MODÉLISATION D'INSTRUMENTS DE MUSIQUE POUR LA SYNTHÈSE SONORE ; MÉTHODE GÉNÉRALE

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Submitted on 1 Jan 1990

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MODÉLISATION D’INSTRUMENTS DE MUSIQUE POUR LA SYNTHÈSE SONORE ; MÉTHODE

GÉNÉRALE

Jm. Adrien

To cite this version:

Jm. Adrien. MODÉLISATION D’INSTRUMENTS DE MUSIQUE POUR LA SYNTHÈSE

SONORE ; MÉTHODE GÉNÉRALE. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C2), pp.C2-869-C2-

872. �10.1051/jphyscol:19902202�. �jpa-00230519�

COLLOQUE DE PHYSIQUE

Colloque C2, supplément au n02, Tome 51, Février 1990 ler Congrès Français d'Acoustique 1990

JM. ADRIEN

IRCAM, 1 Place Stravinsky, F-75004 Paris. France

Résumé

Nous présentons une méthode générale calcul numérique par superposition modale des vibrations de structures mécaniques et de systèmes acoustiques constituant les instruments de musique usuels, permettant la réalisation de logiciels de synthèse sonore.

Abstract

We present a general method of numerical computation of the vibrations of mechanical structures and acoustic systemes based on a modal representation and aiming at the implementation of sound synthesis software.

Introduction

En raison de la puissance accrue des calculateurs, il est possible d'envisager désormais la mise en œuvre pratique de méthodes d'analyse numérique des champs élastiques et élasto-acoustiques afin de synthétiser des sons dans un contexte d'utilisation musicale. A la description de type signal des phénomènes sonores peut en effet se substituer une description mécano-acoustique des instruments qui le produisent : l'objet des logiciels de simulation n'est plus alors le calcul direct du signal sonore, comme somme de ses composantes de Fourier par exemple /1/ ; mais le calcul explicite des vibrations des structures mécano-acoustiques qui composent l'instrument capable de délivrer ce signal sonore. Ce calcul nécessite la modélisation préalable et exhaustive des structures composant l'instrument et des interactions d'assemblage.

L'introduction, dans les logiciels de synthèse, des techniques d'analyse numérique des champs élastiques et élasto-acoustiques s'inscrit logiquement dans l'évolution des techniques traditionnelles de calcul du son : les avantages de ces nouvelles techniques sont essentiellement leur aptitude à décrire des régimes complexes transitoires, ainsi que les possibilités de contrôle et de diffusion qui leur sont associées.

Les régimes transitoires constituent un élément fondamental du discours musical : ils sont associés aux phases d'attaque et d'articulation des sons et donc a l'intelligibilité même du discours. Dans une situation musicale ordinaire, ils sont souvent prépondérants par rapport aux régimes permanents. Schématiquement, les représentations traditionnelles des phénomènes sonores, de type signal ou source filtrée, sont mal adaptées à la synthèse de régimes transitoires complexes parce qu'elles ignorent les spécifications spatiales des objets vibrants et leur associent une représentation mono-dimensionnelle temporelle ou fréquentielle. Les régimes transitoires sont étroitement liés aux propriétés spatiales des structures élastiques, et leur calcul requiert une description multi-dimensionnelle qui intègre non seulement la variable temporelle ou fréquentielle, mais aussi les variables d'espace : l'évolution des variables dynamiques est calculée ans notre cas par résolution itérative des équations associées aux structures vibrantes.

Un autre apport significatif des techniques d'analyse numérique des champs élastiques et élasto-acoustiques en matière de synthèse sonore résulte des possibilités de contrôle et de diffusion qui leur sont associées : ces techniques permettent le contrôle de l'assemblage et des propriétés élastiques des structures, le pilotage externe des modèles et la génération de signaux acoustiques multiples : Le contrôle des propriétés élastiques et de l'assemblage s'apparente à la lutherie. 11 suppose la modularité et la généralité du formalisme de représentation des structures, et intéresse le timbre de l'instrument ; il doit donc, à ce titre, permettre une modification structurelle des modèles au cours du jeu. Le pilotage externe s'apparente au jeu de l'instrumentiste, et suppose aue les modèles ré~ondent aux aram mètres de contrôle instantané de la techniaue instrumentale. Il est alors Possible de reconstituer des séqÛences instrumentales idiomatiques complexes, Ôu des phrases musicales, par l'a~~lication des données de vilotage instrumental corres~ondantes. relativement sim~les et connues. Enfin la synihèse de signaux acoustiques &ultiples, à partir deskariablesdynamiques instantanées à la surface des structures vibrantes, permet d'envisager la génération d'un champ acoustique rayonné réaliste.

