Anderson localization with cold atoms : dynamics in disorder and prospects from chaos

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Anderson localization with cold atoms : dynamics in disorder and prospects from chaos

Tony Prat

To cite this version:

Tony Prat. Anderson localization with cold atoms : dynamics in disorder and prospects from chaos.

Physics [physics]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2017. English. �NNT : 2017PA066232�.

�tel-01687032�

THÈSE DE DOCTORAT

DE L'UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Spécialité : Physique

École doctorale : Physique en Île-de-France

réalisée

au Laboratoire Kastler Brossel

présentée par

Tony Prat

pour obtenir le grade de :

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Sujet de la thèse :

Localisation d'Anderson avec des atomes froids: dynamique dans le désordre et perspectives avec des modèles chaotiques

soutenue le 25 septembre 2017

devant le jury composé de :

M. Denis Basko Rapporteur

M. Nicolas Cherroret Invité

M

Leticia F. Cugliandolo Présidente du jury M. Dominique Delande Directeur de thèse M. Vincent Josse Examinateur

M. Peter Schlagheck Rapporteur

M

Patrizia Vignolo Examinatrice

Remerciements

Ces trois années de thèse furent à la fois plaisantes et enrichissantes, je le dois à de nombreuses personnes que je souhaiterais remercier ici.

Je voudrais d'abord remercier Denis Basko et Peter Schlagheck pour avoir accepté le rôle de rappor- teur. Je les remercie aussi, ainsi que les autres membres du jury, Leticia Cugliandolo, Vincent Josse et Patrizia Vignolo, pour leurs questions pertinentes lors de la soutenance.

J'ai eu la chance d'être encadré pendant ces trois années par deux directeurs de thèse investis.

La thèse doit beaucoup à la passion de Dominique et la rigueur de Nicolas. Je leur suis inniment reconnaissant pour leurs conseils, nos nombreuses discussions et plus généralement pour l'ambiance qu'ils ont su créer au sein du groupe.

J'ai passé trois excellentes années au LKB, pour cela je remercie en particulier mes co-bureaux successifs qui ont toujours illuminé le bureau 206. Merci Panayotis, Sanjib, Michael, Pierre-Elie, Thibault et Tamara. Je remercie aussi tous ceux avec qui j'ai partagé mes déjeuners, en particulier les membres de l'équipe Casimir, les métrologistes et Pierre-François.

Je remercie Lucile d'avoir accepté le rôle de marraine, et de l'avoir pleinement assumé (de la meilleure manière, en m'invitant régulièrement au restaurant).

Je suis aussi reconnaissant à Laetitia, Romain, Thierry, Monique et Nora pour leur bienveillance et leur ecacité ; avec le recul je suis surpris de la facilité avec laquelle tous les aspects administratifs ont été traités. Merci aussi aux personnes qui se sont succédées au service info et à Bintou et Annick.

Merci aussi à ceux que j'ai eu la chance de rencontrer pendant la thèse, Clément, Félix, Thimothée, Thomas, Irénée, Charlie, Nicola, Malo, Henry, Jan. Ainsi qu'à ceux que j'ai eu plaisir à retrouver ici ou là, Thibault, Félix, Loïc, et tous les collègues d'Orsay.

Enn, je souhaiterais remercier mes amis et ma famille. Merci

aux amis de Charlotte, à Séverine pour les meilleurs brunchs que j'ai connu, et aux amis de pharmas et Idriss avec qui on a toujours plaisir à partager un verre (ou deux).

aux amis d'Orsay, et aliés, pour toutes ces soirées, tous ces bons moments,

à Laure, Maël, Margot, JB, Corine et Pierre, pour votre hospitalité sans n, c'est toujours un plaisir de séjourner à Auzeville (et ailleurs),

aux amis de toujours, que j'ai toujours une grande joie à retrouver, pour votre amitié indéfectible, à la famille, pour votre générosité, pour votre soutien, et pour ce que vous êtes,

à Charlotte, d'être là, dans la sérénité comme dans l'appréhension, pour tout le bonheur que tu m'as apporté, et que tu continues à me procurer.

i

Resumé

Dans cette thèse, nous étudions théoriquement diérents eets liés à la localisation d'Anderson.

Nous nous concentrons sur le contexte des atomes froids, dans lesquels sont simulés des potentiels désordonnés ou des systèmes chaotiques. Ce résumé long en français suit la structure de la thèse en sept chapitres.

Après une introduction à la localisation d'Anderson, présentant à la fois des aspects théoriques et expérimentaux et constituant le chapitre 1, nous présentons une théorie approchée de la distribution d'énergie des nuages atomiques dans les potentiels speckles. Cette étude est menée en deux étapes.

La première est présentée dans le chapitre 2, où nous considérons les propriétés statistiques des potentiels optiques de type speckle, en particulier celles des minima d'intensité. Dans le chapitre 3, nous présentons la deuxième partie de l'étude, une méthode de calcul de la fonction spectrale et de la densité d'états, valable dans la limite de désordre fort. En utilisant les résultats obtenus au chapitre 2, nous appliquons cette méthode au cas unidimensionnel.

Dans le chapitre 4, nous caractérisons le mouvement du centre de masse de paquets d'ondes lancés avec une vitesse nie dans un potentiel aléatoire. Cette étude dévoile une manifestation nouvelle et inattendue de la localisation d'Anderson : après un mouvement initial balistique, le centre de masse du paquet présente une rétro-réexion et revient lentement à sa position initiale. Nous avons nommé ce phénomène l'eet de boomerang quantique. Le c÷ur du chapitre 4 consiste en une description analytique de l'eet de boomerang quantique en une dimension.

Dans le chapitre 5, les interactions atome-atome sont introduites dans les simulations numériques, au niveau champ moyen (Gross-Pitaevskii). Leur eet sur le phénomène de boomerang quantique est étudié. L'eet des interactions est aussi étudié dans l'étalement en énergie d'ondes planes évoluant dans des potentiels aléatoires tridimensionnels. Enn, nous discutons la façon dont les interactions aectent le pic de rétro-diusion cohérente, et, en particulier, nous trouvons, de façon inattendue, une construction incomplète du pique aux temps courts.

Dans le chapitre 6, nous prenons une direction diérente et considérons un modèle détermi- niste (quoique chaotique), le kick rotor. Nous montrons que des modèles de kicks rotors orent des perspectives intéressantes pour l'étude de localisation d'Anderson. D'une part, avec de fortes mo- tivations expérimentales et théoriques, nous présentons des éléments probants en faveur d'un kick rotor sans spin dans l'ensemble symplectique. D'autre part, le réexamen de kicks rotors modulés quasi-périodiquement, communément étudiés, révèle des résultats intrigants.

Enn, le chapitre 7 résume nos résultats et donne quelques perspectives pour de futurs travaux.

