Identification passive des milieux de propagation élastiques. Application à la reconstruction géométrique des réseaux de capteurs et au diagnostic des structures

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Identification passive des milieux de propagation élastiques. Application à la reconstruction géométrique

des réseaux de capteurs et au diagnostic des structures

Mikael Carmona

To cite this version:

Mikael Carmona. Identification passive des milieux de propagation élastiques. Application à la re-

construction géométrique des réseaux de capteurs et au diagnostic des structures. Autre. Université

de Grenoble, 2011. Français. �NNT : 2011GRENT057�. �tel-00656412�

TH ` ESE

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSIT ´ E DE GRENOBLE

Sp ´ecialit ´e : Signal, Image, Parole et T ´el ´ecoms

Arr ˆet ´e minist ´erial : 03 Septembre 2008

Pr ´esent ´ee par

Mikael CARMONA

Th `ese dirig ´ee par Olivier MICHEL

pr ´epar ´ee au sein du CEA-L ´eti et de l’Ecole Doctorale EEATS

Identification passive des milieux de propagation ´elastiques.

Application `a la reconstruction de g ´eom ´etries dans les r ´eseaux de capteurs et au diagnostic des structures.

Th `ese soutenue publiquement le 20 Septembre 2011, devant le jury compos ´e de :

M. Bernard CASTAING

Professeur, ENS Lyon, Pr ´esident

M. C ´edric RICHARD

Professeur, Universit ´e de Nice, Rapporteur

M. Julien De ROSNY

Charg ´e de Recherche, CNRS Paris, Rapporteur

M. Philippe ROUX

Charg ´e de Recherche, ISTERRE, Examinateur

M. Fr ´ed ´eric BOURQUIN

Ing ´enieur en chef, IFSTTAR, Examinateur

M. Jean-Louis LACOUME

Professeur, Gipsa-Lab/CEA-L ´eti, Examinateur

Mme Barbara NICOLAS

Charg ´e de Recherche, Gipsa-Lab, Examinatrice

M. Olivier MICHEL

Professeur, GIPSA-Lab, Directeur de th `ese

Mme Nathalie SPRYNSKI

R´ esum´ e

L’identification passive d’un syst` eme r´ eside dans l’estimation des param` etres qui d´ ecrivent ce syst` eme uniquement ` a l’aide de sollicitations ambiantes. Dans le g´ enie civil, cette discipline est appliqu´ ee pour le suivi de l’´ etat de sant´ e des structures, on parle de SHM (Structural Health Mo- nitoring) passif. Le SHM passif est g´ en´ eralement r´ ealis´ e ` a l’aide d’une instrumentation d´ eploy´ ee en surface. La th` ese s’est int´ eress´ ee aux possibilit´ es offertes par une instrumentation qui serait enfouie.

Dans une premi` ere partie, on ´ etablit les r´ esultats associ´ es ` a l’identification passive des milieux visco-´ elastiques. L’originalit´ e de ces travaux r´ eside dans la prise en compte d’un mod` ele de dis- sipation r´ ealiste, la viscosit´ e, ainsi que du caract` ere vectoriel des ondes ´ elastiques. Ces r´ esultats th´ eoriques sont valid´ es exp´ erimentalement et d´ emontrent la portabilit´ e du SHM passif en surface au SHM passif en volume.

Dans une deuxi` eme partie, on s’int´ eresse ` a deux probl` emes attach´ es ` a l’enfouissement de cap- teurs : l’estimation passive de leur position (probl` eme SNL, Sensor Network Location problem) et de leur attitude (probl` eme SNA, Sensor Network Attitude problem). Ces probl` emes sont r´ esolus grˆ ace ` a l’identification passive qui fournit, en plus d’information physique sur le milieu, des infor- mations g´ eom´ etriques sur le r´ eseau. En particulier, on peut estimer des distances et des attitudes relatives entre capteurs. A l’aide de ces informations partielles et bruit´ ees, des algorithmes de r´ esolution des probl` emes SNL et SNA ont ´ et´ e d´ evelopp´ es puis valid´ es exp´ erimentalement.

Enfin, on synth´ etise l’apport de la th` ese et on identifie les verrous technologiques ` a lever afin de justifier la faisabilit´ e de l’enfouissement d’un r´ eseau de capteurs dans le but de faire du SHM passif.

Mots-Cl´ es : identification passive, milieux visco-´ elastiques, fonction de Green, corr´ elation de

Green, identit´ e de Ward, surveillance des structures, localisation de capteurs, estimation d’atti-

tudes, instrumentation.

Abstract

Passive identification of a system relies on the estimation of the parameters which describe that system only by using ambient sources. In civil engineering, we can apply this technique to monitor the state of health of structures. This is called passive SHM (Structural Health Monito- ring). Passive SHM is generally realised by using an instrumentation distributed on the surface.

This thesis focuses on the possibility given by the use of an embedded instrumentation.

In the first part, we establish new results associated to passive identification in visco-elastic media. The originality of this work relies on the consideration of a realistic dissipation model, the viscosity, and the vectorial aspect of elastic waves. Those theoretical results, which are ex- perimentally validated, prove the portability of surface passive SHM to volume passive SHM.

In the second part, we focus on two problems related to an embedded sensors network : the passive estimation of sensors position (SNL problem - Sensor Network Location problem) and attitude (SNA problem - Sensor Network Attitude problem). Those problems are solved by using passive identification which gives, besides physical information on the medium, geometrical in- formation on the network. In particular, we can estimate the distances and relative attitudes between sensors. With that partial and noisy information we have developed algorithms solving SNL and SNA problems and we have validated them experimentally.

At last, we synthesize the contribution of the thesis and we identify the technological locks to release in order to justify the feasibility of passive SHM using an embedded instrumentation.

Keywords : passive identification, visco-elastic media, Green function, Green correlation, Ward

identity, structural health monitoring, sensors localisation, attitude estimation, instrumentation.

Remerciements

Je tiens tout d’abord ` a remercier les membres du jury : M. Castaing, M. De Rosny, M. Ri- chard, M. Bourquin et M. Roux pour avoir accept´ e de pr´ esider, de rapporter et d’examiner ce travail.

Je souhaite remercier chaleureusement mon directeur de th` ese, Olivier Michel. Pendant ces trois ans, j’ai pu profiter de sa pluridisciplinarit´ e, de sa patience et de ses conseils. Je lui dois en grande partie l’exp´ erience que j’ai pu acqu´ erir pendant cette th` ese. Je tiens ` a remercier Jean- Louis Lacoume pour ˆ etre l’initiateur du sujet et m’avoir permis de b´ en´ eficier de son exp´ erience.

Je remercie Nathalie Sprynski pour son suivi constant et consciencieux dans cette th` ese. Je re- mercie Barbara Nicolas pour ses analyses fines et rigoureuses. Merci aussi ` a Fran¸ cois Frassati avec qui j’ai pu ´ echanger et apprendre d` es mon arriv´ ee dans le laboratoire LCFE.

Je remercie Dominique Vicard pour m’avoir fait confiance en tant que doctorant et d´ esormais en tant qu’ing´ enieur-chercheur. Merci ´ egalement ` a Roland Blanpain de rendre cette suite pos- sible.

Je remercie Philippe Klein pour son aide pr´ ecieuse en ´ electronique. Merci ` a Angelo Guiga pour sa disponibilit´ e. Je remercie ´ egalement Patrick Schermesser et Laurent Jouanet pour tout ce qu’ils m’ont appris et continuent ` a m’apprendre. Merci ` a Christophe Villien pour ces discussions sur la th´ eorie de l’estimation qui se poursuivent encore. Avec un peu de retard mais avec toute ma sinc´ erit´ e, je remercie Andr´ ea Vassilev pour m’avoir fait d´ ecouvrir le CEA-L´ eti en tant que stagiaire et pour son enseignement pendant ce stage. Cette exp´ erience a ´ et´ e en effet initiatrice de ma volont´ e ` a continuer en th` ese au CEA-L´ eti. Merci ` a l’ensemble des agents CEA avec qui j’ai pu ´ echanger et apprendre pendant ces trois ann´ ees.

Je souhaite remercier Rim, Bertrand, Anne-C´ ecile, Nawres, Mathieu et Saifedine ` a titre de

”coll` egues doctorants” et ` a qui je souhaite bonne chance pour la fin de leur doctorat.

Enfin, je remercie ma femme, ma famille et mes amis pour leur soutien pendant mes ´ etudes et notamment pendant ma th` ese.

