Rapport de projet Risque de Crédit, Risque de Défaut : Étude de l influence du taux de recouvrement sur le prix de CDOs.

(1)

Rapport de projet Risque de Cr´ edit, Risque de D´ efaut :

Etude de l’influence du taux de ´

recouvrement sur le prix de CDOs.

Auteurs : Hecht Frédéric, Porzier Rémi, Font Guillaume

Cours «Risque de Crédit, Risque de Défaut» à l’ENPC, année 2007/2008 Projet soutenu devant : Vivien Brunel, Société Générale Asset Management

(2)

2

(3)

Table des mati` eres

Table des mati`eres 2

Introduction 4

1 Description d’un CDO 5

1.1 Pr´esentation du produit . . . 5

1.2 Le CDO standardis´e . . . 6

1.3 Aspect th´eorique . . . 6

2 Modélisation 9 2.1 Modélisation du marché du risque de crédit . . . 9

2.1.1 Les mod`eles structurels . . . 9

2.1.2 Les modèles à intensité de défaut . . . 10

2.1.3 Les copules . . . 10

2.2 La copule gaussienne . . . 10

2.3 M´ethode de calcul de probabilit´es . . . 11

2.3.1 Le cas standard . . . 11

2.3.2 M´ethode de Monte-Carlo . . . 11

2.3.3 Réduction de la variance : méthode des variables antithétiques . . . 12

3 Calcul du prix de CDOs 13 3.1 Calcul des diff´erentes esp´erances, en vue de calculer le spread . . . 13

3.1.1 CDO : esp´erance dans le cas standard . . . 13

3.1.2 CDO : variance dans le cas standard . . . 14

3.2 R´esultats num´eriques . . . 15

3.2.1 Validit´e du mod`ele . . . 15

3.2.2 Tests des sensibilit´es . . . 15

Conclusion 17

A Tableaux et Figures 19

Bibliographie 23

3

(4)

4 TABLE DES MATI `ERES

Introduction

Dans le cadre du cours«Risque de Crédit, Risque de Défaut»suivi à l’Ecole Nationale des Ponts et Chaussées au cours de l’année 2007/2008, nous avons réalisé un projet, intitulé «Etude de l’influence du taux de recouvrement sur le prix d’un CDO», dont voici le rapport.

Les CDOs (Collateralized Debt Obligations) sont des produits dérivés de crédit, permettant de diminuer le prix de la protection du risque de crédit pour la banque, et pour l’entreprise qui y a recours. En fait, plutôt que de passer par le marché des CDS (Credit Default Swap) pour se couvrir des risques de défauts, la banque va regrouper les entreprises ayant recours à un prêt, ce qui permet de diminuer le risque et d’abaisser le coût de la protection du risque de crédit.

Cela permet aussi de ”maˆıtriser” le risque de contagion de défauts par la corrélation entre les entreprises (la corrélation se déduit de la valeur du CDO sur le marché).

Dans le cadre de ce projet, nous avons d´evelopp´e un pricer qui va nous permettre de faire une

étude de sensibilité de prix pour chaque tranche de CDO. Ce pricer a été développé en VB. Net, et mis sous la forme d’une dll appelée par une spreadsheet qui permet de conserver les facilités d’utilisation d’Excel tout en bénéficiant de la performance du langage VB. Net.

Le fair spread d’une tranche de CDO, est calculé à partir de la jambe de paiement et de la jambe de défaut, lesquelles sont calculées à partir des probabilités de défaut des entreprises à chaque

échéance de paiement. La clé du pricer sera donc de calculer ces probabilités par une méthode de Monte Carlo, chaque itération étant simulée grâce à une copule gaussienne.

L’utilisation faite de ce pricer dans le cadre de ce projet visera à analyser la variation du prix du CDO en fonction du taux de recouvrement, mais aussi de la corrélation et du nombre d’entreprises. Nous tenterons de croiser les résultats obtenus avec notre compréhension intuitive du produit.

