Propagation garantie de contraintes ODE par morceaux pour l'optimisation globale

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Submitted on 13 Feb 2014

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Propagation garantie de contraintes ODE par morceaux pour l’optimisation globale

Hugo Joudrier, Khaled Hadj-Hamou

To cite this version:

Hugo Joudrier, Khaled Hadj-Hamou. Propagation garantie de contraintes ODE par morceaux pour

l’optimisation globale. ROADEF - 15ème congrès annuel de la Société française de recherche opéra-

tionnelle et d’aide à la décision, Société française de recherche opérationnelle et d’aide à la décision,

Feb 2014, Bordeaux, France. �hal-00946463�

Propagation garantie de contraintes ODE par morceaux pour l’optimisation globale

Hugo Joudrier, Khaled Hadj-Hamou

Universit´e Grenoble Alpes, CNRS, G-SCOP, F-38000 Grenoble [email protected], [email protected]

1. Introduction

Les syst` emes dynamiques sont largement repr´ esent´ es dans le monde qui nous entoure. De natures physique, ´ economique, chimique. . ., ils peuvent ˆ etre mod´ elis´ es par des syst` emes d’´ equations diff´ erentielles ordinaires (ODE). Pour r´ esoudre de mani` ere garantie ces syst` emes non-lin´ eaires, nous utilisons les m´ ethodes ` a base de calcul d’intervalles permettant d’encadrer les solutions et les trajectoires.

Consid´ erons le syst` eme dynamique suivant d´ ecrit par l’´ equation 1 : u

(t) = h (

u(t), θ ) u(t

) = u

θ ⊆ Θ

(1)

o` u :

– t ∈ IR est la variable temps, avec IR l’ensemble des intervalles r´ eels, – t

∈ IR est le temps correspondant ` a l’´ etat initial du syst` eme,

– u(t) ∈ IR

est le vecteur de n variables d’´ etat ⟨ u

(t ), . . . , u

(t ) ⟩ ` a l’instant t, – θ ⊆ Θ ∈ IR

est le vecteur de p variables param´ etriques ⟨ θ

, . . . θ

⟩ ind´ ependantes

du temps, et Θ ∈ IR

le domaine des param` etres.

– h : IR

→ IR

est le vecteur non-lin´ eaire d’´ equations diff´ erentielles ordinaires, h est de classe C

.

L’objectif de ce travail est l’optimisation garantie d’un mod` ele dynamique appliqu´ e au dimensionnement multi-physique (contacteur ´ electromagn´ etique). Nous cherchons

`

a d´ eterminer la valeur optimale des variables param´ etriques θ

∈ Θ afin d’optimiser une fonction de coˆ ut :

Min f (

u(t), θ )

(2) Nous traitons le probl` eme particulier pour lequel les fonctions d´ ecrivant le syst` eme ODE sont des contraintes d´ efinies par morceaux permettant de traduire des changements de comportement induits par l’´ etat du syst` eme. La description d’une contrainte ODE est faite par un ensemble de morceaux o` u chaque morceau est contraint par l’´ etat dans lequel se trouve le syst` eme.

h (

u(t), θ ) :=

 

 

 

 

 

 h

(

u(t), θ )

si c

(

u(t), θ, t ) .. .

h

(

u(t), θ )

si c

(

u(t), θ, t ) h

(

u(t), θ )

sinon

(3)

avec c

∈ ( IR → IR )

× IR

× IR → IB , i ∈ { 0, 1, . . . , k } . IB est l’ensemble des bool´ eens { Vrai, Faux } augment´ e d’une valeur d’incertitude { Ind´ etermin´ e } .

Ce probl` eme est difficile, de part la nature des variables (param´ etriques et d’´ etats) et du type de contraintes (alg´ ebriques et fonctionnelles, non-lin´ eaires et non-convexes).

Nous proposons un ensemble de m´ ethodes de propagation garantie des contraintes

ODE par morceaux dans un algorithme de Branch & Bound ` a base d’intervalle. Nous

adaptons pour cela l’approche classique utilisant (1) l’op´ erateur de Picard-Lindel¨ of pour d´ eterminer un encadrement global de la solution sur un intervalle de temps, (2) le mod` ele de Taylor pour la contraction du domaine de la solution et enfin (3) les techniques de propagation de contraintes afin de guider la r´ esolution.

2. R´ esolution garantie d’ODE : ´ etat de l’art

L’objectif du solveur d’ODE est de g´ en´ erer un encadrement garanti, le plus petit possible, de la valeur de la trajectoire s

pour un ensemble d’instants t du syst` eme (figure 1). Dans cette partie, nous pr´ esentons un ensemble de m´ ethodes issues de la litt´ erature, permettant une r´ esolution garantie d’ODE sur un intervalle de temps.

