7 décembre 2020

mp* 20-21 : DTL4

7 décembre 2020

Au choix :

Enoncé 1 : Deux exercices et un problème CCP. Inutile de les rédiger sur des copies distinctes.

Enoncé 2 :Un problème Mines et un « exercice » (en fait, quelques questions techniques d’un début d’énoncé X Math B). Là aussi, inutile de faire des copies distinctes. Il vaut peut-être mieux commencer par le problème, quitte à ne pas toucher à l’exercice si on n’est pas bloqué dans le problème.

1

Enoncé 1 : exercice 1 (cc-inp 2019)

On admet que

+∞

X

n=1

1 n² = π²

6 et on pose, pourt ∈]0,+∞[,

f(t) = te^−t 1−e^−t

Justifier que la fonction f est intégrable sur ]0,+∞[puis, à l’aide d’un théo- rème d’intégration terme à terme, calculer l’intégrale

Z +∞

0

t e^t−1 dt

Enoncé 1 : exercice 2 (ccp 2011)

On considère la série de fonctions X

n≥2

2xⁿ n²−1.

1. Déterminer le rayon de convergence R de cette série entière.

2. On noteS la fonction somme de la sérieX

n≥2

2xⁿ

n²−1. Déterminer S sur ]−R, R[.

3. Démontrer queS(x)admet une limite lorsquextend vers1par valeurs strictement inférieures et déterminer cette limite.

2

F( ⁺, ) ⁺

E f : ⁺ → x > 0

t�→f(t) ^{−xt +}

F ⁺

f E f L(f)

x > 0

L(f)(x) =

� +∞ 0

f(t) ^−xt t .

a ∈ f : [a,+∞[→ x

[a,+∞[

F(x) =

� x a

f(t) t.

f [a,+∞[

F +∞

f [a,+∞[

f [a,+∞[

E F( ⁺, )

F E

L E F( ⁺_∗, )

]0,+∞[

U : ⁺ → U(t) = 1 L(U)

λ�0 hλ : [0,+∞[→ t� 0

hλ(t) = ^−λt

hλ E L(hλ)

Enoncé 1 : Problème (ccp 2011)

f E n gn:t�→tⁿf(t) [0,+∞[

x >0 A >0 t^{n −xt} � ^−xt2 t�A

gn E

f E C¹ [0,+∞[ f^�

E

∀x∈]0,+∞[, L(f^�)(x) = xL(f)(x)−f(0).

f E L(f) C¹ ]0,+∞[

L(f)^� =−L(g1) g1

f E L(f) C^∞ ]0,+∞[

x >0 n∈ L(f)⁽ⁿ⁾(x)

f E

f F

+∞ L(f)

f C^{1 +} f^�

+

x→lim+∞xL(f)(x) =f(0)

t→lim+∞f(t) = � � (an)n∈

0

f F

n anL(f)(an) =

� +∞ 0

hn(x) x hn

[0,+∞[ hn(x) = ^−xf

�x an

�

n→lim+∞anL(f)(an) =�

��= 0 L(f)(x) 0

f ⁺ R(x) =

� +∞ x

f(t) t x [0,+∞[

R C¹ [0,+∞[ R^� x >0 L(f)(x) =R(0)−xL(R)(x) ε>0

A t�A |R(t)|�ε

x >0

|L(f)(x)−R(0)|�x

� A

0 |R(t)| t+ε

L(f) 0 0

f f(0) = 1 f(t) = sint

t t >0

F : ⁺ → F(x) =

� x 0

f(t) t

� +∞

�

n�0

un un =

� (n+1)π

nπ |f(t)| t f

+

x >0 X >0

� X 0

(sint) ^−xt t=− 1 1 +x²

� _−xX

(xsinX+ cosX)−1� .

t�→(sint) ^{−xt +}

� +∞ 0

(sint) ^−xt t

x >0 L(f)(x) �

f E lim

x→+∞

� x 0

f(t) t=�∈ lim

x→0L(f)(x) =� f

+ lim

x→+∞

� x 0

f(t) t=�∈

Enoncé 2 : problème (Mines 2017 math 1)

Etude d’un endomorphisme d’un espace de fonctions numériques

NB : nulle question de réduction dans ce problème d’Analyse. Le vocabulaire d’algèbre linéaire qui y est utilisé n’a probablement pas été oublié. On rap- pelle simplement que si φ est un endomorphisme d’un K-espace vectorielE, on dit que µest valeur propre de φ lorsqu’il existe x∈E\ {0_E}vérifiant

φ(x) =µx

On évitera d’utiliser le mot « spectre » pour désigner l’ensemble des valeurs propres de φ, ce mot étant impropre lorsqueE n’est pas de dimension finie.

