite exacte
0 → kO P
n(−1) −→ (n + k)O P
n−→ S → 0
Dolgachev et Kapranov conjecturent que pour k > 0 l’association H → E(H) est bijective
sauf si H ∈ C n o` u C n ∈ P ∨ n est une courbe rationnelle normale; dans ce cas le fibr´ e loga-
rithmique est le fibr´ e de Schwarzenberger E n+k−1 (C n ) ([Sch1]) associ´ e ` a C n . Ils montrent
ce r´ esultat pour k ≥ n + 2, en ´ etudiant les droites de saut de E (H) (th´ eor` eme 7.2, dit de Torelli).
Dans cet article nous prouvons ce r´ esultat pour tout k > 0 (corollaire 3.1). Notre preuve repose sur l’´ etude des restrictions de E(H), non pas aux droites, mais aux hyperplans de P n . En effet il r´ esulte de [DK] prop.2.3 que h 0 (E(H) ∨ H
i
) 6= 0 pour i = 1, · · · , n + k + 1.
Plus g´ en´ eralemment on d´ efinit dans P ∨ n l’ensemble W (S) des hyperplans instables d’un fibr´ e de Steiner S ∈ S n,k de la mani` ere suivante
H ∈ W (S) ⇔ h 0 (S H ∨ ) 6= 0
Le r´ esultat de Dolgachev et Kapranov est une cons´ equence directe du th´ eor` eme suivant qui affirme qu’un fibr´ e de Steiner S ∈ S n,k , s’il n’est pas un fibr´ e de Schwarzenberger, poss` ede au plus (n + k + 1) hyperplans instables.
Th´ eor` eme 3.1.Soient S ∈ S n,k et H 1 , · · · , H n+k+2 des hyperplans distincts tels que h 0 (S H ∨
i
) 6= 0. Alors il existe une courbe rationnelle normale C n ⊂ P ∨ n telle que H i ∈ C n pour i = 1, ..., n + k + 2 et S ' E n+k−1 (C n ).
On v´ erifie par ailleurs que W (E n+k−1 (C n )) = C n (proposition 2.2).
Dans la premi` ere partie on montre (proposition 2.1) que si S ∈ S n,k avec k > 1 et H 1 ∈ W (S) alors l’homomorphisme S → O H
1induit par une section non nulle de S H ∨
1
est surjectif et son noyau T 1 v´ erifie T 1 ∈ S n,k−1 et W (S) ⊂ W (T 1 ) ∪ H.
Apr` es k − 2 r´ eductions on se ram` ene ainsi ` a un fibr´ e de Steiner T k−2 ∈ S n,2 . Comme tout fibr´ e de Steiner de S n,2 est un fibr´ e de Schwarzenberger associ´ e ` a une courbe ra- tionnelle normale C n ⊂ P ∨ n ([DK], prop 6.8) on en d´ eduit que T k−2 ' E n+1 (C n ) et que les hyperplans instables de S sont des points de C n .
On conclut en utilisant la proposition 2.3 ´ etablie dans la deuxi` eme partie qui affirme qu’un fibr´ e de Steiner S ∈ S n,k qui poss` ede n + k + 1 hyperplans instables osculateurs d’une mˆ eme courbe rationnelle normale est un fibr´ e de Schwarzenberger (ce r´ esultat g´ en´ eralise le th´ eor` eme 6.4 de [DK] concernant les fibr´ es logarithmiques).
Dans la suite de ce texte nous ´ ecrirons c.r.n. pour courbe rationnelle normale.
Ce probl` eme d’existence d’un nombre maximal d’hyperplans instables pour un fibr´ e de Steiner m’a
´
et´ e pos´ e par V.Ancona et G.Ottaviani. Je tiens ` a les remercier tr` es chaleureusement pour cela ainsi que pour les nombreuses discussions que nous avons eues sur ce th` eme.
Ce travail a ´ et´ e r´ ealis´ e dans le cadre d’un contrat de recherche europ´ een (programme capital humain et mobilit´ e) entre La Scuola Normale Superiore di Pisa et L’Universit´ e P.et M. Curie Paris VI.
