Exercice 1 : Résoudre dans ℝ les équations suivantes : 1. 1 2−2 x 2 =1 4 ⇔ 2−8 x 2 =1 ⇔ 8 x2−1=0 ⇔ 8
(
x−√
2 4)(
x +√
2 4)
=0 ⇔ x=√
2 4 ou x=−√
2 4 s1 ={
−√
2 4 :√
2 4}
2. 2− x x+ 4=2 ⇔{
2− x=2 (x +4)x ≠−4 ⇔{
3 x+6=0 x≠−4 ⇔ x=−2 s2 = {−2} 3. 4 (x +2)2=(x −2)2 ⇔ [2(x +2)−(x −2)][ 2(x +2)+(x−2)]=0 ⇔ (x +6)(3 x +2)=0 ⇔ x=−6 ou x=−3 2 4. 2 x−1 2 x +1= 5 2 x2+x− 1 2 x ⇔ 2 x (2 x −1)−5×2+(2 x+1) 2 x (2 x+1) =0 ⇔{
4 x 2−9=0 x∉{
−1 2;0}
⇔{
(2 x−3)(2 x +3)=0 x ∉{
−1 2;0}
⇔ x=3 2 ou x=− 3 2 5. 2 x3 +x2−x=0 ⇔ 2 x(
x2+1 2x − 1 2)
=0 ⇔ x[
(
x+1 4)
2 − 1 16− 1 2]
=0 ⇔ x[
(
x+1 4)
2 − 9 16]
=0 ⇔ x(
x+1 4− 3 4)(
x + 1 4+ 3 4)
=0 ⇔ x(
x−1 2)
(x+1)=0 ⇔ x=0 ou x=1 2 ou x=−1 s5 ={
−1 ;0 ;1 2}
Équations et inéquationsExercice 2 : Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes :
1. −5 x +3⩽9 ⇔ −5 x⩽6 (soustraire 3 dans les deux membres de l'inégalité n'en change pas le sens)
⇔ x⩾−6
5 (multiplier les deux membres de l'inégalité par −
1 5 en change le sens) s1 =
[
−6 5;+∞[
2. x (x +3)(−2 x +1)<0 x –∞ –3 0 12 +∞ x – ⋮ – 0 + ⋮ + x +3 – 0 + ⋮ + ⋮ + −2 x +1 – ⋮ – ⋮ – 0 + x (x +3)(−2 x +1) – 0 + 0 – 0 + s2 = ]−∞;−3[ ∪]
0 ;1 2[
3. x2−5 x +4>0 [x x2−5 x +4 ] est un polynôme de degré 2, donc sa représentation graphique est une parabole, dont le sommet S a pour abscisse : xS=−−5
2×1= 5 2 . yS=
(
5 2)
2 −5×5 2+4=− 9 4 . La forme canonique de x2 −5 x +4 est donc(
x−5 2)
2 −9 4 . x2−5 x +4>0 ⇔(
x−5 2)
2 −9 4>0 ⇔(
x−5 2− 3 2)(
x− 5 2+ 3 2)
>0 ⇔ (x−4)(x−1)>0On peut faire un tableau de signes, comme dans la question précédente, ou continuer à raisonner sur le polynôme.
Le coefficient de x2 dans l'expression x2−5 x +4 est positif (c'est 1). Donc la parabole représentant la
fonction [x x2
−5 x +4 ] est orientée vers le haut. La forme factorisée de x2−5 x +4 étant x la parabole coupe l'axe des abscisses en 1 et en 4.
On en déduit qu'elle est au-dessus de l'axe des abscisses sur ]−∞;1 [ et sur ]4 ;+∞[ . Finalement, x2−5 x +4>0 ⇔ x ∈ ]−∞;1 [∪]4 ;+∞ [ 4. (3 x +4)(−2 x+5) −x+7 ⩾0 x –∞ −4 3 5 2 7 +∞ 3 x +4 – 0 + ⋮ + + −2 x +5 + ⋮ + 0 – – −x+7 + ⋮ + ⋮ + – (3 x +4)(−2 x+5) −x+7 – 0 + 0 – + s4 =
[
−4 3; 5 2]
∪]7 ;+∞[5. (−3 x+2)(4 x 2 −25) 2 x +5 <0 ⇔ (−3 x+2)(2 x−5)(2 x+5) 2 x+5 <0 ⇔
{
(−3 x+2)(2 x −5)<0 x≠−5 2 x –∞ −5 2 2 3 5 2 +∞ −3 x +2 + + 0 – ⋮ – 2 x−5 – – ⋮ – 0 + (−3 x+2)(2 x−5) – – 0 + 0 – s5 =]
−∞;−5 2[
∪]
− 5 2; 2 3[
∪]
5 2;+∞[
6. 1 2 x>2 x ⇔ 1−4 x2 2 x >0 ⇔ 4 x 2−1x <0 (multiplier les deux membres de l'inégalité par −2 en change le sens) ⇔ (2 x −1)(2 x +1) x <0 x –∞ −1 2 0 1 2 +∞ 2 x−1 – ⋮ – – 0 + 2 x +1 – 0 + + ⋮ + x – ⋮ – + ⋮ + (2 x −1)(2 x +1) x – 0 + – 0 + s6 =
]
−∞;−1 2[
∪]
0 ; 1 2[
Exercice 3 : Rappel :
√
A=B ⇔{
A=B2 B⩾0Quelques remarques concernant cette équivalence : Les cinq énoncés suivants ont la même signification : 1.