Les connaissances établies d'acoustique physique sont généralement suffisantes pour entreprendre, avec un niveau d'approximation cohérent par rapport à nos objectifs, la modélisation de la plus grande partie des instruments de musique. L'apport original et nouveau de notre travail, en dehors de son utilité en matière de

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19902202

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synthèse sonore, résulte principalement du fait que nous sommes contraints de modéliser les instruments dans leur totalité. En cela, notre travail diverge des modèles traditionnels d'acoustique instrumentale. Par ailleurs, les contraintes propres à nos objectifs sont telles que les logiciels puissants de calcul et d'analyse numérique des champs élastiques et élasto-acoustiques disponibles pour l'usage industriel sont le plus souvent inadaptés, bien que les méthodes de calcul soient voisines.

Structures

Le choix d'un formalisme de représentation des objets est déterminant en matière de contrôles externes et de résultats sonores parce qu'une représentation donnée favorise souvent un certain type de variables et de traitements. Le formalisme modal semble très bien adapté à nos objectifs : il permet de représenter, avec un format de données unique, un très grand nombre de structures mécaniques ou de systèmes acoustiques, il pexmet le contrôle direct des propriétés fréquentielles des structures et, enfin, il peut être associé à des méthodes de caractérisation expérimentale efficaces.

Une structure pourvue d'un nombre fini de degrés de liberté est caractérisée par la donnée de fréquences de résonance et de coefficients d'absorption, et par une matrice de déformées modales dont les colonnes sont formées par les coordonnées des déformées dans la base des coordonnées principales. Cette caractérisation est valable théoriquement dans l'hypothèse des petits déplacements linéaires, et pratiquement si la densité modale reste faible. Dans le cas d'un calcul explicite dans le temps, les non-linéarités peuvent être introduites soit aux jonctions d'assemblage entre sous structures, soit par modification pas à pas des données modales. Ceci permet de simuler la plus grande partie des non linéarités présentes dans les instruments de musique sans réduire le caractère général et modulaire de la représentation. Le nombre de modes que nous devons prendre en compte, pour la synthèse sonore, est en règle générale assez important, sans toutefois que les problèmes liés à la densité modale produisent une limite pratique. Il est possible enfin d'inclure pour les structures mécaniques ou pour les systèmes acoustiques les modes de pulsation nulles, et de représenter ainsi un très grand nombre d'objets élastiques en vibration ou en translation à l'aide d'un format unique. Par ailleurs, la caractérisation modale permet un accès direct aux propriétés fréquentielles des structures, et ceci est important pour une utilisation musicale en vertu de l'incidence connue des propriétés spectrales sur le timbre. Enfin, les techniques de caractérisation expérimentale, ou d'analyse modale, qui ont connu au cours de la dernière décennie un développement très significatif en raison de leurs nombreuses applications industrielles, sont, pour nos objectifs, directement utilisables dans le cas des structures mécaniques. Les systèmes acoustiques peuvent être caractérisés à partir de leurs propriétés géomémques. On évaluera l'importance du formalisme de représentation des structures élastiques en comparant les possibilités inhérentes à la description modale avec les possibilités résultant d'une description par éléments finis ou en ondes progressives 12/3/41.

La décomposition habituelle de l'adrnittance d'une structure mécanique sur ses composantes modales produit une relation temporelle qui permet d'exprimer la vitesse instantanéej,k,r+I d'un point quelconque de la structure en fonction des P forces externes instantanées Fatj,t+l qui sont appliquées sur la structure. Cette relation temporelle peut s'écrire, pour le schéma de discrétisation temporelle le plus simple, de la façon suivante

avec wi,ci pulsations de résonance et coefficients d'absorption,

dk

Dans le cas d'un système acoustique, la relation permettant d'exprimer la pression aco~stiquepk,~+l d'un point quelconque en fonction des P débits externes d'excitation U ~ ~ , t + l f a i t intervenir la densité p, de l'air ainsi que le potentiel acoustique instantané yk,,+l au point considéré

Ces deux relations permettent de déterminer la réponse instantanée d'une structure élastique ou d'un système acoustique à une sollicitation externe. Elles sont formellement identiques, ce qui leur confere leur généralité, ét elles sont suffisantes pour déterminer, connaissant les valeurs instantanées des excitations externes, l'état vibratoire résultant. Les objets typiques dont les équations (1) et (2) constituent des modèles adéquats sont par exemples les cordes, chevalets, plectres, doigts, archets, portions de tubes de forme quelconque (ondes planes), anches, cheminées latérales, pavillons etc

...