2 Les fibr´ es de Steiner
D´ efinition 2.1. Un fibr´ e vectoriel S de rang n sur P n est appel´ e fibr´ e de Steiner s’il existe une suite exacte (k > 0)
0 → kO P
n(−1) −→ (n + k)O P
n−→ S → 0
Notation: On note S n,k la famille des fibr´ es de Steiner d´ efinis comme ci-dessus.
Remarque. Pour k > 0 on a h 0 (S ∨ ) = 0. Pour k = 1, le fibr´ e S est isomorphe ` a Ω ∨ P
n
(−1).
Rappelons qu’un fibr´ e vectoriel E est stable si pour tout sous-faisceau coh´ erent sans torsion F ⊂ E on a
deg(F )
rg(F ) < deg(E) rg(E)
et que les fibr´ es de Steiner S ainsi d´ efinis sont stables ([BS], th´ eor` eme 2.7).
On dira qu’un hyperplan est instable pour le fibr´ e S s’il appartient ` a l’ensemble suivant W (S) = {H ∈ P ∨ n /h 0 (S H ∨ ) 6= 0}
Proposition 2.1. Soient S ∈ S n,k et H ∈ W (S). Les propri´ et´ es suivantes sont v´ erifi´ ees.
1) S H = O H ⊕ T o` u T est un fibr´ e de Steiner sur H (ou T = 0 si n = 1).
2) L’homorphisme S → O H (induit par une section non nulle de S H ∨ ) est surjectif et, pour k > 1, son noyau, not´ e S
0, v´ erifie S
0∈ S n,k−1 et W (S) ⊂ W (S
0) ∪ {H}.
Remarque. Il r´ esulte de 1) que h 0 (S H ∨ ) = h 0 (O H ) = 1 et que cette section est partout non nulle.
Preuve proposition 2.1. 1) Une section non nulle de t ∈ H 0 (S H ∨ ) induit un homomor- phisme non nul t ∨ : S H −→ O H ; notons T son noyau. L’homorphisme compos´ e
H 0 (S) ⊗ O H → S H t
∨
→ O H
est non nul donc il est surjectif. Ceci prouve que t ∨ est surjectif et que l’application H 0 (S H ) → H 0 (O H ) est surjective. On en d´ eduit que T est un fibr´ e vectoriel de rang n − 1 sur H et que S H = O H ⊕ T .
Le lemme du serpent appliqu´ e au diagramme commutatif suivant prouve que T est un fibr´ e de Steiner sur H.
0 −−−−→ kO H (−1) −−−−→ (n + k)O H −−−−→ S H −−−−→ 0
y
y
O H O H
y
y
0 0
2) Il r´ esulte de 1) que l’homorphisme compos´ e S → S H → O H induit par la section
t ∈ H 0 (S H ∨ ) est surjectif. Son noyau (not´ e S
0) est un fibr´ e de rang n sur P n . Le lemme du
serpent appliqu´ e au diagramme commutatif suivant prouve que S
0est un fibr´ e de Steiner 0
y S
0
y
0 −−−−→ kO P
n(−1) −−−−→ (n + k)O P
n−−−−→ S −−−−→ 0
y
y
y
0 −−−−→ O P
n(−1) −−−−→ O P
n−−−−→ O H −−−−→ 0
y
y
y
0 0 0
La suite exacte (duale de la derni` ere colonne du diagramme ci-dessus) 0 −−−−→ S ∨ −−−−→ S
0∨ −−−−→ O H (1) −−−−→ 0 montre que W (S) ⊂ W (S
0) ∪ {H}.
2.1 Les fibr´ es de Schwarzenberger
Soient F la vari´ et´ e d’incidence point-hyperplan de P n , p et q les morphismes de projections sur P n et P ∨ n .
Consid´ erons le diagramme d’incidence suivant (o` u ¯ p et ¯ q sont les morphismes de projections p et q restreints ` a X = q −1 (C n ) )
X −−−−→ q ¯ C n
¯ p
y P n
On note O C
n( m n ) le fibr´ e en droite sur C n de degr´ e m correspondant ` a O P
1(m) via l’isomorphisme P 1 ' C n .