Merci ` a tous,

Mikael

Table des mati` eres

Remerciements 5

Introduction. 9

I Identification passive des milieux de propagation dissipatifs. Ap- proche syst` eme et utilisation de la corr´ elation de Green. 12

1 Une vue d’ensemble. 13

1.1 Terminologie de l’identification passive. . . . . 14

1.2 Mod´ elisation des milieux ´ elastiques. . . . . 20

1.3 Etat de l’art sur l’identification passive. . . . ´ 22

1.4 Conclusion. . . . 28

2 Identification passive des milieux visco-´ elastiques. 29 2.1 Identit´ e de Ward g´ en´ erale. . . . 31

2.2 Propagation visco-´ elastique. . . . 36

2.3 Corr´ elations de Green et identit´ es de Ward visco-acoustique et visco-´ elastique. . 42

2.4 Exp´ erimentations en acoustique. . . . . 46

2.5 Exp´ erimentations en sismique. . . . . 70

2.6 Conclusion. . . . 72

II Estimation de positions et d’attitudes dans les r´ eseaux de cap- teurs via des donn´ ees partielles 73 3 Estimation de positions dans les r´ eseaux de capteurs via une matrice de dis- tances. 74 3.1 Terminologie et formalisation du probl` eme. . . . 76

3.2 R´ esolution du cas complet. . . . . 83

3.3 Un nouvel algorithme pour le cas incomplet et bruit´ e. . . . 90

3.4 Conclusion. . . . 104

4 Estimation d’attitudes dans les r´ eseaux de capteurs via une matrice d’atti- tudes relatives. 105 4.1 Terminologie et formalisation du probl` eme SNA. . . . 107

4.2 R´ esolution du probl` eme SNA complet et bruit´ e. . . . 110

4.3 Performances. . . . 115

4.4 Validation exp´ erimentale. . . . 117 4.5 Conclusion. . . . 121

III Perspectives d’application. 123

5 Vers une application au diagnostic des structures. 124 5.1 Applications des travaux au SHM. . . . 126 5.2 Verrous techniques et technologiques : les perspectives. . . . 131 5.3 Conclusion. . . . 135

Conclusion. 137

Bibliographie 141

Annexes. 150

A Identification passive des milieux born´ es. 150

A.1 Introduction . . . . 150

A.2 Propagation dans un milieu born´ e. . . . 151

A.3 Corr´ elation de Green et identit´ es de Ward exactes et approch´ ees. . . . 155

B Recherche d’une clique localisable de fiabilit´ e maximale. 158

Introduction.

Le diagnostic des ouvrages d’art est un domaine essentiel du g´ enie civil. Ces structures su- bissent des contraintes continuelles et se d´ egradent au cours du temps. Le suivi de leur ´ etat de sant´ e (SHM, Structural Health Monitoring) permet d’intervenir sur l’ouvrage pour le r´ eparer ou le mettre hors service afin d’´ eviter des dysfonctionnements aux cons´ equences humaines et

´

ecologiques graves : chute d’un pont, effondrement d’un barrage, faille dans un p´ etrolier, etc.

Initialement actives, les m´ ethodes de SHM utilisent d´ esormais les ´ energies ambiantes (vent, pluie, vagues, trafic routier, trafic ferroviaire, activit´ e humaine, etc.) pour obtenir de l’informa- tion sur la structure [Cremona04]. Ces techniques, dites de SHM passif, sont bas´ ees sur une instrumentation d´ eploy´ ee en surface. Elles offrent un suivi de l’´ etat de sant´ e global performant dans la d´ etection de d´ efauts, mais elles restent peu fiables pour les localiser et les identifier.

La th` ese s’inscrit dans un vaste projet amorc´ e par le D´ epartement Syst` eme et Int´ egration Syst` emes du CEA Grenoble qui consiste ` a d´ evelopper une solution de SHM ` a partir d’une instru- mentation enfouie dans la structure. L’int´ erˆ et r´ eside dans la possibilit´ e d’extraire des informations locales inaccessibles par une instrumentation qui serait en surface.

La consid´ erable r´ eduction de l’encombrement des composants ´ electroniques permet la concep- tion de syst` emes de dimensions microm´ etriques. On peut alors envisager de disperser des micro- syst` emes dans un ouvrage, pendant son ´ edification, autonomes en ´ energie et capables de dialoguer avec un syst` eme de r´ eception ext´ erieur ` a la structure. Les ´ energies ambiantes seraient, d’une part, r´ ecup´ er´ ees pour alimenter le r´ eseau, et d’autre part, mesur´ ees puis trait´ ees pour obtenir de l’in- formation sur l’´ etat de sant´ e de l’ouvrage.

Le projet est encore ` a l’´ etat exp´ erimental. En effet, le packaging, l’alimentation et la com- munication d’un r´ eseau de capteurs enfouis m` enent ` a des verrous techniques et technologiques qu’il faut encore ´ etudier pour qu’un tel projet soit faisable. Cette th` ese intervient, en amont, dans la recherche d’une m´ ethodologie envisageable pour le SHM passif via une instrumentation en volume.

Les ´ etudes bibliographiques du SHM montrent que ce domaine rel` eve d’un domaine plus g´ en´ eral, l’identification des milieux de propagation ´ elastiques. L’id´ ee consiste ` a d´ eployer un r´ eseau de capteurs autour, en surface ou dans le milieu. Les champs g´ en´ er´ es par les sources d’excita- tion du milieu sont mesur´ es. Les donn´ ees sont ensuite trait´ ees pour obtenir de l’information sur le milieu, par exemple son ´ etat de sant´ e, et sur l’instrumentation elle-mˆ eme, par exemple sa g´ eom´ etrie. Lorsque les sources d’excitation sont non contrˆ ol´ ees, on parle d’identification passive.

L’identification passive a fait l’objet de nombreuses ´ etudes th´ eoriques [Lobkis01, Lacoume07, Gouedard08, ColinDeVerdiere09] et exp´ erimentales en acoustique [Lobkis01, Derode03, Sabra05], en sismologie [Campillo03, Wapenaar04, Snieder07] et en m´ ecanique des structures [Farrar99, Snieder09, Prieto10]. Cependant, les r´ esultats bibliographiques sont bas´ es sur un mod` ele de dis- sipation constant qui n’est pas adapt´ e pour la description de la propagation dans les solides [Landau90].

La th` ese s’est int´ eress´ ee ` a l’adaptation des techniques classiques d’identification passive aux cas des milieux visco-´ elastiques solides instrument´ es en volume par un r´ eseau de capteurs mono- composante (microphones, par exemple) et/ou multi-composantes (acc´ el´ erom` etres tri-axiaux, par exemple). L’approche d´ evelopp´ ee est bas´ ee sur l’estimation de la corr´ elation de Green d’un mi- lieu, d´ efinie comme l’auto-corr´ elation d’un bruit blanc propag´ e. Cette m´ ethodologie, introduite dans [Lacoume07], s’est r´ ev´ el´ ee ˆ etre adapt´ ee ` a l’´ etude des milieux visco-´ elastiques. On montre que c’est une alternative ` a la m´ ethodologie classique qui consiste ` a reconstruire la fonction de Green du milieu via une identit´ e de Ward [Lobkis01, Wapenaar04, Snieder07, Gouedard08, Weaver08].

L’enfouissement d’une instrumentation dans une structure, pendant son ´ edification, ajoute

une difficult´ e sur le contrˆ ole de la position des capteurs. Il est pourtant fondamental que chaque

capteur soit localis´ e pour interpr´ eter les mesures qu’il enregistre. La localisation passive du r´ eseau est donc une ´ etape pr´ eliminaire au SHM passif. Elle peut aussi ˆ etre r´ ealis´ ee grˆ ace ` a l’identification passive en estimant les temps de vol entre des paires de capteurs. Sous certaines conditions que nous rappellerons dans ce m´ emoire, ces temps donnent acc` es aux distances euclidiennes entre les capteurs que l’on stocke g´ en´ eralement dans une matrice : la matrice de distances euclidiennes du r´ eseau. La localisation d’un r´ eseau de capteurs via une matrice de distances est alors un probl` eme classique appel´ e probl` eme SNL (Sensor Network Location problem).

Il existe une vaste bibliographie concernant le probl` eme SNL [Torgerson52, Kruskal64, Platt05, Patwari05, Costa06, Honeine09, Krislock09]. Cependant, lorsque la matrice de distances est in- compl` ete (toutes les distances ne sont pas accessibles), la complexit´ e NP-difficile du probl` eme implique le d´ eveloppement d’algorithmes sp´ ecifiques ` a chaque application, notamment avec un a priori sur la structure de la matrice de distances. L’enfouissement de capteurs d´ eploy´ es al´ eatoire- ment ne laisse envisager aucune information a priori sur la matrice de distances. Un algorithme de r´ esolution a alors ´ et´ e d´ evelopp´ e, caract´ eris´ e et valid´ e.

Lorsque les capteurs enfouis sont multi-composantes, un param` etre autre que la position doit ˆ

etre connu pour interpr´ eter la mesure dans son int´ egralit´ e : l’attitude du capteur i.e. son orienta- tion par rapport ` a un rep` ere absolu. Dans ce cadre, une ´ etape d’estimation passive de l’attitude des capteurs est n´ ecessaire.

