Donc d après le théorème des valeurs intermédiaires pour tout réel a de ]0 ; + [, l équation e x = a ; admet une unique solution sur R.

𝒞_𝑒𝑥𝑝

𝑎

ln 𝑎

𝒞_𝑒𝑥𝑝 𝒞_𝑙𝑛

𝒞_𝑙𝑛

mathsbdp.fr Fonction logarithme népérien I Liens avec la fonction exponentielle

La fonction exponentielle 𝑥 ↦ 𝑒^𝑥 est continue et strictement croissante sur ℝ à valeurs dans ℝ⁺. De plus lim

𝑥→−∞𝑒^𝑥 = 0 et lim

𝑥→+∞𝑒^𝑥 = +∞

Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires pour tout réel 𝑎 de ]0 ; +∞ [, l’équation 𝑒^𝑥 = 𝑎 ; admet une unique solution sur ℝ.

Définition • On appelle logarithme népérien du réel strictement positif 𝑎 l’unique solution de l’équation 𝑒^𝑥 = 𝑎 ; on le note ln 𝑎 ou ln(𝑎).

• La fonction logarithme népérien, notée 𝑙𝑛 est la fonction qui a tout réel 𝑥 > 0 associe le réel ln 𝑥

C’est une fonction définie sur ] 0 ; +∞[ à valeurs dans ℝ.

Conséquence : • pour tout réel 𝑎 > 0 et pour tout réel 𝑏

ln(𝑎) = 𝑏 ⟺ 𝑎 = 𝑒

À RETENIR

pour tout réel 𝑥,

𝑙𝑛(𝑒

) = 𝑥

pour tout réel 𝑥 strictement positif,

𝑒

= 𝑥

ln 1 = 0 car 𝑒⁰ = 1 ln 𝑒 = ln 𝑒¹ = 1 𝑒^{ln 4,5} = 4,5 ; ln(𝑒⁻¹) = −1 Exemple de résolution d’équation avec utilisation de ln Résoudre l’équation : 𝑒^2𝑥−1 = 3

𝑒^2𝑥−1 = 3 ⟺ 2𝑥 − 1 = ln 3 ⟺ 2𝑥 = ln 3 + 1 ⟺ 𝑥 =^{ln 3+1}

2 Propriété : courbes des fonctions ln et exp

Dans un repère orthonormé, les courbes des fonctions ln et exp sont symétriques par rapport à la droite d’équation 𝑦 = 𝑥 𝑀(𝑥 ; 𝑦 ) ∈ 𝒞_𝑒𝑥𝑝 ⟺ 𝑦 = 𝑒^𝑥

⟺ ln 𝑦 = 𝑥

⟺ 𝑀^′(𝑦 ; 𝑥 ) ∈ 𝒞_𝑙𝑛

(𝑥 ; 𝑦 )

(𝑦 ; 𝑥 )

①

Application : résolution d’une équation du type ln(𝑢(𝑥)) = ln(𝑣(𝑥))

• rechercher l’ensemble E des réels tels que 𝑢(𝑥) > 0 et 𝑣(𝑥) > 0 ( ensemble d’existence de l’équation )

• résoudre dans E, l’équation 𝑢(𝑥) = 𝑣(𝑥)

Exemple. Résoudre l’équation ln(𝑥 + 2) = ln(4 − 𝑥) condition d’existence : 𝑥 + 2 > 0 et 4 − 𝑥 > 0

soit 𝑥 > −2 et 4 > 𝑥 soit 𝐸 =] − 2 ; 4 [

Pour tout 𝑥 ∈] − 2 ; 4 [ ln(𝑥 + 2) = ln(4 − 𝑥) ⟺ 𝑥 + 2 = 4 − 𝑥 ⟺ 𝑥 = 1

1 ∈ 𝐸 donc 𝑆 = { 1 }

II Propriétés algébriques de 𝒍𝒏

Relation fonctionnelle. Pour tous réels 𝑎 > 0 et 𝑏 > 0

ln(𝑎𝑏) = ln(𝑎) + ln(𝑏)