Le projet s’est déroulé en plusieurs étapes :

1. Recherche bibliographique et lecture de diff´erents articles, notamment [HW04], afin de bien comprendre le cadre de l’´evaluation du prix d’un CDO ;

2. Implémentation en VB.Net d’algorithmes permettant de calculer le prix de CDOs, avec une méthode de Monte-Carlo mais en accord avec l’article [HW04] et ses résultats ;

3. Analyse des r´esultats.

(5)

Chapitre 1

Description d’un CDO

Dans ce chapitre, nous allons introduire le produit financier auquel nous allons nous int´eresser dans le cadre de ce projet : le CDO standardis´e.

1.1 Pr´ esentation du produit

Le CDO permet à une partie, ”A” (une banque ou un organisme préteur), d’acheter une protection contre les défauts pouvant survenir parmi un panier de m entreprises. Pour cela, ”A” paye de manière régulière un coupon fixe ou prime à une troisième partie, ”C” (une autre banque, ou un investisseur sur le marché). Le coupon est proportionnel à la date écoulée depuis le dernier paiement, on l’appelle également spread. Le paiement du coupon cesse si un défaut survient, et alors ”C” doit payer à ”A” le montant précisé par le contrat.

Si ”A” voulait se protéger des pertes de toutes les entreprises du panier, elle devrait alors émettre mCDS, chacun sur une entreprise differente(ou un numéro de défaut). Mais ceci peut coûter cher, et qui voudra acheter lesn^th to default CDS pour les premiers défauts, qui sont très risqués ? L’idée d’un CDO repose sur le fait que la protection court sur une tranche de perte. Introduisons le processus de pertes L(t), avec N_j le nominal de la j-ième entreprise, et L_j le taux de perte (Lj = 1−R) :

L(t) =

m

X

j=1

N_jL_j1_τ_j≤t (1.1)

et posons L_max=

m

X

j=1

N_jL_j, le montant maximal de pertes.

Par exemple, si ”A” veut se protéger des pertes du panier contenues dans [5%,15%], alors elle achète un CDO sur la tranche [5%,15%] à ”C”, le vendeur de protection, qui la couvre du risque sur cette tranche. Ainsi, ”A” va effectuer un paiement régulier à ”C”, proportionnel au temps

´

ecoulé depuis le dernier paiement et à la proportion de perte dans la tranche considérée ; en

´

echange ”C” s’engage à verser à ”A” un montant prédéterminé pour tout défaut dans la tranche.

Les paiements cessent quand la perte atteint la borne sup´erieure de la tranche.

En somme, les pertes affectent d’abord la première tranche (ouequity), puis la tranche suivante (mezzanine 1)... jusqu’à la dernière tranche, la tranche super senior.

Pour la suite, nous noterons :

– T ou T_I la durée du contrat, ou sa maturité; – Ti une échéance du contrat, avec Ti ∈[0, TI] ; – αi le temps écoulé entreTi−1 etTi;

5

(6)

6 CHAPITRE 1. DESCRIPTION D’UN CDO – Rt le taux de recouvrement, que ”B” donne `a ”A” si le d´efaut a lieu, avecRt∈[0,1), que

l’on supposera d´eterministe dans certains cas ;

– D(0, Ti) le taux d’actualisation zéro-coupon entre les temps 0 etTi; – τj l’instant du défaut de la j-ième entreprise ;

– X le spread du CDO, ou taux équitable du CDO, ce que nous chercherons à calculer afin d’évaluer le prix du CDO pour une tranche donnée (c’est ce qui est côté par le marché) ; – Nj le nominal de la j-ième entreprise ;

– L la somme que ”C” verse `a ”A” si le d´efaut a lieu avantT, soitL= (1−R)×N = 1−R.