Introduction

La thèse commence par une introduction à la physique de la localisation d'Anderson. La locali- sation d'Anderson a été prédite en 1958 par Anderson. Depuis, le sujet a été l'objet de nombreux travaux. Ceci furent aussi bien théoriques qu'expérimentaux. Le sujet est aussi intéressant du point de vue mathématique, des preuves mathématiques de la localisation ont pu être obtenues. Il sera vain d'essayer de rendre compte de tous ces développement dans une thèse.

iii

iv

Concernant les aspects théoriques, nous avons donc choisi de présenter dans les grandes lignes deux théories populaires de la localisation. La première, la théorie auto-cohérente de Vollhard et Wöle, est une théorie microscopique de la localisation. L'idée est de décomposer la distribution de densité à un point

et à un temps t comme une somme interférentielle de chemins. Parmi ces diérents chemins, seuls deux classes sont prises en compte. Le choix de ces deux classes étant basé sur des arguments physiques. La première classe rassemble tous les termes non-interférentiels, c'est le Diuson, le processus associé est un processus de marche aléatoire, bien décrit par une équation de diusion aux temps longs et sur des échelles de distance susamment grandes. La deuxième classe, appelée Cooperon, correspond à ce qui est communément appelé la localisation faible. Cette contri- bution interférentielle est en eet responsable d'une réduction du transport associé au Diuson. La localisation d'Anderson survient quand le Cooperon devient important. C'est le cas en basse dimen- sions (d

2) et à désordre fort en haute dimensions. La théorie auto-cohérente permet de traiter le premier cas, sous une hypothèse de champ moyen. Cette hypothèse empêche la description du cas tridimensionnel, où la présence d'un point critique, s'accompagnant de uctuations importantes, est incompatible avec le champ moyen. Nous montrons aussi certaines limites de cette théorie en une dimension, par la comparaison avec une théorie exacte, la théorie de Berezinskii. On observe en particulier des déviations à la théorie auto-cohérente dans les ailes de la distribution de densité.

Là encore, ces déviations sont associées à des uctuations importantes, qui violent l'hypothèse de champ moyen.

La théorie d'échelle de la localisation propose une approche diérente. Adoptant un point de vue macroscopique, cette dernière consiste à étudier comment la conductance g d'un échantillon varie avec sa longueur. Cette étude est menée à travers une fonction Gell-Mann-Low β , qui encode la variation du logarithme de la conductance avec le logarithme de la taille du système. Cette théorie se base sur deux hypothèses. La première est que la fonction β considérée ne dépend que de la conductance elle-même (d'où le nom de théorie d'échelle à un paramètre). La deuxième hypothèse est la continuité et la régularité de la fonction β . La connaissance des régimes asymptotiques (à grand et petit g) clôt le raisonnement. En eet, comment nous le montrons dans la thèse, le comportement qualitatif de la fonction β se déduit directement de ces trois éléments (un seul paramètre pertinent, régularité de la fonction β et connaissance des régimes asymptotiques).

De ce comportement qualitatif, on peut tirer deux informations d'importance : la théorie d'échelle à un paramètre prédit que la localisation prévaut en basse dimensions ( d

2 ) et qu'une transition entre localisation et diusion est attendue en haute dimensions ( d > 2 ). En particulier, la possibilité d'une transition en deux dimensions a longtemps était débattue, la prédiction de la théorie d'échelle à un paramètre, en faveur de la localisation de tous les états, est aujourd'hui communément acceptée.

Après ces discussions théoriques, nous donnons dans la thèse un bref compte rendu des nombreux travaux expérimentaux associés à la localisation d'Anderson. Au départ, le sujet s'est développé autour d'expériences de matière condensée. Ces expériences ont donné lieu à de nombreux dévelop- pements, mais la richesse de la physique de la matière condensée constitue une diculté quant à l'observation directe de la localisation d'Anderson. En particulier, les interactions électron-électron ou le couplage électron-phonon rendent l'observation de la localisation d'Anderson pure très dicile.

Par la suite, de nombreuses expériences ont été réalisées dans le but d'observer la localisation d'Anderson dans des contextes diérents. En eet, la localisation d'Anderson est avant tout un phénomène d'interférences, il peut donc être observé à priori avec tout type d'ondes. Ces expériences ont permis l'observation de la localisation d'ondes très variées, parmi lesquelles les micro-ondes, les ondes élastiques, la lumière et les ondes sonores.

Plus récemment, la localisation d'Anderson d'ondes de matière a été observée avec des atomes

froids. Les plateformes expérimentales d'atomes froids orent des possibilités très intéressantes pour

l'étude de la localisation. D'une part, ces plateformes orent un haut niveau de contrôle. En parti-

v culier, les interactions inter-atomiques peuvent être maitrisées, et il est possible d'atteindre un faible couplage atome-environnement. D'autre part, les expériences utilisant le couplage lumière-matière permettent l'observation des atomes au sein même du milieu désordonné et de suivre leur évolution.

Ces possibilités clés ont donné lieu à un renouvellement de l'intérêt porté à la localisation d'An- derson. En eet, ces possibilités orent d'intéressantes perspectives expérimentales et théoriques.

Par exemple, les expériences d'atomes froids basés sur un protocole de trempe impose de prendre en compte la distribution d'énergie des atomes (au lieu de considérer uniquement l'énergie de Fermi).

L'introduction se termine par une discussion de l'eet des interactions sur la localisation d'An- derson. Deux grandes lignes de recherche sont distinguées. En premier lieu est discuté l'eet des interactions au niveau champ moyen, où de nombreux scénarios ont été étudiés. Ce point de vue, adopté par la suite dans le chapitre 5 de la thèse, est contrasté par une courte discussion sur la localisation à N corps. Cette thématique de recherche explore la possibilité d'étendre la localisation d'Anderson à des problèmes à N corps, pour lesquels la localisation est prédite dans l'espace de Fock.

Propriétés statistiques des potentiels speckles

Le deuxième chapitre de la thèse concerne les propriétés statistiques des potentiels speckles. Le chapitre commence par une introduction à la physique des atomes froids.

Dans les expériences d'atomes froids, on utilise l'interaction entre les atomes et un rayonnement lumineux monochromatique pour induire un potentiel eectif. En pratique, sous certaines conditions, la dynamique des atomes plongés dans le rayonnement peut être décrite par une dynamique hamil- tonienne, dans laquelle le potentiel extérieur est proportionnel à l'intensité lumineuse. Dans une première section de ce chapitre, nous montrons comment l'on dérive cette évolution hamiltonienne.

La dynamique des atomes plongés dans le rayonnement est bien décrite par une approximation semi-classique où les atomes sont traités quantiquement et le champ électrique composant le rayon- nement est traité classiquement. Sous l'approximation d'un atome à deux niveaux, l'hamiltonien de l'atome est alors composé de trois termes. Le premier est associé à l'énergie cinétique de l'atome, le deuxième à l'interaction dipolaire entre l'atome et le rayonnement et le troisième est consacré à l'état interne de l'atome. A partir de cet Hamiltonien, on peut calculer l'équation d'évolution de l'opéra- teur densité. Sous l'hypothèse d'un faible nombre d'atomes excités, l'équation pour la projection de l'opérateur densité sur l'état interne fondamental est fermée. Il sut alors d'intégrer le mouvement sur les micro-oscillations du centre de masse de l'atome pour obtenir qu'en eet, la dynamique de l'atome à deux niveaux se réduit à une dynamique hamiltonienne, et on trouve que le potentiel extérieur est proportionnel à l'intensité lumineuse.

A partir de ces résultats, on se rend compte que créer un potentiel désordonné se réduit à géné- rer un prol d'intensité lumineuse désordonné. Celui ci est généralement obtenu expérimentalement en transmettant un laser à travers une plaque rugueuse. Dans la thèse, nous discutons cette pos- sibilité. Nous introduisons le schéma expérimental correspondant et décrivons le prol d'intensité ainsi obtenu. Cette dernière étape consiste en l'expression du champ complexe en un point donné comme la superposition du champ diusé par chaque morceau de la plaque rugueuse (principe de Huygens-Fresnel). Il s'en suit, par le théorème de la limite centrale, que le champ complexe a une sta- tistique gaussienne, dont on déduit la statistique du potentiel résultant comme étant exponentielle.

