Calcul du Frobenius divisé modulo p sur la cohomologie cristalline de certains revêtements de la droite projective

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Calcul du Frobenius divisé modulo p sur la cohomologie cristalline de certains revêtements de la droite projective

Amandine Pierrot

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Amandine Pierrot. Calcul du Frobenius divisé modulo p sur la cohomologie cristalline de certains revêtements de la droite projective. 2018. �hal-01924322v2�

Calcul du Frobenius divisé modulo p sur la cohomologie cristalline de certains revêtements de la droite projective

Amandine Pierrot Université de Strasbourg,

France,

pierrot@math.unistra.fr 21 novembre 2018

Résumé

Dans cet article nous décrivons une famille de revêtements modérément ramifiés de la droite projective sur un corps fini, pour lesquels nous effectuons le calcul de la matrice du Frobenius divisé cristallin. Les formules que nous obtenons généralisent les formules de Hasse-Witt classiques dans le cas des courbes hyperelliptiques. Un des outils est un résultat récent de Huyghe-Wach qui démontre que le Frobenius divisé cristallin coïncide avec le morphisme explicite, construit par Deligne-Illusie en 1987, pour établir la dégenerescence de la suite spectrale de Hodge vers de Rham dans le cas algébrique.

Abstract

In this paper we describe a family of tamely ramified coverings of the projective line over a finite field, for which we compute the matrix of the divided crystalline Frobenius. The formulas we obtain generalize the classical Hasse-Witt formulas in the case of hyperelliptic curves. Our result relies on a result of Huyghe-Wach which shows that the divided crystalline Frobenius coincides with the explicit morphism, constructed by Deligne-Illusie in 1987, for their proof of the degeneration of the Hodge-de Rham spectral sequence in the algebraic case.

1 Introduction

Soit k un corps fini et X0 une courbe projective lisse sur Spec(k). Hasse a démontré [15] que le rang de la matrice de Hasse-Witt est un invariant important deX0 et donc de sa jacobienne. Lorsque le rang est minimal, c’est-à-dire nul, on dit que la courbe est supersingulière; lorsqu’il est maximal et donc égal à g, genre de la courbe, elle est dite ordinaire. Dans le cas d’une courbe elliptique, définie par l’équation y² = t(t−1)(t−λ), le calcul de cet invariant est déjà fait par Hasse en loc. cit. et il est donné, à un inversible modulo p près. Dans le cas des courbes hyperelliptiques et de certaines courbes de Fermat, le calcul a été fait par Gonzales [12]. Par ailleurs pour les courbes hyperelliptiques on dispose depuis peu pour le calculer d’un algorithme en temps polynomial [14].

Parallèlement, Kedlaya [22] s’est rendu compte que, lorsque X₀ est une courbe hyperelliptique, il est possible de calculer la cohomologie rigide de l’ouvert complémentaire des points de ramification de X₀. On peut en déduire la fonction Zêta de cette courbe et donc le nombre de points de la courbe.

Ce calcul a été généralisé par Tuitman dans le cas de revêtements séparables de degré nde la droite projective sur un corps fini [33][34]. Même si le contexte de notre travail est différent de celui de ces algorithmes, nous avons réutilisé certaines idées de Kedlaya, notamment celle qui consiste à se placer sur l’ouvert complémentaire du lieu de ramification pour trouver un relèvement explicite du Frobenius (cela sera explicité dans la section 5.2).

Considérons k un corps fini,W =W(k) l’anneau des vecteurs de Witt dek etK = Frac(W). On se propose dans cet article de calculer un invariant plus complet que l’invariant de Hasse-Witt pour

une certaine classe de courbes projectives lisses qui sont des revêtements séparables de degré n de la droite projective surk. Décrivons plus précisément ce dont il s’agit. SoitX une courbe projective lisse surSpec(W) qui est un revêtement séparable de degré nde la droite projective relative surSpec(W), notons X₀ sa fibre spéciale et X₀⁰ la courbe obtenue après changement de base par le Frobenius sur k. Commençons par quelques rappels sur l’invariant de X₀ que nous souhaitons calculer. En 1987 Fontaine et Messing ont donné une construction du Frobenius divisé cristallinΨ, qui est à valeurs dans le groupe de cohomologie cristalline, H_cris¹ (X₀) [10]. Or il se trouve que pour les courbes que nous considérons ici, H_cris¹ (X₀) est unW-module libre de rang fini égal à 2g. Sous nos hypothèses on sait, grâce au théorème de comparaison de Berthelot [1], que le groupe H_cris¹ (X0) s’identifie à H_DR¹ (X), et cet isomorphisme donne un isomorphisme modulo p

H_cris¹ (X0)/pH_cris¹ (X0)'H_DR¹ (X0).