Preuve : 𝑎 > 0 et 𝑏 > 0 ; 𝑒^ln(𝑎𝑏) = 𝑎𝑏 = 𝑒^{ln 𝑎}× 𝑒^{ln 𝑏} = 𝑒^{ln 𝑎+ln 𝑏} donc ln(𝑎𝑏) = ln(𝑎) + ln(𝑏)

Logarithme d’un inverse Pour 𝑎 > 0,

ln (

𝑎

) = − ln(𝑎)

Logarithme d’un quotient Pour 𝑎 > 0 et 𝑏 > 0,

ln ( 𝑎

𝑏 ) = ln(𝑎) − ln(𝑏)

Preuve : ln (𝑎 ×¹

𝑎) = ln 𝑎 + ln (¹

𝑎) = ln (^𝑎

𝑎) = ln 1 = 0 donc ln (¹

𝑎) = − ln(𝑎) ln (^𝑎

𝑏) = ln (𝑎 ×¹

𝑏) = ln(𝑎) + ln (¹

𝑏) = ln(𝑎) − ln(𝑏) Logarithme d’une puissance, d’une racine-carrée Pour 𝑎 > 0 et 𝑛 entier relatif

1)

ln(𝑎 ^𝑛 ) = 𝑛 × ln(𝑎)

ln(√𝑎) = ¹ ₂ ln(𝑎)

Preuve : 𝑒^ln(𝑎𝑛) = 𝑎^𝑛 et 𝑒^{𝑛 ln(𝑎)} = (𝑒^{ln 𝑎})^𝑛 = 𝑎^𝑛 donc 𝑒^ln(𝑎𝑛) = 𝑒^{(𝑛 ln 𝑎)} d’où ln(𝑎^𝑛) = 𝑛 × ln(𝑎)

ln (√𝑎²) = 2 ln(√𝑎) = ln(𝑎) d’où ln(√𝑎) = ¹₂ln(𝑎) Application. résoudre l’inéquation (¹

3)^𝑛 ≤ 0,01 avec 𝑛 ∈ ℕ (¹

3)^𝑛 ≤ 0,01 ⟺ ln ((¹

3)^𝑛) ≤ ln(0,01) ⟺ 𝑛 × ln (¹

3) ≤ ln 0,01

⟺ 𝑛 ≥^ln(0,01)

ln(¹₃) ≈ 4,2 soit 𝑛 ≥ 5

III) étude de la fonction logarithme népérien 1) Dérivée de la fonction ln

Propriété. La fonction ln est dérivable sur ] 0 ; +∞ [ et pour tout 𝑥 > 0 ;

②

(ln 𝑥) ^′ = 1

• La fonction 𝑙𝑛 est continue sur ] 0 ; +∞ [

𝑥

Démonstration. On admet que la fonction ln est dérivable sur ] 0 ; +∞ [ On considère la fonction 𝑓 définie pour tout 𝑥 > 0 par 𝑓(𝑥) = 𝑒^{ln 𝑥} 𝑓 est du type 𝑒^𝑢 où 𝑢 est la fonction ln dérivable sur ] 0 ; +∞ [ donc 𝑓 est dérivable sur ] 0 ; +∞ [

(𝑒^𝑢)^′ = 𝑢′ × 𝑒^𝑢 donc 𝑓^′(𝑥) = (ln 𝑥)′ × 𝑒^{ln 𝑥} or 𝑒^{ln 𝑥} = 𝑥 donc 𝑓^′(𝑥) = (ln 𝑥)′ × 𝑥 et 𝑓(𝑥) = 𝑒^{ln 𝑥} = 𝑥 donc 𝑓^′(𝑥) = 1 d’où (ln 𝑥)^′× 𝑥 = 1 soit (ln 𝑥)^′ = ¹

𝑥

La fonction ln est dérivable sur ] 0 ; +∞ [ donc elle est continue sur ] 0 ; +∞ [.