On considère ensuite les corrélations spatiales du potentiel résultant. Celles ci se trouvent liés à la

transformée de Fourier de la distribution d'intensité au sein de la plaque rugueuse. Les corrélations

peuvent ainsi être contrôlées par l'application de masques sur la plaque rugueuse.

vi

Dans une troisième partie du chapitre, nous considérons des propriétés plus spéciques des poten- tiels speckles, celles des minima d'intensité. Plus précisément, nous nous intéressons à la distribution jointe de la profondeur et de la courbure des dits minima d'intensité. Le calcul de la distribution jointe se fait, en suivant Goodman, par l'introduction du champ complexe, dont le potentiel est le module carré. Comme nous l'avons vu, ce champ complexe est gaussien. A partir de ce champ com- plexe et de ses dérivées, elles aussi gaussienne, on obtient la distribution recherchée par changement de variable. Cette distribution a trois propriétés remarquables, importantes pour la suite de la thèse.

Premièrement elles présentent une très faible probabilité de trouver un minima dont la courbure est faible. Cette dernière a au contraire tendance à prendre une valeur typique, donnée dans la thèse en terme des propriétés du potentiel. La dernière propriété remarquable est la présence de la plupart des minima à basses énergies.

Fonction spectrale et densité d'états semi-classiques dans les poten- tiels speckles

Dans ce chapitre, on s'intéresse aux propriétés spectrales des atomes dans les potentiels de type speckle. Ces propriétés sont très importantes dans le contexte des expériences d'atomes froids. En eet, la procédure de trempe, généralement utilisée dans ce type d'expérience, peuple toute une distribution d'énergie. Les quantités physiques (libre parcours moyen, longueur de localisation, ...) dépendant de l'énergie, la dynamique totale résulte de la superposition des composantes d'énergie du paquet d'ondes.

Dans une première partie de ce chapitre, nous considérons la limite de désordre faible, où des calculs perturbatifs sont possibles. On choisit pour mener à bien ces calculs d'introduire le formalisme des fonctions de Green. A cet eet, on introduit d'abord formellement la fonction de Green, puis son développement perturbatif associé. Nous introduisons ensuite le concept de self-énergie, d'abord comme une simplication du développement perturbatif de la fonction de Green. Nous discutons ensuite son sens physique : la partie réelle déplace l'énergie alors que la partie imaginaire donne un temps de vie. Par la suite, nous discutons le sens à donner à la terminologie "désordre faible", en particulier dans le cas des potentiels de type speckle. Finalement, nous introduisons la fonction spectrale, la distribution d'énergie moyenne des ondes planes dans le potentiel désordonné.

Dans une deuxième partie du chapitre, nous motivons l'étude de la fonction spectrale. Sa connais- sance est en eet primordiale pour décrire la distribution d'énergie de paquets d'ondes arbitraires. Et la distribution d'énergie joue un rôle très important. Nous donnons quelques exemples pour lesquels la distribution d'énergie joue un rôle crucial.

Dans un premier temps, nous considérons une situation réalisée expérimentalement, où un pa- quet d'ondes initialement étroit évolue dans un potentiel speckle unidimensionnel. Ce speckle a une caractéristique intrigante : à faible désordre, le coecient de diusion est fortement énergie- dépendent, présentant des changements brusques lorsque l'énergie dépasse des valeurs spéciques.

L'évolution totale, intégrée sur toute les composantes d'énergies du paquet d'ondes, peut donc diérer de l'évolution d'une composante énergétique individuelle. En eet, à grande distance, la localisation exponentielle (habituellement attendue) est transformée en une localisation algébrique.

À l'inverse, un paquet d'ondes composé uniquement d'atomes diusifs peut apparaître proche

de localisé en raison de la fonction spectrale. En eet, même si pour une énergie donnée, le noyau

est diusif, l'évolution totale peut apparaître sous-diusive en raison de la dépendance énergétique

spécique du coecient de diusion. L'évolution totale dans ce cas ressemble à la situation où une

seule composante d'énergie avec un noyau sous-diusif est en jeu, imitant ainsi l'apparition de la

localisation d'Anderson.

vii La connaissance précise de la distribution d'énergie est également nécessaire pour la caractérisa- tion de la transition d'Anderson en trois dimensions. En eet, dans ce cas, les composantes d'énergie se répartissent des deux côtés du seuil de mobilité, la dynamique complète est alors une superposition de comportements localisés et diusifs. La connaissance de la distribution d'énergie est nécessaire pour extraire des quantités physiquement pertinentes (par exemple la position du seuil de mobilité).

La troisième partie du chapitre est consacrée à la limite de désordre fort. Comme on le montre dans la thèse, cette limite est bien décrite par des approximations semi-classiques. Nous commençons par la limite classique, en négligeant la non-commutativité de

et

. Nous comparons le résultat ainsi obtenu à des simulations numériques exactes pour trois distributions de potentiel diérentes : la distribution gaussienne, la distribution speckle rouge et la distribution speckle bleu. On trouve que pour la distribution gaussienne, la fonction spectrale est bien décrite par sa limite classique. Le cas d'une distribution speckle est plus délicat, en particulier proche de sa discontinuité où la limite classique est complètement fausse.

Pour aller plus loin, on propose une expansion en puissance de

de l'opérateur d'évolution, à partir de laquelle on déduit des corrections systématiques à la limite classique de la fonction spectrale. Cette méthode présente deux étapes principales, dans une premier temps une expansion en commutateur de l'opérateur d'évolution est présentée. A partir de cette expansion, la moyenne sur le désordre est calculée par une expansion en cumulant. Cette dernière s'appuie sur la représentation du potentiel speckle comme le module carré d'un champ complexe, ainsi d'un théorème de Leonov et Shiryaev, qui permet de mener à bien le calcul. Cette technique nous permet de calculer une correction au premier ordre non nul en

de la fonction spectrale. Cette correction ane la description de la fonction spectrale dans le cas du potentiel gaussien et des potentiels speckle loin de leur discontinuité. La problème proche de la discontinuité des potentiels speckles demeure.

Pour calculer la fonction spectrale des potentiels speckles proche de leur discontinuité, nous développons une nouvelle approche semi-classique, cette fois ci basée sur une approximation de phase stationnaire. Il apparait qu'à l'approximation de phase stationnaire et aux énergies d'intérêts (pour lesquelles l'approche précédente ne sut pas), il est possible d'approximer le potentiel speckle par des oscillateurs harmoniques (inversés) isolés. En utilisant les propriétés statistiques des potentiels speckles calculées dans le chapitre 2, on arrive à une très bonne description de la fonction spectrale proche des discontinuités des potentiels speckles.

En connectant les deux méthodes, une description satisfaisante de l'ensemble du spectre énergé- tique est possible. Notre description semi-classique fournit en outre une interprétation physique de caractéristiques intrigantes de la fonction spectrale. En particulier, pour le potentiel speckle bleu, nous avons montré que le pique de la fonction spectrale à faible énergie est essentiellement associé à l'état fondamental d'un atome dans un puits de potentiel, alors que la bosse secondaire est asso- ciée aux états excités. Nous avons également souligné qu'en dépit de leur symétrie, speckle rouge et bleu ont des caractéristiques remarquablement diérentes dans le régime semi-classique, venant de la nature des trajectoires classiques impliquées aux énergie proche de zéro : pour le potentiel bleu, ces trajectoires classiques se trouvent dans des puits potentiels profonds, alors que pour le potentiel rouge, elles sont au voisinage du sommet de puits inversés.

Ce travail a donné lieu à une publication dans Physical Review A.

