Dynamique de la résonance entre Mimas et Tethys, premier et troisième satellites de Saturne

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Dynamique de la résonance entre Mimas et Tethys,

premier et troisième satellites de Saturne

Sylvain Champenois

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Corr ; ^

THÈSE DE DOCTORAT

EN

ASTRONOMIE FONDAMENTALE,

MÉCANIQUE CÉLESTE ET GÉODÉSIE

(Formation doctorale de l’Observatoire de Paris)

présentée par

Sylvain CHAMPENOIS

Sujet de la Thèse :

DYNAMIQUE DE LA RÉSONANCE

ENTRE MIMAS ET TÉTHYS,

PREMIER ET TROISIÈME SATELLITES DE SATURNE

Soutenue à l’Observatoire de Paris, le 2 novembre 1998, devant le jury composé de :

Monsieur Bruno Sicardy

Madame Anne Lemaître

Monsieur Cari Murray Monsieur Jean Chapront

Monsieur Claude Froeschlé Monsieur Luc Duriez Monsieur Alain Vienne

- 9

MAI

2000

(okl)

CW(\

Je tiens à remercier profondément toutes les personnes qui m’ont aidé tout au long de ces trois années. Je pense en premier lieu à mes directeurs de thèse Alain Vienne et Luc Duriez, qui m’ont proposé cette recherche, et dont l’attention et le soutien scientifique ne m’ont jamais fait défaut.

Je suis profondément reconnaissant à Nicole Capitaine, responsable de la formation doctorale, de m’avoir accepté au sein de sa formation, et de sa grande disponibilité à mon égard. Je remercie également Irène Stellmacher, directrice du laboratoire d’astronomie de l’université de Lille 1, où j’ai mené à bien cette recherche, d’avoir bien voulu m’accueillir dans son laboratoire.

J’exprime également ma profonde gratitude à Anne Lemaître et Jacques Henrard, du département de mathématiques des Facultés Universitaires Notre-Dame de la Paix de Namur, en Belgique, pour leur accueil chaleureux et leur aide précieuse.

Je tiens à remercier également Cari Murray, de l’unité astronomique du Queen Mary College de Londres, et encore une fois Anne Lemaître, pour l’honneur qu’ils me font en acceptant .d’être les rapporteurs de mon travail, ainsi que Bruno Sicaxdy, Claude Froeschlé et Jean Chapront pour leur participation au jury de ma thèse.

Mes pensées toutes particulières vont à Mme Ballenghien, concierge du laboratoire, dont j’ai beau coup apprécié le dynamisme, l’entrain et la gentillesse tout au long de ces années.

Remerciements Introduction 1 Présentation

1.1 Présentation de Saturne et de son système 1.2 Un peu d’histoire et de mythologie 1.3 Les résonances dans le système de Saturne

1.3.1 Présentation

1.3.2 Physique des résonances

2 Représentation analytique et détermination des fréquences des mouvements or

bitaux 2.1 Introduction 2.2 La théorie TASS 2.2.1 Présentation 2.2.2 Equations 2.2.3 Méthode de résolution 2.2.4 Analyse en fréquences

2.3 Correction de l’influence mutuelle des termes périodiques 2.3.1 Influence mutuelle de deux termes périodiques 2.3.2 Méthodes pour neutraliser cette influence

2.3.3 Application à la détermination de fréquences bien séparées 2.3.4 Application à la détermination de fréquences proches 2.3.5 Conclusion

2.4 Représentation analytique par des séries de Poisson 2.4.1 Principe de la méthode «de la projection» 2.4.2 Calcul des produits scalaires

2.4.3 Formules

2.4.4 Limites de la méthode 2.4.5 Tests nvimériques

2.4.6 Application à la détermination de fréquences proches 2.4.7 Autre méthode : moindres carrés

3 Interaction planète-satellites-anneaux 51

3.1 Introduction 51

3.2 Effets de marée entre Saturne et ses satellites 51

3.2.1 Transfert de moment angulaire entre Saturne et ses satellites 51 3.2.2 Dissipation d’énergie dans les satellites de Saturne 52

3.2.3 Conclusion 56

3.3 Marées et résonances 56

3.3.1 L’origine des résonances 56

3.3.2 Description physique d’une capture en résonance 57 3.3.3 Action des marées sur un système en résonance 58

3.3.4 Ordre de rencontre des résonances 58

3.4 Interaction entre les anneaux et les satellites ; application à Mimas 59

3.4.1 Présentation 59

3.4.2 Calcul de la poussée des anneaux sur Mimas 61

3.4.3 Application numérique 64

3.4.4 Conclusion 65

4 Les résonances entre Mimas et Téthys par le modèle du pendule 67

4.1 Introduction 67

4.2 Equations de Lagrange 68

4.3 Développement et propriétés de la fonction perturbatrice 69

4.4 Evolution dans une résonance isolée 70

4.4.1 Equations 70

4.4.2 Exemple d’évolution pour la résonance ii' entre Mimas et Téthys 72 4.4.3 Représentation graphique de l’évolution en résonance 78 4.5 Détermination numérique de la probabilité de capture en résonance 81

4.5.1 Equations 81

4.5.2 Principe de la méthode 81

4.5.3 Résultats 82

4.6 Formulation hamiltonienne d’une résonance modélisée par le pendule 83 4.7 Probabilité analytique de capture en résonance 84 5 Les résonances entre Mimas et Téthys par le second modèle fondamental 87

5.1 Introduction 87

5.2 Le second modèle fondamental 87

5.3 Lien entre le second modèle fondamental et le pendule 92 5.4 Modèle des résonances impliquant un seul nœud ou péricentre 92 5.5 Modèle de la résonance ii' entre Mimas et Téthys 93 5.6 L’espace des phases du second modèle 94 5.7 Probabilité de capture en résonance 94

5.7.1 Modélisation des effets de marée 95

5.7.2 Evolution sous l’effet des marées 96

5.7.3 Calcul de la probabilité de capture 96 5.8 Probabilité de capture dans la résonance i2 entre Mimas et Téthys 99

5.8.1 Méthode 99

5.8.2 Localisation de la résonance i2 : 101

6 Une résonance perturbée : la résonance ii' entre Mimas et Téthys 109

6.1 Introduction 109

6.2 Trois nouveaux arguments à considérer 110

6.3 Chevauchement, des résonances 111

6.4 Modèle 113

6.5 Résonances secondaires 114

6.5.1 Définition 114

6.5.2 Localisation 115

6.5.3 Résonances secondaires fortes, résonances secondaires faibles 115 6.5.4 Probabilités de capture dans la résonance secondaire 1/1 121

6.6 Chaos 124

6.6.1 Origine et échelle de temps de diffusion 124

6.6.2 Méthode des surfaces de section 124

6.6.3 Résultats 126

6.6.4 Comparaison des forces de rappel des arguments tp 4- 2<p, et i}> — 2<f> 126 6.7 Conséquences sur l’évolution orbitale 128 6.7.1 Influence de la zone chaotique 128 6.7.2 Influence des résonances secondaires isolées 129

6.8 Conclusion 132

7 Modèle complet du système Mimas-Téthys et expériences numériques 135

7.1 Introduction 135 7.2 Le modèle 136 7.2.1 Description 136 7.2.2 Equations 137 7.3 Intégrations numériques 143 7.3.1 Méthode 143 7.3.2 Résultats 143

7.4 Probabilité de capture dans la résonance ii' en présence d’une couche chaotique .... 154

7.4.1 Méthode 154

7.4.2 Résultats 155

7.5 Probabilité des scénarios avec passage par des résonances secondaires 155 7.6 Probabilité d’échappement de la résonance i2 157 7.7 Etude de l’évolution en résonance secondaire 1/1 158

7.8 Conclusion 160

Conclusion 163

La planète Saturne a toujours fasciné les hommes, astronomes ou simples mortels, jadis par son déplacement majestueux dans le ciel, qui les a conduit à l’assimiler au temps qui s’écoule lentement, et depuis l’invention de la lunette, par son anneau splendide. Mais, si on l’examine plus attentivement, on s’aperçoit que son système de satellites présente des particularités étonnantes au premier abord : parmi ses huit principaux satellites, six sont impliqués dans trois résonances en moyen mouvement : il s’agit des résonances entre Mimas et Téthys, entre Encélade et Dioné et entre Titan et Hypérion. Concrètement, la conjonction de chacune de ces paires de satellites avec la planète oscille autour d’une direction qui elle-même est animée d’un mouvement de précession dû à l’aplatissement de Saturne aux pôles et à son renflement à l’équateur.

Ces résonances ont été découvertes à la fin du siècle dernier, et, pendant très longtemps, leur théorie est resté très simple : elle consistait simplement à assimiler le mouvement des satellites en résonance au mouvement d’un pendule. Sur de longues périodes, l’on croyait que ce mouvement seul, atténué peu à peu par les effets de marées, pouvait rendre compte de la dynamique complète du système de satellites en résonance, les effets des autres mouvements pouvant être négligés. C’est ainsi qu’Allan (1969) [1] modélisa la résonance entre Mimas et Téthys. Cette théorie fut ensuite raffinée pour rendre compte de la possibilité de capture en résonance, notamment par Sinclair (1972) [80], qui calcula numériquement cette probabilité, et par Borderies et Goldreich (1984) [5], qui la calculèrent analytiquement en utilisant un modèle plus raffiné que le pendule, le «second modèle fondamental pour la résonance», inventé par Henrard et Lemaître (1983) [40].

