Contrôle d’Alg 1 SMP-SMC 2016-17

(1)

Université Sidi Mohamed Ben Abdellah

Année Univ.2016-17

Faculté des Sciences Dhar El Mehraz

SMP-SMC

Département de Mathématiques

Contrôle d’Algèbre 1

durée : 1h30

Tous les résultats doivent être justifiés .

Exercice 1

:

(5 points)

1) Trouver un nombre complexe tel que



2



3  4i.

2) Résoudre dans C L’équation suivante :

z

2 ₋

_3iz

_{− 3}

 i 

_0.

3) Soit

A



X

4 −4

− 3i

X

3  1

 11i

X

2  12

− 8i

X

− 12 − 4i

.

En utilisant le procédé de Hőrner, trouver l’ordre de multiplicité n de 2 dans le polynôme A et le quotient de A par 

X

− 2

n.

4) En utilisant les deux questions 2) et 3), décomposer le polynôme A en facteurs irréductibles dans CX.

Exercice 2

:

(8 points)

Soit

F



X

2

1



X

− 1

2

X

 1

X

2

−2X  2

.

1) Trouver les racines du polynôme

X

2

−2X  2

_{dans C.}

2) Décomposer la fraction rationnelle F en éléments simples dans RX. 3) Décomposer la fraction rationnelle

G



3X

 1

X

2−

2X

 2

en éléments simples dans CX. 4) En déduire la décomposition de la fraction rationnelle F en éléments simples dans CX.

Exercice 3

:

(7 points)

Soient E    ,   , 2  ,   2╱,  ∈ R, u  1,1,1,1, v  1,2,1,1,

w  3, 4, 3, 3, F  vectu, v, w et B2  u, v.

1) Trouver une base B1 de E et la dimension de E.

2) Trouver deux nombres réels et  tels que w  u  v.

3) Montrer que B2 est une base de F.

4) Vérifier que B1 ∩ B2  ∅ et montrer que B1 B2 est une base de R4.

5) E et F sont-ils supplémentaires dans R4_{? (justifier la réponse).}

6) Trouver les composantes d’un vecteur a _{ x, y, z, t de R}4 _{dans la base B}

1 B2 et voir le

cas où a  1, 2, 3, 4.