Une suite logique de ce travail serait de considérer le cas tridimensionnel, impliqué dans des

questions importantes liées à la localisation d'Anderson. Cette tâche semble cependant dicile, en

raison de l'existence de courbes le long desquelles le potentiel est nul, rendant l'application de la

méthode développée dans cette thèse moins évidente.

viii

Eet de boomerang quantique

Dans ce chapitre, on s'intéresse à une situation proche de l'expérience réalisée en 2008 à Palaiseau.

Dans cette expérience, un paquet d'ondes étroit est lâché dans un potentiel désordonné et l'évolution de son prol de densité est enregistrée au cours du temps. Nous proposons de reproduire la même expérience, en donnant en plus une vitesse initiale. Dans la thèse, nous donnons une description analytique et numérique complète du mouvement du centre de masse du paquet d'ondes en une dimension.

Dans un premier temps, on considère une approche classique du problème. Celle-ci utilise le théorème d'Ehrenfest pour relier le centre de masse à la vitesse moyenne. La dynamique de la vitesse moyenne est ensuite décrite par deux équations de Boltzmann couplées. La solution de ces équations prédit un mouvement du centre de masse relativement simple : après un mouvement balistique, le centre de masse sature au libre parcours moyen. Ceci s'interprète très simplement par l'isotropisation de la distribution de vitesse aux temps courts. Une fois la distribution de vitesse isotrope, il n'y a plus de mouvement du centre de masse, celui reste à un libre parcours moyen, qu'il a parcouru avant que la distribution de vitesse ne devienne isotrope.

Nous présentons dans un deuxième temps une approche numérique permettant de simuler eca- cement ce problème. Cette méthode utilise les polynômes de Chebyshev pour obtenir une représen- tation de l'opérateur d'évolution bien appropriée à une implémentation numérique. Nous donnons quelques détails sur cette méthode et sur son implémentation. Elle est ensuite utilisée pour simuler le mouvement du paquet d'ondes initialement doté d'une vitesse initiale. On trouve que, au lieu de saturer au libre parcours moyen comme attendu, le centre de masse, après son mouvement balistique, retourne lentement à l'origine. Nous appelons cet eet l'eet de Boomerang quantique.

Dans un troisième temps, nous apportons une preuve simple de l'eet de Boomerang quantique, utilisant une expansion en modes du paquet d'ondes. Cette démonstration donne la forme nale du paquet d'ondes, parfaitement symétrique par rapport à l'origine. En étudiant numériquement la dynamique du paquet d'ondes, on observe que celui-ci subit en eet une symétrisation gauche- droite au cours du temps. Plutôt qu'à un mouvement rigide et global du paquet d'ondes, l'eet de Boomerang quantique est en fait associé à cette symétrisation.

Pour aller plus loin, et calculer le centre de masse aux temps nis, nous utilisons une technique diagrammatique. Cette technique, exacte dans la limite de désordre faible, a été introduite par Berezinskii en 1973. Dans un premier temps, nous relions le centre de masse au produit de deux fonctions de Green, ce qui nous permet d'utiliser la technique de Berezinskii pour calculer le centre de masse.

La technique de Berezinskii est basée sur une expansion perturbative du produit des deux fonc- tions de Green, qui est ensuite resommée, permettant ainsi une description non perturbative. L'ex- pansion perturbative est exprimée en termes de diagrammes, eux même constitués de vertex reliés par des lignes. Pour eectuer la resommation de ses diagrammes, un point clé est la possibilité, en une dimension, d'inclure les facteurs associés aux lignes dans les vertex. Un diagramme est ainsi le produit des facteurs associés à ses vertex. Les lignes se réduisent à des contraintes dans le choix des vertex. A partir de cette représentation en termes de vertex, il est possible de calculer les diagrammes en étudiant comment ceci changent lorsque le point initial et le point nal sont déplacés. On déduit de ce raisonnement des équations pour le centre de masse.

Ces équations demeurent compliquées, leur solution générale n'est pas connue. Une possibilité est

alors de les résoudre aux temps longs, ce qui simplie la tache et rend possible l'obtention du retour

asymptotique du paquet d'ondes à l'origine. Ce résultat est en très bon accord avec nos simulations

ix numériques aux temps longs. Pour aller plus loin, et décrire le centre de masse à tout temps, nous avons développé une nouvelle méthode de résolution des équations de Berezinskii. En eet, nous avons montré qu'il est possible de résoudre ces équations sous la forme d'une expansion de Taylor.

Cette dernière peut être calculée de façon systématique à l'aide d'un ordinateur. En calculant les 100 premiers termes de l'expansion de Taylor, on se rend vite compte que la série correspondante à un rayon de convergence ni (que nous estimons à quatre temps de diusion). Il est cependant possible de dépasser cette limite par une resommation de Padé. Cette dernière ore une excellente description du centre masse à tout temps, même quand l'approximant de Padé est d'ordre relativement bas.

La méthode de Berezinskii développée dans ce chapitre est en principe limitée au cas d'un potentiel gaussien non corrélé. Nous argumentons dans la thèse que le centre de masse suit la même courbe pour des potentiels non-gaussien et corrélés. Ses arguments sont conrmés par des simulations numériques qui montrent que le centre de masse est indépendant de la distribution du potentiel.

Pour nir, nous montrons qu'une relation simple relie le centre de masse et la largeur du paquet d'ondes. Cette relation se trouve être à la base de notre calcul du mouvement du centre de masse.

Ces travaux ont donné lieu à la rédaction d'une lettre soumise à Physical Review Letters.

Le raisonnement présenté dans la thèse et expliquant l'eet de boomerang quantique en termes de modes localisés réels s'applique en dimension quelconque. L'eet de boomerang quantique est donc attendu également en dimensions supérieures, à condition que la dynamique soit localisée. Ceci ore des perspectives intéressantes pour de futurs travaux. Par exemple, en prolongement de travaux récents sur le pique de rétro-diusion, il serait très intéressant d'eectuer une analyse numérique ne de l'eet de boomerang quantique en trois dimensions. Une autre piste de recherche intéressante serait de chercher des phénomènes similaires dans d'autres classes de symétrie (par exemple dans la classe unitaire où la compréhension qualitative de l'eet de boomerang quantique en termes de modes localisés réel ne s'applique pas).

Paquets d'ondes interagissant faiblement

Dans ce chapitre, on prend en compte les interactions atome-atome. On se place dans le contexte des gaz dilués de bosons condensés, qui décrit bien les expériences mises en ÷uvre à Palaiseau et Florence.

Dans une première partie, nous donnons une dérivation simple de l'équation de Gross-Pitaevskii.

Cette dernière décrit l'évolution de la fonction d'onde du condensat. Cette description néglige les atomes non-condensés, et la possibilité pour les atomes de sortir du condensat. Néanmoins, l'équation de Gross-Pitaevskii explique très bien de nombreux résultats expérimentaux.

Fort de cette simplication, nous introduisons ensuite, dans une deuxième partie, un méthode nu- mérique permettant de simuler l'évolution du gaz de bosons, régit par l'équation de Gross-Pitaevskii.

Cette méthode s'appuie sur la méthode développée au chapitre précédent pour intégrer numérique-

ment l'équation de Schrödinger. Nous montrons que l'inclusion de la non-linéarité revient à ajouter

des phases avant et après l'application de la méthode linéaire. Cette méthode est asymptotiquement

exacte quand le temps est inniment discrétisé. En pratique, on peut s'appuyer sur le fait que l'erreur

à temps xé décroit comme le carré du pas en temps. Cette méthode est particulièrement adaptée

à la limite de faibles interactions. Elle permet en eet de traiter ecacement la partie linéaire de

l'équation de Gross-Pitaevskii, de faible interactions n'imposant que des pas temporels raisonnables.

x

Il reste néanmoins que l'on souhaite atteindre des temps relativement longs dans nos simulations numériques. Nous souhaitons en eet accéder à des régimes de temps où la non-linéarité se fait sentir.