Si vous avez oublié ce qu’est un sous-espace vectoriel ou une base, il vaut mieux choisir l’autre sujet. . .

Soit I un intervalle de la forme [−a, a] où a est un réel strictement positif.

Dans tout le problème, on considère les ensembles suivants :

• E leC-espace vectoriel constitué des applications deIdansCde classe C^∞;

• D la partie de E constituée de ses éléments développables en série entière sur un voisinage de0;

• P la partie deE constituée de ses éléments polynomiaux.

Pour tout n∈N, on note

W_n = Z π/2

0

(sin(t))ⁿdt

et sif ∈ E, on noteu(f)etv(f)les applications deI dansCdéfinies par les formules

∀x∈I, u(f)(x) = 2 π

Z π/2

0

f(xsin(t))dt

∀x∈I, v(f)(x) = f(0) +x Z π/2

0

f⁰(xsin(t))dt Les candidats devront justifier leurs affirmations.

A. Préliminaires

1. Justifier queP et D sont des sous-espaces vectoriels deE.

2. Montrer que sif ∈ E,u(f)etv(f)sont bien définies et appartiennent à E, et que l’on définit ainsi des endomorphismes uet v deE.

3

3. Montrer queP est stable paru etv.

4. Etablir pourn∈Nune relation simple entreW_n+2 etW_n. En déduire que pour tout n ∈N,

W_nW_n+1 = π 2(n+ 1)

5. Montrer que la suite(W_n)n∈Nest strictement décroissante. Déterminer sa limite et donner un équivalent de cette suite.

B. Etude topologique de u et v

On considère la normeM de la convergence uniforme surE définie pour tout f ∈ E par la formule

M(f) = max

x∈I |f(x)|

6. Vérifier que M est bien définie et montrer qu’il existe un réel α tel que

∀f ∈ E M(u(f))≤αM(f)

7. On définit l’application N : E → R par N(f) = M(f) +M(f⁰); montrer qu’il existe un réel β tel que

∀f ∈ E M(v(f))≤βN(f)

8. Si f ∈ E et ε > 0, montrer qu’il existe p ∈ P tel que f(0) = p(0) et

|f⁰(x)−p⁰(x)| ≤ε pour tout x∈I. En déduire que, pour tout f ∈ E, il existe une suite (p_n) d’éléments de P telle que

N(p_n−f)−−−−→

n→+∞ 0

C. Etude de l’inversibilité de u et v

9. Déterminer les restrictions deu◦v et v◦uà P.

10. Déterminer (u◦v)(f) pour tout f ∈ E. Le réel 0 est-il valeur propre de l’endomorphisme v?

11. Déterminer également (v ◦u)(f) pour tout f ∈ E. [On pourra préa- lablement déterminer une constante γ telle que, pour tout f ∈ E, M [u(f)]⁰

≤γM(f⁰)]. Conclure.

Application.

12. Montrer que f ∈ E est paire (resp. impaire) si et seulement si u(f) l’est. Qu’en est-il pour v?

4

D. Etude des valeurs propres de u et v

13. Montrer que λ est une valeur propre dev si et seulement si ¹_λ est une valeur propre de u. Qu’en est-il des vecteurs propres correspondants ? 14. Montrer que D est stable par u. L’est-il parv?

On considère une valeur propre λ deu, de vecteur propre associé f ∈ E. 15. Vérifier que sin∈N, le nombre m_n = max_t∈I|f⁽ⁿ⁾(t)| est bien défini,

et établir que pour tout x∈I,

|λ| · |f⁽ⁿ⁾(x)| ≤ 2m_nW_n π En déduire que f ∈ P.

16. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de u etv.

17. L’espace vectoriel E admet-il une base de vecteurs propres de u? De v?

5

Enoncé 2 : « exercice » (X 2015 math B)

Les questions 2 et 3 sont indépendantes.

On définit Γ : ]0,+∞[→R par Γ(y) =

Z +∞

0

e^−tt^y−1 dt

1. Montrer queΓest bien définie et que pour touty >0,yΓ(y) = Γ(y+1).

En déduire que, pour tout n∈N, Γ(n+ 1) =n!.

2. Montrer que pour touty >0, on aΓ(y) = y⁻¹ Z +∞

0

e^−tt^y dt, puis que

Γ(y) = e^−yy^y Z +∞

−1

e^−yφ(s)ds

oùφ est la fonction définie sur]−1,+∞[ par φ(s) =s−ln(1 +s).

3. On fixe δ > 0 et α ∈ R. Montrer que pour tout x > 0, la fonction t7→e^−t/xt^α est intégrable sur [δ,+∞[ et que pour tout n∈N, on a :

Z +∞

δ

e^−t/xt^α dt =o(xⁿ) quand x→0⁺. (on pourra commencer par n = 0).

6