L’objectif majeur de ce travail est de démontrer que l’une des trois résonances évoquées plus haut, la résonance entre les satellites Mimas et Téthys, ne se prête pas à cette modélisation par un modèle à un seul degré de liberté, que ce soit le pendule ou le second modèle fondamental. L’on constate en effet pour ce couple de satellites la présence de nombreux termes à longues périodes dans la longitude moyenne de Mimas (Vienne et Duriez, 1992) [97] qui viennent perturber la résonance «classique» où n’intervient que l’argument résonnant : d’autres arguments sont en fait à prendre en compte, essentiellement ceux qui sont à l’origine d’une période d’environ 200 ans. En effet, cette période est suffisamment proche de la période actuelle de libration du système (environ 70 ans) et surtout de la période passée de libration (supérieure à 70 ans) pour avoir pu engendrer un chaos important, et également des résonances qui se superposent à la résonance principale, et que l’on qualifie donc de

résonances secondaires.

Nous détaillons dans les chapitres 6 et 7 les conséquences qu’a pu avoir sur le système la présence de chaos et la possibilité de capture en résonances secondaires. Mais avant cela, nous avons besoin des bases fournies par les chapitres 3, 4 et 5. Le chapitre 3 décrit les interactions entre Saturne, ses anneaux et ses satellites. Nous étudions notamment de possibles effets des anneaux sur Mimas, par l’intermédi aire des résonances que celui-ci crée dans les anneaux. Les chapitres 4 et 5 concernent la modélisation des résonances et des probabilités de capture par le pendule et par le second modèle fondamental, et notamment des résonances entre Mimas et Téthys, qui nous intéressent plus particulièrement.

Le chapitre 2 présente la théorie TASS1 mise au point par Vienne et Duriez [97] [98] [25] pour représenter le mouvement des satellites de Saturne, et qui est à l’origine de la découverte des termes à longue période qui motivent cette étude, ainsi que la méthode d’analyse en fréquences développée par J. Laskar (1990) [51] pour détecter les fréquences intrinsèques des mouvements des corps célestes sur leurs orbites, et utilisée par TASS pour la représentation des mouvements des satellites de Saturne. Mais ce chapitre présente également une étude approfondie visant à l’amélioration de cette méthode afin de mieux représenter ces mouvements. Nous développons notamment une méthode qui permet d’affiner la précision de la détermination des fréquences.

Mais, avant toutes choses, nous pensons qu’il sera agréable au lecteur de pouvoir lire dans le premier chapitre une présentation de Saturne et de son système, ainsi qu’un bref historique.

Lille, le 1 juillet 1998

Présentation

1.1

Présentation de Saturne et de son système

Avant 1980, on connaissait à la planète Saturne dix satellites. Depuis, ce nombre a presque doublé, grâce d’une part aux missions Voyager 1 et Voyager 2 qui frôlèrent la planète aux anneaux en 1980 et 1981, et d’autre part au passage de la Terre dans le plan de ses anneaux, en 1980, qui a permis de nouvelles découvertes depuis la Terre (du fait que les astronomes étaient moins gênés par l’éclat des anneaux). On connaît désormais avec certitude dix-huit satellites, et probablement trois autres encore, pour la confirmation desquels de nouvelles observations sont toutefois nécessaires. Le tableau 1.1 donne les principales caractéristiques de ces satellites. Le système des satellites de Saturne est sans doute, parmi les planètes, celui où la diversité est la plus présente. Ainsi, Mimas présente un cratère de très large diamètre (environ un tiers de son propre diamètre), et il s’en est fallu de peu que ce satellite n’éclate au moment de l’impact (Morrison et al., 1986 [63] ; Stevenson et al., 1986 [87]). Phébé, lui, tourne autour de Saturne en sens inverse des autres satellites. C’est sans doute un objet capturé par la planète [63]- Hypérion, quant à lui, tourne de façon chaotique sur lui-même (Wisdom et al, 1984) [102]. Mais ce système est aussi et surtout fascinant et mystérieux; ainsi, Encélade présente une surface énigmatique, sur laquelle alternent plaines, sillons et cratères [63]. Titan, le seul satellite comparable en taille aux satellites galiléens, présente la particularité de posséder une atmosphère, découverte par G. Kuiper en 1944 (Kuiper, 1944) [48]. Japet, quant à lui, présente deux hémisphères, l’un sombre et l’autre brillant, ce qui se traduit par des variations importantes dans sa magnitude (voir tableau 1.1). Les petits satellites présentent également bien des aspects intéressants. Ainsi par exemple, Pandore et. Prométhée orbitent tous deux très près de l’anneau F, l’un à l’intérieur de son orbite et l’autre à l’extérieur. Ils tendent ainsi à confiner l’anneau, jouant par leur action gravitationnelle le rôle de «satellites bergers» (Greenberg, 1984) [34]. Janus et Epiméthée, quant à eux, sont liés par une résonance gravitationnelle, de même que les paires Mimas-Téthys, Encélade-Dioné et Titan-Hypérion. Ces résonances sont détaillées en section 1.3.

Le tableau 1.2 donne les principaux paramètres de la planète Saturne, issus pour la plupart des missions Voyager. Une caractéristique essentielle de cette planète est son fort aplatissement, le plus important parmi les planètes du système solaire : son J2 est seulement légèrement plus important que celui de Jupiter (~ 0,016 contre « 0,015 [9]), mais cinq fois plus important que celui d’Uranus (sa 0,0033), et de plus, son J4 est supérieur de moitié à celui de Jupiter (sa 9 10~4 contre 6 10~4) et près de trente fois supérieur à celui d’Uranus (æ 3 10~5). Cette différence entre l’aplatissement de Saturne et celui d’Uranus sera essentielle dans notre approche particulière du problème de la résonance Mimas-Téthys (chapitres 6 et 7), quand on la compare à celle des auteurs qui ont étudié des problèmes similaires dans le système d’Uranus.

Du fait de cet aplatissement important de la planète, les orbites des principaux satellites (Mimas, Téthys, Encélade, Dioné, Titan, Hypérion et Japet) ont, jusqu’à tout récemment, été représentées par des ellipses animées d’un lent mouvement de précession, dont les demi-grand axes, excentricités et inclinaisons sont supposés constants. Les résonances apportent simplement, dans ces théories, des

Nom Magnitude

Distance

(Rs)

Période

0)

Inclinaison Eccentricité Rayon

(km) Masse Relative Pan ? _{2,214 0,576} (0) 10“4 13 ? Atlas 18,0 2,281 0,602 (0) (0) 20 x 15 ? Prométhée 15,8 2,310 0,613 (0) 0,00 70 x40 ? Pandore 16,5 2,349 0,629 (0) 0,00 55 x 35 ? Epiméthée 15,7 2,510 0,694 0,34 0,01 70 x 50 ? Janus 14,5 2,511 0,695 0,14 0,01 110 x 80 ? Mimas 12,9 3,083 0,942 1,62 0,0194 195 6,34 10-8 E-ncélade 11,7 3,952 1,370 0,015 4,85 10~3 250 1,5 10“7 Téthys 10,2 4,489 1,888 1,093 2,35 10~4 525 1,060 10~6 Télesto 18,7 4,489 1,888 (0) (0) (12) ? Calypso 19,0 4,489 1.888 (0) (0) 15 x 10 ? Dioné 10,4 6,260 2,737 0,018 2,3 10~3 560 1,963 10~6 Hélène 18,4 6,260 2,737 0,2 0,01 18 x 15 ? Rhéa 9,7 8,739 4,518 0,33 1,1 10~3 765 4,32 10~6 Titan 8,3 20,25 15,945 0,36 0,029 2 575 2,36638 10“6 Hypérion 14,2 24,57 21,277 1,06 0,12 175 x 100 3 10-8 Japet 10,2-11,9 59,04 79,331 15,47 0,0285 720 3,10 10~6 Phébé 16,5 214,7 550,48 175,3 0,16 110 ?