Pour cette raison, nous adoptons dans certaines sections un modèle réseau, plus facile à simuler numériquement. On notera que dans la limite linéaire et concernant la localisation d'Anderson, il n'y a essentiellement pas de diérence entre la physique des réseaux et celle du continu. On peut donc espérer décrire, au moins qualitativement, la physique du continu.

Pour valider notre méthode numérique, nous considérons une situation qui a fait l'objet de nombreuses études. Elle consiste à placer un paquet d'ondes à un point d'un réseau désordonné et à le laisser l'étaler. On observe alors que la non-linéarité vient perturber la localisation d'Anderson, qui prédit une saturation de l'étalement. En eet, une dynamique sous-diusive est attendue. Nous observons bien ce comportement sous-diusif dans nos simulations avec un exposant de sous-diusion en accord avec de précédents travaux.

Dans une troisième partie, nous nous tournons alors vers un problème nouveau, celui de l'eet de la non-linéarité sur l'eet de boomerang quantique. Nous étudions cette situation numériquement, et observons que la non-linéarité à l'air d'interrompre l'eet de boomerang quantique. Le boomerang quantique non-linéaire semble ne pas revenir à l'origine.

Pour comprendre un peu mieux ce phénomène, nous le comparons à un phénomène de déco- hérence. Ce dernier est étudié numériquement par l'introduction dans les simulations numérique d'un potentiel désordonné supplémentaire, dont l'amplitude varie dans le temps. Pour eectuer ces simulations, on utilise la même méthode numérique que pour le cas non-linéaire. On trouve que de façon surprenante, il est possible de reproduire presque à l'identique les courbes du mouvement du centre de masse non-linéaire avec ce modèle de décohérence. Ce résultat suggère que la non-linéarité agit ici comme une source de décohérence. On peut alors associer à la non-linéarité un temps de décohérence. Ce dernier est obtenu en considérant la diusion associé au modèle de décohérence dont le mouvement du centre de masse reproduit celui obtenu avec l'équation de Gross-Pitaevskii.

On trouve alors qu'à la non-linéarité est associée un temps de décohérence inversement propor- tionnel à la force de la non-linéarité.

Dans une quatrième partie, nous considérons la dynamique de la distribution d'énergie du paquet d'ondes. En eet, contrairement au cas linéaire pour lequel la distribution d'énergie n'évolue pas, la non-linéarité est susceptible d'induire des collisions inélastiques et donc un changement de la distribution d'énergie.

Nous commençons cette partie par un réexamen du problème de l'étalement du paquet d'ondes, qui montre l'importance de la dynamique de la distribution d'énergie. En eet, nous faisons une expérience numérique relativement simple, qui consiste à comparer deux scénarios très proches.

Dans les deux cas, nous considérons l'étalement d'un paquet d'ondes, simplement dans le premier cas l'énergie initiale du paquet d'ondes se trouve à un endroit arbitraire du spectre alors que dans le second cas, l'énergie du paquet d'ondes est choisie telle qu'elle corresponde à l'énergie pour laquelle la longueur de localisation est maximale. En eet, si dans le premier cas le paquet d'ondes est susceptible d'explorer des régions du spectre d'énergie où la longueur de localisation est grande, dans le second cas, le paquet d'ondes ne peut qu'explorer des régions où la longueur de localisation est relativement petite. Les simulations numériques révèlent que cette diérence est fondamentale, avec un transport beaucoup moins ecace dans le cas où le paquet d'ondes est dès le départ au maximum de la longueur de localisation.

Bien que les simulations du paragraphe précédent soient faite en une dimension, nous considérons ensuite le cas tridimensionnel, plus simple en ce qu'il permet de négliger les eets de localisation.

La dynamique de la distribution d'énergie peut alors être calculée. Nous comparons ce calcul à des

simulations numériques, et trouvons un bon accord. Nous pouvons alors conclure que la distribution

d'énergie évolue sur un temps caractéristique proportionnel au carré de l'inverse de la force de la

xi non-linéarité.

Nous observons cependant dans les simulations numériques une dynamique de la distribution d'énergie sur une échelle de temps beaucoup plus courte, celle du temps de diusion. Nous attribuons cette dynamique à deux eets de temps courts, liés à la dynamique du paquet d'ondes sur cette échelle de temps.

Nous considérons nalement dans une dernière partie l'eet des interactions sur le pique de rétro- diusion cohérente. De la même façon que pour la distribution d'énergie, les simulations révèlent deux temps caractéristiques. En premier lieu, aux temps courts (de l'ordre du temps de diusion), on observe une construction incomplète du pique de rétro-diusion cohérente. Ensuite, sur des temps plus longs, l'amplitude du pique diminue. Nous postulons que ces deux eets sont liés aux deux eets observés sur la distribution d'énergie.

Bien que nous ayons souligné les mécanismes physiques à l'÷uvre, notre travail a été essen- tiellement numérique. Une caractérisation analytique des eets introduits dans ce chapitre devrait permettre d'aner leur compréhension et ore des perspectives intéressantes pour de futurs travaux.

Le kick rotor, un simulateur paradigmatique de la localisation d'An- derson

Dans ce chapitre, nous changeons quelque peu de thématique. Nous considérons diérentes va- riantes de kicks rotors, qui sont des modèles déterministes. La dynamique classique de ces modèles est cependant généralement chaotique, et leur dynamique quantique essentiellement identique à celle de modèles désordonnés.

Ce chapitre s'ouvre par une section d'introduction à la physique du kick rotor. Nous y discutons notamment les réalisations expérimentales avec des atomes froids, et introduisons quelques dénitions utiles pour la suite.

Ensuite, dans une deuxième section, on introduit le concept des propriétés spectrales universelles et les ensemble de matrices aléatoires de Dyson. Nous discutons notamment du rôle central joué par les symétries par renversement du temps. Ainsi, nous introduisons les trois ensembles de Dyson, par une brève dérivation des propriétés statistiques de matrices invariantes par renversement du temps. Nous montrons notamment que les matrices appartenant à l'ensemble symplectique sont caractérisées par une dégénérescence de Kramers.

Nous donnons ensuite les formes approximées (Wigner surmise) des distributions d'espacement de niveau dans chacun des trois ensembles. Suite à quoi, nous discutons du rôle des symétries par renversement du temps pour les opérateurs de Floquet. Nous discutons aussi du lien entre les ensembles de Dyson et les classes d'universalité des systèmes désordonnés.

Après ces parties introductives, nous examinons la possibilité qu'un kick rotor sans spin soit dans la classe symplectique. On notera qu'il est communément accepté qu'une telle possibilité est exclue.

Pour trouver un kick rotor sans spin dans la classe symplectique, nous proposons de rééchir

autour du phénomène de localisation faible. Ce dernier se manifeste en eet très diéremment dans

la classe symplectique puisqu'il est transformé en anti-localisation. L'idée est alors de changer le signe

de la localisation faible. Comme nous le montrons dans la thèse, ceci est possible par introduction

d'un potentiel discontinu et d'une alternance de deux kicks d'amplitude diérentes. Comme nous le

montrons dans la thèse, ce modèle reproduit bien les signatures de l'anti-localisation, pourvu que

la discontinuité soit placée le long d'une direction supplémentaire, composée d'un petit nombre de

xii sites.