L’identification passive de milieux de propagation d’ondes vectorielles, comme le champ de d´ eplacement dans les solides, r´ ev` ele que l’on peut estimer passivement l’attitude relative entre des paires de capteurs multi-composantes. Le principe r´ eside alors dans l’utilisation d’une ma- trice d’attitudes relatives pour estimer l’attitude (absolue) des capteurs. Nous appellerons ce probl` eme SNA (Sensor Network Attitude problem).

Le probl` eme SNA est analogue au probl` eme SNL. Cependant, aucune bibliographie sur ce probl` eme n’a ´ et´ e identifi´ ee. Il a alors fait l’objet d’une ´ etude compl` ete : formalisation, d´ eveloppe- ment d’un algorithme de r´ esolution, caract´ erisation et validation de cet algorithme.

Les travaux de cette th` ese montrent th´ eoriquement et exp´ erimentalement la portabilit´ e de l’identification passive ` a des milieux solides instrument´ es en volume. Ils montrent aussi la pos- sibilit´ e de reconstruire, en passif, la g´ eom´ etrie du r´ eseau (positions et attitudes). Dans le but d’appliquer ces r´ esultats dans un cadre de SHM passif r´ eel, une ´ etude d’identification des verrous techniques et technologiques ` a lever a ´ et´ e men´ ee. Cette ´ etude permet de discuter de l’apport et des perspectives des travaux de th` ese dans la faisabilit´ e du projet global d´ ecrit en d´ ebut de cette introduction.

Organisation du m´ emoire

La partie 1 concerne l’identification passive des milieux ´ elastiques. Elle est constitu´ ee de deux chapitres dont le premier, le chapitre 1, introduit la terminologie de ce domaine et pr´ esente un

´

etat de l’art des m´ ethodes existantes.

Le chapitre 2 relate les r´ esultats obtenus dans le cadre de l’identification passive des mi-

lieux visco-´ elastiques. On y ´ etablit une identit´ e de Ward g´ en´ erale qui prend en compte des

ph´ enom` enes de dissipation et de propagation plus complexes et r´ ealistes que le mod` ele de dissi-

pation constante. On ´ etablit des expressions de la corr´ elation de Green dans diff´ erents domaines

de repr´ esentation qui montrent que cette fonction est un outil incontournable de l’identification

passive. Les r´ esultats th´ eoriques sont confort´ es par des exp´ erimentations qui valident sur des

donn´ ees r´ eelles l’approche d´ evelopp´ ee. En particulier, on montre que l’identit´ e de Ward obtenue

dans le cas d’une faible att´ enuation visqueuse est plus pr´ ecise que l’identit´ e de Ward classique

en acoustique.

On trouvera dans l’annexe A des d´ eveloppements th´ eoriques sur l’identit´ e de Ward g´ en´ erale et le rˆ ole de la corr´ elation de Green dans l’identification des milieux lin´ eaires autres que les mi- lieux visco-´ elastiques.

La partie 2 traite des probl` emes d’estimation de positions et d’attitudes dans les r´ eseaux de capteurs ` a partir de donn´ ees g´ eom´ etriques partielles et relatives issues de l’identification passive.

Le chapitre 3 concerne le probl` eme SNL avec une matrice de distances ´ eventuellement in- compl` ete et bruit´ ee. La terminologie et un ´ etat de l’art sont pr´ esent´ es. On d´ ecrit ensuite l’algo- rithme de localisation de capteurs enfouis qui a ´ et´ e d´ evelopp´ e. Cet algorithme est une m´ ethode de compl´ etion de la matrice de distances. Elle est bas´ ee sur l’algorithme de r´ esolution du cas complet de W.S. Torgerson [Torgerson52] dont on propose une ´ etude de stabilit´ e et robustesse originale. L’algorithme est ensuite adapt´ e pour int´ egrer de nouvelles observations (matrices de distances) dans sa recherche de la position des capteurs. Cet algorithme est valid´ e par des si- mulations. La m´ ethode de compl´ etion est g´ en´ eralis´ ee en fin de chapitre dans la description d’un proc´ ed´ e g´ en´ erique. Ce proc´ ed´ e est aussi applicable au probl` eme SNA.

Le chapitre 4 concerne le probl` eme d’estimation d’attitudes absolues ` a partir d’attitudes relatives. Ce probl` eme, nouveau, est introduit et r´ esolu. Le formalisme utilis´ e est celui de la pa- ram´ etrisation des attitudes par des quaternions unitaires. Cette approche permet d’obtenir une solution analytique du probl` eme SNA dans le cas d’une matrice d’attitudes relatives compl` ete.

Une ´ etude de stabilit´ e a ´ et´ e men´ ee pour prouver l’applicabilit´ e de l’algorithme sur des donn´ ees r´ eelles donc bruit´ ees. Enfin, l’algorithme est valid´ e par des simulations puis exp´ erimentalement.

La partie 3 et son unique chapitre, le chapitre 5, envisagent l’application des r´ esultats obtenus

dans les deux parties pr´ ec´ edentes au SHM passif. Les probl´ ematiques techniques et les verrous

technologiques associ´ es ` a l’enfouissement d’une instrumentation sont pr´ esent´ es. Un lien entre

les r´ esultats exp´ erimentaux et les contraintes technologiques est ´ etabli. Cette partie doit ˆ etre

appr´ ehend´ ee comme la proposition d’une perspective des travaux de th` ese dans le SHM passif.

Premi` ere partie

Identification passive des milieux de propagation dissipatifs.

Approche syst` eme et utilisation

de la corr´ elation de Green.

Chapitre 1

Une vue d’ensemble.

Sommaire

1.1 Terminologie de l’identification passive. . . 14

1.1.1 Identification de milieux de propagation. . . . 14

1.1.2 Champs et milieux. . . . 15

1.1.3 Fonction de Green d’un milieu lin´ eaire. . . . . 16

1.1.4 Inter-corr´ elation, bruit blanc et corr´ elation de Green. . . . 18

1.2 Mod´elisation des milieux ´elastiques. . . 20

1.2.1 Acoustique. . . . 20

1.2.2 Sismique. . . . 21

1.2.3 M´ ecanique des structures. . . . 21

1.3 Etat de l’art sur l’identification passive. . . .´ 22

1.3.1 Pr´ emices. . . . 23

1.3.2 Mod` eles et identit´ es de Ward. . . . 23

1.3.3 Bruit ambiant : propri´ et´ es et influence. . . . . 26

1.4 Conclusion. . . 28

Ce chapitre est une introduction ` a l’identification passive des milieux de propagation. Il a pour objectif de situer les travaux r´ ealis´ es pendant la th` ese lesquels sont pr´ esent´ es au chapitre 2.

La section 1 introduit les concepts, la terminologie et les notations utilis´ ees. L’approche syst` eme

qui est adopt´ ee dans la description de l’identification passive est une originalit´ e des travaux

de th` ese. Elle pr´ esente l’avantage de faciliter la g´ en´ eralisation des concepts et donc d’´ elargir le

spectre des applications. La section 2 rappelle les ´ equations de propagation de l’acoustique, de

la sismique et de la m´ ecanique des structures. Ces trois domaines sont ´ etudi´ es car ils sont ` a la

base des r´ esultats d´ evelopp´ es dans la th` ese pour les milieux visco-´ elastiques ainsi que pour des

milieux plus g´ en´ eraux. L’´ etat de l’art est pr´ esent´ e dans la section 3. Les m´ ethodes existantes

et les r´ esultats classiques sont discut´ es afin de justifier la m´ ethodologie mise en place dans le

chapitre suivant.

1.1 Terminologie de l’identification passive.

Cette section est consacr´ ee ` a l’introduction des concepts de l’identification passive. L’analo- gie syst` emes/milieux est pr´ esent´ ee afin d’appr´ ehender l’identification passive via une approche syst` eme. On introduit ensuite la fonction de Green d’un milieu et on pr´ esente son rˆ ole dans les m´ ethodes d’identification. Un op´ erateur classique du traitement du signal et fondamental en identification passive, l’inter-corr´ elation, est ensuite pr´ esent´ e. Cet op´ erateur introduit la notion de bruit blanc, essentiel en identification passive. Enfin, l’interpr´ etation de l’inter-corr´ elation comme un champ propag´ e, m` ene ` a la notion de corr´ elation de Green. Nous montrerons dans le chapitre suivant que cette fonction est une alternative ` a la fonction de Green dans le cadre de l’identification passive.

1.1.1 Identification de milieux de propagation.

1.1.1.1 Identification de syst` emes.

Un syst` eme est d´ ecrit par : une entr´ ee, une sortie et un ensemble de lois qui lient l’entr´ ee et la sortie. Par abus de langage, on confond le syst` eme et l’ensemble de ses lois. L’identification pa- ram´ etrique d’un syst` eme est l’estimation des param` etres d’un mod` ele qui repr´ esentent la relation entr´ ee-sortie [Eykhoff74]. Le principe est d’observer la sortie du syst` eme perturb´ e en entr´ ee. Les connaissances sur l’entr´ ee et la sortie donnent de l’information sur les param` etres (observables, identifiables) du mod` ele.