Inverse de Période de Inclinaison de _{Longitude du nœud} la masse rotation à _{l’équateur de l’équateur}

(masses solaires) l’équateur (h) sur l’orbite (deg) sur l’orbite (deg)

3498,790 10,233 28,0512 169,5291

Rayon équatorial coefficients d’aplatissement

(km) h Js

60 330 0,016298 -0,000915 0,000095

Tableau 1.2: La planète Saturne. La période de rotation est issue du dictionnaire astronomique de J. Mitton (1991) [62], le coefficient J6 provient de TASS1.6 (1995) [98] et les autres paramètres sont tirés de Campbell et Anderson (1989) [11]. La position de l’équateur se réfère à l’écliptique et à l’équinoxe moyens J2G00.

turbations périodiques sur la longitude moyenne des satellites, qui s’ajoutent au mouvement uniforme. On prend toutefois en compte, pour Rhéa, l’influence de Titan sur son péricentre, qui force celui-ci à osciller autour de la direction du péricentre de Titan (cet effet est en réalité un effet géométrique, et non pas une résonance (Pauwels, 1983) [68]). Pour les satellites situés au-delà de l’orbite de Rhéa, les perturbations solaires sont également prises en compte. Ces théories ont été jusqu’à très récem ment les seules disponibles pour la production d’éphémérides. et avaient pour base les travaux de Woltjer (1928) [104] pour Hypérion et ceux de Struve (1930 [88]; 1933 [89]) pour les autres satel lites importants. Depuis ces travaux fondamentaux, les constantes de ces théories ont été à plusieurs reprises ajustées aux observations disponibles. Concernant plus particulièrement la théorie de la paire Mimas-Téthys, signalons les articles de Jefferys et Ries (1979) [45] et de Stellmacher (1982) [85] [86]. Mais la précision de ces représentations restait relativement mauvaise (~ 1400 km, soit 0",25 géocentrique pour Hypérion et Japet et 0",2 pour les autres satellites principaux [20] [93]), com parativement aux meilleures théories des satellites galiléens (environ sept fois meilleures) [56] [2] et des satellites d’Uranus (environ quatorze fois meilleures) [53]). Or les observations terrestres peuvent atteindre la précision de 0”, 05 («s 350 km). De plus, la mission Cassini, actuellement en route vers Saturne - elle a été lancée en octobre 1997 et devrait atteindre Saturne en 2004 - fera des observations avec une précision probable de l’ordre de quelques kilomètres. Le besoin se faisait donc sentir d’une théorie qui améliore sensiblement la précision. D’où la mise au point par A. Vienne et L. Duriez de la théorie TASS1.6 pour les sept principaux satellites (Vienne et Duriez, 1995) [98], et de TASS1.7 qui inclut Hypérion (Duriez and Vienne, 1997) [25]. Contrairement aux précédentes théories, TASS est construite de façon cohérente, en prenant en considération les satellites tous ensemble. Ses paramètres sont tous indépendants les uns des autres : ce sont les conditions initiales, les masses des satellites ainsi que la masse et les coefficients d’aplatissement de Saturne. La précision interne de TASS est de quelques dizaines de kilomètres sur un siècle. L’écart quadratique moyen des résidus de TASS sur un siècle d’observations est de 0"1 pour les meilleures observations au sol. Dans le cas des phénomènes mutuels, la précision de cette théorie 1 atteint 0"015.

1.2

Un peu d’histoire et de mythologie

Après les découvertes de Galilée, qui eut l’idée géniale de tourner la lunette, récemment découverte en Hollande, vers le ciel, les découvertes dépendaient de la progression de la qualité et de la puissance des instruments, mais aussi de la progression des mentalités. Ainsi Chistian Huygens bénéficie-t-il du progrès réalisé dans la taille des lentilles pour ajouter Titan sur la liste des acquisitions, en 1655. Avec la Lune et les quatre satellites galiléens, cela fait donc six satellites connus, autant que de planètes. Ce fait prend pour Huygens une signification toute particulière. Il est impossible pour lui qu’il y ait un nombre de satellites supérieur à celui des planètes. Il faudra donc attendre 1671 pour que Cassini découvre,

avec un instrument comparable à celui de Huygens, le satellite Japet. L’année suivante, il découvre Rhéa, puis il faut attendre que les anneaux s’amincissent à nouveau pour que le même observateur découvre Téthys et Dioné, en mars 1684. Entre-temps, Huygens a tout de même éclairci l’énigme de la «planète triple», comme disait Galilée, en identifiant le fameux anneau de Saturne et en interprétant correctement ses apparitions et disparitions successives, qui intriguait tant les observateurs de l’époque. L’anneau était une gêne considérable pour les observateurs de l’époque, et les découvertes se faisaient nécessairement lorsque sa brillance n’interférait pas avec celle des satellites, c’est-à-dire au voisinage du moment où la Terre passait dans le plan des anneaux. Rhéa, Téthys et Dioné demeurèrent donc longtemps invisibles pour la plupart des observateurs. L’utilisation de télescopes par William Herschel marqua un nouveau pas dans la connaissance du système des satellites de Satume, avec la découverte d’Encélade et de Mimas en 1789. C’est alors que l’identification des satellites par des numéros, système qui avait prévalu jusqu’alors, se mit à poser problème : devait-on nommer les deux nouveaux satellites en fonction de leur distance à la planète, comme on le faisait pour les autres, ou bien en fonction de l’époque de leur découverte ? Herschel suggéra que, pour résoudre le problème, le mieux était de nommer les satellites d’après des divinités associées au dieu Saturne. Voici une traduction d’un texte où il explique son choix (Herschel, 1847, p. 415) [44] :

Comme Saturne dévorait ses enfants, sa famille ne pouvait pas être assemblée autour de lui. Il fallait donc choisir parmi ses frères et sœurs, les Titans et Titanides. Le nom de Japet semblait tout à fait indiqué par l’aspect obscur et l’éloignement de ce satellite, situé à l’extérieur de l’orbite des autres satellites, celui de Titan par la taille supérieure du satellite découvert par Huygens, tandis que les trois appellations féminines (Rhéa, Dioné et Téthys) correspondent aux trois satellites découverts par Cassini à une distance intermédiaire. Les satellites internes de petite taille semblaient quant à eux propres à recevoir des appellations masculines (Encélade et Mimas) choisies parmi une race inférieure de création plus récente2.

La découverte du satellite Hypérion, faite indépendamment par G. Bond à Harvard et W. Lassell à Liverpool, au mois de septembre 1848, marque la fin de l’ère «classique» où l’œil est utilisé pour recevoir la lumière des astres. La découverte suivante, celle du satellite Phébé par W.H. Pickering en avril 1899, se fit à partir de plaques photographiques prises en août 1898. Il fallut attendre l’année 1904 pour que Bamard puisse l’observer visuellement. Ce satellite au mouvement rétrograde jeta des doutes sur l’hypothèse de la nébuleuse primitive suggérée par Laplace pour expliquer l’origine du système solaire. Cependant, la nouvelle méthode n’était pas encore bien rodée, et Pickering annonce en 1905 la découverte d’un satellite qu’il nomme Thémis, et dont l’existence n’a jamais été confirmée depuis. Il faut attendre le passage de la Terre dans le plan des anneaux au voisinage de l’année 1966 pour que soient prises les photographies à partir desquelles A. Dollfus pût faire en 1967 l’annonce d’une nouvelle découverte, le satellite Janus. Assez vite naquit une controverse quant à la détermination de l’orbite de ce satellite, qui paraissait se comporter de façon étrange. En fait, la nature double de ce satellite n’avait pas été reconnue, et il fallut attendre les missions Voyager pour que l’on comprenne que ce satellite est en réalité constitué de deux satellites coorbitaux (on nommera le second Epiméthée).

Les successeurs d’Herschell suivirent son exemple quant à la dénomination des satellites qu’ils venaient de découvrir. Ainsi, Hypérion est un Titan et Phébé une Titanide, tous deux frère et sœur de Saturne. Atlas, qui soutenait le monde sur ses épaules, Prométhée, qui osa donner le feu aux hommes, et Epiméthée sont les enfants du Titan Japet et de la nymphe Clymène. La femme d’Epiméthée, Pandore, fut envoyée sur Terre avec un sombre cadeau des Dieux : la fameuse boîte de Pandore, de laquelle sortirent tous les maux que connaît actuellement le genre humain, ne lui laissant que l’espérance ... Calypso, Télesto et Hélène sont des nymphes filles de la Titanide Téthys et du dieu-fleuve Océan. H y a toutefois deux exceptions à la règle : Pan, dieu musicien et bucolique, dieu des bergers et gai compagnon des dryades3, est le fils d’Hermès, et Janus, dieu aux deux visages des origines de l’Univers, est une ancienne divinité romaine, dont le double aspect correspond étrangement bien à ce que l’on découvrira plus tard de ce satellite.

2 les Géants.

satellites argument critique 6

J anus-Epiméthée ^Jan ^Epi 180°

Mimas-Téthys 2^Mim ~ 4ATet + LlMim + RTet 0°

Téthys-Télesto A 7’e< - A Tel -60°

Téthys- C alypso ATet — Aca/ +60° Encélade-Dioné AEnc 2A/)j0 tUEnc 0°

Dioné-Hélène ADio - Atfei -60°

Titan-Hypérion 4À//yj> -}- XÂ2Hyp 180°

Tableau 1.3: Résonances parmi les satellites de Saturne. Pour chaque satellite, A, tu et R représentent respectivement la longitude moyenne, la longitude du péricentre et la longitude du nœud sur l’équateur de Saturne. 0 est l’angle autour duquel libre l’argument critique.