Pour aller plus loin, on se tourne vers les propriétés spectrales introduites dans la section pré- cédente. On retrouve les caractéristiques de l'ensemble symplectique, avec la présence de la dégéné- rescence de Kramers et la statistique des espacements de niveaux attendue dans cet ensemble. Nous montrons ensuite, qu'en eet, l'opérateur de Floquet commute avec un opérateur de renversement du temps, et que ce dernier est de carré

1 .

Pour aller plus loin, nous proposons de considérer le cas tridimensionnel, par l'introduction de fréquences incommensurables. Cette astuce, permettant de simuler des problèmes désordonnés de dimensions entières arbitraires à l'aide de kicks rotors modulés dans le temps, n'a jusque là été appliquée qu'à des systèmes appartenant à la classe orthogonal. Avant de se lancer dans l'étude du modèle sans spin supposé symplectique, nous vérions que l'astuce s'applique aussi au cas symplec- tique. Nous eectuons à cet eet des simulations numériques de kick rotor avec spin. Les résultats suggèrent que cette astuce ne s'applique pas dans la classe symplectique, l'exposant critique observé est en eet distinct de celui attendu pour un modèle désordonné équivalent. Nous sommes donc forcés de reporter l'étude du modèle sans spin supposé symplectique.

Pour essayer de comprendre pourquoi l'astuce usuelle, consistant à moduler l'amplitude des kicks par des produits de fonctions trigonométriques pour simuler des dimensions supplémentaires, ne fonctionne pas dans la classe symplectique, nous nous sommes intéressés à une nouvelle modulation.

Plus précisément, nous avons essayé d'identier les propriétés importantes des séquences issues de produits de fonctions trigonométriques pour simuler des problèmes désordonnés en dimensions non entière. Mise à part la compréhension des kicks rotors modulés, cette étude est aussi motivée par les perspectives intéressantes oertes par la simulation de problèmes désordonnés en dimensions non entières, telle que l'identication de la dimension critique inférieure dans l'ensemble symplectique (prédite strictement supérieur à 1 et strictement inférieur à 2) et d'explorer les conséquences de cette dimension critique inférieure non entière.

A cet eet, nous avons proposé une nouvelle séquence quasi-périodique. Cette dernière est obtenue de façon relativement similaire à la technique habituelle consistant à échantillonner des produits de fonctions trigonométriques. Plus précisément, nous proposons une fonction dont l'échantillonnage pour des arguments entiers génère une série quasi-périodique.

Les résultats sont surprenants, avec diérents régimes de sous-diusion dépendant de l'amplitude des kicks. Bien que l'objectif de simuler des problèmes désordonnés en dimensions non entières ne soit pas atteint, nous pensons que les résultats sont prometteurs.

Finalement, nous avons montré que le kick rotor constitue une excellente plate-forme pour ca-

ractériser divers aspects de la localisation d'Anderson, et avons identié trois directions de recherche

prometteuses pour de futurs travaux. Tout d'abord, déant une hypothèse communément acceptée,

nous avons présenté des éléments probants en faveur d'un kick rotor sans spin dans la classe symplec-

tique. Deuxièmement, nous avons observé que l'astuce des séquences quasi périodiques de Casati et

al. semble échouer dans la classe symplectique. Troisième, nous avons exploré la possibilité d'utiliser

de nouveaux types de séquences quasi-périodiques. Nous pensons que notre étude préliminaire dans

cette direction montre des résultats prometteurs et ouvre des perspectives passionnantes pour de

futurs travaux.

Abstract

This thesis theoretically investigates several eects related to Anderson localization, focusing on the context of disordered and chaotic cold-atomic systems.

In cold-atomic systems, optical speckle patterns are often used to create the disorder. The resulting potentials felt by the atoms dier from Gaussian random potentials, commonly assumed in the description of condensed-matter systems. In the rst part of the thesis, we discuss their specicities, with an emphasis on the spectral properties of atoms in such potentials. In particular, we derive several approximations for the spectral function.

Atom-optics experiments oer interesting possibilities, such as the possibility to directly probe the atoms inside the disordered potential. In view of these possibilities, we consider in the second part of the thesis the spreading of matter wave packets initially launched with a non-zero velocity. We nd that after an initial ballistic motion, the packet center-of-mass experiences a retroreection and slowly returns to its initial position, mimicking a boomerang. We show that this unexpected quantum boomerang eect is a consequence of Anderson localization, and describe it both numerically and analytically in dimension 1.

Atom-atom interactions are then introduced in a third part. We consider dilute condensed bosonic gases, and treat the interactions at the mean-eld (Gross-Pitaevskii) level. Various situations are studied numerically, in particular the quantum boomerang scenario, and the dynamical spreading both in momentum and energy of matter waves prepared as plane waves.

In the last part, we show that chaotic models oer interesting prospects for the study of Anderson localization. On the one hand, going against common wisdom, we present strong evidences in favor of a spinless kicked rotor in the sympletic ensemble. On the other hand, a second look at a commonly studied quasi-periodically modulated kicked rotor reveals intriguing results.

xiii

Contents

1 Introduction 1

1.1 From weak to strong localization: the self-consistent approach . . . . 1

1.1.1 Weak localization . . . . 1

1.1.2 Strong localization: the self-consistent approach . . . . 3

1.2 Berezinskii diagrammatic technique . . . . 3

1.3 Scaling theory of localization . . . . 4

1.4 Experimental observations of Anderson localization . . . . 6

1.4.1 Early condensed-matter experiments . . . . 6

1.4.2 A wave phenomenon . . . . 6

1.5 Anderson localization and interactions . . . . 7

1.5.1 Mean-eld eects . . . . 7

1.5.2 Many-body eects . . . . 8

1.6 Outline of the thesis . . . . 8

2 Statistical properties of speckle patterns 9 2.1 Dipolar potential for cold-atoms . . . . 9

2.1.1 Dipolar atom-laser interaction . . . . 9

2.1.2 Dipolar potential . . . 10

2.1.3 Taking advantage of absorption or complex internal structures . . . 12

2.2 Speckle patterns: generalities . . . 12

2.2.1 Fresnel integral . . . 13

2.2.2 On-site intensity distribution . . . 14

2.2.3 Correlation functions . . . 14

2.2.4 Numerical implementation . . . 15

2.3 Statistics of intensity minima . . . 16

2.3.1 Joint distribution P (V, ω) . . . 17

2.3.2 Density of minima . . . 19

2.3.3 Two-dimensional case . . . 20

2.4 Conclusion . . . 20

3 Semiclassical spectral function and density of states in speckle optical potentials 21 3.1 Weak disorder, perturbative calculations . . . 21

3.1.1 Perturbative treatment with Green functions . . . 22

3.1.2 The self-energy . . . 23

3.1.3 Scattering mean free time and scattering mean free path . . . 24

3.1.4 The spectral function . . . 25

3.2 Importance of the spectral function in the dynamics of cold-atoms in random potentials 26 3.3 Strong disorder, semiclassical regime . . . 27