Figure1. R´esolution garantie d’une ODE sur[t0;t4]

Nedialkov et al. [8] introduisent une m´ ethode de r´ esolution globale et garantie des syst` emes ODE avec des conditions initiales. Pour cela ils utilisent les propri´ et´ es de l’op´ erateur de Picard-Lindel¨ of (ou Cauchy-Lipschitz) [7] pour d´ eterminer un encadrement global B

de la solution d’une ODE sur un intervalle de temps [t

; t

]

`

a partir d’un encadrement D

de la solution ` a l’instant t

. En posant D

← B

il est possible d’it´ erer la proc´ edure jusqu’` a t

en partant de de la condition initiale d´ efinie par l’encadrement D

` a t

.

A cet op´ ` erateur, est associ´ ee une m´ ethode de contraction du domaine D

de la solution sur un instant pr´ ecis en utilisant la forme centr´ ee de l’extension pour le calcul par intervalle du polynˆ ome de Taylor et de son erreur. Pour gagner en pr´ ecision, l’´ evaluation s’effectue de mani` ere segment´ ee afin de limiter les effets sur-enveloppant de l’arithm´ etique d’intervalle.

Deville et al. [9] introduisent des concepts de consistances dans le but d’accroˆıtre la qualit´ e de la r´ esolution (r´ eduire l’encadrement de la solution) en ajoutant la possibilit´ e de pouvoir couper une partie du domaine.

Lin and Stadtherr [5] g´ en´ eralisent la r´ esolution de ces syst` emes avec la prise en compte d’incertitudes sur la valeur des param` etres. Des techniques de propagations de contraintes sont mises en place afin de r´ eduire la propagation d’erreurs [1]. Dans la pratique, il est parfois possible que l’on connaisse l’´ etat du syst` eme ` a des instants particuliers, en r´ ealisant des mesures lors d’une exp´ erimentation par exemple. Ces contraintes permettent de guider la r´ esolution [2].

3. Contribution

Les m´ ethodes cit´ ees pr´ ec´ edemment ne permettent pas de r´ esoudre de mani` ere garantie des syst` emes ODEs d´ efinis par morceaux. Dans la litt´ erature nous n’avons trouv´ e que peu d’exemples de ce type de contraintes et ` a notre connaissance nous n’avons pas identifi´ e de m´ ethodes garanties pour traiter le probl` eme g´ en´ eral.

2

Nous avons identifi´ e une litt´ erature dans le domaine du g´ enie des proc´ ed´ es traitant succinctement d’une sous-partie de ce probl` eme [4]. Ces travaux, qui portent davantage sur l’optimisation, consid` erent des probl` emes comportant des contraintes ODEs classiques, dont les variables param´ etriques ⟨ θ

, . . . θ

⟩ peuvent avoir des valeurs diff´ erentes selon des p´ eriodes de temps donn´ ees. N´ eanmoins, cela ne permet pas de r´ esoudre notre probl` eme particulier. En effet, le point de rupture (changement d’´ etat du syst` eme) n’est en g´ en´ eral pas connu ` a l’avance. La prise en compte d’incertitudes via l’arithm´ etique d’intervalle ne permet pas ´ egalement de r´ ealiser le passage d’un morceau ` a l’autre ` a un instant pr´ ecis, mais sur un intervalle de temps pendant lequel plusieurs morceaux du syst` eme doivent ˆ etre consid´ er´ es simultan´ ement. Ce qui g´ en` ere un ambigu¨ıt´ e dans le traitement des morceaux.

L’approche que nous proposons pour la r´ esolution garantie des contraintes d´ efinis par morceaux est comparable ` a l’approche classique.

Nous utilisons d’abord l’op´ erateur de Picard-Lindel¨ of pour g´ en´ erer une inclusion globale de la solution. Si cette inclusion B

est ambigu¨ e (couvrant plusieurs morceaux), alors l’inclusion B

est recalcul´ ee en consid´ erant l’union sur chacun des morceaux.

Dans le cas d’une inclusion globale B

ambigu¨ e, il est impossible de calculer une contraction du domaine D

sans perdre la garantie de l’encadrement. Dans ce cas, le pas d’it´ eration entre t

et t

est alors r´ eduit jusqu’` a atteindre soit un seuil minimum donn´ e ou une inclusion globale non-ambigu¨ e. Une fois le seuil minimum atteint, avec B

ambigu¨ e, l’encadrement de d´ epart D

est segment´ e en un ensemble {D

. . . D

} et le processus de r´ esolution est appliqu´ e entre t

et t

s´ epar´ ement sur chacun des D

pour g´ en´ erer un ensemble d’inclusions globales B

de la solution. Pour chaque inclusion globale B

non-ambigu¨ e, nous appliquons directement le processus de r´ esolution classique. Pour les autres inclusions globales nous posons D

← B

.

Le probl` eme de cette m´ ethode est qu’elle ne permet toujours pas de r´ ealiser le changement de phase par inclusion des B

ambigu¨ es. L’id´ ee est donc de proc´ eder ` a la contraction de l’inclusion globale B

sur l’instant t

lorsque l’inclusion D

est ambigu¨ e sur les mˆ eme morceaux que B

au risque de perdre la garantie.