D´ efinition 2.2. Soit m un entier relatif, on appelle fibr´ e de Schwarzenberger associ´ e ` a C n le fibr´ e vectoriel de rang n suivant
E m (C n ) = ¯ p ∗ q ¯ ∗ O C
n( m n )
Cette d´ efinition est donn´ ee par Schwarzenberger ([Sch1], th´ eor` eme 4). Pour m ≥ n les fibr´ es E m (C n ) sont des fibr´ es de Steiner ([DK], prop. 6.3 ou [Sch1], prop.2).
Pour n = 2 le r´ esultat qui suit est d´ emontr´ e par Schwarzenberger ([Sch1], prop.8). Cepen-
dant comme sa preuve ne semble pas se g´ en´ eraliser facilement aux cas n > 2, nous en
donnons bri` evement une d´ emonstration.
Proposition 2.2. Lorsque m > n on a W (E m (C n )) = C n .
Preuve de la proposition 2.2. Notons (X 0 , · · · , X n ) les coordonn´ ees homog` enes de P n
et consid´ erons la r´ esolution suivante de E m (C n )
0 → (m − n + 1)O P
n(−1) −→ M (m + 1)O P
n−→ E m (C n ) → 0 o` u un repr´ esentant de la matrice M s’´ ecrit sous la forme connue ([Sch1], prop.2)
M =
0 0 · · · 0 X 0
· · · · · · · · · X 0 X 1
· · · 0 · · · X 1 X 2
0 X 0 · · · X 2 . X 0 X 1 · · · · · · X n
X 1 X 2 · · · X n 0 X 2 · · · · · · 0 · · ·
· · · X n · · · · · · · · · X n 0 · · · 0 0
Il est clair qu’un hyperplan H est instable pour E m (C n ) si et seulement s’il existe un vecteur non nul (x 0 , · · · , x m ) ∈ C m+1 tel que les formes lin´ eaires ( P n
i=0 x i+j X i ) j=0,··· ,m−n
soient proportionnelles ` a H. On v´ erifie alors sans difficult´ e qu’il existe (t 0 , t 1 ) ∈ C tel que (x 0 , · · · , x m ) = (t m 0 , · · · , t m−i 0 t i 1 , · · · , t m 1 ). Ceci prouve, apr` es factorisation de la j-i` eme
´
equation par t m−n−j 0 t j 1 , que l’´ equation de H est
n
X
i=0
t n−i 0 t i 1 X i = 0.
R´ eciproquement on montre qu’un fibr´ e de Steiner S ∈ S n,k qui poss` ede n+k+1 hyperplans instables osculateurs d’une c.r.n. est un fibr´ e de Schwarzenberger.
Proposition 2.3. Soient S ∈ S n,k et H 1 , · · · , H n+k+1 des hyperplans instables pour S.
Alors,
H 1 , · · · , H n+k+1 ∈ C n ⇒ S ' E n+k−1 (C n )
Preuve de la proposition 2.3. Consid´ erons le diagramme d’incidence d´ ej` a introduit pr´ ec´ edemment
X −−−−→ q ¯ C n
¯ p
y P n Appliquons le foncteur ¯ q ∗ p ¯ ∗ ` a la suite exacte
0 → S ∨ −→ (n + k)O P
n−→ kO P
n(1) → 0
Comme ¯ q ∗ p ¯ ∗ O P
n(1) = Ω P
∨n(−1) |C
n= nO C
n( 1 n ), on obtient un homomorphisme (n + k)O C
n−→ M nkO C
n( 1
n )
Par hypoth` ese les mineurs maximaux de M s’annulent tous aux points H 1 , · · · , H n+k+1
de C n . Comme un seul mineur d´ efinit au plus n + k points sur C n on en d´ eduit que M n’est pas de rang maximal i.e. que l’application poss` ede un noyau qui par fonctorialit´ e est
¯
q ∗ p ¯ ∗ S ∨ . Comme (d’apr` es la proposition 2.1) h 0 (S H ∨ ) = 1 pour tout hyperplan H ∈ C n , on a ¯ q ∗ p ¯ ∗ S ∨ = O C
n(− m n ) pour un entier m ≥ 0 que l’on va d´ eterminer.