3.3.1 Denitions and methods . . . 28

3.3.2 Smooth quantum corrections . . . 29

xv

xvi Contents

3.3.3 Treatment of low energies . . . 32

3.3.4 Spectral function and density of states in one dimension: results . . . 35

3.3.5 Validity of the harmonic-oscillator approximation . . . 37

3.3.6 Validity of the inverted harmonic-oscillator approximation . . . 37

3.3.7 Higher dimensions . . . 38

3.4 Conclusion . . . 38

3.5 Article: Semiclassical spectral function and density of states in speckle potentials . . . 39

4 Quantum boomerang eect in one-dimensional random potentials 57 4.1 Initial condition . . . 57

4.2 Classical approach . . . 58

4.3 Numerical solution . . . 59

4.3.1 Chebyshev polynomials . . . 60

4.3.2 Expansion of the evolution operator over Chebyshev polynomials . . . 60

4.3.3 Practical implementation . . . 61

4.3.4 Results for

x

. . . 61

4.4 Convergence of the density to its innite-time limit . . . 62

4.5 Center-of-mass motion from Berezinskii diagrammatic technique . . . 64

4.5.1 Center of mass in terms of Green functions . . . 64

4.5.2 Diagrammatics . . . 64

4.5.3 Equations for the center of mass . . . 69

4.5.4 Results . . . 73

4.6 General case . . . 73

4.6.1 Case of a non-Gaussian potential . . . 73

4.6.2 Case of a correlated potential . . . 74

4.6.3 Case of a broad initial wave packet . . . 75

4.7 A simple relation between

x

and

x

. . . 76

4.8 Conclusion . . . 77

4.9 Article: When Anderson localization makes quantum particles move backward . . . . 78

Appendix 4.A Solution of Berezinskii equations at long times . . . 84

Appendix 4.B Solution of Berezinskii equations from short times . . . 86

5 Weakly interacting wave packets 91 5.1 Bose-Einstein condensates in random potentials . . . 91

5.1.1 Many-body Hamiltonian . . . 91

5.1.2 Bogoliubov approximation . . . 92

5.1.3 Two-body low energy collisions and scattering potential . . . 92

5.1.4 Comments on the Gross-Pitaevskii equation . . . 93

5.2 Numerical integration of the Gross-Pitaevskii equation . . . 93

5.2.1 Numerical scheme and error estimate . . . 93

5.2.2 In practice . . . 94

5.2.3 Nonlinearity and spreading . . . 95

5.3 Nonlinear quantum boomerang . . . 96

5.3.1 Numerical experiment . . . 96

5.3.2 Comparison with decoherence . . . 97

5.4 Nonlinearity and energy distribution . . . 98

5.4.1 Motivations: a second look at spreading . . . 98

5.4.2 Numerical study of the energy distribution dynamics . . . 100

5.4.3 Short-time ( t

τ ) picture: shifting and screening . . . 101

5.4.4 Intermediate-time picture: kinetic equation . . . 102

Contents xvii 5.4.5 Density of states . . . 103 5.4.6 Comparison with numerics . . . 103 5.4.7 Innite-time equilibrium . . . 104 5.5 Nonlinearity and the coherent back scattering peak . . . 105 5.5.1 Coherent back scattering peak . . . 105 5.5.2 Numerics . . . 106 5.5.3 Physical picture . . . 106 5.6 Conclusion . . . 107 Appendix 5.A Approximations of the density of states . . . 108 5.A.1 Density of states in term of self-energy . . . 108 5.A.2 Approximations of the self-energy . . . 109 6 The kicked rotor, a paradigmatic simulator for Anderson localization 111 6.1 From chaos to disorder . . . 111 6.1.1 Classical chaotic dynamics . . . 112 6.1.2 Quantum evolution: Floquet operator . . . 112 6.1.3 Quantum evolution: pseudo-random kicked rotor . . . 113 6.1.4 From classical diusion to localization . . . 113 6.2 Universality classes and random matrix theory . . . 114 6.2.1 From a perturbative perspective . . . 114 6.2.2 Universal properties and random matrix theory . . . 115 6.2.3 Time reversal symmetry for Floquet models . . . 118 6.2.4 Critical exponents . . . 119 6.3 A spinless kicked rotor in the symplectic class? . . . 119 6.3.1 Weak antilocalization . . . 119 6.3.2 Eigenvalue statistics . . . 122 6.3.3 Time-reversal invariance . . . 124 6.3.4 Conclusion . . . 125 6.4 From incommensurate frequencies to higher dimensions . . . 125 6.4.1 Generalities . . . 125 6.4.2 Incommensurate frequencies in the symplectic class . . . 126 6.4.3 Beyond the incommensurate frequencies . . . 127 6.5 Conclusion . . . 130

7 Conclusion 133

Chapter 1

Introduction

Anderson localization, the absence of wave diusion due to destructive interference between partial waves multiply scattered by a disordered potential, was predicted theoretically in 1958 [1].

Anderson formulated the problem of localization under the form of a perturbative expansion, for which he was able to derive a convergence criterion and thus a condition for localization to occur.

Later on, various theories of Anderson localization emerged. The subject is also of interest to mathematicians, who were able to give mathematically rigorous proofs of localization [2].

In this chapter, we introduce several descriptions of Anderson localization that will be useful in the rest of the thesis. We start with the self-consistent theory of localization in section 1.1. This theory will allow us to gain intuition on the phenomenon of Anderson localization, and to introduce some important concepts. The self-consistent theory, which is a kind of mean-eld approximation, is then compared with a more rigorous approach in one-dimension, Berezinskii diagrammatic technique, in section 1.2. The scaling theory of localization is then introduced in section 1.3. By adopting a macroscopic point of view, the latter oers a dierent perspective on Anderson localization.

Anderson localization has been experimentally observed in various contexts. In section 1.4, we give a brief account of these experimental developments, and discuss the specicities of cold- atom platforms in the eld of Anderson localization. In section 1.5, we briey discuss the role of interactions, often unavoidable in experiments.

We conclude this chapter with an outline of the thesis in section 1.6.

1.1 From weak to strong localization: the self-consistent approach

1.1.1 Weak localization

In this section, we present an intuitive picture of Anderson localization. To that end, we assume that a particle is initially placed at some point

in a disordered medium, and formally express its density distribution at another point

at time t as a sum over all possible scattering paths:

n(r, t) =

X

paths i

A

2

=

paths i

A

A

| {z }

classical

+

paths i6=j

A

A

| {z }

quantum

. (1.1)

0

r i

j

scatterers

`

In this picture, A

is the partial complex amplitude associated with the scattering path i . It has a phase which depends on the path i. In equation (1.1), we have separated two contributions to

1

2 Chapter 1. Introduction the density distribution. On the one hand, the so-called classical contribution describes a random walk process where the various paths do not interfere and their intensity simply add up. The other quantum contribution, on the other hand, contains all possible interference eects. The pairs of paths responsible for the quantum contribution come with a phase factor of order k` . Here k is related to the De Broglie wave length of the particle λ, through k = 2π/λ, and ` is the scattering mean free path, the average distance traveled by the atoms between successive scattering events. If now we impose that k` 1 (this denes a weak disorder criterion, see section 3.1 for details), the quantum contribution is negligible on average. Under this approximation, the particle experiences a classical diusion process at large scales, with a diusion coecient D

:

(∂

D

)n

(r, t) = δ(r

)δ(t)

n

(r, t) =

d ω

2π d

(2π)

e

1

−

iω + D

q

, (1.2) where n

(r, t) is the disorder averaged classical density. Note that (

iω + D

q

)n

(q, ω) = 1 is the diusion equation in Fourier space. This description is however incomplete. Indeed, some carefully designed pairs of paths turn out to survive the disorder average, provided each path accumulates the same phase during its propagation. When time-reserval invariance holds, this is precisely the case for a path and its time-reserved counterpart.

r⁰ r

(a) Diuson

r⁰ r

(b) Cooperon

Figure 1.1 Two types of pairs of scattering paths contributing to the averaged density distribution:

(a) the Diuson: both paths follow the same sequence of scatterers in the same direction, and (b) the Cooperon: the two paths follow the same sequence of scatterers, but in opposite directions.