On parle d’identification active lorsque la perturbation en entr´ ee est connue et g´ en´ er´ ee par l’utilisateur, par exemple une impulsion. Si la perturbation du syst` eme provient de perturba- tions ambiantes ´ egalement appel´ ees ”bruit ambiant” et par d´ efinition non contrˆ ol´ ees, on parle d’identification passive. Le terme passif provient du fait qu’aucune ´ energie n’a ´ et´ e volontairement apport´ ee par l’exp´ erimentateur.

1.1.1.2 Pr´ ecisions sur la notion de ”bruit ambiant”.

Il est important de pr´ eciser la notion de perturbations ambiantes ou bruit ambiant. Cette ter- minologie peut en effet prˆ eter ` a confusion car le terme ”bruit” est utilis´ e dans d’autres contextes.

On consid` ere g´ en´ eralement trois types de bruits : le bruit de mod` ele, le bruit de mesure et le bruit ambiant. Le bruit de mod` ele est une incertitude sur la mod´ elisation du syst` eme, c’est un indicateur de l’erreur entre le mod` ele th´ eorique et la r´ ealit´ e physique. Le bruit de mesure est l’incertitude li´ ee ` a tout appareil de mesure qui n’enregistre qu’une image de la r´ ealit´ e [Max96].

Enfin, on appellera bruit ambiant toute source non contrˆ ol´ ee excitant un milieu. Par exemple, le vent, la pluie, le trafic routier, des travaux de r´ enovation, sont des sources de bruit ambiant pour un pont.

1.1.1.3 Applications et apports du caract` ere passif.

L’identification des milieux de propagation a des applications principalement en m´ edecine

(tomographie m´ edicale), en t´ el´ ecommunications (d´ econvolution de canal), en g´ eophysique (to-

mographie de la terre, prospection des sols) et en g´ enie civil (tomographie et diagnostic des

ouvrages d’art). Dans ces applications, l’identification est un outil qui fournit des informations

partielles sur le milieu de propagation. Le recueil de ces informations, associ´ e ` a des connais-

sances a priori, permet d’obtenir une image du milieu (tomographie) ou de suivre l’´ evolution

de ses propri´ et´ es pour, par exemple, d´ etecter une anomalie chez un patient ou dans un ouvrage

d’art (diagnostic).

Les techniques d’identification passive permettent aussi d’obtenir des informations sur l’ins- trumentation : g´ eom´ etrie, d´ erives d’horloge, synchronisation ou encore dysfonctionnement de capteurs. Cela est possible car les param` etres estim´ es d´ ependent ` a la fois du milieu et de l’ins- trumentation. Par exemple, un temps de trajet direct entre deux capteurs d´ epend de la vitesse de propagation du milieu et de la position des capteurs.

En termes d’apports, l’identification passive ne n´ ecessite pas l’introduction d’´ energie suppl´ em- entaire ` a celle environnant le milieu. Le gain est cons´ equent, notamment dans des exp´ erimenta- tions ` a grande ´ echelle comme la tomographie sismique qui n´ ecessite, en actif, de g´ en´ erer des explosions puissantes afin d’´ etablir une image du sol ´ etudi´ e. En passif, l’utilisation du bruit am- biant sismique permet d’obtenir des r´ esultats comparables [Shapiro04]. Au del` a de l’´ economie des moyens, l’identification passive ne d´ egrade pas davantage le milieu et demeure une m´ ethode plus discr` ete. Ce dernier point est important dans le g´ enie civil o` u les m´ ethodes d’identification actives imposent la mise hors service de l’ouvrage. Lorsque l’identification est r´ ealis´ ee ` a l’aide des sources ambiantes, l’ouvrage peut rester dans un mode fonctionnel et l’identification peut s’op´ erer en continu.

En contre-partie, l’identification passive est conditionn´ ee par les propri´ et´ es du bruit am- biant (puissance, fr´ equence, r´ epartition spatiale). Pour une application donn´ ee, cela implique une concordance entre les sp´ ecifications attendues de l’identification et les propri´ et´ es des sources de bruit ambiant.

1.1.2 Champs et milieux.

1.1.2.1 Champ et mesure d’un champ.

Un champ est une grandeur physique qui d´ epend du temps et de l’espace. On note u(t, x)

la valeur ` a l’instant t et ` a la position x ∈ X ⊂ R

du champ u, o` u n est la dimension du milieu X dans lequel le champ se propage. G´ en´ eralement, n vaut 1, 2 ou 3. Si u a p composantes, on parle de champ nD-pC. Par exemple, la temp´ erature dans un fluide est un champ 3D-1C et le d´ eplacement d’une particule dans un solide est un champ 3D-3C. Un champ ` a une composante est dit scalaire, sinon il est dit vectoriel.

Il est important de noter que la mesure d’un champ est une repr´ esentation discr` ete et dis- tordue du champ r´ eel. En effet, afin de stocker dans une m´ emoire de capacit´ e finie les valeurs du champ ` a diff´ erents instants, ce dernier doit ˆ etre filtr´ e passe-bas (respect des conditions de Nyquist-Shannon), ´ echantillonn´ e (discr´ etisation du temps) et quantifi´ e (discr´ etisation des va- leurs du champ) [Max96]. Ajoutons enfin que la capture d’une grandeur physique est toujours associ´ ee ` a une incertitude propre au syst` eme d’acquisition, c’est le bruit de mesure [Max96]. Ces consid´ erations sont importantes dans l’´ etude de la robustesse de toute m´ ethode d’identification.

1.1.2.2 Milieux et analogie syst` emes/milieux.

Un milieu de propagation est une entit´ e physique dans lequel se propagent des ondes. Par exemple, les fluides et les solides sont des milieux de propagation d’ondes m´ ecaniques. Un milieu est excit´ e par des champs que l’on appelle sources. Le champ g´ en´ er´ e par une source excitant un milieu est appel´ e onde propag´ ee ou simplement onde. D’une mani` ere g´ en´ erale, on peut formaliser

1. Dans cette partie, seules les quantit´es scalaires ne sont pas soulign´ees.

le lien entre le milieu, la source f et l’onde u par la relation :

u = G(f ) (1.1)

G est un op´ erateur g´ en´ erique associ´ e ` a la propagation dans le milieu. Il contient des informations a priori sur le milieu : conditions aux bords, invariance par translation du temps, densit´ e, etc.

A l’aide de la relation (1.1), on peut ´ etablir une analogie avec les syst` emes o` u la source est l’entr´ ee du syst` eme, l’onde g´ en´ er´ ee est la sortie du syst` eme et G est la mod´ elisation de l’ensemble des lois qui mettent en relation l’entr´ ee et la sortie. Cette analogie permet d’appr´ ehender l’iden- tification des milieux de propagation comme un cas particulier de l’identification des syst` emes.

Il est important de pr´ eciser, qu’en g´ en´ eral, les lois de la physique ne donnent pas directement l’expression du champ propag´ e pour une source donn´ ee. En effet, les ´ equations de propagation qui lient la source et l’onde, sont souvent de la forme suivante :

E(u) = f (1.2)

o` u E est l’op´ erateur d’ondes du milieu.

Exemple. On illustre cette notion lorsque le milieu est une corde vibrante (corde fix´ ee ` a ses deux extr´ emit´ es) de longueur L i.e. X = [0, L]. On consid` ere le champ d´ eplacement vertical de la corde u g´ en´ er´ e par une source d’excitation f . On montre, grˆ ace au principe fondamental de la dynamique, que l’on a la relation suivante :

∀(t, x) ∈ R

× X, ∂

∂t

− v

∂

∂x

u(t, x) = f (t, x) (1.3) o` u v = (µ/T )

avec µ la masse lin´ eique de la corde et T la tension exerc´ ee ` a ses extr´ emit´ es.

Cette ´ equation, appel´ ee ´ equation de d’Alembert, donne l’expression de l’op´ erateur d’ondes E =

∂²

∂t²

−v

pour cet exemple. Il d´ epend du param` etre v qui correspond ` a la vitesse de propagation des ondes dans la corde.

L’op´ erateur G, d´ efini dans l’´ equation (1.1), est l’inverse de l’op´ erateur E. Comme G, l’op´ erateur E contient des informations a priori sur le milieu. Toutefois, l’´ etude de la propagation dans un milieu est difficile via l’op´ erateur E. En effet, dans l’´ equation (1.2), u apparaˆıt comme la cause et f comme l’effet. Or en r´ ealit´ e, le champ mesur´ e est l’effet du champ source ` a travers le milieu.