L’image de M est un fibr´ e sur C n de rang n + k − 1 d´ ecompos´ e d´ efini par n + k − 1 entiers a 1 , · · · , a n+k−1 tels que 0 ≤ a i ≤ 1 et m = P
a i . On en d´ eduit que m ≤ n + k − 1.
Comme l’unique section s H ∈ H 0 (S H ∨ ) est partout non nulle (proposition 2.1) la suite exacte canonique sur X
0 → q ¯ ∗ O C
n(− m
n ) −→ p ¯ ∗ S ∨ −→ T → 0
est localement scind´ ee, i.e. le faisceau T est localement libre sur X. On en d´ eduit que l’homomorphisme dual
¯
p ∗ S −→ q ¯ ∗ O C
n( m n ) est surjectif. Il induit un homorphisme non nul sur P n
S −→ E m (C n )
Remarquons que m ≥ n. Sinon E m (C n ) = (m + 1)O P
n⊕ (n − m − 1)O P
n(−1) ([DK], proposition 2.10) donc h 0 (S ∨ ) 6= 0 ce qui est faux. Par cons´ equent E m (C n ) est stable (car pour m ≥ n c’est un fibr´ e de Steiner).
Comme c 1 (S) ≥ c 1 (E m ), c’est une cons´ equence imm´ ediate de la stabilit´ e des fibr´ es S et E m (C n ) que l’homomorphisme ci-dessus est un isomorphisme. C’est ` a dire m = n + k − 1 et S ' E n+k−1 (C n ).
Enfin, nous rappelons, sans le d´ emontrer, le r´ esultat suivant du ` a Dolgachev et Kapranov.
Proposition 2.4. ([DK], prop. 6.8) Tout fibr´ e de Steiner S ∈ S n,2 est un fibr´ e de Schwarzenberger E n+1 (C n ) pour une c.r.n C n ⊂ P ∨ n .
Contrairement au cas du fibr´ e tangent Ω ∨ P
n(−1) ' E n (C n ), tous les hyperplans ne sont pas instables pour E n+1 (C n ). En effet on a, d’apr` es la proposition 2.2, W (E n+1 (C n )) = C n .
3 Le r´ esultat central
Th´ eor` eme 3.1. Soient S ∈ S n,k et H 1 , · · · , H n+k+2 des hyperplans distincts tels que h 0 (S H ∨
i
) 6= 0. Alors il existe une c.r.n. C n ⊂ P ∨ n telle que H i ∈ C n pour i = 1, ..., n + k + 2 et S ' E n+k−1 (C n ).
Corollaire 3.1. Soient H et K deux arrangements de m ≥ n + 2 hyperplans en position lin´ eaire g´ en´ erale dans P n . Supposons que E(H) ' E(K). Alors une des deux possibilit´ es se produit.
1) H = K
2) Il existe une c.r.n. C n ⊂ P ∨ n telle que E(H) ' E(K) ' E m−2 (C n )
Preuve du corollaire 3.1. Soit H = {H 1 , · · · , H m } un arrangement de m hyperplans en position lin´ eaire g´ en´ erale dans P n et E(H) le fibr´ e logarithmique associ´ e; rappelons qu’il existe une suite exacte ([DK], prop.2.3)
0 → Ω P
n−→ E(H) −→ ⊕ m i=1 O H
i→ 0
Ceci prouve que H i ∈ W (E(H)); si E(H) ' E(K) et K = {K 1 , · · · , K m } on a aussi K i ∈ W (E(H)) pour i = 1, · · · , m.
Supposons que H 6= K alors le fibr´ e E(H) poss` ede au moins m + 1 hyperplans instables distincts. D’apr` es le th´ eor` eme 3.1 on en d´ eduit qu’il existe une courbe rationnelle normale C n ⊂ P ∨ n telle que les m + 1 hyperplans soient des points de C n et E(H) ' E m−2 (C n ).
Preuve du th´ eor` eme 3.1. Comme les fibr´ es vectoriels de S n,1 = {Ω ∨ P
n