Finalement, modulop, le Frobenius divisé Ψdonne un morphisme de k-espaces vectoriels Φ⁰ :H⁰(X₀⁰,Ω¹_X0

0)L

H¹(X₀⁰,O_X⁰

0)→H_DR¹ (X₀)

qui, sous nos hypothèses, est un isomorphisme. Par ailleurs, puisque le Frobenius surkest un isomor- phisme, la projection X₀⁰ → X0 est un isomorphisme de schémas, et on en déduit des isomorphismes semi-linéaires par rapport au Frobenius surk

H⁰(X0,Ω¹_X0)'H⁰(X₀⁰,Ω¹_X0

0) etH¹(X0,O_X0)'H¹(X₀⁰,O_X⁰

0).

En composant l’isomorphisme précédent avec ces isomorphismes semi-linéaires, on en déduit un iso- morphisme semi-linéaire dek- espaces vectoriels

Φ :H⁰(X0,Ω¹_X0)L

H¹(X0,O_X0)→H_DR¹ (X0).

C’est cet isomorphisme dont on cherche à calculer la matrice dans une base adaptée au scindage.

Par définition, dans la base que nous avons choisie pour la représenter, le quart inférieur droit de la matrice redonne la matrice de Hasse-Witt, tandis que le quart supérieur gauche redonne la matrice de l’opérateur de Cartier [4]. Il était déjà connu de Cartier que ces deux opérateurs se correspondent par la dualité de Serre sur X0. L’intérêt de calculer ce nouvel invariant (la matrice du Frobenius divisé) est que cela permet, après application de l’algorithme de Wach [16][35], de calculer le (ϕ,Γ)-module modulop associé à la représentation galoisienne H_et¹(X_K,Q_p), où K est une clôture algébrique de K.

Ce dernier point ne sera pas abordé ici.

Pour mener à bien le calcul de la matrice du Frobenius divisé, nous utilisons un résultat récent de Huyghe-Wach [17] qui démontre que Φ⁰ coïncide avec le morphisme construit par Deligne-Illusie en 1987 [7] pour démontrer la dégénérescence de la suite spectrale de Hodge vers de Rham. Le point remarquable de la construction de Deligne-Illusie est qu’elle est complètement algorithmique, au moins dans certains cas, comme l’illustre notre travail. Signalons enfin qu’il est standard queΦcoïncide avec le Frobenius divisé de Mazur modulop [27], qui est construit à partir d’un scindage de la filtration de Hodge, donnant un isomorphisme

H_DR¹ (X)'H⁰(X,Ω¹_X)M

H¹(X,O_X).

Enfin nous obtenons au passage une formule générale pour calculer la matrice de Hasse-Witt pour la famille de courbes considérée, formule analogue à celle obtenue par Elkin pour l’opérateur de Cartier [8].

Je remercie Christine Huyghe et Nathalie Wach qui ont encadré la thèse dont est issue cet article. Je remercie également Annette Huber-Klawitter pour m’avoir invitée à présenter mes premiers résultats en conférence. Enfin je remercie chaleureusement Xavier Caruso pour son astuce d’inversion qui a permis l’obtention de formules explicites et pour son aide pour les calculs de complexité.

2 Définition de la courbe

2.1 Cadre de travail

Dans ce texte on va considérer pun nombre premier,nun nombre entier premier àpetkun corps fini de caractéristiquep >0. On noteraW =W(k) l’anneau des vecteurs de Witt dek,K = Frac(W) et W1 = W/p²W. On écrit la droite projective P¹_W comme P¹_W = A∪B avec A = Spec(W[t]) et B = Spec(W[s])où s= 1/t.

