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Exercice 1 Étudier la convergence (simple, uniforme) des suites de fonctions suivantes : (1) fn(x

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Academic year: 2022

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Université des Sciences et Technologies de Lille 1 2010/2011 Licence Mécanique Semestre 4

Compléments d'analyse réelle Math 203'

Interrogation 1

9 Mars 2011 à 11h15. Durée : 1h.

Documents, calculatrices, téléphones et appareils électroniques interdits.

Une attention particulière sera portée à la clarté et à la précision des réponses.

Barème indicatif : 3+6+2.

Questions de Cours.

Dire (en justiant proprement votre réponse) si les armations suivantes sont vraies ou fausses :

(1) Si(un)n est une suite réelle vériant |un+1−un| →0, alors un converge dans R.

(2) Si(fn)n est une suite de fonctions continues surI convergeant en moyenne quadra- tique versf surI, alors (fn)n converge uniformément vers f sur I.

Exercice 1

Étudier la convergence (simple, uniforme) des suites de fonctions suivantes : (1) fn(x) := sin(xn),x∈[−1/2,1];

(2) fn(x) := n(x2ne+1)+1x , x∈[−1,1];

(3) fn(x) :=n2(tanx)n(1 + tan2x), x∈[0, π/6]. Exercice 2 Calculer

n→+∞lim Z 1

0

xe−nx2 1 +x2dx.

On pourra étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions x7→xe−nx2.

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