Pour interpr´ eter la mesure, il est n´ ecessaire d’inverser l’´ equation (1.2), ce qui revient ` a d´ eterminer G ` a partir de E. Cette op´ eration est dans le cas g´ en´ eral tr` es difficile et n´ ecessite souvent l’ajout d’hypoth` eses a priori sur le milieu.

1.1.3 Fonction de Green d’un milieu lin´ eaire.

1.1.3.1 D´ efinitions et interpr´ etations.

Un milieu lin´ eaire est un milieu tel que pour toute combinaison lin´ eaire de sources f :=

P

i

α

f

, le champ g´ en´ er´ e u := G(f ) peut s’´ ecrire : u = P

i

α

u

o` u u

:= G(f

). Math´ ematique- ment, cela implique la lin´ earit´ e de l’op´ erateur G.

2. La notation := est utilis´ee pour d´efinir une quantit´e par une ´equation.

Un milieu X qui rel` eve du th´ eor` eme de superposition est tel que la quantit´ e u(t, x) soit la somme de toutes les contributions des sources ´ el´ ementaires f(t

, x

)dt

dx

´ emises ` a l’instant t

pendant une dur´ ee dt

au volume centr´ e en x

et de dimensions dx

, pour tous les instants t

et les points x

. Un tel milieu est lin´ eaire. Math´ ematiquement, cela implique, en plus de la lin´ earit´ e de l’op´ erateur G, l’existence d’un noyau nomm´ e fonction de Green du milieu. Cette propri´ et´ e s’´ ecrit :

u(t, x) = Z

R×X

G(t, x, t

, x

)f (t

, x

)dt

dx

(1.4) Avec ces consid´ erations, l’´ egalit´ e (1.1) peut se r´ e´ ecrire :

u = G ⊗

⊗

f (1.5)

o` u ⊗

et ⊗

sont les convolutions g´ en´ eralis´ ees temporelles et spatiales. Dans ce m´ emoire, on consid` ere uniquement les milieux lin´ eaires qui admettent une fonction de Green. Cette hypoth` ese est peu restrictive en pratique.

On peut pr´ eciser l’interpr´ etation de la fonction de Green en associant au milieu un rep` ere R d’origine O et d’axes dirig´ es par e

= (1, 0, . . . , 0), . . . , e

= (0, . . . , 0, 1). Supposons que la source soit une impulsion dans la direction dirig´ ee par e

` a l’instant t

en x

i.e. f

(t, x) = δ(t − t

)δ(x − x

)e

o` u δ est la distribution de Dirac. La relation (1.5) montre alors que le champ observ´ e est la i-colonne de G. Cela signifie que le coefficient situ´ e ` a l’intersection de la i-i` eme ligne et de la j-i` eme colonne de G(t, x, t

, x

) est la r´ eponse sur la composante i du champ observ´ e

`

a l’instant t en x d’une source impulsionnelle dirig´ ee par l’axe j ´ emise ` a l’instant t

en x

. Selon la terminologie de la th´ eorie des syst` emes, la fonction de Green est la r´ eponse impulsionnelle du milieu.

1.1.3.2 Rˆ ole de la fonction de Green dans l’identification des milieux.

La fonction de Green est fondamentale en identification active et passive car elle contient de l’information sur les param` etres du milieu. Le processus d’identification, sch´ ematis´ e en figure 1.1, consiste ` a comparer (via un crit` ere d´ efini selon l’application) la fonction de Green th´ eorique, cal- cul´ ee ` a partir du mod` ele du milieu, et la fonction de Green estim´ ee grˆ ace aux donn´ ees enregistr´ ees par l’instrumentation. Les param` etres estim´ es sont ceux qui optimisent ce crit` ere.

Figure 1.1 – Illustration du processus d’identification via la fonction de Green.

1.1.4 Inter-corr´ elation, bruit blanc et corr´ elation de Green.

1.1.4.1 Inter-corr´ elation de deux champs al´ eatoires.

Les connaissances partielles sur les excitations ambiantes d’un milieu, ainsi que leur com- plexit´ e, imposent de consid´ erer les sources et les champs g´ en´ er´ es comme des champs al´ eatoires.

D’autre part, l’identification passive implique l’absence d’´ emetteur localis´ e, tout est ´ etabli ` a par- tir des r´ ecepteurs dont il faut confronter les donn´ ees. L’inter-corr´ elation est donc un outil adapt´ e pour effectuer cette confrontation dans le sens o` u c’est une mesure de ”ressemblance” entre deux champs al´ eatoires. L’inter-corr´ elation de deux champs al´ eatoires u et v est d´ efinie par :

C

(t, x, t

, x

) := E

u(t, x)v(t

, x

)

(1.6) o` u E est l’esp´ erance math´ ematique. On notera C

u

l’auto-corr´ elation du champ u.

Un champ est stationnaire ` a l’ordre deux si son auto-corr´ elation est invariante par translation du temps i.e. C

u

(t, x, t

, x

) = C

u

(t − t

, x, 0, x

). Cela signifie que les propri´ et´ es statistiques ` a l’ordre deux du champ ne changent pas au cours du temps. Pour des champs stationnaires et ergodiques, on peut remplacer l’esp´ erance math´ ematique dans la d´ efinition de l’inter-corr´ elation par une moyenne temporelle i.e. :

C

(t, x, x

) = lim

T→+∞

1 T

Z

u(s, x)v(t + s, x

)

ds (1.7) o` u on supprime la deuxi` eme variable temporelle dans l’expression de C

u

. Sous ces conditions, on peut, en pratique, estimer l’auto-corr´ elation du champ C

(t, x, x

) en deux points x et x

du milieu via l’inter-corr´ elation des signaux num´ eriques enregistr´ es en ces points [Max96].

1.1.4.2 Propagation des champs d’inter-corr´ elation.

On pr´ esente ici des relations v´ erifi´ ees par les champs d’inter-corr´ elation C

u,f

, C

u

et C

f

utiles en identification active et passive, o` u on rappelle que u correspond au champ propag´ e dans le milieu excit´ e par f .

On suppose que le milieu ne fluctue pas, c’est-` a-dire que seul le champ source, et par cons´ equent le champ observ´ e, sont al´ eatoires. Cette hypoth` ese est v´ erifi´ ee pour les milieux inva- riants par translation du temps. Avec les calculs ´ etablis ci-dessous, la combinaison des ´ equations (1.5) et (1.6) m` enent aux relations :

C

= G ⊗

⊗

C

f

(1.8)

C

= G ⊗

⊗

C

f

⊗

⊗

G

(1.9)

o` u G

est d´ efinie par G

(t, x, t

, x

) := G(t

, x

, t, x)

.

Calculs. On montre uniquement la relation (1.9), la relation (1.8) s’´ etablit par des calculs simi- laires. On a :

u(t, x)u(t

, x

)

= Z

R×X

Z

R×X

G(t, x, s, z)f (s, z)f (s

, z

)

G(t

, x

, s

, z

)

dsds

dzdz

En prenant l’esp´ erance de cette ´ equation et en rappelant que le milieu ne fluctue pas, il vient : C

(t, x, t

, x

) =

Z

R×X

Z

R×X

G(t, x, s, z)C

f

(s, z, s

, z

)G(t

, x

, s

, z

)

dsds

dzdz

On retrouve bien (1.9).

La relation (1.8) montre que l’inter-corr´ elation entre le champ et la source peut ˆ etre vue, d’apr` es (1.5), comme le champ propag´ e dans le milieu excit´ e par l’auto-corr´ elation de la source.

La relation (1.9) est l’analogue de (1.5) ”` a l’ordre 2”. Elle sera utilis´ ee pour d´ eterminer une expression la corr´ elation de Green d´ efinie plus bas.

1.1.4.3 Bruit blanc et corr´ elation de Green.

Un bruit blanc est un champ dont la valeur ` a un instant, une position et une direction donn´ es est d´ ecorr´ el´ ee des valeurs de ce champ ` a tous les autres instants, positions et directions. Cela est

´

equivalent ` a dire que son auto-corr´ elation est une impulsion spatiale, temporelle et isotrope i.e. : C

(t, x, t

, x

) = δ(t − t

)δ(x − x

)I

(1.10) o` u I

p

est la matrice identit´ e de taille p × p et p est le nombre de composantes des champs u et f . Le bruit blanc est un outil th´ eorique, fondamental en identification des syst` emes, mais qui n’a pas de r´ ealit´ e physique puisqu’il est d’´ energie infinie. Nous indiquons dans l’´ etat de l’art en section 3 comment on peut approcher ce type de bruit en pratique.

La fonction de Green ´ etant la r´ eponse du milieu ` a une source impulsionnelle, on d´ efinit par analogie la corr´ elation de Green C comme l’auto-corr´ elation du champ propag´ e pour une source d’auto-corr´ elation impulsionnelle. La corr´ elation de Green apparaˆıt donc naturellement dans l’identification passive des milieux puisque c’est l’auto-corr´ elation d’un bruit blanc propag´ e.