1.2 Le CDO standardis´ e

Sur le marché, les choses sont un peu plus simples, et ce sont des CDOs standardisés qui appa- raissent. Typiquement, les échéances sont trimestrielles (α_i = ¹₄) ; les duréeT = 3, 5, 7 ou 10 ans ; les paniers comptent un nombre fixé de noms (le panier de référence, l’I-Traxx Europe, compte m= 125 noms) ; les pertes sont normalisées, les nominaux et taux de recouvrement identiques et déterministes, donc la perte maximale est égale à 1−R. Nous avons alors le processus de pertes suivant :

L(t) = 1−R m

m

X

j=1

1τj≤t (1.2)

Pour l’I-Traxx Europe, nous avons les tranches suivantes : [0%,3%] (tranche equity, la plus risquée), [3%,6%] , [6%,9%], [9%,12%] (tranchesmezzanines), [12%,22%] (tranchesenior) et en- fin [22%,100%] (tranchesuper senior, la moins risquée). Comme précisé dans la section précédente, les pertes survenant à la suite de défauts dans le panier vont d’abord affecter la première tranche, puis quand elles atteindront 3% elles affecteront la deuxième, etc.

1.3 Aspect th´ eorique

Pour consid´erer les pertes dans une tranche donn´ee, par exemple la tranche [a, b] avec 0 ≤a <

b≤1, nous avons besoin de d´efinir la fonction

∀x∈[0,1], H_a^b(x) = (x−a)⁺−(x−b)⁺, soit H_a^b(x) =







0 six≤a x−a sia≤x≤b b−a six≥b

(1.3)

(Voir la figure en annexe A.1) Nous pouvons maintenant ´ecrire le flux de paiements de ”C” sur le CDO standardis´e de tranche [a, b] :

F =

I

X

i=1

αiXD(0, Ti)[b−a−H_a^b(L(Ti))] +

m

X

j=1

1τj≤TIXD(0, τj)(τj −T_β(τ_j₎₋₁)[H_a^b(L(τj))−H_a^b(L(τj−))]

−

m

X

j=1

1τj≤TID(0, τj)[H_a^b(L(τj))−H_a^b(L(τj−))] (1.4)

(7)

1.3. ASPECT TH ´EORIQUE 7 et pour calculer le spread, de IE(F) = 0 nous d´eduisons :

X =

IE





m

X

j=1

1τj≤T_ID(0, τj)[H_a^b(L(τj))−H_a^b(L(τj−))]





IE





I

X

i=1

α_iD(0, T_i)[b−a−H_a^b(L(T_i))] +

m

X

j=1

1_τ_j≤T_ID(0, τ_j)(τ_j −T_β(τ_j₎₋₁)[H_a^b(L(τ_j))−H_a^b(L(τ_j−))]



 (1.5)

(8)

8 CHAPITRE 1. DESCRIPTION D’UN CDO

(9)

Chapitre 2

Mod´ elisation

Maintenant que nous avons introduit le CDO, nous devons pouvoir évaluer son prix, dont la formule théorique est donnée. Ceci nécessite principalement deux choses : le choix d’un modèle de marché, puis le calcul des probabilités de défauts. C’est ce que nous verrons dans ce chapitre.

2.1 Mod´ elisation du march´ e du risque de cr´ edit

Commen¸cons tout d’abord par modéliser le marché du risque de crédit. Il y a principalement deux types de modèles qui existent : des modèles structurels, et des modèles à intensité de défaut.

En pratique, c’est le modèle à intensités de défaut que nous allons retenir (cf. [HW04]). Ensuite, une fois ce modèle choisi, nous irons plus en avant dans la modélisation du risque de crédit, en introduisant les copules et particulièrement la copule que nous utiliserons dans le cadre de ce projet : la copule gaussienne.

2.1.1 Les mod`eles structurels

Les modèles structurels sont des modèles cherchant à expliquer l’événement de défaut à partir de variables économiques. Historiquement, ce sont les premiers modèles qui ont été introduits, notamment par Merton et Black-Cox dès le milieu des années 1970.