2) Variations et limites de la fonction logarithme népérien 𝑥 ↦ ln(𝑥) théorème. La fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ; +∞ [ Preuve : pour tout 𝑥 > 0 (ln 𝑥)^′ =¹

𝑥 > 0 dérivée strictement positive donc ln fonction strictement croissante sur ] 0 ; +∞ [

Conséquence : pour tous réels 𝑎 > 0 et 𝑏 > 0

ln 𝑎 = ln 𝑏

⟺ 𝑎 = 𝑏

ln 𝑎 < ln 𝑏

⟺ 𝑎 < 𝑏

3) Limites

théorème.

lim

𝑥→+∞

ln 𝑥 = +∞ lim

𝑥→0𝑥>0

ln 𝑥 = −∞

Démonstration. Soit A un réel

Pour tout réel 𝑥 > 𝑒^𝐴, on a ln 𝑥 > ln(𝑒^𝐴) donc ln 𝑥 > 𝐴

On peut rendre ln 𝑥 aussi grand que l’on veut ; tout intervalle de la forme ] 𝐴 ; +∞ [ contient tous les réels ln(𝑥) pour 𝑥 suffisamment grand donc

𝑥→+∞lim ln 𝑥 = +∞

Soit 𝑥 > 0 ; on pose 𝑋 = ¹

𝑥 ; lorsque 𝑥 strictement positif tend vers 0, 𝑋 tend vers +∞

De plus ln(𝑥) = ln (¹

𝑋) = − ln 𝑋 donc lim

𝑥→0ln 𝑥 = lim

𝑋→+∞− ln 𝑋 = −∞

La courbe 𝒞_𝑙𝑛 admet une asymptote verticale d’équation 𝑥 = 0 ( axe des ordonnées ) tableau de variation de la fonction 𝑙𝑛

𝑥 0 + ∞

1

𝑥 +

+∞

ln 𝑥

③

−∞

Tangente en 𝑥 = 1

𝑦 = 𝑓^′(1)(𝑥 − 1) + 𝑓(1) 𝑓^′(1) = ¹

1 = 1 ; 𝑓(1) = ln 1 = 0 ; 𝑇₁ : 𝑦 = 𝑥 − 1 Conséquence : l’égalité (ln 1)^′ = 1 permet d’obtenir lim

𝑥→0

ln(1+𝑥) 𝑥 = 1 ( limite du taux d’accroissement ln(1+𝑥)−ln(𝑥)

𝑥 )

Limite à connaître 𝑥→+∞

lim

ln 𝑥

𝑥

= 0 ^lim

𝑥→0𝑥>0

𝑥 ln 𝑥 = 0

Démo. Pour 𝑥 > 0 ; on pose 𝑦 = ln 𝑥 donc 𝑥 = 𝑒^𝑦

ln 𝑥 𝑥 = ^𝑦

𝑒^𝑦 or lim

𝑦→+∞

𝑒^𝑦

𝑦 = +∞ donc par passage aux inverses lim

𝑦→+∞

𝑦

𝑒^𝑦 = 0 donc lim

𝑥→+∞

ln 𝑥 𝑥 = 0 𝑥 ln 𝑥 = 𝑒^𝑦 × 𝑦 or lim

𝑥→0𝑦 = −∞ et lim

𝑦→−∞𝑦 𝑒^𝑦 = 0 donc lim

𝑥→0𝑥>0

𝑥 ln 𝑥 = 0 IV) Convexité

Propriété. La fonction logarithme népérien est concave sur ] 0 ; +∞[

Ex. La tangente à la courbe représentative de la fonction ln au point d’abscisse 𝑒 a pour équation 𝑦 =^𝑥

𝑒.

La fonction ln étant concave, sa courbe est située en dessous des tangentes donc pour tout réel 𝑥 > 0, on a : ln(𝑥) < ^𝑥

𝑒

V) Dérivée de 𝒙 ↦ 𝒍𝒏(𝒖(𝒙)) Propriété admise

𝑢 désigne une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I La fonction 𝑥 ↦ ln(𝑢(𝑥)) ,notée ln 𝑢 est dérivable sur I et

(ln(𝑢(𝑥)) )

= 𝑢

(𝑥) 𝑢(𝑥)

④

Signe de ln 𝑥

𝐥𝐧 𝒙 > 𝟎 ⟺ 𝒙 > 𝟏 𝐥𝐧 𝒙 < 𝟎 ⟺ 𝒙 < 𝟏

Limites par croissances comparées

∀ 𝑛 ∈ ℕ^∗

𝑥→+∞lim

ln(𝑥)