1.3

Les résonances dans le système de Saturne

1.3.1 Présentation

Le système des satellites de Saturne présente de nombreuses résonances entre ses satellites. En premier lieu, tous les satellites, à l’exception d’Hypérion et de Phébé, sont impliqués dans des résonances spin-orbite entre leur période de rotation sur eux-mêmes et leur période de révolution autour de Saturne. Ce sont toutes des résonances 1:1, c’est-à-dire que si u> est la vitesse angulaire de rotation du satellite et N son moyen mouvement moyen4, on a u — N. Hypérion, quant à lui, connaît une rotation chaotique. Ces résonances sont le résultat des effets de marée de la planète sur les satellites (Bursa, 1991) [10].

A ces résonances s’ajoutent des résonances orbite-orbite, c’est-à-dire des combinaisons de fréquences nulles qui impliquent les moyens mouvements moyens de deux satellites, et souvent aussi des fréquences de nœud(s) et/ou péricentre(s) d’un au moins de ces satellites. Sept paires de satellites sont impliquées dans de telles résonances, comme le montre le tableau 1.3. Trois d’entre elles sont des résonances «classiques», connues depuis la fin du dix-neuvième siècle : ce sont les résonances entre Mimas et Téthys, Encelade et Dioné, et Titan et Hypérion. Elles doivent leur découverte aux grands astronomes S. Newcomb [66] et H. Struve [90] aux environs de l’année 1891. Les résonances entre Encélade et Dioné et Titan et Hypérion font intervenir les péricentres respectifs d’Encélade et d’Hypérion, et sont donc qualifiées de «résonances en excentricité», tandis que la résonance Mimas-Téthys, faisant intervenir les nœuds des orbites de Mimas et Téthys sur l’équateur de Saturne, est une résonance en inclinaison. Comme cette dernière résonance fait intervenir les deux nœuds de Mimas et Téthys, on la qualifie de « résonance mixte en inclinaison». Par ailleurs, les périodes de précession des nœuds et péricentres des satellites de Saturne sont lentes par rapport aux périodes des satellites (le rapport est de un an à un jour dans le cas de Mimas, par exemple). En conséquence, on considérera par exemple que Encélade et Dioné sont en résonance 1:2, du fait que NEnc — 2Nnia « 0, même si, en toute rigueur, l’égalité n’est pas vérifiée, puisque, c’est l’égalité Ar£nc - 2Noio + tuEnc. = 0 qui est vérifié, dans laquelle tue„c est le péricentre d’Encélade. De même, on dira que Mimas et Téthys sont en résonance 2:4, et Titan et Hypérion en résonance 3:4. Du fait que les relations entre les seuls moyens mouvements moyens ne sont pas exactement nulles, on parle souvent dans ce cas de « commensurabilité», réservant l’appelation «résonance» à la relation exacte5 (tableau 1.3).

A ces résonances classiques s’ajoutent des résonances entre les satellites nouvellement découverts. 4partie linéaire du temps dans la longitude moyenne.

Ces résonances sont toutes des résonances synodiques, c’est-à-dire que ce sont des résonances 1:1, qui ne font donc pas intervenir les longitudes des noeuds et des péricentres. Il y a tout d’abord les résonances 1:1 Téthys-Calypso et Téthys-Télesto, qui traduisent le fait que Télesto et Calypso sont sur la même orbite que Téthys, l’un le précédant dans sa marche autour de Saturne (Calypso), l’autre le suivant (Télesto). Tous deux sont situés aux points de Lagrange L4 et L5 de Téthys, à respectivement -60° et +60° de ce dernier. Il y a encore la résonance 1:1 entre Dioné et Hélène, lequel se trouve au point de Lagrange L\ de Dioné (il suit Dioné sur son orbite). Sinclair (1984) [82] a montré que les librations de ces satellites autour des points de Lagrange en question étaient stables en dépit des résonances de Téthys avec Mimas et de Dioné avec Encélade.

La dernière résonance inter-satellites (si l’on ne considère pas les anneaux comme des satellites) est la résonance 1:1 qui lie les deux satellites coorbitaux Janus et Epiméthée. L’étude la plus détaillée à leur sujet a été faite par Yoder et al. (1983) [107], qui ont montré que, du fait de la masse comparable de ces satellites (rapport de 1 à 3 environ), l’orbite d’Epiméthée avait dans un repère tournant une forme de fer à cheval, tandis que celle de Janus consistait en allées et venues d’une extrémité du fer à

cheval à l’autre.

1.3.2 Physique des résonances

Une résonance se traduit physiquement, dans le cas des résonances «classiques» de Saturne, par une oscillation pendulaire de la conjonction des satellites avec la planète autour d’une direction qui elle-même varie avec le temps. Dans le cas de Calypso, Télesto et Hélène, cela se traduit par une oscillation de ces satellites autour des points de Lagrange de Téthys ou Dioné (Oberti, 1988) [67]. Dans le cas des satellites coorbitaux, cela se traduit par une absence de collision entre les deux satellites : quand l’un est prêt de rattraper l’autre, les effets de la résonance le retardent et accélèrent celui qui était sur le point d’être rattrapé.

La description de la physique des résonances varie donc selon les résonances examinées. Nous présentons ici, après quelques remarques qualitatives sur le problème des deux corps perturbé, les cas des satellites coorbitaux et les deux principaux mécanismes qui gouvernent les résonances en excentricité et inclinaison, à savoir les mécanismes à forte excentricité ou inclinaison et le mécanisme à faible excentricité. Ces différents cas sont représentés dans le système de Saturne par les résonances Janus-Epiméthée, Titan-Hypérion, Mimas-Téthys et Encélade-Dioné, et sont décrits dans (Peale, 1976) [69], (Peale, 1986) [70] et (Greenberg, 1977) [33].

Energie et moment angulaire dans le problème des deux corps perturbé

Soit un corps de masse M supposé fixe. Soit un deuxième corps en orbite autour du premier, de masse relative6 m. Soit n, a, e, L et E ses moyen mouvement, demi-grand axe. excentricité, moment angulaire orbital et énergie orbitale. On a (cf. par ex. Brouwer et Clemence (1960) [6]) :

||L||

=

mMyJpa(l — e2)

ss

mM^fpd

„ GM2m

E =

2a (1.1)

où G est la constante gravitationnelle et p = GM( 1 + m). L et E sont des constantes dans le problème des deux corps. On sait également que le mouvement des deux corps s’effectue dans un plan perpendiculaire au vecteur moment cinétique L. Supposons maintenant que l’on applique une force F sur m. Alors L et E ne sont plus des constantes, et varient selon les formules suivantes :

dL dt <Æ dt f A F FF d\\L\\2 dt = 2L.(rA F) (1.2) 6 nous définissons la masse relative d’un satellite par le rapport de sa masse à celle de la planète autour de laquelle il tourne ; dans la suite, les masses relatives seront désignées par des lettres minuscules tandis qu'on utilisera des lettres

où r représente la position de m par rapport à M. On déduit de (1.2) que j|L|| augmente sous l’action

de la force F si celle-ci tend à entraîner le vecteur r dans le sens du mouvement de m autour de M.

Dans le cas contraire, ||Z|| diminue sous l’action de F. De plus, on constate que E augmente si F

s’applique dans le sens du mouvement de m, et diminue dans le cas contraire. Remarquons que, du fait du caractère non circulaire de l’orbite dans le cas général, il n’y a pas toujours coincidence entre

les variations de ||L|| et de E (à savoir que l’un peut augmenter quand l’autre diminue). On déduit en

outre des remarques précédentes qu’une force radiale laisse le moment cinétique de m inchangé, tandis qu’une force perpendiculaire au mouvement de celui-ci laisse son énergie inchangée. Ces variations de L et E ont des effets sur le demi-grand axe et l’excentricité. En effet, on déduit de (1.1) les formules

suivantes :

GM2m

2 E

<L3> Ces formules montrent que si m reçoit un apport d’énergie, alors son demi-grand axe augmente (il diminue dans le cas contraire). De plus, si m reçoit un apport d’énergie, ou bien un apport de moment angulaire, ou bien les deux à la fois, son excentricité augmente (elle diminue dans l’un des trois cas contraires). En particulier, une force radiale, qui ne modifie pas le moment angulaire orbital, se traduira par une augmentation ou une diminution de l’excentricité selon que la force sera dans le sens du mouvement du satellite (entre l’apocentre et le péricentre) ou dans le sens contraire (entre le péricentre et l’apocentre).

Les satellites coorbitaux

L’orbite en fer à cheval suivie par Epiméthée dans un repère tournant avec Janus est aisée à comprendre d’un point de vue physique : quand Epiméthée rattrape Janus, qui est un peu plus distant que lui de la planète, il lui enlève du moment cinétique (et de l’énergie) à son profit. Par conséquent (cf. paragraphe précédant), le demi-grand axe d’Epiméthée augmente et son moyen mouvement diminue, tandis que le demi-grand axe de Janus diminue et que son moyen mouvement augmente. La vitesse orbitale de Janus surpasse alors celle d’Epiméthée, tandis qu’Epiméthée est maintenant le plus éloigné des deux satellites. Le même scénario se répète quand Janus, à son tour, rattrape Epiméthée. Les deux satellites échangent ainsi périodiquement du moment cinétique et de l’énergie lors de leur rencontres proches (voir figure 1.1).

