Mines Physique 2 MP 2011 — Corrigé

(1)

Mines Physique 2 MP 2011 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Pierre Lacas (Professeur agrégé) ; il a été relu par Em- manuel Bourgeois (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Le sujet traite de différents aspects de la conduction électrique en régime stationnaire et lentement variable, en particulier en présence d’un champ magnétique appliqué. Il se compose de deux parties indépendantes.

• La première étudie une plaque semi-conductrice parcourue par un courant en régime stationnaire. D’abord, on s’intéresse à la mesure directe de la conducti- vité du matériau pour aboutir à la méthode « quatre points ». De nombreuses questions guident la démarche, mais aucun résultat intermédiaire n’est fourni.

Ensuite, on aborde le phénomène de l’effet Hall, c’est-à-dire l’étude de la plaque semi-conductrice en présence d’un champ magnétique statique et uniforme, dans le contexte du modèle de Drude. Cette partie du sujet, plus calculatoire, se termine par la détermination de l’expression de la résistance de Hall, aux multiples applications dans le domaine des capteurs.

• La seconde partie aborde la conduction dans un plasma soumis à un champ électromagnétique lentement variable. Les quatre sections qui la composent sont indépendantes. La première place l’étude dans le cadre de l’approximation des régimes quasi-stationnaires. La deuxième concerne une étude dynamique préliminaire sur une « particule » de plasma. La troisième aborde le modèle du plasma collisionnel. Aucune connaissance sur la théorie des chocs n’est nécessaire ; on utilise les lois de conservation pour un système à deux corps.

Enfin, le sujet se termine par l’étude d’un type d’ondes pouvant se propager dans le plasma : les ondes magnétohydrodynamiques d’Alfvén. Elle est menée dans le cas simplifié du conducteur parfait et on cherche des solutions mo- nochromatiques planes pour l’onde de vitesse dans le plasma. Elle aboutit à l’expression de la célérité de ces ondes, ou vitesse d’Alfvén. Si l’énoncé cite des conséquences astrophysiques, l’application numérique finale concerne le cas du mercure liquide, qui constitue une situation de laboratoire.

Dans l’ensemble, la longueur du sujet est raisonnable. Si l’on excepte quelques questions qui concernent les équations de Maxwell, ainsi que la sous-partie II.D, tout le reste du sujet, c’est-à-dire plus de la moitié de l’épreuve, peut être traité en utilisant le programme de première année.

Téléchargé gratuitement surDoc-Solus.fr

(2)

Indications

Partie I

1 Utiliser la conservation de la charge en tenant compte de la géométrie cylindrique.

Ensuite, utiliser−→

E =−−−→

grad V.

2 La médiatrice de AD constitue un axe d’antisymétrie pour−→

, donc pour−→ E. 8 Appliquer l’équation locale de conservation de la charge.

9 Utiliser le formulaire d’analyse vectorielle et au résultat de la question 8. Le champ magnétique est uniforme.

10 Pour montrer queρ= 0, prouver quediv −→ E = 0.

11 Exprimer−→

 sur l’axe (y^′y)en utilisant le principe de superposition (voir I.A).

En utilisant le résultat de la question 7, en déduire la composanteEy du champ électrique sur cet axe.

Partie II

14 Un ion a une masse au moins égale à celle d’un proton.

15 Exprimer la vitesse du centre de masse du système {ion + électron}.

17 La force exercée par les électrons sur les ions peut être obtenue grâce au principe des actions réciproques.

18 Mettre en équation les lois de conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement pour le système isolé des deux particules, avant et après le choc.

20 Exprimer la force moyenne en évaluant la variation de quantité de mouvement sur un choc de durée très brève.

22 Penser aux équations de Maxwell-flux et de Maxwell-Ampère.

23 Utiliser l’équation du mouvement simplifiée.

24 Le plasma est un très bon conducteur :−→ E =−−→

V ∧−→

B. Pour le calcul de −→ rot−→

E, il ne faut garder que le terme du premier ordre en −→

b⁰. La célérité cA s’obtient grâce à la relation de dispersionω=f(k).