L’´ equation (1.9) appliqu´ ee ` a une source blanche, permet d’obtenir une expression de la corr´ elation de Green :

C = G ⊗

⊗

G

(1.11)

L’´ equation (1.11) montre que la connaissance de la corr´ elation de Green apporte de l’informa- tion sur le milieu. Pour les milieux de propagation classiques, on montrera dans le chapitre 2 et l’annexe A que la corr´ elation de Green contient autant d’information que la fonction de Green.

Ainsi, le bruit blanc et la corr´ elation de Green sont ` a l’identification passive ce que sont respec- tivement la source impulsionnelle et la fonction de Green ` a l’identification active.

Pr´ ecisons que les sources blanches sont aussi importantes en identification active. En effet,

en consid´ erant l’´ equation (1.8) lorsque la source est un bruit blanc, il vient que la fonction de

Green peut ˆ etre estim´ ee par l’inter-corr´ elation champ-source si la source est effectivement connue,

ce qui est la diff´ erence majeure entre les techniques actives et passives. On parle, dans ce cas,

d’identification (active) en bruit blanc [Anderson05].

1.1.4.4 Rˆ ole de la corr´ elation de Green dans l’identification passive. Identit´ e de Ward.

La corr´ elation de Green est une grandeur r´ ecente en identification passive. Elle a ´ et´ e intro- duite en 2007 par J-L. Lacoume dans [Lacoume07] o` u il montre que la corr´ elation de Green apparaˆıt naturellement dans la mod´ elisation des techniques d’identification passive en acous- tique. G´ en´ eralement, l’identification des param` etres passe par la reconstruction de la fonction de Green via une identit´ e qui la relie ` a l’auto-corr´ elation d’un bruit blanc propag´ e (la corr´ elation de Green). Cette relation est appel´ ee l’identit´ e de Ward (terminologie emprunt´ ee ` a la m´ ecanique quantique [Weaver08]).

L’estimation de la corr´ elation de Green est une alternative ` a la reconstruction de la fonction de Green via une identit´ e de Ward. Cependant, l’interpr´ etation et l’exploitation de la corr´ elation de Green est difficile ` a partir de l’´ equation (1.11). L’identit´ e de Ward permet d’obtenir une relation plus simple entre la fonction de Green et la corr´ elation de Green, laissant ainsi envisager une exploitation plus ais´ ee de cette derni` ere. L’identit´ e de Ward apparaˆıt alors comme un outil de calcul utile ` a la compr´ ehension de la corr´ elation de Green mais elle n’intervient plus dans l’identification.

1.2 Mod´ elisation des milieux ´ elastiques.

Dans cette th` ese, on s’int´ eresse aux milieux ´ elastiques. Cette section a pour but de pr´ esenter les ´ equations classiques de la m´ ecanique dans les domaines de l’acoustique, de la sismique et de la m´ ecanique des structures. Ces domaines sont ´ etudi´ es car ils sont ` a la base des m´ ethodologies d´ evelopp´ ees dans le chapitre suivant.

1.2.1 Acoustique.

Soit X un milieu ` a 3 dimensions et p le champ 3D-1C de pression. On note ρ(x) et v(x) respectivement la densit´ e et la c´ el´ erit´ e du milieu au point x. On suppose que le milieu est excit´ e par une force volumique f causale (nulle aux temps n´ egatifs). Le th´ eor` eme de Newton et l’´ equation d’´ etat adiabatique m` enent ` a l’´ equation suivante [Royer00] :

∂

p(t, x)

∂t

− v(x)

∆p(t, x) + v(x)

ρ(x) (∇ρ(x))

∇p(t, x) = f (t, x) (1.12) o` u ∆ est l’op´ erateur de Laplace et ∇ le gradient. A cette ´ equation, il faut ajouter la causalit´ e du champ de pression et de sa premi` ere d´ eriv´ ee, ainsi que les conditions aux limites. Pr´ ecisons que l’´ equation (1.12) est vraie pour les milieux non dissipatifs. On reviendra sur les mod` eles de dissipation acoustique au chapitre 2.

Pour un milieu suppos´ e homog` ene (densit´ e constante), et ` a temp´ erature constante, on d´ eduit de l’´ equation (1.12), l’´ equation de propagation simplifi´ ee :

∂

p(t, x)

∂t

− v

∆p(t, x) = f (t, x) (1.13)

Dans ce cas, la vitesse de propagation dans le milieu est constante, ´ egale ` a v

. L’´ equation (1.13) est v´ erifi´ ee par d’autres champs comme le champ de d´ eplacement 1D-1C d’une corde vibrante, le champ de d´ eplacement 2D-1C de la surface d’une plaque, et toutes les composantes du champ

´

electromagn´ etique 3D-3C dans le vide.

1.2.2 Sismique.

Soit X un milieu ´ elastique solide. On suppose le milieu homog` ene et non dissipatif. On note (λ, µ) les param` etres de Lam´ e et ρ la densit´ e du milieu. Soit f une force vectorielle volumique causale et soit u le champ de d´ eplacement 3D-3C propag´ e dans le milieu. La loi de Hooke, combin´ ee au th´ eor` eme de Newton, m` ene ` a l’´ equation de propagation, dite de Navier ou de Navier-Lam´ e, suivante [Royer00] :

∂

u(t, x)

∂t

− λ + µ

ρ ∇∇

u(t, x) − µ

ρ ∆u(t, x) = f (t, x) (1.14) La propagation est totalement d´ etermin´ ee en ajoutant les conditions initiales et aux limites.

On peut montrer que u est la contribution d’une onde scalaire 3D-1C de compression, dite onde P, et d’une onde 3D-2C de cisaillement, dite onde S [Royer00]. Les ondes P et S v´ erifient l’´ equation d’onde acoustique (1.13) et se propagent respectivement aux vitesses v

:= p

(λ + 2µ)/ρ et v

:= p µ/ρ.

Dans un milieu solide qui admet une surface libre, on peut prouver l’existence de deux types d’ondes se propageant sur cette surface : les ondes de Rayleigh et les ondes de Love. Les ondes de Rayleigh sont des ondes 3D-2C de polarisation elliptique dans le plan orthogonal ` a l’interface.

Les ondes de Love sont des ondes 3D-1C, transversales aux ondes de Rayleigh [Royer00]. La figure 1.2 sch´ ematise la propagation des ondes de volume et de surface. Les ondes de Rayleigh et Love sont tr` es utilis´ ees en sismique.

Il existe d’autres types d’ondes dans les solides : Scholte aux interfaces solide-liquide et Stoneley aux interfaces solide-solide. Nous ne reviendrons pas sur ces types d’ondes dans ce m´ emoire.

1.2.3 M´ ecanique des structures.

La propagation dans les structures est d´ ecrite par l’´ equation d’ondes dans les solides. On trouve deux approches majoritaires dans la litt´ erature qui se distinguent par la consid´ eration de la structure comme continue ou discr` ete. Dans le premier cas, l’´ etude est ramen´ ee ` a l’´ equation (1.14) (avec les conditions initiales et aux limites associ´ ees) avec ´ eventuellement un mod` ele de dissipation.

La discr´ etisation de la structure par des m´ ethodes comme les ´ el´ ements finis transforme l’´ equation aux d´ eriv´ ees partielles en une ´ equation diff´ erentielle [Gmur97] :

∂

u(t)

∂t

+ D ∂u(t)

∂t + L u(t) = f (t) (1.15)

o` u D est la matrice d’amortissement, L est la matrice de raideur, u et f sont des vecteurs d´ ependant uniquement du temps et qui sont associ´ es respectivement aux d´ eplacements g´ en´ er´ es et aux sources volumiques.

Une hypoth` ese souvent pos´ ee, rarement justifi´ ee, est la commutation des deux matrices qui

d´ ecrivent l’´ equation (1.15). Dans ce cas, les matrices, sym´ etriques car le milieu est suppos´ e

isotrope, sont diagonalisables dans une mˆ eme base orthonorm´ ee. Une telle base est une base de

modes propres associ´ ee ` a des fr´ equences propres qui sont complexes en cas de dissipation. Ces

notions rejoignent parfaitement celles employ´ ees pour les structures continues. On discutera de

ce point plus en d´ etail dans l’annexe A.

Figure 1.2 – Propagation et polarisation des ondes de volume et des ondes de surface.

1.3 Etat de l’art sur l’identification passive. ´

Dans cette section, on propose un ´ etat de l’art de l’identification passive des milieux de propagation. Les r´ esultats bibliographiques sont pr´ esent´ es en deux sous-sections. La premi` ere concerne la mod´ elisation de l’identification passive et les identit´ es de Ward qui en d´ ecoulent dans les domaines de l’acoustique, de la sismique et de la m´ ecanique des structures. Les vali- dations exp´ erimentales associ´ ees ` a ces th´ eories sont aussi pr´ esent´ ees. La deuxi` eme sous-section traite de l’influence des propri´ et´ es du bruit ambiant (spectre, r´ epartition spatiale) et de l’instru- mentation (synchronisation, bruit propre) sur la qualit´ e de l’identification.