Cooperon loop

This argument leads us to keep two types of pairs of paths, the classical ones

(called Diuson) and their time-reserved counterpart (called Cooperon). They are depicted in gure 1.1. Strictly speaking, Diuson and Cooperon are symmetric upon time-reversal symmetry only when

=

. This property makes the Cooperon play a singular role: it enhances the probability of observing the particle near its starting point.

From the two building blocks in gure 1.1, we can build more complicated paths by chaining Diusons and Cooperons (see gure opposite). The Cooperons can only appear as closed loops, their occurrence during the propagation leads to a reduction of the diusion coecient

:

1For a derivation of equation (1.3), see e.g. [3].

1.2. Berezinskii diagrammatic technique 3

n

(r, t) =

d ω

2π d

(2π)

e

1

−

iω + D(ω)q

1

D(ω) = 1 D

+ 1

πρD

Z

dQ (2π)

1

−

iω + D

Q

| {z }

=n^cl(r⁰,ω)

, (1.3)

where ρ is the disorder-averaged density of states per unit volume. The reduction of the diusion coecient by interference eects is known as weak localization, and has been the subject of extensive research, in particular in condensed-matter physics, where it was tracked through its interplay with temperature, magnetic eld, spin-orbit coupling or magnetic impurities (see e.g. the review [4] and the more recent experiment [5]). Note that one can alternatively observe the Cooperon contribu- tion as a coherent enhancement of the return probability [6] or under the form of a coherent back scattering peak [7,8].

One sees that the reduction of the diusion coecient D

in equation (1.3) is proportional to the classical return probability n

(r

, ω) . As it turns out, this correction becomes signicant in low dimensions (d

2) as well as at strong disorder in higher dimensions [3].

1.1.2 Strong localization: the self-consistent approach In fact, if the quantum corrections (the Cooperon loops)

become more important, more complex scattering paths ap- pear, as shown in the gure on the right. These scattering paths may include loops nested into loops. The approximate solution to this problem has been provided by Vollhardt and Wöle in 1980 [9], who suggested to renormalize the diu- sion coecient in the return probability itself:

n

(r, t) =

dω

2π dq

(2π)

e

1

−

iω + D(ω)q

1

D(ω) = 1 D

+ 1

πρD

Z

d Q (2π)

1

−

iω + D(ω) Q

| {z }

=n^SCTL(r⁰,ω)

,

(1.4)

Vollhardt and Wöle self-consistent theory has enjoyed quite some success (see [10] for a recent review). It is however inaccurate in the vicinity of critical points, where its kind of mean-eld nature

prevents accurate determinations of critical exponents [11].

Equation (1.4) can be fully solved in 1D [12], where the resulting innite-time density prole takes the form

n

(x, t =

)

= e

4` . (1.5)

1.2 Berezinskii diagrammatic technique

Berezinskii diagrammatic technique is a rigorous approach to localization restricted to the one- dimensional (1D) case. It was developed by Berezinskii in 1973 [13] and is discussed in details in

2The correction brought by each loop is an only an average correction, possible uctuations from one loop to the other are not accounted for.

4 Chapter 1. Introduction chapter 4. As the self-consistent theory, this method is based on the resummation of a diagrammatic expansion. However, in contrast with the self-consistent theory, the choice of relevant diagrams is rigorously controlled and their summation is exact. A particularly interesting result, obtained with this technique by Gogolin [14], is the innite-time average density prole reached by an initially narrow wave packet spreading in a disordered potential

,

n

(x, t =

) =

0

d ηπ

32`

η 1 + η

sinh(πη)e

(

)

[1 + cosh(πη)]

. (1.6)

Equation (1.6) can be interpreted as an average over exponentially localized proles [∝ exp(

x

/ξ)], the integral over η accounting for the distribution of localization lengths ξ . As visible in gure 1.2, equation (1.6) somewhat diers from the result obtained using the self-consistent theory of localiza- tion, equation (1.5). The major dierence occurs in the wings, where the exact result (1.6) decays as exp (

x

/8`) . This dierence lies in the large uctuations present in the wings, which make the average prole dominated by rare events not captured by the self-consistent theory, which only describes the typical prole [15]. In the center of the prole, uctuations are much smaller [16, 17], and the self-consistent theory works well.

2000 1000 0 1000 2000

x/`

10 ^-118 10 ^-109 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 ^{-100 -91 -82 -73 -64 -55 -46 -37 -28 -19 -10 -1}

n ( x, t → ∞ ) `

Gogolin exp (

x

/ 8 ` )

4 2 0 2 4 10 ^-2

10 ^-1

exp ⁽

x

/ ² ` ⁾

Figure 1.2 Comparison between the exact Gogolin prole for the average density n(x, t

) (equation (1.6), red curve) and two simple exponential forms. In the main plot, the comparison is done with exp(

x

/8`), shown as a dashed blue line. The inset presents a zoom on the small x part, where the comparison is done with exp (

x

/2`) , shown as a dashed green line. The latter is the prediction of the self-consistent theory.

1.3 Scaling theory of localization

The seemingly simple idea of considering how the properties of a system change when its size changes can be very fruitful for describing complex systems. Inspired by the ideas developed in the context of critical phenomena in statistical physics, Abrahams, Anderson, Licciardello and Ramakr- ishnan introduced a scaling theory of Anderson localization in disordered system of nite size [18].

In the present section, we give a brief account of their contribution.

3We will come back on the conditions under which equation (1.6) is valid in section 4.4.

1.3. Scaling theory of localization 5 The idea is to describe how the dimensionless conductance g of a disordered sample scales with its size L

. Concretely speaking, one considers the Gell-Mann-Low β function, dened as

β = d ln (g)

d ln (L) . (1.7)

The key ingredients allowing to characterize the β function are the following: (i) g is the only relevant variable, so that β depends only on g (hence the name one-parameter scaling theory), (ii) the β function is continuous and regular and (iii) the knowledge of the β function in its asymptotic regimes.

On the one hand, the small g asymptotic follows from the exponential decay of the conductance, expected in the localization regime, and perturbation theory around this behavior [18],

β(g)

g→0

ln(g) [1 + αg] , (1.8)

with α > 0 . On the other hand, perturbation theory around the Ohm law provides the large g asymptotic [18]:

β(g) = d

2

a/g + . . . (1.9)

with a > 0 for spinless time-reversal invariant systems. By interpolating between these two limits, Abrahams, Anderson, Licciardello and Ramakrishnan sketched the β function in all dimensions, as reproduced in gure 1.3.

Figure 1.3 Sketch (reproduced from [18]) of the β function versus ln(g) obtained by interpolating smoothly between the asymptotic limits (1.8) and (1.9). As discussed in the main text, in d > 2 the β function crosses 0, thus exhibiting a phase transition. Its slope across 0, shown as solid-circled line, encodes the critical exponent associated to this phase transition [18]. A jump of conductivity in d = 2 , debated at the time [19], leads to the dashed line, inconsistent with the hypothesis of regularity, which instead rules in favor of localization of all states in d = 2 .

Note that the β function (1.7) can be calculated from the self-consistent theory introduced in section 1.1. Its behavior is consistent with the general prediction of the scaling theory [20].

What conclusions can we draw from gure 1.3? On the one hand, for small dimensions ( d

2 ),

the β function is always negative, i.e. the conductance decreases with increasing system size, and as