(3)

À propos de conduction électrique

I. Conduction dans un solide semi-conducteur

I.A Mesure directe de la conductivité

1 Considérons le volume V formé par un cylindre d’axe(Az)et de rayonrreprésenté ci-contre. En régime permanent, d’après la loi de conservation de la charge, le courant électrique est identique à l’entrée et à la sor- tie deV, d’où

A• i

V

S r

−

→ d−→

S

ε

i= ZZ

S

−

→ · d−→ S

Or, −→

 · d−→

S =j(r)rdz dθ Et donc

ZZ

S

−

→ · d−→ S =

Z ε

0

Z ²π

0

r j(r) dzdθ= 2π r ε j(r)

Finalement, j(r) = i

2π r ε

La dépendance en1/r de la densité de courant dans le matériau ne traduit pas une atténuation, mais le fait que la surface que les charges traversent est proportionnelle à la distancer.

Pour obtenir la différence de potentiel entre deux points de la plaque, déterminons le champ électrique au moyen de la loi d’Ohm

−

→E =

−

→

γ = i

2π r ε γ

−

→er

Or, par définition du potentiel,−→

E =−−−→

grad V; il s’ensuit dV

dr =− i 2π r ε γ En intégrant entrer¹et r², on en déduit

V(M1)−V(M2) = i 2π γ εln

r2

r1

2 Dans un premier temps, adaptons le résultat précédent dans la situation où, cette fois, il n’y a que le contact en D. Pour cela, il faut :

• remplacer les distancesr1 et r2 parr1^′ etr^′2;

• substituer−iài, car cette fois le courantiest sortant.

(4)

Il vient alors [V(M1)−V(M2)]D seul=− i 2π γ εln

r^′2

r^′1

Avec les deux contacts, la différence de potentiel s’obtient en utilisant le théorème de superposition. En additionnant ce résultat et celui de la question précédente, il vient

V(M¹)−V(M²) = i 2π γ ε

lnr²

r1

−lnr2^′

r1^′

Sur la médiatrice de[AD],r1=r1^′ etr2=r2^′, si bien que V(M¹)−V(M²) = 0

Cela signifie que l’intersection du plan médiateur de [AD] et de la plaque semi- conductrice constitue une surface équipotentielle. Ce résultat était prévisible, car il s’agit d’un plan d’antisymétrie pour la distribution de courant. On en déduit que−→

, et donc−→

E (d’après la loi d’Ohm) — vecteurs polaires — sont normaux à ce plan en tout point de sa surface. Or, toute surface en tout point de laquelle−→

E est normal constitue une équipotentielle.

En effet, envisageons un déplacement élémentaire d−→

ℓ à partir d’un point M en restant sur la surface considérée. Pour tout point M,

dV =−−→

E (M)· d−→ ℓ = 0 Elle constitue donc bien une équipotentielle.

En outre, signalons que le théorème de superposition s’applique ici, car les lois de l’électromagnétisme sont traduites par des équations linéaires.

3 Soit M1 — respectivement M2— l’intersection de[AD]et de la surface de l’électrode située en A — respectivement en D. Les élec- trodes étant des équipotentielles, on a

V(M1) = VA et V(M2) = VD

A• •M¹ •D M²•

a a

ℓ

Commer¹ =a,r²=ℓ−a,r^′1=ℓ−aet r2^′ =a, on obtient successivement, d’après la question 2

V^A−V^D = i 2π γ ε

lnℓ−a

a −ln a ℓ−a

= i π γ εln

ℓ−a a

= i π γ εln

ℓ a−1

VA−VD ≃ i π γ εln

ℓ a

si ℓ a ≫1 Dans cette approximation, l’expression de la résistance électrique de la plaque (définie parR = UAD/i) est ainsi

R≃R0ln ℓ

a

avec R0= 1 π γ ε