Auparavant, on pr´ esente dans une sous-section ind´ ependante les r´ esultats de la litt´ erature

qui, selon nous, sont les pr´ emices de l’identification passive.

1.3.1 Pr´ emices.

En premier lieu, rappelons que l’identification passive de milieux intervient dans le cadre plus g´ en´ eral qu’est l’identification de syst` emes. Un r´ esultat classique dans ce domaine est que la r´ eponse impulsionnelle d’un syst` eme peut s’interpr´ eter comme la r´ eponse ` a un bruit blanc [Eykhoff74]. Ce r´ esultat est clairement une pierre angulaire dans la naissance de l’identification passive des milieux de propagation.

On peut trouver une origine ` a l’identification passive de milieux par corr´ elations dans les travaux de Van Cittert (1934) et de Zernicke (1938) rassembl´ es dans le th´ eor` eme de Zernicke- Van Cittert [Born99]. En effet, ce th´ eor` eme prouve la possibilit´ e de d´ eterminer la g´ eom´ etrie d’une pupille ` a partir de la coh´ erence (l’inter-corr´ elation) des signaux enregistr´ es g´ en´ er´ es par une source al´ eatoire qu’est la lumi` ere blanche ´ eclairant la pupille. L’utilisation de sources sto- chastiques ` a l’´ epoque est justifi´ ee par l’absence de sources de lumi` ere contrˆ ol´ ees comme les lasers.

Le th´ eor` eme de fluctuation-dissipation ´ etabli par H. B. Callen et T. A. Welton en 1951 [Callen51] peut ˆ etre consid´ er´ e comme un r´ esultat pionnier de l’identification passive des syst` emes temporels (pas de consid´ erations spatiales) scalaires. Ce th´ eor` eme relie l’auto-corr´ elation d’un bruit temporel blanc ` a la susceptibilit´ e du syst` eme, c’est-` a-dire sa r´ eponse impulsionnelle. Il

´

etablit un lien entre le bruit ambiant thermique et la dissipation du milieu.

1.3.2 Mod` eles et identit´ es de Ward.

1.3.2.1 Acoustique.

En acoustique, l’identit´ e de Ward ´ etablie par de nombreux auteurs, et par des approches diff´ erentes, relie la d´ eriv´ ee temporelle de la corr´ elation de Green et la partie impaire de la fonction de Green :

∂C

∂t ∝ Imp G (1.16)

o` u ∝ est l’op´ erateur de proportionnalit´ e et Imp G est la partie impaire de la fonction de Green

i.e. Imp G(t, x, x

) := 1/2(G(t, x, x

) − G(−t, x, x

)). L’identit´ e (1.16) est un r´ esultat int´ eressant

`

a deux titres. Elle exprime la corr´ elation de Green comme une primitive de la partie impaire de la fonction de Green, ce qui simplifie son interpr´ etation. D’autre part, l’identit´ e montre que la fonction de Green peut ˆ etre d´ eduite de la corr´ elation de Green, ce qui est souvent utilis´ e en identification passive.

Dans [Lobkis01, Weaver01], qui sont les articles pionniers de l’identification passive en acous- tique, l’identit´ e (1.16) est d´ emontr´ ee via une approche modale. La d´ ecomposition en modes propres du champ fait intervenir des coefficients stochastiques significatifs de la complexit´ e de la source. La d´ ecorr´ elation de ces coefficients ` a chaque instant et ` a chaque position permet d’´ etablir l’identit´ e.

J-L. Lacoume dans [Lacoume07] ´ etablit une ´ equation de propagation pour l’inter-corr´ elation du champ propag´ e. Il en d´ eduit alors une expression de la corr´ elation de Green dans le domaine des fr´ equences temporelles et spatiales. Par inversion de Fourier, il obtient (1.16).

Enfin, Y. Colin de Verdi` ere et P. Gou´ edard dans [Gouedard08] et [ColinDeVerdiere09] utilisent le formalisme des noyaux de Schwartz des op´ erateurs lin´ eaires. L’´ equation d’ondes acoustiques

3. La fonction de Green G(t, x, t⁰, x⁰) d’un milieu invariant par translation du temps ne d´epend que de la diff´erence des tempst−t⁰, par cons´equent une seule variable temporelle suffit `a la param´etrer.

consid´ er´ ee est plus g´ en´ erale que l’´ equation classique (1.13), l’op´ erateur de propagation ∆ est rem- plac´ e par un op´ erateur lin´ eaire quelconque. Ce formalisme permet, par exemple, de consid´ erer des milieux h´ et´ erog` enes d´ ecrits par l’´ equation (1.12). En transformant l’´ equation d’ondes en un probl` eme de Cauchy [Engel00], les auteurs obtiennent l’identit´ e (1.16).

Ind´ ependamment de l’approche utilis´ ee, une discussion sur la dissipation apparaˆıt in´ evitable pour ´ etablir (1.16). En d’autres termes, l’identit´ e de Ward serait v´ erifi´ ee uniquement pour les milieux dissipatifs. Cela est confort´ e par exemple dans [Lacoume07, Weaver08, Gouedard08, ColinDeVerdiere09], o` u il est d´ emontr´ e que le coefficient de proportionnalit´ e est de la forme σ/a o` u a est un coefficient d’amortissement, effet de la dissipation, et σ est la puissance du bruit ambiant. Math´ ematiquement, a et σ sont ind´ ependants, impliquant une divergence de l’iden- tit´ e (1.16) pour une dissipation nulle. Cependant, le th´ eor` eme de fluctuation-dissipation ´ etablit une d´ ependance entre les quantit´ es a et σ lorsque le bruit ambiant provient du milieu lui-mˆ eme (bruit thermique, par exemple), ceci prouve les limites du mod` ele d´ ecrit par l’´ equation (1.1) dans lequel la source et le milieu apparaissent comme ind´ ependants. Bien que le th´ eor` eme de fluctuation-dissipation ne prouve pas que le rapport σ/a tende vers une limite finie pour une faible dissipation, il am` ene une question importante sur la validit´ e de l’identit´ e de Ward pour les milieux non dissipatifs. Ceci ne sera pas ´ etudi´ e dans ce m´ emoire.

La dissipation est donc fondamentale en identification passive. Le mod` ele le plus utilis´ e est une dissipation constante [Lacoume07, Weaver08, Gouedard08, ColinDeVerdiere09], c’est-` a-dire, l’ajout d’un terme de la forme a∂/∂t dans l’´ equation de propagation. Cependant, ce mod` ele a peu de r´ ealit´ e physique selon [Landau90] qui classifie les dissipations dans les milieux ´ elastiques.

Au niveau exp´ erimental, l’identit´ e de Ward (1.16) a ´ et´ e valid´ ee dans des configurations diff´ erentes en termes de milieux, de provenance de bruits et de fr´ equences.

Dans [Lobkis01], l’identit´ e est valid´ ee par ´ ecoute du bruit thermique enregistr´ e dans la plage 100 kHz - 900 kHz par deux sondes pi´ ezo´ electriques ` a l’interface d’un bloc d’aluminium. La va- lidation est obtenue par comparaison avec la fonction de Green estim´ ee par pulse-echo.

L’identit´ e est valid´ ee dans [Derode03] pour un milieu h´ et´ erog` ene excit´ e par un ensemble de sources ponctuelles rayonnant autour de 3.1 MHz.

On peut ´ egalement citer l’article [Sabra05], qui valide la relation avec une instrumentation immerg´ ee dans l’oc´ ean pacifique et qui ´ ecoute le bruit de poissons migrateurs rayonnant dans la bande 350 Hz - 700 Hz.

On trouve dans la litt´ erature d’autres validations exp´ erimentales, par exemple dans l’´ etat de l’art de [Larose06]. De ces r´ esultats, il faut retenir la robustesse de l’identit´ e (1.16) vis-` a-vis du type de milieux et du type de bruit. Sur ce dernier point, la discussion sera poursuivie dans la sous-section suivante.

1.3.2.2 Sismique.

L’approche de l’identification passive en sismique est identique ` a celle de l’acoustique. Le prin- cipe consiste ` a retrouver la fonction de Green via une identit´ e de Ward et l’inter-corr´ elation d’un bruit ambiant assimilable ` a un bruit blanc. On trouve toutefois un article ant´ ec´ edent ` a cette approche dans lequel des temps de vol sont reconstruits ` a partir du bruit h´ eliosismom´ etrique [Duvall93]. Cet article est un pionnier de l’identification passive de param` etres dans les milieux m´ ecaniques.