4. R´ esultats

Cette m´ ethode de propagation garantie des contraintes ODE par morceaux est utilis´ ee dans un algorithme d’optimisation globale de type Branch & Bound ` a base d’intervalle. Chaque nud contient l’espace des param` etres, ainsi que la valeur de l’objectif global et local (sur le point m´ edian de l’espace des param` etres). Nous proposons un algorithme de coupes permettant d’approximer le r´ esultat est de r´ eduire le nombre d’it´ erations en jouant sur l’incertitude g´ en´ er´ ee par la r´ esolution des ODEs.

Nous illustrons nos propositions sur un exemple acad´ emique d´ efinit ci-apr` es : Min f (

x(t), y(t), θ

, θ

) = x(2) − x(0.5) sc. x

(t) = h (

x(t), y(t), θ

) si y(t) < 1 x

(t) = h (

x(t), y(t), θ

) sinon

y

(t) = 1

x(0) = 0, y(0) = 0

θ

∈ [ − 50; 50], θ

∈ [ − 50; 50]

(4)

avec

h (

x(t), y(t), θ ) :=

 



100 ∗ (

0.5 − y(t) )

si x(t) ≥ 3

θ si x(t) ≥ −2

θ/10 sinon

(5)

Les mod` eles trait´ es sont des syst` emes autonomes. Un syst` eme non-autonome peut se ramener ` a un syst` eme autonome en consid´ erant la variable temps t comme une variable d’´ etat avec une d´ eriv´ ee ´ egale ` a 1, la variable d’´ etat y(t) dans cet exemple.

La solution optimale th´ eorique est θ

= 50 et θ

= − 50 pour laquelle la valeur th´ eorique de l’objectif est −19.16. Pour le test, l’espace des param` etres est limit´ e

`

a une subdivision de cot´ e 0.1 avec une coupe d’approximation ϵ = 0. L’algorithme s’arrˆ ete apr` es 82 it´ erations au lieu de 9154 sans la coupe avec le r´ esultat suivant : b

= − 18.96, θ

= [49.76], θ

= [ − 49.95], objectif f ∈ [ − 19.66; − 18.96].

Figure2.x(t) pourt∈[0; 2]

5. Conclusion

Le travail pr´ esent´ e dans ce papier a ´ et´ e r´ ealis´ e dans le cadre du Master 2 Recherche ([3]). Nous avons propos´ e des algorithmes ` a base de calcul d’intervalle pour encadrer et propager de mani` ere garantie des ´ equations diff´ erentielles d´ efinies par morceaux. Pour impl´ ementer ces algorithmes nous avons d´ evelopp´ e un solveur d’ODEs sp´ ecifique.

Pour r´ esoudre de mani` ere efficace des probl` emes complexes de dimensionnement multi-physique, il est n´ ecessaire de propager simultan´ ement les contraintes fonctionnelles et alg´ ebriques dans un algorithme d’optimisation globale.

Pour am´ eliorer la qualit´ e et la pr´ ecision des r´ esultats, une autre id´ ee serait d’´ etudier l’impact d’une autre arithm´ etique (l’arithm´ etique affine [6]) en compl´ ement de l’arithm´ etique d’intervalle afin d’obtenir des r´ esultats d’op´ erations beaucoup plus pr´ ecis tout en gardant la garantie du r´ esultat.

R´ef´erences

1. J. Cruz and P. Barahona. Constraint satisfaction differential problems. In Francesca Rossi, editor, CP, volume 2833 ofLecture Notes in Computer Science, pages 259–273. Springer, 2003.

2. L. Jaulin. Nonlinear bounded-error state estimation of continuous-time systems. Automatica, 38(6) :1079–1082, 2002.

3. H. Joudrier. Propagation de contraintes ODE par calcul d’intervalle pour l’optimisation globale.

Rapport de Master 2, Math´ematiques Informatique. Universit´e Joseph Fourier, Grenoble, 1966.

4. Y. Lin and M. A. Stadtherr. Deterministic global optimization for parameter estimation of dynamic systems. Industrial and Engineering Chemistry Research, 45(25) :8438–8448, 2006.

5. Y. Lin and M. A. Stadtherr. Validated solution of initial value problems for odes with interval parameters. InProceedings of 2nd NSF Workshop on Reliable Engineering Computing, 2006.

6. F. Messine. Extensions of affine arithmetic : Application to global optimization. Journal of Universal Computer Science, 8(11) :992–1015, 2002.

7. R. E. Moore. Interval Analysis. Prentice-Hall series in automatic computation. Prentice-Hall, 1966.

8. K. R. Jackson N. S. Nedialkov and G. F. Corliss. Validated solutions of initial value problems for ordinary differential equations. Applied Mathematics and Computation, 105(1) :21–68, 1999.

9. M. Janssen Y. Deville and P. Van Hentenryck. Consistency techniques in odes, 2000.

4