Liaisons

Les excitations extérieures sont soit des excitations de pilotage, soit des excitations de liaison. Les premières sont des forces ou des pressions de contrôle appliquées par l'instrumentiste, elles constituent des données d'entrée des logiciels de simulation et sont connues à chaque instant. Les secondes font intervenu une relation de liaison, qui peut être triviale dans certains cas, comme dans le cas par exemple d'une liaison adhérente permanente ; ou qui peut résulter d'une interaction plus complexe wmme dans le cas de la liaison corde / archet ou tube / anche simple. Pour le frottement corde archet par exemple, la liaison fait intervenir deux régimes distincts : un régime d'adhérence pour lequel la relation d'interaction se ramène à l'identité des vitesses vb,v~ de l'archet et de la corde au point de contact, et à l'expression du principe de l'action et de la réaction pour les forces d'interaction Fs->b et Eb->s; et un régime de glissement au cours duquel la force d'interaction est une fonction on linéaire de la vitesse relative corde archet 151.

La liaison mécano-acoustique de type anche simple fait intervenir également deux régimes distincts : un régime fermé pour lequel le débit d'excitation Uex',du tube et a vitesse de l'anche 5 sont nuls, et un régime ouvert pour lequel débit d'excitation et ouverture de l'anche sont reliés par l'équation de Backus à la différence de pression Pm-Poentre la bouche et le tube.

Assemblage

Dans le cas général, la conjonction d'équations de type (1) & (2) avec les équations de liaison de type (3) & (4) forme un système complet dont on peut déterminer à chaque pas temporel les inconnues. Nous reportons un exemple typique d'assemblage représentant un tube de forme quelconque pourvu de cinq cheminées latérales et d'une anche simple. Six équations du type (2) peuvent être respectivement associées au tube et aux cinq cheminées, et une équation de forme (1) peut doter l'anche de propriétés mécaniques quelconques. Les liaisons sont de deux types : une liaison de type (4) entre l'anche et le tube, et cinq relations de conservation des débits

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entre le tube central et les cinq cheminées, formellement identiques aux relations d'adhérence du type (3) pour les structures mécaniques. II est possible également de prendre en compte un troisième type de liaison aux extrémités rayonnantes des tubes à partir de l'expression simplifiée de l'impédance de rayonnement de Levine

& Schwinger. Dans cet exemple, nous avons considéré que cette impédance est nulle. L'élimination des pressions acoustiques aux point de liaison et la linéarisation par morceaux de l'équation de Backus produit un système de la forme suivante

permettant de déterminer à chaque pas temporel les valeurs des débits d'excitation Uexti i=û..j, en fonction d'impédances mécaniques et acoustiques

v vis sues

Conclusion

Un avantage des méthodes d'analyse numérique des champs élastiques et élasto-acoustiques évoqué dans l'introduction est lié aux perspectives qu'elles ouvrent en terme de diffusion des sons synthétiques. Nous présenterons au cours de la conférence, de nombreux exemples sonores, ainsi qu'une méthode de calcul du champ acoustique adaptée aux logiciels de synthèse.

Références

1.Risset Jean Claude (1969). "An Introductory Catalog of Computer Synthesized Sounds". Murray Hill, New-Jersey,: Bell Telephone Lab. 6p+105p.

2.Adrien JM., Rodet X. (1985), Physical Models of Instruments, a Modular Approach, Application to Smngs, Proceedings of the 1985 ICMC,Vancouver, Berkeley Computer Music Association.

3.Ducasse E. (1989), Modelisation d'instruments de Musique pour la Synthèse Sonore, Proceedings of the 1st French Congress of Acousdtics, Lyon 1989.

4.Imbert J.F.(1984). "Analyse des Structures par Eléments Finis" Toulouse: Cepadues Editions 1984 480 P. 5.Lazarus H. (1972). " Die Behandlung des selbst erregten Kippschwingungen des gesmchenen Saite mit Hilfe des Laplace Transformation" Dissertation, Berlin Tech. Univ (1973)