La bibliographie est riche en identification passive des milieux sismiques, nomm´ ee aussi in-

terf´ erom´ etrie sismique par analogie avec l’optique. Le formalisme utilis´ e, tout d’abord pour un milieu non dissipatif [Wapenaar04] puis adapt´ e pour des milieux dont la propagation est d´ ecrite par une ´ equation tr` es g´ en´ erale [Snieder07], permet d’´ etablir une identit´ e de Ward pour des mi- lieux lin´ eaires complexes. L’´ equation de propagation est formul´ ee ainsi :

"

X

i=1

a

(t, x) ⊗

∂

∂t

− H (t, x)⊗

#

u(t, x) = f (t, x) (1.17) Cette ´ equation traduit la lin´ earit´ e du milieu, non n´ ecessairement invariant par translation du temps. Le th´ eor` eme de r´ eciprocit´ e spatiale [Aki02] est assur´ e par le caract` ere auto-adjoint de l’op´ erateur H [Snieder07]. L’´ equation (1.17) est aussi valide pour des ondes vectorielles.

L’identit´ e de Ward ´ etablie dans [Snieder07] d´ ecrit rigoureusement la contribution de la corr´ elation de Green (non mentionn´ ee ainsi par les auteurs) au sein et ` a la surface du volume dans la reconstruction de la fonction de Green. Les autres articles de K. Wapenaar et R. Snieder sont bas´ es sur le mˆ eme mod` ele (1.17) et le mˆ eme principe : la r´ eciprocit´ e spatiale (cf. [Aki02]

pour les milieux ´ elastiques solides). L’analogie avec le th´ eor` eme optique, ´ etabli en m´ ecanique quantique pour les milieux diffus [Wapenaar10-1], permet de conforter les r´ esultats obtenus par les auteurs.

Le formalisme d´ evelopp´ e par les ´ equipes de R. Snieder et K. Wapenaar a permis d’appli- quer les techniques d’interf´ erom´ etrie sismique ` a l’interf´ erom´ etrie ´ electromagn´ etique [Slob07]. On trouvera dans [Wapenaar10-2] et [Wapenaar10-3] un ´ etat de l’art complet des techniques et des applications de l’interf´ erom´ etrie sismique.

Une approche pionni` ere en sismologie [Campillo03] bas´ ee sur la d´ ecomposition d’une onde se propageant dans un solide en une contribution d’ondes P et S, permet de r´ eutiliser les r´ esultats

´

etablis en acoustique par R. Weaver et O. Lobkis [Lobkis01, Weaver01] dans le cadre sismique.

En revanche, contrairement ` a l’acoustique, l’instrumentation en sismique est g´ en´ eralement en surface du milieu ´ etudi´ e. La difficult´ e provient de l’enfouissement de l’instrumentation : duret´ e du mat´ eriau, profondeur d’´ etude, etc.

Ind´ ependamment des ondes d’int´ erˆ et : surfaciques [Roux05] ou volumiques [Campillo03], les techniques d’interf´ erom´ etrie sismique bas´ ees sur les r´ esultats obtenus en acoustique n´ ecessitent pr´ ealablement de s´ eparer la contribution de diff´ erents types ondes.

L’article [Campillo03] sugg` ere de calculer l’inter-corr´ elation des signaux num´ eris´ es unique- ment sur 1-bit. L’int´ erˆ et est d’´ eviter que les corr´ elations de bruits ambiants puissants (premi` eres arriv´ ees de s´ eismes) dominent dans l’accumulation des corr´ elations de bruits ambiants moins puissants (bruit sismique, codas sismiques). Ce r´ esultat a l’avantage de minimiser l’information

`

a stocker et ` a transmettre.

F.J. Sanchez-Sesma et M. Campillo dans [SanchezSesma06] ´ etablissent des identit´ es de Ward pour les ondes ´ elastiques pour toutes les dimensions : 1, 2 et 3. Le mod` ele est l’´ equation de propagation classique des ondes de pression (1.12) et de d´ eplacement (1.14) sans amortissement.

La contribution de tous les bruits ambiants est vue comme la contribution d’ondes planes non corr´ el´ ees provenant de toutes les directions. Le th´ eor` eme d’´ equipartition permet de relier l’´ energie des ondes P ` a l’´ energie des ondes S via l’´ etude de la densit´ e des modes propres pour les deux types d’ondes. Ce r´ esultat est utilis´ e par les auteurs dans leur calcul de l’identit´ e de Ward.

1.3.2.3 M´ ecanique des structures.

En identification passive des structures, les longueurs d’ondes sont grandes vis-` a-vis de la taille

des structures. Cela est la cons´ equence de la rapidit´ e de propagation des ondes dans les solides

[Royer00] et des basses fr´ equences d’excitations ambiantes : vent qq Hz - 100 Hz [Mitsuyasu74], vagues qq Hz - 20 Hz [Daniell99], le trafic routier qq Hz - 100 Hz [Cremona04], trafic ferroviaire 4 Hz - qq kHz [Eitzenberger08], bruit sismique qq Hz - 1 kHz [Walkinshaw05]. Il faut ajouter ` a ces bruits l’activit´ e humaine : marche, cyclisme, travaux de r´ enovation, etc. moins puissante mais qui peut couvrir la bande qq Hz - qq kHz [Larose06]. La propagation modale

est alors adapt´ ee pour ´ etudier les propri´ et´ es m´ ecaniques d’un ouvrage, on parle d’analyse modale. Le suivi des param` etres modaux (modes propres, fr´ equences propres et amortissements propres) est en effet significatif de l’´ evolution globale de la structure.

Selon ce mod` ele, C.R. Farrar et G.H. James III ´ etablissent dans [Farrar99] l’expression de l’inter-corr´ elation entre deux capteurs situ´ es sur la structure discr´ etis´ ee mesurant la propaga- tion d’un bruit blanc. C’est en fait la corr´ elation de Green pour un syst` eme temporel d´ ecrit par l’´ equation (1.15). Les auteurs montrent que les pulsations propres sont les pˆ oles de la corr´ elation de Green de ce syst` eme. Il est alors ais´ e d’estimer les ´ el´ ements modaux de la structure avec des signaux num´ eris´ es. Cette technique a ´ et´ e valid´ ee avec succ` es en simulations, par exemple dans [Yang04], et sur des structures r´ eelles [Farrar99] (pont I-40 au-dessus de Rio Grande aux Etats-Unis), [Cremona04] (pont de Avesnes-Sur-Helpes en France), ou encore [Siringoringo08]

(pont Hakucho au Japon).

On trouvera dans [Snieder09] et [Prieto10] une deuxi` eme approche de l’utilisation du bruit ambiant dans la surveillance des immeubles (assimil´ es ` a des poutres verticales unidimension- nelles). Ces travaux sont bas´ es sur les r´ esultats de l’identification passive en sismologie pr´ esent´ es plus haut.

1.3.3 Bruit ambiant : propri´ et´ es et influence.

1.3.3.1 Du bruit ambiant au bruit blanc.

L’approche classique [Campillo06] pour justifier que le bruit ambiant converge vers une source blanche temporelle, spatiale et isotrope est de voir le milieu comme un syst` eme dynamique chao- tique. En effet, selon le th´ eor` eme d’´ equipartition, il existe un temps apr` es lequel toute source coh´ erente pi´ eg´ ee dans le milieu devient blanche. Ce temps, appel´ e temps de m´ elange en acous- tique [Polack88] ou plus g´ en´ eralement temps de Thouless [Chabanov01], d´ epend de la bande de fr´ equence, de la g´ eom´ etrie du milieu et des h´ et´ erog´ en´ eit´ es. Avec ces consid´ erations, le bruit ambiant est assimil´ e ` a un bruit blanc lorsque l’on moyenne ses contributions pendant un temps suffisamment long [Lobkis01, Campillo06, Gouedard08].

L’argument d’´ equipartition pour justifier l’obtention d’un bruit blanc ` a partir de bruits am- biants ne fait pas autorit´ e dans toute la communaut´ e de l’identification passive. En effet, il a

´

et´ e montr´ e dans [Snieder10] que l’´ equipartition pouvait ne pas ˆ etre suffisante pour obtenir un bruit blanc. En revanche, elle peut suffire ` a l’identification du milieu. Cela montre la difficult´ e ` a d´ eterminer les propri´ et´ es du bruit ambiant et du milieu n´ ecessaires et suffisantes ` a l’identification passive.

1.3.3.2 R´ epartition spectrale et spatiale du bruit ambiant.

L’identification passive est bas´ ee sur l’inter-corr´ elation de bruit ambiant qui approche un bruit blanc. Nous avons d´ ej` a pr´ ecis´ e qu’un bruit blanc au sens strict n’avait pas de r´ ealit´ e physique

4. La propagation modale est l’effet des interf´erences entre les ondes propag´ees et r´efl´echies aux interfaces du milieu.