Considérons l un nombre entier congru à −1 modulo n tel que l n’est pas multiple de p et un polynômef deW[t]de degréltel quef etf⁰ engendrent l’idéal unité deW[t]. On noterar le nombre entier (l+ 1)/netf₂(s)la fraction rationnelle

f₂(s) =f(1/s)s^rn=f(1/s)s^l+1

qui est un polynôme de W[s] de degré l+ 1. Pour finir posons z = s^ry. Dans tout ce qui suit on notera f,f⁰,f₂ etf₂⁰ les classes de ces polynômes modulop qui sont donc des éléments de k[t]etk[s]

respectivement. Nous faisons enfin l’hypothèse que t∧f(t) = 1 dansk[t]. Nous verrons au lemme 2.1 que cette hypothèse n’est en fait pas restrictive.

Remarque 2.1. Remarquons qu’avec ces hypothèses les polynômes f(t) etf⁰(t) sont premiers entre eux dansk[t].

Définition 2.1. Avec les notations précédentes, on définit un schéma affine U sur A par U = Spec(W[t, y]/(yⁿ−f(t)))

et

W[t]→ O_U(U), t7→t ainsi qu’un ouvert affine V sur B par

V = Spec(W[s, z]/(zⁿ−f₂(s))) et

W[s]→ O_V(V), s7→s.

Proposition 2.1. Les courbes U et V ainsi définies se recollent au dessus de A∩B. Les conditions de recollement sont données par t=s⁻¹ et z=s^ry.

Preuve: Montrons que l’on peut définir des isomorphismes

ρ:W[t, t⁻¹]⊗_W[t]O_U(U)→W[s, s⁻¹]⊗_W[s]O_V(V)

˜

ρ:W[s, s⁻¹]⊗_W[s]O_V(V)→W[t, t⁻¹]⊗_W[t]O_U(U)

inverses l’un de l’autre. Commençons par rappeler queW[t, t⁻¹]⊗_W[t]O_U(U)'W[t, t⁻¹, y]/(yⁿ−f(t)) et W[s, s⁻¹]⊗_W[s]O_V(V) 'W[s, s⁻¹, z]/(zⁿ−f₂(s)). Par ailleurs il existe un morphisme d’algèbres W[t, t⁻¹, y] → W[s, s⁻¹, z] qui envoie t sur s⁻¹ et y sur s^−rz = s^−(l+1)/nz. Ce morphisme passe au quotient en un morphisme d’algèbres

ρ:W[t, t⁻¹]⊗_W[t]O_U(U)→W[s, s⁻¹]⊗_W[s]O_V(V).

On définit de même le morphismeρ˜:W[s, s⁻¹]⊗_W[s]O_V(V)→W[t, t⁻¹]⊗_W[t]O_U(U)avecρ(s) =˜ t⁻¹ etρ(z) =˜ t^−ry. Il est alors facile de vérifier queρ˜◦ρ(t) =t,ρ˜◦ρ(y) =y et ρ◦ρ(s) =˜ s,ρ◦ρ(z) =˜ z.

Ainsi les ouverts U etV se recollent au dessus de l’ouvertA∩B.

Définition 2.2. En conservant les notations précédentes, on définitX comme le recollement des deux schémas U etV. C’est une courbe relative sur Spec(W).

Proposition 2.2. Par construction on a un morphisme de schémas Π : X → P¹_W. Le morphisme Π est fini et plat. De plus les applications induites par Πsur les fibres, Π0 :X0 →P¹_k etΠK :XK →P¹_K, sont des morphismes finis séparables de degré n. En particulier X est propre sur Spec(W).

Preuve: Le fait que le morphisme Π : X → P¹_W soit fini et plat est une propriété locale sur P¹_W, il suffit de montrer que U → Spec(W[t])et V →Spec(W[s]) sont finis et plats, ce qui est équivalent à montrer queW[t]→ O_U(U) etW[s]→ O_V(V)sont finis et plats. OrO_U(U)est unW[t]-module libre de rang n et de base 1, y, ..., yⁿ⁻¹. De même O_V(V) est un W[s]-module libre de rang n et de base 1, z, ..., zⁿ⁻¹ ce qui permet de conclure. En ce qui concerne le morphisme sur la fibre générique c’est alors une conséquence de ce qui précède puisque platitude et finitude sont stables par changement de base. L’argument est le même pour le morphisme sur la fibre spéciale carkest de caractéristique pet qu’on a pris soin que nsoit premier àp.