Le modèle de Merton considère la valeur de l’entreprise au cours du temps. Si elle demeure sous un certain seuil à l’échéance, alors l’entreprise ne peut pas rembourser ses créances et on dit qu’elle fait défaut. En somme, la valeur de l’entreprise peut être vue comme un call sur les actifs,

´

evaluée par la formule de Black-Scholes. Le problème est que de cette manière, le défaut ne peut avoir lieu qu’à une seule date connue à l’avance, ce qui est très peu réaliste !

Pour pallier à ce manque, Black et Cox vont considérer le premier passage de la valeur de l’entreprise sous un certain seuil. Cela implique que la date de défaut n’est plus connue à l’avance : nous gagnons en réalisme.

Cependant, nous ne rentrerons pas en détail, vous pouvez consulter [A06] pour de plus amples renseignements. Ce sont les agences de rating qui utilisent surtout des modèles structurels pour décrire la structure des entreprises, en s’appuyant sur leurs comptes. Cela permet de leur mettre une note, ce qui va être côté sur le marché. Les traders également utilisent des models structurels le plus souvent.

Mais le modèle que nous choisirons n’est pas un modèle structurel, mais un modèle à intensité de défaut : c’est le modèle communément adopté sur le marché aujourd’hui.

9

(10)

10 CHAPITRE 2. MOD ´ELISATION

2.1.2 Les modèles à intensité de défaut

Les modèles à intensité de défaut sont les modèles actuellement les plus utilisés dans la littérature et sur le marché. Tous les détails théoriques sur les espaces dans lesquels on se place se trouvent dans [A06], ce n’est pas le but de notre rapport de rentrer dans le détail ou de recopier une partie de document.

Cependant, pour préciser rapidement le cadre, nous nous pla¸cons dans un espace de probabi- lité qui décrit les aléas du marché. Nous prenons ensuite une filtration contenant l’ensemble des informations de tous les actifs ”sans risque de défaut”. Nous prenons également une filtration engendrée par min

t≥0 (τ, t), avec τ un temps de défaut pour une entreprise. Alors, nous prenons comme filtration la filtration engendrée par les deux filtrations précédentes, puis nous pouvons calculer les différentes probabilités et espérances souhaitées¹.

Considérons maintenant notre définition principale, celle du modèle à intensité de défaut : on dit que τ suit un modèle à intensité de défaut si il existe λt tel que la probabilité de défaut de l’entreprise avanttvaut IP(τ ≤t) = 1−exp(−Rt

0λ_udu).

On a habituellementλ_t donné par le marché des CDS, et on l’appelle l’intensité de défaut. C’est une des clés de voûte de notre modèle !

2.1.3 Les copules

Les copules sont un des outils les plus importants pour modéliser les dépendances entre les entreprises. En effet, dans un panier de 125 entreprises comme l’I-Traxx Europe, avoir l’intensité de défaut de chaque entreprise ne suffit pas. Il faut savoir également s’il existe une corrélation entre les différentes entreprises. La corrélation se comprend de la manière suivante. Dans le cas extrême où la corrélation entre les entreprises est nulle, elles agissent chacunes indépendemment les unes des autres : le défaut d’une entreprise ne pourra avoir d’influence sur le défaut d’une autre entreprise. Plus la corrélation augmente, et plus le défaut d’une ou plusieurs entreprises pourra en déclencher d’autres. Le cas extrême est celui où la corrélation est égale à 1 : si une entreprise fait défaut, alors toutes les autres font également défaut. En pratique, nous éviterons les deux cas extrêmes qui ne traduisent pas la réalité du marché.

On a une équivalence entre la loi jointe (de toutes les dates de défauts des entreprises) et leurs lois marginales adjointes aux copules. C’est pour cela que le principe de copule est très intéressant : il est très souvent plus compliqué de connaˆıtre la loi jointe que de connaˆıtre les lois marginales et les copules.

Pour une définition mathématique détaillée des copules, vous pouvez vous référer à [A06].

2.2 La copule gaussienne

Après avoir vu la nécessité des copules pour représenter fidèlement le risque de crédit, nous pouvons maintenant nous pencher la famille de copule que nous avons retenu pour notre projet : la copule gaussienne (à un facteur). Pour la suite, considérons :

– m le nombre d’entreprises du panier ;

1En effet, les espérances calculées dans le premier chapitre le sont par abus de language, il faut les calculer d’après la filtration que l’on vient de définir.