La résonance Titan-Hypérion

Figure 1.1: Orbites de Janus (J) et Epiméthée (E) dans un repère tournant avec la vitesse moyenne des deux satellites autour de Saturne (S). Les flèches indiquent le sens du mouvement

On constate donc que les interactions gravitationnelles ont tendance à faire osciller la conjonction autour de l’apocentre d’Hypérion, c’est-à-dire autour du point où l’écart entre les orbites est maximal. Cette oscillation se fait par un échange périodique de moment angulaire entre les satellites : avant la conjonction, il y a transfert de moment angulaire du satellite extérieur vers le satellite intérieur ; après la conjonction, le transfert se fait du satellite intérieur vers le satellite extérieur.

La résonance Mimas-Téthys

Un mécanisme identique à celui décrit pour la résonance Titan-Hypérion gouvernerait la résonance en inclinaison Mimas-Téthys si l’aplatissement de Saturne n’était pas si important. Jetons en effet un coup d’œil à la figure 1.3, où les orbites de Mimas et Téthys ont été projetées sur la sphère céleste. Une conjonction se produit sur un méridien céleste. Avant la conjonction (B), l’interaction entre Mimas et Téthys est plus forte qu’après, à cause de la proximité plus grande des orbites. De plus, les forces sont davantage dirigées le long des orbites, ce qui accentue leur composante tangentielle, celle qui provoque les transferts de moments angulaires. Par conséquent, de même que dans le cas Titan-Hypérion, l’interaction mutuelle obligerait la conjonction des deux satellites à osciller autour du point correspondant à un écart maximal entre les orbites (point A), c’est-à-dire autour du point situé à 90° du nœud mutuel des orbites (nœud d’une orbite sur l’autre orbite ; remarquons qu’il y a en fait deux nœuds, et donc deux centres possibles de libration). Mais l’aplatissement de Saturne, en provoquant une précession rapide des nœuds de Mimas et Téthys, ne laisse pas au système le temps de répondre aux forces qui tendent à ramener la conjonction vers le point A de la figure 1.3. En effet, la période de libration de la résonance entre Mimas et Téthys (associée à une amplitude importante d’environ 95°) est d’environ soixante-dix ans, contre seulement un an pour la période de précession du nœud de Mimas et cinq ans pour celle du nœud de Téthys, de sorte qu’en définitive, la conjonction se met à librer autour du point-milieu des nœuds ascendants des orbites de chacun des deux satellites sur l’équateur de Saturne (Greenberg, 1973b) [32].

Figure 1.2: Résonance entre Titan (T) et Hypérion (H) : les forces qui s’excercent avant la conjonction (en B) l’emportent sur celles qui s’excercent après la conjonction (en C). Hypérion perd donc du moment cinétique (Lh < 0), et la conjonction s’éloigne du péricentre P vers l’apocentre A où les orbites sont le plus écartées (S représente Saturne). Symétriquement, Hypérion gagne du moment cinétique (Lh > 0) si la conjonction a lieu après l’apocentre (D), ce qui tend à la rapprocher de

celui-ci.

La résonance Encélade-Dîoné

Cette résonance représente le mécanisme « à faible excentricité». La libration de la conjonction des deux satellites s’effectue autour du péricentre d’Encélade. Pour faire ressortir ce mécanisme, simplifions le problème en considérant que les orbites sont coplanaires et que Dioné se meut sur une orbite circulaire. L’orbite d’Encélade, quant à elle, est légèrement excentrique (figure 1.4). Supposons que la conjonction ait lieu près du péricentre d’Encélade. Du fait de la petitesse de l’excentricité de l’orbite d’Encélade, les forces qui agissent avant et après la conjonction se compensent, de sorte que la conjonction est beaucoup moins efficace que dans le cas Titan-Hypérion pour tranférer du moment angulaire. Le rapport des moyens mouvements des satellites est donc inchangé, fixé à une valeur qui lui permet de suivre le péricentre d’Encélade dans son mouvement (comme pour la résonance Titan-Hypérion, le mouvement du péricentre d’Encélade ne change rien au mécanisme de stabilité de la résonance). En conséquence, les conjonctions se répètent au même endroit de l’orbite et l’action de Dioné tend à déformer l’orbite d’Encélade, d’autant plus facilement que l’excentricité de celle-ci est faible. Ces déformations consistent en une tendance à la régression de la ligne des apsides (qui donc progresse un peu moins vite que si l’aplatissement seul entrait en jeu) et en une variation de l’excentricité d’Encélade. Lorsque les conjonctions se produisent au delà du péricentre d’Encélade, l’excentricité de celui-ci tend à augmenter, ce qui diminue la tendance à la régression de la ligne des apsides et rapproche celle-ci de la conjonction. Au contraire, si les conjonctions se produisent en deçà du péricentre d’Encélade, l’excentricité de ce dernier est diminuée, et donc la tendance à la régression est accélérée, ce qui rapproche la ligne des apsides de la conjonction. On a donc selon ce mécanisme une oscillation du péricentre autour de la conjonction.

Figure 1.3: Mécanisme tendant à stabiliser la résonance Mimas-Téthys en l’absence de précession des nœuds. Les orbites de Mimas (M) et Téthys (T) sont projetées sur la sphère céleste : à la conjonction, les deux satellites sont sur le même méridien (Me). Les forces qui s’exercent avant la conjonction (en B) l’emportent sur celles qui s’exercent après la conjonction (en C). Téthys perd donc du moment cinétique (Lt < 0), et la conjonction s’éloigne du nœud mutuel N vers le point A où les orbites sont le plus écartées l’une de l’autre.

Représentation analytique et

détermination des fréquences des

mouvements orbitaux

2.1 Introduction

Ce chapitre présente tout d’abord la théorie TASS, la théorie analytique des satellites de Saturne développée par Vienne et Duriez (Vienne et Duriez, 1992 [97], 1995 [98] ; Duriez et Vienne, 1997 [25]). Ensuite, il présente des méthodes visant à améliorer la représentation analytique quasi-périodique des mouvements orbitaux ; cette représentation, donnée par la méthode d’analyse en fréquence mise au point par J. Laskar (1990) [51], est en effet dégradée lorsque l’on est en présence de deux fréquences proches, les fréquences étant dans ce cas mal détectées par cette méthode. Deux approches sont proposées : la première consiste à améliorer la détection des fréquences, tandis que la seconde consiste à chercher les amplitudes des fréquences détectées sous la forme d’un polynôme du temps.

2.2 La théorie TASS

2.2.1 Présentation

Le but de 1a. théorie TASS est de représenter les mouvements des huit principaux satellites de Saturne (c’est-à-dire, dans l’ordre de 1a. distance à la planète, Mimas, Encélade, Téthys ,Dioné, Rhéa, Titan, Hypérion et Japet) ainsi que leur variation par rapport aux paramètres physiques (masses des satellites, coefficients d’aplatissement de Saturne J2, J4 et Jg ). La précision visée est de l’ordre de quelques kilomètres, afin de pouvoir prendre en compte les observations de ces satellites qui seront faites par la sonde Cassini en 2004 (à titre indicatif, les meilleures observations terrestres actuelles sont précises à 0”, 02 près, correspondant à environ 120 km vus depuis 8,55 unités astonomiques).

La théorie prend en compte les principales caractéristiques du système des satellites de Saturne, à

savoir les :

• perturbations dues à la non-sphéricité de Saturne. L’aplatissement important nécessite la prise en compte des coefficients J2, J4 et Je. Leur action est prépondérante sur les quatre satellites

intérieurs.

s perturbations mutuelles ampifiées par plusieurs résonances : - Résonance 2:4 entre Mimas et Téthys

- Résonance 1:2 entre Encélade et Dioné

- Résonance 3:4 entre Titan et Hypérion

- Grande inégalité 1:5 entre Titan et Japet

• perturbations solaires, sensibles surtout sur les quatre satellites extérieurs. 2.2.2 Equations

Dans TASS, tous les mouvements se réfèrent à un repère saturnicentrique dont deux des axes sont dans le plan équatorial de la planète (considéré comme fixe), le premier pointant dans la direction du noeud de ce plan avec l’écliptique moyen J2000. Dans ce repère, on utilise les variables p,q,z, £, déjà introduites dans le cadre d’une théorie générale planétaire par Duriez (1979) [21] et Laskar (1985) [50]. Ces variables représentent les écarts entre le mouvement réel et le mouvement circulaire uniforme dont le moyen mouvement N est celui qu’on observe (on l’appelle alors le moyen mouvement moyen), par rapport auquel on développe le mouvement de chaque satellite. Elles sont définies par :

a

=

.4(1 + p)~2/3 <=> ri = iV(l + p)

A = J ndt + e = Nt —

Tq

z — e exp \/—ïm

£ = sin - exp y/—ïfü (2.1)

La variable p est réelle, q est imaginaire pure, z et ( sont complexes et leurs conjugués sont notés z et Ç. A se déduit de N par la tx-oisième loi de Kepler : N2A3 — n2a3 = GMa(l + rn) où G est la constante de la gravitation, Ms la masse de Saturne, et m la masse relative du satellite, a, e, i, fi, w et e sont les éléments elliptiques osculateurs saturnicentriques classiques, et n est le moyen mouvement osculateur. Chaque satellite est repéré par un indice selon son éloignement par rapport à Saturne : ainsi, Mimas est affecté de l’indice 1, Titan, de l’indice 6.