Notation 2.1. Notons X0 la fibre spéciale de X, alors X0 est la courbe sur Spec(k) définie comme étant le recollement des deux schémasU etV où

U = Spec(k[t, y]/(yⁿ−f(t))) et

V = Spec(k[s, z]/(zⁿ−f2(s)))

Lemme 2.1. Supposons que X₀ soit telle que t∧f(t) =t, alors quitte à faire une extension finie de k, il existe u dans W tel que g(t) =f(t+u) vérifie g(t)∧t= 1 mod p.

Preuve: Considéronsk⁰une extension finie dekde cardinal supérieur ou égal àl+1telle quef est scindé (à racines simples) dans k⁰. Notons 0, α2, ..., αl les racines de f et prenons v dans k⁰\{0, α₂, ..., αl}.

Alors les racines de τv(f) sont −v, α₂−v, ..., α_l−v et donc 0 n’est pas racine de τv(f). Considérons alorsu un relevé de v dans W(k⁰), g(t) =f(t+u) etY la courbe surW(k⁰) correspondant à g, alors Y0'Spec(k⁰)×_Spec(k)X0.

Ainsi quitte à faire une extension finie de kon suppose dans toute la suite que t∧f(t) = 1.

Notation. Afin d’alléger les notations du faisceau des formes différentielles de degré 1 de X0 surP¹_k on notera désormaisΩ¹_X

0 = Ω¹_X

0/Spec(k). De même on noteraΩ¹_X

K = Ω¹_X

K/Spec(K) etΩ¹_X = Ω¹_X/Spec(V). Conventions 2.1. SoientC_L une courbe lisse irréductible sur un corpsL et Q un point de C_L. On suppose que Q correspond à un idéal premier, encore noté Q, d’un ouvert affine Spec(D) ⊂ C_L et on désigne par DQ = O_CL,Q l’anneau local associé. Alors DQ est une anneau de valuation discrète d’uniformisanteξ, un paramètre local deC_Len Q. NotonsL(Q) =O_CL,Q/ξO_CL,Qle corps résiduel de C_L enQ, on a un morphisme canonique

λ_Q :D→D/Q→L(Q).

Soitf ∈D on utilisera le vocabulaire suivant

— f(Q) pourλ_Q(f)

— f est inversible au voisinage deQ pourf est inversible dans l’anneau localDQ

— v pour la valuationξ-adique deD

par ailleurs on peut étendre v_Q à Frac(D) le corps des fractions de la courbe C_L et on se permettra de la noter encore v_Q. Enfin on note Ω¹_C

L,Q le localisé en Q du module des différentielles Ω¹_C

L i.e.

Ω¹_C

L,Q=O_CL,Q.dξ et si ω∈Ω¹_C

L,Qavec ω=h.dξ on poseravQ(ω) =vQ(h).

Proposition 2.3. La courbe relativeX est un schéma lisse surSpec(W). De plus U =D(y)∪D(f⁰).

Preuve: La démonstration se réalise en deux temps. On vérifie d’abord la lissité sur U puis sur V. Soit donc Q un idéal premier de W[t, y] contenant yⁿ−f(t) et notons L(Q) le corps résiduel de Q i.e. L(Q) = Frac(W[t, y]/Q). Considérons λ :W[t, y]→ L(Q), définie via la surjection et l’injection canonique W[t, y] → W[t, y]/Q → L(Q). En vertu du critère Jacobien (cf [3] II.2 prop 7(d)), pour vérifier que la courbe est lisse, il suffit de vérifier que λ(nyⁿ⁻¹) 6= 0 ou λ(f⁰(t)) 6= 0. Comme n est inversible surW il suffit donc de vérifier queλ(y)6= 0ou λ(f⁰(t))6= 0. Supposons que λ(y) = 0alors λ(f(t)) = 0. Or f et f⁰ sont premiers entre eux dans W[t] par hypothèse donc il existe aet b dans W[t]tels queaf+bf⁰= 1 et alors on en déduit queλ(f⁰(t))6= 0.