𝑥^𝑛 = 0 et lim

𝑥→0 𝑥>0

𝑥^𝑛ln(𝑥) = 0

Conséquence. Les fonctions 𝑢 et ln(𝑢) ont le même sens de variation sur l’intervalle I.

exemple. 𝑓(𝑥) = ln(𝑥² + 1) ; 𝑓 est du type ln 𝑢 avec 𝑢(𝑥) = 𝑥²+ 1 𝑓^′(𝑥) = ^2𝑥

𝑥²+1

V) Fonction logarithme décimal

Pour tout 𝑥 > 0 , log 𝑥 = ^{ln 𝑥}

ln 10

log(10 ^𝑛 ) = 𝑛

log 𝑥 = 𝑎 équivaut à 𝑥 = 10

log est le logarithme de base 10 ; log 𝑥 = ^{ln 𝑥}

ln 10

ln est le logarithme de base 𝑒 ; ln 𝑥 = ^{ln 𝑥}

ln 𝑒

Sans calculatrice donner les valeurs de :

a) log(10³) = ⋯ b) log(10⁻²) = ⋯ c) log(10⁵) = ⋯ d) log(10 000) = ⋯ e) log(0,001) = ⋯

Exprimer en fonction de ln(2) le nombre 𝑎 = ln (²

𝑒) − 4 ln(𝑒³) + ln(4𝑒)

***à retenir***

(𝑒 ^𝑥 ) ^′ = 𝑒 ^𝑥 𝑒 ⁰ = 1 𝑒 ^𝑥 × 𝑒 ^𝑥′ = 𝑒 ^𝑥+𝑥′

𝑒 ^𝑥

𝑒 ^{𝑥 ′} = 𝑒 ^{𝑥−𝑥′}

(𝑒 ^𝑥 ) ^𝑛 = 𝑒 ^𝑛𝑥

𝑥→+∞ lim 𝑒 ^𝑥 = +∞

𝑥→−∞ lim 𝑒 ^𝑥 = 0

𝑒 ^𝑥 > 0 pour tout réel 𝑥

𝒞_𝑒𝑥𝑝

dérivée de la fonction composée 𝑒 ^𝑢 avec 𝑢 fonction

(𝑒 ^𝑢 ) ^′ = 𝑢 ^′ × 𝑒 ^𝑢 (𝑒 ^2𝑥+5 ) ^′ = 2𝑒 ^2𝑥+5

(𝑒 ^𝑥

) ^′ = 2𝑥 × 𝑒 ^𝑥

pour tout réel 𝑎 > 0 et pour tout réel 𝑏

ln(𝑎) = 𝑏 ⟺ 𝑎 = 𝑒 ^𝑏

pour tout réel 𝑥 > 0

(ln(𝑥)) ^′ = 1 𝑥

Signe de ln 𝑥

𝐥𝐧 𝒙 > 𝟎 ⟺ 𝒙 > 𝟏 𝐥𝐧 𝒙 < 𝟎 ⟺ 𝒙 < 𝟏

pour tout réel 𝑎 > 0 et pour tout réel 𝑏

ln(𝑒 ^𝑏 ) = 𝑏

𝑒 ^ln(𝑎) = 𝑎

Limites par croissances comparées 𝑥→+∞

lim

ln(𝑥)

𝑥

= 0 lim

𝑥→0𝑥>0

𝑥 ln(𝑥) = 0

∀ 𝑛 ∈ ℕ^∗ 𝑥→+∞

lim

ln(𝑥)

𝑥^𝑛

= 0 et lim

𝑥→0𝑥>0

𝑥

ln(𝑥) = 0

Pour tout 𝑥 > 0,

log( 𝑥) = ^{ln( 𝑥)}

ln 10

log(1) = 0 et log( 10) = 1

log(10

) = 𝑛 où 𝑛 est un entier 10

= 𝑥

log est le logarithme de base 10 ; log 𝑥 = ^{ln 𝑥}

ln 10

ln est le logarithme de base 𝑒 ; ln 𝑥 = ^{ln 𝑥}

ln 𝑒

Pour une fonction 𝑢 dérivable et strictement positive sur un

intervalle 𝐼,

les fonctions ln(𝑢) et 𝑢 ont les

mêmes variations sur l’intervalle 𝐼