Dérivant par rapport au temps l’expression de la longitude moyenne, l’on obtient : d\ de /—— dq

— = n + — = N - V-l ~

dt dt dt (2.2)

D’ou :

5 = ^4)

<2-3>

L’on a avantage à décomposer p en deux parties : p = po + Sp, où po est une constante ajustée de façon à ne pas avoir de terme constant dans l’équation dq/dt. Ainsi, N sera bien le moyen mouvement moyen, c’est-à-dire la partie linéaire du temps dans la longitude moyenne, po correspond à la perturbation constante du demi grand-axe, et est donné, d’après (2.3) par l’équation :

Npo -f (de/dt) — 0 (2.4)

où (x) désigne la valeur moyenne de x :

1 fT

(x) =

Üm

— /

x{t)dt

(2.5)

T-+-fOO il J_rp En définissant : N = ./V(l+po) p = Sp/(l+po) (2.6)

on a alors : n = N( 1 + p) = N( 1 -f po)(l + p). On définit encore A à partir de N et de la troisième loi de Kepler. On a ainsi :

Â

=

A(l+po)"2/3

Par définition, la variable p ne comporte aucun terme constant, de même que dq/dt. Cependant, si Po n’est pas déterminé avec toute la précision souhaitée, une constante po peut néanmoins subsister dans p et, partant, dans dq/dt. Dans ce cas il sera nécessaire, pour avoir le moyen mouvement moyen réel, de rajouter po à la valeur nominale du moyen mouvement moyen. Les variations des éléments oscuiateurs sont données, pour chaque satellite, par les équations de Lagrange suivantes (Duriez, 1979 [21], 1982 [22]). dp dt dq dt dz dt

d£

dt -3v^I

(i + p)4/3 on

WÂ2 dq ni1/'*

(Npo + Np) + v^î

NA

24>NA

L d(

d<l

&R

3(1 + p)-x—Y <H>[ z——Y z

'dU , . dJl . . .

+ 2ÿU

&R dz dp &R -&R

dç +Sc

dH\ dU &R dz + Z' dz J + 2 cj> (2.8) où </> — v;l — zz, ip — l/(l+d), et Tl est la fonction perturbatrice : elle prend en compte les interactions entre les satellites, l’aplatissement du globe de Saturne et les perturbations solaires. Les effets de marée ne sont pas pris en compte dans ces équations. Après développement en séries de Fourier, les équations du mouvement du satellite numéro i prennent la forme suivante :

^ = V-ï L\p){p,q,z^,z,(,t)

^7 = y/ZJ [NiPoi + Nipi + L\g)(p,q,z,(,zX,t)]

^jjT = 'f-î L(tz)(p,q,z,Ç,z,Ç,t)

^ = V^ï L\°(p,q,z,(;,z,Ç,t)

(2.9)

Chaque fonction Lest un développement en série dont les termes issus de l’interaction mutuelle entre les satelütes ont la forme générale suivante :

c pf flzï'zyG'tfW&ÏÏ ev^î(fciAi+AlAj)

(2.10) où c est un coefficient numérique réel dépendant des entiers relatifs gi,gj, nj,nj,nj, üj, v,, Vj, i>i, üj, k{ et k., et calculé pour les valeurs A; et A, des demi-grands axes des satellites i et j ; il a en facteur la masse perurbatrice rrij. Les entiers kr et kj vérifient la propriété de D’Alembert ; posant :

Ci = ki + kj

Cm = fii —ni+ üi — vi + üj— rij + üj — Vj (2-11)

On a :

Ci = CM + S(e) (2.12)

avec:

$(e) = 0 S(e) = 1

si e désigne l’équation relative à p ou q

si e désigne l’équation relative à z ou C (2.13) Ci est la caractéristique de l’inégalité, Cm la caractéristique du monôme (Laskar, 1985 [50]).

En ce qui concerne les termes en J2, J4 ou Jg, issus de l’aplatissement de la planète, les va riables d’indice j disparaissent de (2.10) et (2.11) et c dépend du demi-grand axe du satellite i et est proportionnel à J2, J4 ou Je.

2.2.3 Méthode de résolution

La construction de TASS a été réalisée grâce à la succession des opérations suivantes :

• Séparation analytique entre les termes critiques ou à longue période d’une part (c’est-à-dire les termes séculaires, résonnants et solaires) et les termes à comte période d’autre part. Chaque variable x est partagée en xç> -f Ax, où xo est solution générale du système critique, et Ax solution particulière du système à courtes périodes.

• Construction analytique du système critique à l’ordre 2 des masses et à l’ordre 3 en J2 (avec une troncature éliminant les termes qui, évalués numériquement, ne dépassent pas 1 km au bout de 100 ans).

• Intégration analytique terme à terme de la partie à courtes périodes, construite jusqu’à l’ordre 2 des masses et à l’ordre 3 en J2 (avec une troncature éliminant tous les termes d’amplitude inférieure à 100 mètres). La solution à courte période obtenue est fonction explicite de la solution du système critique.

• Intégration numérique du système critique (avec une méthode d’Adams de prédiction-correction d’ordre 10), avec un pas de 4 jours sur 1200 ans1 pour Mimas, Encélade, Téthys et Dioné, un pas de 100 jours sur 9200 ans pour Rhéa, Titan et Japet, et un pas de 0,1 jour sur 1500 ans pour Hypérion. Les conditions initiales sont calculées pour J1980 à partir de la théorie de Dourneau (1987) [20]. Le mouvement du Soleil est tiré de la solution JASON de Simon et Bretagnon (1984) [79].

• Analyse en fréquence des séries temporelles données par les intégrations numériques, au moyen de la méthode de Jacques Laskar (1990) [51], complétée par l’ajustement (par moindres carrés) entre les termes obtenus et la série temporelle initiale.

• Identification des fréquences obtenues sous forme de combinaisons linéaires entières des fréquences fondamentales. Cela permet de représenter le résultat des intégrations numériques sous la forme de sommes finies de termes périodiques à longues périodes.

• Report de cette solution à longues périodes dans les expressions analytiques obtenues pour les termes à courte période.

Les écarts entre les représentations du mouvement ainsi obtenues et les intégrations numériques pures sont de quelques kilomètres à quelques dizaines de kilomètres sur 100 ans, selon les satellites, à l’excep tion de Japet, pour lequel l’écart atteint plusieurs centaines de kilomètres (du fait d’une modélisation encore insuffisante des perturbations solaires sur ce satellite). Ces écarts représentent la «précision

interne» de la théorie.

2.2.4 Analyse en fréquences

TASS donne une représentation des séries temporelles issues de l’intégration numérique du système critique sous forme de séries quasipériodiques de t, dans lesquelles les fréquences et les phases des arguments sont obtenues par la méthode d’analyse en fréquence développée par Laskar. Pour com prendre la nature des améliorations que nous avons apportées à cette méthode, il convient d’abord de l’exposer en détails : il s’agit de reconstruire une fonction quasi périodique

M

f{t) = YAJe^=ï^t

(2.14)

3-1

la plus petite période de la fonction, afin d’éviter tout problème d’aliasing. On pourrait effectuer une Transformée de Fourier Rapide (FFT), mais cette méthode ne permet une détermination des fréquences de / qu’à une précision égale à la fréquence fondamentale v0 — rr/T (cf. par exemple Press

et al. (1992) [73]), ce qui oblige à analyser sur un long intervalle si l’on veut une grande précision (3

millions d’années pour une précision de 10~6 rad/an).

La méthode de Laskar améliore nettement la précision en projetant la fonction / non pas sur

l’espace vectoriel engendré par les fonctions (hj(t) = e'^J‘'0<)J'=lim, comme on le fait en effectuant

une FFT, mais en projetant sur la base de fonctions (e;(t) = e\/3R';<)i_l n, les fréquences (;y,)t=l n

étant déterminées une à une. Il est essentiel de remarquer que cette base de fonctions n’est pas

orthogonale, contrairement à la base précédente. En revanche, les vecteurs (ei(<))j-1|n sont normés

tout comme les vecteurs (h{(t) = ev/Cr^“/°t))=li„

On se place donc dans l’espace des fonctions complexes définies sur [—T, T], de carré intégrable, muni du produit scalaire :

< ^'9 >= ér J T(2.15)

La fonction x(i) est une fonction de poids, c’est-à-dire une fonction positive de norme 1 qui s’annulle aux extrémités de l’intervalle, que l’on introduit dans le but d’améliorer la détermination des fréquences lorsqu’il y a plus d’une fréquence dans la série à analyser. Ceci sera détaillé plus loin. Laskar a fait le choix de la fenêtre \(t) — 1 + cos(î/of), mais d’autres fonctions peuvent être choisies. Pour déterminer le vecteur ej, on commence par effectuer une FFT de la série de valeurs /(tj)j=1Ar dont on dispose, afin de localiser grossièrement la fréquence correspondant au pic le plus élevé dans le spectre de puissance de /. Puis on cherche la valeur v\ de la fréquence v correspondant au maximum du module de l’amplitude

A{v) =< f, ey/=ïvt >

(2.16)

A quelle précision peut-on alors espérer déterminer la fréquence ?