En ce qui concerne la lissité sur V, il suffit de la tester sur les points Q de l’ouvert V tels que s= 0.

Soit L(Q) le corps résiduel de V en Q, alorsf2(s) =f(1/s)s^l+1 =sg(s) où g est un élément deW[s]

qui vérifieg(0)6= 0, puisquef(0) est non nul, et donc la classe deg dansL(Q) est non nulle. D’autre part, on af₂⁰(s) =sg⁰(s)+g(s)∈W[s]et donc dans le corps résiduel L(Q) la classe de f₂⁰ est égale à la classe deg dansL(Q) et est non nulle. Ainsi la courbeV est lisse en tout point Qde V(s) par le critère jacobien etV est lisse.

Remarque 2.2. Les polynômes en deux variablesF(Y, T)etF₂(Y, T)définis parF(T, Y) =Yⁿ−f(T) etF₂(Y, T) =Yⁿ−f₂(T), sont irréductibles.

Proposition 2.4. Pouri inférieur ou égal à2 on a

H_DRⁱ (X)'H_crisⁱ (X0).

Preuve: CommeXest un schéma propre et lisse surSpec(W)et queX₀est sa fibre spéciale, ce résultat est une conséquence directe du théorème de comparaison de Berthelot [1].

2.2 Calcul du genre de la courbe X0

Remarque 2.3. La proposition 2.3 permet d’affirmer que la courbeX0 définie précédemment est lisse surSpec(k) et queU =D(y)∪D(f⁰).

Pour calculer le genre, quitte à réaliser une extension de corps, on peut supposer que le polynôme f est scindé sur k. Considérons donc des éléments αi non nuls dek, tous distincts dans ktels que

f(t) =

l

Y

i=1

(t−α_i).

Rappelons que le polynômef2(s) est défini par

f2(s) =f(1/s)s^rn=f(1/s)s^l+1 =s

l

Y

i=1

(1−αis) et qu’il est de degrél+ 1.

Proposition 2.5. La courbe X0 est ramifiées en les l+ 1 points fermés correspondants aux idéaux maximaux

M_i= (t−α_i)OU(U) +yOU(U) et∞=sOV(V) +zOV(V) de degré de ramification n. De plus les corps résiduelsk(M_i) et k(∞) sont égaux à k.

Preuve: Nous ne démontrons pas ce résultat très classique.

Proposition 2.6. En conservant les notations précédentes, la courbeX₀ est de genre g où g= (l−1)(n−1)

2 = rn(n−1)

2 −(n−1).

Preuve: Grâce à ce qui précède, on sait que la courbe X₀ est lisse (voir proposition 2.3) or une courbe lisse est normale. De plus on a vu que Π : X0 → P¹_k est un morphisme fini séparable de degré n (voir proposition 2.2). Les conditions d’application du théorème d’Hurwitz sont donc vérifiées. On a vu à la proposition 2.5 que les degrés de ramifications des points de X₀ étaient 1 ou nmais k est de caractéristiquepetnest premier àpil n’y a donc pas de ramification sauvage pourX0. Pour un point x de X₀ on a donc e_x = 1ou e_x =n mais lorsquee_x =non a [k(x) :k] = 1 (toujours en vertu de la proposition 2.5). Ainsi la formule d’Hurwitz donne

2g(X₀)−2 =n(2g(P¹k)−2) +X

αi

(e_αi−1).

OrP¹_k est de genre nul et la somme contientl+ 1termes, on a donc2g(X0) = (l+ 1)(n−1)−2(n−1) d’où les deux égalités voulues puisque par ailleursl+ 1 =rn.

Remarque 2.4. Si on fixe n= 2 on retrouve bienr=g+ 1valeur donnée par Liu ([26] 7.4.3.).

2.3 Une action sur la courbe X₀

On suppose dans cette partie que k contient les racines n-ièmes de l’unité de Fp, une clôture al- gébrique de Fp, i.e. µ_n(Fp) est inclus dans k. Sous cette hypothèse, le polynôme Q_n(X) = Xⁿ−1 admet nracines distinctes dans k. Par ailleurs puisqu’on a supposé que netp étaient premiers entre eux, si Qn(α) est nul alors Q⁰_n(α) = nαⁿ⁻¹ est non nul. Enfin puisque k est un corps fini de carac- téristiquep,k est isomorphe à Fq, où q =p^m pour un certain entier non nul m. Dans ce cas, µ_n(Fp) est inclus dansk si et seulement sin divise p^m−1. Soit donc µn(Fp) le groupe, cyclique, des racines n-ièmes de l’unité. Soit ζ ∈µn(Fp) une racine primitiven-ième de l’unité.