√
A=B ⇒ A=B22. Il faut que A et B vérifient A=B2 pour que
√
A=B . 3. Une condition nécessaire pour que√
A=B est A=B2 .4. Si
√
A=B alors A=B2.5. Quels que soient A et B tels que
√
A=B , on a : A=B2 .À cette condition nécessaire, on pourrait en ajouter une autre : il faut que A⩾0 pour que
√
A=B . Cette condition sur A est cependant implicite dans la condition A=B2 et devient inutile dès lors que cettedeuxième condition a été énoncée.
La réciproque est fausse : voici les énoncés réciproques possibles : 1'. A=B2
⇒
√
A=B2'. Il suffit que A et B vérifient A=B2 pour que
√
A=B . 3'. Une condition suffisante pour que√
A=B est A=B2 . 4'. Si A=B2 alors√
A=B .5'. Quels que soient A et B tels que A=B2, on a :
La négation (le contraire) de l'énoncé 5' est : Il existe A et B tels que A=B2, et pour lesquels on a : {x=−1+√6 ou x=−1−√6
x⩾0
Ce dernier énoncé est vrai : en effet, prenons A=9 et B=−3 . A et B sont bien tels que A=B2, et on a
bien :
√
9=3 donc√
3≠−3 .On vient ainsi, à l'aide d'un contre-exemple, de montrer que l'énoncé 5' est faux.
C'est donc un cas difficile qui montre dans quel mesure l'utilisation d'un raisonnement par équivalence est « dangereux » (on a l'habitude de lire de gauche à droite et de haut en bas, mais lorsqu'on utilise une
équivalence, il est indispensable d'aller contre cette habitude et refaire une lecture attentive en sens contraire, le sens de la réciproque).
Résoudre dans ℝ l'équation
√
−2 x+5=x . Vérifier avec Xcas ou avec le mode GRAPH de la calculatrice.√
−2 x+5=x ⇔{
−2 x+5=x2 x⩾0 ⇔{
x2+2 x−5=0 x⩾0 ⇔{
(x +1)2−6=0 x⩾0 ⇔{
(x +1−√
6)( x+1+√
6)=0 x ⩾0 ⇔{
x=−1+√
6 ou x=−1−√
6 x ⩾0 ⇔ x=−1+√
6Exercice 4 : Rappel :
√
A⩽√
B ⇔{
A⩽BA⩾0 car la fonction racine carrée est croissante sur [0 ;+∞[ Résoudre dans ℝ l'inéquation
√
−2 x+8⩽√
x2. Vérifier avec Xcas ou avec le mode GRAPH de la calculatrice.√
−2 x+8⩽√
x2 ⇔{
−2 x+8⩽x2 −2 x+8⩾0 ⇔{
x2+2 x−8⩾0 x⩽4 ⇔{
(x +1)2−9⩾0 x⩽4 ⇔{
(x +1−3)( x+1+3)⩾0 x ⩽4 ⇔{
(x−2)(x +4)⩾0 x⩽4 x –∞ –4 2 4 x−2 – ⋮ – 0 + x +4 – 0 + ⋮ + (x−2)(x +4) + 0 – 0 + s = ]−∞;−4 ]∪[2 ; 4 ]Exercice 5 : On considère la fonction f définie par f (x )=2 x−1 −x+4 . 1. Déterminer l'ensemble de définition Df de f.
Df=]−∞; 4[ ∪] 4;+∞[
2. Étudier le signe de f sur Df .
x –∞ 12 4 +∞
2 x−1 – 0 + +
−x+4 + ⋮ + –
f (x ) – 0 + –
3. En déduire les solutions de l'inéquation 2 x−1 −x +4⩾0 . s =
[
12;4
[
Exercice 6 : On considère les droites (d) et (d') dans le repère ci-contre. 1. Donner les équations réduites de (d) et (d').
Puisque l'énoncé dit « donner », aucune justification n'est attendue et une simple lecture graphique (des coefficients directeurs et des ordonnées à l'origine) suffit pour répondre à la question posée.
(d) : y=3 4x +3 (d') : y=−1
3 x +1
2. Montrer que le couple de coordonnées du point d'intersection de ces deux droites est le couple solution du système linéaire
{
−3 x +4 y =12 x+3 y =3 . M( x ; y ) ∈ (d) ∩ (d') ⇔{
y=3 4 x +3 y=−1 3 x+1 ⇔{
4 y=3 x +12 −3 y= x−3 ⇔{
−3 x +4 y =12 x+3 y =3Remarque : il n'est pas nécessaire de travailler par équivalence puisque l'existence et l'unicité du point d'intersection des droites (d) et (d') est établie. On aurait aussi pu écrire :
Soit I le point d'intersection de (d) et (d'). On a :
{
yI=3 4 xI+3 yI=−1 3xI+1 On en déduit :{
−3 xI+4 yI=12 xI+3 yI=3Le couple (xI; yI) est l'unique solution du système
{
−3 x +4 y =123. Résoudre ce système par la méthode des combinaisons linéaires et vérifier la cohérence du résultat avec le graphique.