Dans le cas où M = 1 (une seule fréquence présente dans la fonction /), le spectre A(v) s’écrit : A(v) - Ai sin((z/— 7i)T) 7r2

[v — 7i)T tt2 — [y — 7i )2T2 en posant (v — 71)T = nx, il vient : m M sin(7r:r) 1 — x2 = A1f1(x) (2.17) (2.18) La figure 2.1b montre l’allure de la fonction fi (x). On constate qu’elle présente un pic très prononcé pour x = 0, c’est-à-dire pour v — 71. x représente la distance au centre du pic comptée en fréquences fondamentales. Développant la fonction fi(x) à l’ordre 2, on obtient :

/i(~) (2.19)

Si s est la précision machine, le second terme est négligeable par rapport au premier (c’est-à-dire, se comportera comme 0 si on l’ajoute au premier) si :

,

Vëi

1

x <

^ y/l — 6/tt2 Terreur absolue sur la fréquence est donc donnée par la formule :

n \/l — 6/7r2

(2.20)

fréquence

(en fréq. fond.)

fréquence

(en fréq. fond.)

Dans le cas où deux ou plusieurs fréquences sont présentes dans la série initiale (M > 2), la précision est moindre du fait que le maximum du pic engendré par chacune de ces fréquences est décalé par rapport à la valeur de cette fréquence à cause de l’influence des autres pics du spectre. C’est dans le but de minimiser cette influence qu’a été introduite la fonction de poids (appelée aussi : fenêtre de Hanning) y(i) : La comparaison entre la figure 2.1a (où l’on n’utilise pas la fenêtre de Hanning) et la figure 2.1b (où elle est utilisée) montre bien l’utilité de la fonction \ ' figure 1 représente la fonction :

„ , , sin(7rx)

= <222>

On constate que la fenêtre diminue notablement les «ailes» de part et d’autre du pic : au lieu de décroître en raison simple de la distance au maximum du pic, elles décroissent en raison du cube de

la distance.

La fenêtre a cependant l’inconvénient de doubler la largueur du pic central, ce qui est gênant pour une détermination précise de deux fréquences proches (on verra dans la partie 2.3 comment on peut y remédier). Remarquons toutefois que ce doublement n’affecte guère la précision sur une fréquence isolée, puisque l’erreur absolue sur la fréquence cQ, sans la fenêtre de Hanning, est donnée par la

formule :

y/Ôê

£0 = f'o 2.23)

7T

soit une erreur de 2,5 10~8i/o si l’on travaille en double précision. Une fois la fréquence v\ déterminée, la hauteur du pic relatif à v\ dans le spectre de la fonction / nous donne une première détermination de l’amplitude de / sur u\, à savoir

A?* =\<f,e^^ >|

(2.24)

ce qui correspond, les vecteurs étant normés, à la projection orthogonale de / sur le vecteur e\ =

eV-Tv1t gn

ne connaissant pas encore les vecteurs (tj — eV-i*'.j<)j._2

on ne peut tout de suite

déterminer la valeur A\ de l’amplitude de la projection de / selon les vecteurs (cJ )J=2,n- On est obligé de corriger l’amplitude sur e* au fur et à mesure que l’on trouve de nouveaux vecteurs (c’est-à-dire de

nouvelles fréquences). Une fois iq et A*1' déterminés, on soustrait de / le terme A^ev/“*"lt, et l’on

cherche le maximum du module de la fonction restante :

A’(i/) =< /1,ev/~*‘/< >

(2.25)

OÙ

Z1 = / - AS1)ev'rïVlt

(2.26)

On détermine ainsi z'2. On cherche à présent la projection A22) de / sur le vecteur e2 parallèlement

à ej, ainsi que la correction Cj/2 à apporter à l’amplitude A,1* pour obtenir l’amplitude Aj2> de la

projection de / sur e\ parallèlement à e2. La figure 2.2 illustre ceci. La seule façon de déterminer

des amplitudes par projection étant d’utiliser le produit scalaire, il faut pour calculer Aj2'1 et A^ se

ramener à une base (/i,/2) de vecteurs orthogonaux de norme 1, car on a alors coincidence entre le produit scalaire de / avec f\ (resp. /2) et la projection de / sur f\ (resp. /2). Avec les relations liant fi et /2 à et e2, on peut alors déterminer les amplitudes de / sur selon e2 et sur e2 selon ej. Le plus simple est d’utiliser le processus d’orthonormalisation de Gram-Schmidt,. On obtient :

avec :

1

- < e2,ei >

||e2— < e2,ei > ej

1

||e2- < e2,ea > ei||

6n = 621 = 622 =

(2.27)

Figure 2.2: projections de / sur ej, perpendiculairement à e\ (.4^) et sur la base (ei,e2) (Aj2) et

A^2'). Ci/2 est la correction à apporter à A,1' pour obtenir Aj2).

Soit (P/)elte2 la projection de / sur l’espace vectoriel engendré par les vecteurs ei,e2 et (P/)ei sa projection sur l’espace vectoriel engendré par ej. On a immédiatement :

(P/)ei =< /,/, >e, (2.29)

Et :

(P/)ei,«2 = </>/i > &nei+</>/2 > 621^1+</,/2 > &22e2

=

(Pf)e1+C1f2Ci+A2^e2

(2.30)

Il vient :

Cl/2 = < /; /2 > &21

42)

=

< f1 f2 > b22

(2.31)

On poursuit avec :

f = f1 ~ Ci/2ei - Afe2 =f- aS2)Ci - A<2)e2 = /-</, /1 > /1- < /,/2 > /a

(2.32)

/2 est donc perpendiculaire au plan engendré par les vecteurs (ei,e2).

Une fois qu’on a retiré à / sa projection sur le plan (ei,..., e„_i), on cherche le maximum de la

fonction :

An~\v) =< /"-1,e^lvt >

(2.33)

OÙ n—1

/n-1=/_E < /,/, > /,•

(2.34)

i=l

Les (/, ),=| n-i étant la base orthonormale constituée par orthonormalisation de la base (ej,..., e„_i). On trouve ainsi la fréquence vn. On cherche ensuite le vecteur fn qui complète l’orthonormalisation de la base (ei,..., en). On a donc les coefficients (i>ij)»,j5=i,n

Par un raisonnement analogue à celui utilisé plus haut, on montre que la correction C,y„ qu’il faut apporter à l’amplitude associée aux vecteurs (ej);=iiri_i du fait de cette nouvelle fréquence est :

Ci,n=<fJn>bni (2.35)

Par conséquent, le vecteur fn est calculé de la façon suivante :

fn = r-i _A(»)en_gCi/ne.

(2.37)

i= 1

On arrête l'algorithme lorsque le terme d’amplitude maximale détecté dans fn correspond à une fréquence plus proche qu’une certaine limite d’une fréquence déjà obtenue. En effet, le nouveau vecteur de base n’est plus assez indépendant des précédents ; autrement dit, s’il y a dans le spectre de / deux fréquences trop proches l’une de l’autre, leur détection et leur détermination séparée devient difficile, car les pics associés à chacune de ces fréquences se superposent du fait de leur largeur (chacun décale le sommet de l’autre par rapport à la valeur de la fréquence associée). En conséquence, le procédé d’orthonormalisation fonctionne mal dans ce cas. Cependant, l’analyse en fréquence, on l’a vu, détecte les termes par ordre décroissant d’amplitude. Par conséquent, le dernier terme détecté a en principe une amplitude plus faible que le terme près duquel il se situe dans le spectre, et on peut considérer que le petit ne déforme pas le grand. Le petit, en revanche, sera déformé par le grand. C’est pourquoi une fréquence vn détectée à proximité d’une fréquence tq, avec i < n, ne sera pas prise en compte, et

seule Vi sera conservée.

Il reste à déterminer ce que veut dire «fréquences proches». La fenêtre de Haning, on l’a vu, écrase les ailes de part et d’autre du pic central, permettant ainsi une bonne détection de deux fréquences dont les pics associés dans le spectre ne se rencontrent pas. Avec une fenêtre de Haning, la largeur du pic central est de 4n0- Par conséquent, deux pics se chevauchent lorsqu’ils sont séparés de moins de 4i'o. Mais les pics demeurent encore distincts à une distance de 2vq. Certes, ils sont influencés l’un par l’autre, mais, en général, l’un des deux est plus grand que l’autre, donc moins influencé, et on a vu que la méthode ne retenait pas le terme plus petit. On peut donc prendre comme critère d’arrêt une distance inférieure à 2 fois la fréquence fondamentale, encore que Laskar descende à l,5vç> dans sou étude sur la stabilité du système solaire (Laskar, 1990 [51]). Les parties qui suivent vont préciser cette influence mutuelle et tenter d’y apporter des solutions.