On définit δ surk[t, y]par

δ: (t, y)7→(t, ζ⁻¹y) qui passe au quotient en

δ: O_U(U) −→ O_U(U)

t 7−→ t

y 7−→ ζ⁻¹y de même on définit δ surk[s, z]par

δ : (s, z)7→(s, ζ⁻¹z) qui passe au quotient en

δ: O_V(V) −→ O_V(V)

s 7−→ s

z 7−→ ζ⁻¹z

et ces deux applications se recollent surU ∩ V. Donc δ induit un morphisme deX0 dansX0 qui décrit l’action deµ_n(Fp) surX₀. Par fonctorialitéδ induit un morphisme surΩ¹_X

0, notéδ^∗. Cette action est déduite de la précédente par différentiation, on a donc la description suivante

δ^∗ : Ω¹_X0(U) −→ Ω¹_X0(U)

dt 7−→ dt

7−→ ⁻¹

δ^∗ : Ω¹_X

0(V) −→ Ω¹_X

0(V)

ds 7−→ ds

dz 7−→ ζ⁻¹dz

3 Bases des différents espaces de cohomologie

Notation. On appelle point à l’infini le point de V correspondant à l’idéal engendré par s etz dans k[s, z]/(zⁿ−f2(s)). Ceci définit un diviseur que l’on notera∞

Définition 3.1. Soit σ_k le Frobenius sur k (i.e. l’élévation à la puissance p), alors σ_k induit un morphisme de schémas Spec(k) →Spec(k). Si Y est un schéma sur Spec(k) on notera Y₀⁰ le schéma Spec(k)×_Spec(k)Y, où le produit fibré est pris au-dessus de σk.

Dans ce qui suit nous donnons une description de différents groupes de cohomologie attachés àX₀ etX₀⁰.

3.1 Une base de H⁰(X₀,Ω¹_X

0)

Proposition 3.1. Lek-espace vectorielH⁰(X₀,Ω¹_X

0) est de dimensionget admet pour base la famille ωi,j = tⁱdt

y^j avec1≤j ≤n−1 et0≤i≤rj−2 où pour mémoire r= (l+ 1)/n.

Preuve: Comme X₀ est propre et lisse (proposition 2.3) alors le faisceau Ω¹_X

0 est localement libre et H⁰(X0,Ω¹_X0) est un k-espace vectoriel de dimension finie. Par ailleurs le fait qu’il soit de dimension g est un résultat découlant directement du théorème de Riemann-Roch. Montrer que la famille ω_i,j considérée est une famille d’éléments deH⁰(X₀,Ω¹_X

0)revient à montrer que pour toutQpoint de X₀, vQ(ωi,j)≥0(avec les conventions 2.1). Par ailleurs on a vu queU =D(y)∪D(f⁰)et donc qu’un point de X₀ est soit un point deD(y), soit un point de ramification (contenu dans D(f⁰)). Il est clair que ω_i,j ∈ Ω¹_X

0(U ∩D(y)) (sans condition sur j et avec i supérieur ou égal à 0) il n’y a donc plus qu’à considérer le cas oùQest un point de ramification de la courbe. SiQ∈W(y)⊂D(f⁰) est un point de ramification deU, i.e siΠ(Q) = (t−α_i)k[t]avecα∈ {α₁, ..., α_l}, alors un paramètre local enQesty il faut donc commencer par exprimerω_i,j selon dy. Or on a la relationyⁿ=f(t)doncnyⁿ⁻¹dy=f⁰(t)dt et on peut exprimerωi,j sur D(f⁰) par la formule

