ECE2 Analyse 1 - Études de fonctions - DL Septembre 2021 - EXERCICE1 -
Calculer les limites des fonctions suivantes aux points indiqués.
1. lnx+x−1
x+e−x en 0+et en+∞. 2. ln¡
e−x+x−2¢ en+∞. 3. (1−ex)2
xln(1+x) en 0.
4. xex+1
ex+1 en+∞, et en−∞.
5. ex−xe1/x en 0+, en 0−et en+∞.
6. xln(x2)−lnx px+1 en 0+.
7. ln(1+p
x)−x2 en+∞.
8. x1x en 0+et en+∞.
9. xe−x2 en+∞.
10.
p1+x−1
x en 0.
11. (1+x)1/x en 0.
12. ln(1+x3)
ln(x) en 0 et en+∞.
- EXERCICE2 -
A l’aide des développements limités, déterminer un équivalent puis calculer les limites des fonctions suivantes aux points indiqués.
1. ln(1+x)−x 2x2 en 0.
2. 1
e−x−1−1 x en 0.
3. 1
x(1+x)−ln(1+x) x2 en 0.
4.
p1+x2−p 1−x2
2x en 0.
- EXERCICE3 -
1. Soit (α∈R). Déterminer, en fonction deα, un équivalent en+∞de xαln(x+1)−xαln(x) puis déterminer la limite de cette quantité en+∞.
2. Montrer qu’au voisinage de+∞, on a : xe−x2=o µ1
x2
¶ .
3. Soitn∈N∗fixé. Montrer qu’au voisinage de+∞, on a : (ln(1+x))n 1+x2 =o
µ 1 x3/2
¶ .
- EXERCICE4 -
1. Déterminer un équivalent puis la limite des suites suivantes : un= 1
n−1− 1
n+1; vn=p n+1£
ln (n+1)−ln (n)¤
; wn= 1 n2
Xn k=1
k
2. Déterminer la limite de : vn= µ
1+1 n
¶n
.
- EXERCICE5 -
Soit (un)n∈N∗une suite telle que : ∀n∈N∗, ln(n)+ 1
2n⩽un⩽ln(n)+1 n. Déterminer un équivalent de la suite (un)n∈N∗.
- EXERCICE6 -
Soitfla fonction définie sur [−1;+∞[ \ {0} par : f(x)=
p1+x−1
x .
1. Déterminer le développement limité dex7→p
1+xà l’ordre 2 au voisinage de 0 puis en déduire le déve- loppement limité defà l’ordre 1 au voisinage de 0.
2. En déduire quefest prolongeable par continuité en 0. Ce prolongement est-il dérivable en 0 ? 3. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentative defau point d’abscisse 0.
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Pour aller plus loin...
- EXERCICE7 -
On considère la suite (Sn) définie pourn⩾1 parSn=
k=nX
k=1
p1 k 1. En utilisant une quantité conjuguée, montrer que :∀n⩾1,p1
n+1⩽2(pn+1−p n)⩽p1
n. 2. À l’aide de la question précédente, déterminer la limite de la suite (Sn).
3. On pose désormaisun=Sn−2p n.
Montrer que la suite (un) est décroissante et minorée par−2.
4. En déduire que (un) converge puis déterminer un équivalent simple deSn. - EXERCICE8 -
On considère la fonctionϕdéfinie pourx∈]0; 1[ par : ϕ(x)=ln(1+x) ln(1−x). 1. Montrer queϕest prolongeable par continuité à l’intervalle [0; 1].
On notera encoreϕle prolongement ainsi obtenu.
2. Justifier queϕest dérivable sur ]0; 1[ et qu’on peut écrire, pour toutx∈]0; 1[, ϕ′(x)=(1−x) ln(1−x)+(1+x) ln(1+x)
(1−x2)[ln(1−x)]2 = h(x) (1−x2)[ln(1−x)]2 où on a posé : h(x)=(1−x) ln(1−x)+(1+x) ln(1+x).
3. Montrer quehest croissante sur ]0; 1[ puis en déduire son signe sur ]0; 1[.
4. Montrer queϕest dérivable (à droite) en 0 et queϕ′(0)=1.
On commencera par rappeler les développements limités deln(1+x)et deln(1−x)en0.
5. Montrer queϕn’est pas dérivable (à gauche) en 1.
6. Dresser le tableau de variations deϕet montrer que celle-ci réalise une bijection de [0; 1] sur un intervalle à préciser.
7. Déterminer l’équation de la (demi-)tangente à la courbe deϕen 0.
8. Tracer une allure du graphe de la fonctionϕ.On fera apparaitre la (demi-)tangente en0.
- EXERCICE9 -
On considère une suite (Xn) de variables aléatoires telle que, pour toutn∈N∗,Xn,→B µ
n,1 n
¶ . 1. RappelerXn(Ω) ainsi queP(Xn=k) pour toutk∈Xn(Ω).
2. Montrer que pour toutk∈Nfixé : Ãn
k
!
n→+∞∼ nk
k!. 3. En déduire que, pour toutk∈N, on a : lim
n→+∞P(Xn=k)=e−1
k! =P(Y=k) avecY,→P(1).
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