Un second critère d'arrêt est défini par l’amplitude du dernier terme détecté : si celle-ci est plus faible qu’une limite donnée, ce terme ainsi que tous les termes suivants sont considérés comme né gligeables, et on arrête l’analyse en fréquences.

2.3

Correction de l’influence mutuelle des termes périodiques

Le but de cette section est d’exposer une méthode permettant d’améliorer le pouvoir séparateur

de l’analyse en fréquences. Signalons qu’une étude très récente (Sidlichovskÿ et Nesvorny, 1997),

qui n'était pas encore parue au moment de notre recherche, traite exactement du même problème. Cependant, l’approche de leurs auteurs est radicalement différente de la notre, puisqu’elle consiste à établir, par linéarisation, des formules analytiques de correction des fréquences, tandis que notre approche est purement numérique. De plus, ils s’intéressent seulement au cas où les fréquences sont relativement bien séparées, alors que nous traitons aussi le cas où les fréquences sont très proches (séparation de l’ordre de la fréquence fondamentale ou inférieure).

2.3.1

Influence mutuelle de deux termes périodiques

Plaçons nous dans l’espace vectoriel des fonctions complexes de carré intégrable définies sur l’intervalle [—T, T] et muni du produit scalaire

< f,9 >=

J f(t)g(t)x(t)dt

(2.38) où x esi la fenêtre de Hanning.

Soit

une fonction quasipériodique. Considérons le spectre ij){v) de cette fonction :

4>(v) H< /,e'/rr"t >|

(2.40)

Cette fonction présente deux pics sur l’axe des fréquences. Ceux-ci ne sont pas situés exactement en uq et en uq, mais en v\ et i/2, du fait de «l’influence» d’un pic sur l’autre dans le spectre. Trois paramètres principaux sont susceptibles d’intervenir pour modifier les différences uq — tq et u>2 — z/2 : ce sont le décalage en fréquences Au = uq — uq, le déphasage A<f> = Arg a2 — Arg ai et le rapport a = |a2/ai | des modules des amplitudes. Si a est très grand ou très petit, il est immédiat que la fréquence associée au pic le plus grand sera très bien déterminée. Nous allons nous intéresser ici au cas a — |ai| = |a2| = 1, et étudier la manière dont le décalage en fréquences et le déphasage influent sur la détermination des fréquences uq et u>2.

Les figures 2.3 et 2.4 présentent, pour différentes valeurs de Au (figure 2.3) et de Aç> (figure 2.4), les courbes correspondant aux fonctions :

M")

=

<e^/=ÏUlt,e^=Tvt >=

V’2 iy) = (v + Au)

sin(uq — u)T

(uq - u)T tt2 - (uq - u)2T2

(2.41) Ces figures montrent, d’une part, que l’influence d’un pic sur l'autre diminue quand la séparation des fréquences augmente, et d’autre part, qu’un déphasage nul «attire» les pics, tandis qu’un déphasage de 7r les «repousse». Un déphasage de rr/2 les laisse inchangés.

En ce qui concerne l’influence du décalage en fréquences, la figure 2.3 nous indique qu’une vision graphique des choses n’est plus possible au delà de trois fréquences fondamentales, les différences uq — iq et u>2 — v2 étant trop faibles pour pouvoir être appréciées à l’oeil. Aussi a-t-on procédé à une

analyse en fréquences de la fonction g{t) = 1 + ev/Z^Wl< (qui représente / avec ai = a2 = 1 et ui2 — 0),

afin d’avoir des valeurs précises pour le décalage uq — i/\. Les résultats sont indiqués sur 1a. figure 2.5. 2.3.2 Méthodes pour neutraliser cette influence

On sait que la méthode de la FFT ne détecte pas les fréquences propres d’une fonction / quasi-périodique donnée [73]. On vient de voir que la méthode de Laskar détecte la fréquence associée au pic le plus élevé dans le spectre de puissance de /, mais, malheureusement, le maximum ainsi détecté ne correspond pas tout à fait à la fréquence propre de / à cause de l’influence des pics associés aux autres fréquences du spectre.

Nous présentons ici une méthode qui vise à neutraliser l’influence mutuelle des pics entre eux. Son but est donc de détecter réellement les fréquences propres de /, et non plus des fréquences approchées comme c’est le cas pour les deux autres méthodes. On a vu que la fonction i/> définie dans la section précédente présentait deux pics : la méthode d’analyse en fréquences de Laskar consiste à évaluer la fréquence correspondant au plus grand de ces pics, puis à retirer la contribution de la fréquence uq ainsi évaluée à la fonction /, afin de pouvoir détecter la seconde fréquence. Une fois la contribution de la seconde fréquence ôtée à son tour, pourquoi donc ne pas profiter de ce retrait pour redéterminer uq ? Si en effet l’on rajoute à / la contribution de uq enlevée précédemment, on pourra effectuer à nouveau la détermination en étant bien moins gêné par le pic lié à ui2 qu’auparavant. Cette seconde détermination de uq sera donc meilleure que la première.

Le processus décrit plus haut peut se poursuivre de façon itérative : en effet, une fois qu’on a retiré à / une contribution de uq mieux déterminée et rajouté la contribution de w2 précédemment enlevée, le pic lié à w2 sera moins influencé par uq, et donc on obtiendra une meilleure détermination de w2. On itère ainsi jusqu’à obtenir la précision machine.

fréquence (en fréq. fond.) fréquence (en fréq. fond.)

fréquence (en fréq. fond.) fréquence (en fréq. fond.)

fréquence (en fréq. fond.) fréquence (en fréq. fond.)

fréquence (en fréq. fond.) fréauence (en fréq. fond.)

fréquence (en fréq. fond.)

f igure 2.4: influence du déphasage A<p sur le décalage des pics (avec A^ = 2,3 fréquences fondamen

log

(oo,

0

50

100

150

200

250

300

co, (en freq, fond.)

a) la redétermination terme à terme b) la redétermination globale

La redétermination terme à terme

La première façon consiste à redéterminer systématiquement les termes que l’on détecte pour la seconde fois. Par exemple, si la fonction comprend dix termes périodiques (on suppose pour le moment que tous sont détectables), l’analyse détectera ces dix termes, mais la somme des dix termes ainsi détectés n’est pas strictement égale à la fonction car les fréquences déterminées ne sont pas exactement les bonnes. Il reste des pics résiduels au voisinage des pics déjà déterminés que l’analyse en fréquences pourra retrouver si on la poursuit au-delà du dixième terme. Si on détecte à nouveau le 3ième terme, par exemple, on redéterminera ce terme. Si ensuite l’on redétecte le 7ième, on le redéterminera, et ainsi de suite. On appellera cette façon de faire «redétermination terme à terme». Ce processus s’arrête dès que l’on détecte deux fois de suite le même terme. Cela peut signifier que la précision maximale a été atteinte, si les amplitudes des termes sont à peu près égales. En effet, la fréquence que l’on vient de redéterminer est, provisoirement, la mieux déterminée d’entre les fréquences. Si on la redétecte, cela signifie au contraire que c’est la moins bien déterminée, car son pic résiduel est le plus élevé. Cela veut donc dire qu’en réalité, aucune fréquence n’est mieux déterminée qu’une autre, et donc que la précision numérique a été atteinte pour chacune d’entre elles. Cela n’est cependant plus vrai si les amplitudes sont trop différentes les unes des autres.

La redétermination globale

Une autre méthode consiste à redéterminer les termes en commençant par le premier pour finir par le dernier. Cela fait, on recommence dans le même ordre, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’une cer taine précision ait été atteinte, cette précision étant estimée par la plus grande différence entre deux déterminations successives de toutes les fréquences trouvées.

2.3.3

Application à la détermination de fréquences bien séparées

les deux méthodes de redétermination exposées plus haut sont testées dans cette section sur des fonctions contenant des fréquences bien séparées. Les deux méthodes donnant pratiquement les mêmes résultats, on ne présente ici que les résultats obtenus par la redétermination terme à terme. Mais auparavant, on cherche à savoir la précision maximale que l’on peut espérer obtenir par ces méthodes : Précision des déterminations numériques

L’on a vu en section 2.2.4 que l’erreur commise sur la détermination d’une fréquence isolée par analyse en fréquences est :

e0

voVôë 1 * yi - 6/tt2

= 2,0 10'Vo (2.42)

On vérifie bien sur cette formule un fait déjà connu : plus la durée sur laquelle on analyse est longue, c’est-à-dire plus la fréquence fondamentale est petite, plus les pics seront étroits et meilleure sera la détermination de la fréquence (du moins si le pic est isolé). Afin de s’affranchir de cette dépendance envers la durée considérée, on considère plutôt l’erreur