ω_i,j = tⁱy^n−1−j f⁰(t) dy

ainsi vQ(ωi,j) = ivQ(t) + (n−1−j)vQ(y)−vQ(f⁰(t)) =ivQ(t) +n−1−j. En effet t =t−αi+αi

doncf⁰(t)est inversible dansA_Q. De plusα_i est non nul doncv_Q(t)vaut0etv_Q(ω_i,j) =n−1−j qui est supérieur ou égal à0 dès quej est inférieur ou égal àn−1. Si maintenant Qest le point à l’infini défini précédemment, Π(Q) =sk[s]et un paramètre local enQ estz. Il faut donc exprimerωi,j selon s,zetdz. On utilise les formules t= 1/sety=s^−rz où pour mémoirer= (l+ 1)/n. On a alors

ωi,j =−s^rj−2−i

z^j ds=−ns^rj−2−iz^n−1−jdz

etv_Q(ω_i,j) =n(rj−2−i) + (n−1−j). Mais commeiest inférieur ou égal àrj−2etj inférieur ou égal àn−1alorsv_Q(ω_i,j)est supérieur ou égal à0, ce qui achève de montrer que la famille considérée

est une famille de H⁰(X₀,Ω¹_X

0). Pour montrer qu’elle est linéairement indépendante surk, il suffit de montrer qu’elle l’est en restriction à U ∩D(y). OrΩ¹_X

0(U ∩D(y))est un O_X0(U ∩D(y))-module libre de basedt. Plus précisément

Ω¹_X0(U ∩D(y))'

l−1

M

i=0

k[y, y⁻¹]tⁱdt.

Alors en restriction à U ∩D(y) les ωi,j forment un k-module libre et la famille est donc libre dans H⁰(X₀,Ω¹_X

0). Pour conclure il suffit de montrer qu’elle contientgéléments pour montrer que c’est une base deH⁰(X0,Ω¹_X0). Or elle contient :

n−1

X

j=1

(rj−1) =r

n−1

X

j=1

j−(n−1) =r(n−1)n

2 −(n−1) =g éléments, c’est donc bien une base du k-espace vectoriel considéré.

Lemme 3.1. On conserve les notations du théorème précédent. Alors (i) Ω¹_X0(U ∩D(y)) =H⁰(X0,Ω¹_X0)⊕





l−1

M

i=0

k[y]tⁱdt⊕M

j≥n l−1

M

i=0

ky^−jtⁱdt⊕

n−1

M

j=1 l−1

M

i=rj−1

ky^−jtⁱdt





(ii) Ω¹_X0(V) =H⁰(X0,Ω¹_X0)⊕



k[s]ds⊕

n−1

M

j=1

M

i≥rj−1

ksⁱz^−jds





Preuve: A la fin de la démonstration de la proposition 3.1 on a établi que Ω¹_X0(U ∩D(y))'

l−1

M

i=0

k[y, y⁻¹]tⁱdt

ce qui donne immédiatement la décomposition en somme directe du (i). En ce qui concerne le résultat sur le faisceau Ω¹_X

0(V)commençons par montrer qu’il est libre, engendré par

−ωr(n−1)−2,n−1 =−t^r(n−1)−2dt yⁿ⁻¹ = ds

zⁿ

la dernière égalité étant évidente au vu des conditions de recollement. Dans Ω¹_X0(V) on a la relation nzⁿ⁻¹dz −f₂⁰(s)ds = 0, de plus comme X₀ est lisse on a V = D(z)∪D(f₂⁰(s)). Il est clair que ωr(n−1)−2,n−1 est un élément de Ω¹_X0(V ∩D(z))et queΩ¹_X0(V ∩D(z))est engendré par

ds=zⁿ⁻¹(−ωr(n−1)−2,n−1)

donc aussi par (−ωr(n−1)−2,n−1) le faisceau Ω¹_X0(V ∩D(f₂⁰(s))) est quant à lui engendré par dz= −1

n f₂⁰(s)ωr(n−1)−2,n−1

(où la division parnest licite car nest premier àp) et donc aussi par (−ωr(n−1)−2,n−1) ce qui montre notre affirmation. De plus on a

O_X0(V) =k[s, z]/(zⁿ−f₂(s)) =

n−1

M

j=0

k[s]z^j

et commeΩ¹_X

0(V) est libre engendré par(−ωr(n−1)−2,n−1)on a Ω¹_X0(V) =

n−1

Mk[s]z^j ds zⁿ⁻¹ =

n−1

Mk[s]ds z^j