(11)

2.3. M ÉTHODE DE CALCUL DE PROBABILIT ÉS 11 – τj l’instant de défaut de la j-ième entreprise ;

– Q_j(t) la fonction de répartition risque neutre que laj-ième entreprise fasse défaut avant la date t, soit Qj(t) = IP(τj ≤t) ;

– Sj(t) la fonction de répartition risque neutre que la j-ième entreprise fasse défaut après la date t, soit S_j(t) = IP(τ_j > t).

La copule gaussienne à un facteur est la plus facile à utiliser en pratique, et c’est pour cette raison celle communément adoptée par le marché. Pour générer cette copule pour les τj, on définit les variables aléatoiresX_j (1≤j≤m) :

X_j =a_jM + q

1−a²_jZ_j (2.1)

avec les variables aléatoires M ∼ N(0,1) et Z_j ∼ N(0,1) qui sont iid, et −1 ≤ a_j ≤ 1. On a immédiatement la corrélation entreXi etXj qui estaiaj. Par la suite, nous considérerons que la corrélation est une constante fixée à la valeurcor, et que a_j =√

cor.

NotonsHla fonction de répartition desX_j, on a facilementX_j ∼ N(0,1), doncH est la fonction de répartition gaussienne.. Les temps de défauts sont modélisés par les Xj. On a définit les variables aléatoires des temps de défauts τ_j dont les lois marginales vérifient IP(τ_j ≤t) =Q_j(t).

Alors, on obtient les temps de d´efaut par la transformation suivante : τ_j = Q⁻¹_j [H(X_j)] =

−¹_λln (H(X_j)), dans le cas o`uλest une constante.

Nous allons ensuite nous servir desτj pour calculer le prix du CDO, par une m´ethode de Monte- Carlo.

2.3 M´ ethode de calcul de probabilit´ es

Maintenant que nous avons détaillé la méthode d’obtention des copules et des τ_j, nous pouvons avancer d’une étape supplémentaire pour le calcul du prix du CDO. Nous allons devoir, avant de pouvoir calculer ce prix, calculer la distribution de probabilité du nombre de défauts ou celle de la perte totale.

2.3.1 Le cas standard

Avant d’introduire la méthode, voilà une définition du cas standard. Nous avons les propriétés suivantes :

– Les taux de recouvrement sont d´eterministes et constants au cours du temps ;

– Les nominaux sont identiques pour toutes les entreprises du panier, et ils sont normalisés (leur somme est égale à 1) ;

– Les intensités de défaut sont déterministes et égales.

2.3.2 M´ethode de Monte-Carlo

Cette méthode permet de calculer une estimation de la distribution de probabilité du nombre de défauts, ceci à chaque instant de versement de coupont_i ∈[0, T]. Ces distributions seront notées, pour tousti ∈[0, T] et pour tous k∈[0, m] : Πti(k).

La m´ethodologie est la suivante :

– Pour chaque simulation de Monte-Carlon∈[1, N] : on génére les τ_j, puis on les teste par rapport à T. Si τj ≤ 5, alors l’entreprise j a fait défaut avant maturité et on détermine ti ∈ [0, T] tel que τj ∈ [ti−1, ti]². Une fois qu’on a fait le test pour toutes les entreprises, on dispose d’un vecteur qui nous donne le nombre de défauts pour chaque intervalle de

2On utilise le fait queτj=−_λ¹ln (H(Xj))

(12)

12 CHAPITRE 2. MOD ÉLISATION temps [ti−1, ti]. On peut donc déterminer pour une simulation n donnée le vecteur des Πⁿ_t_i(k) = 1Ik def auts a ti.

– Apr`es toutes les simulations, en sommant les Πⁿ_t_i(k) on dispose d’un vecteur Πti(k) en divisant le nombre de cas par le nombre de simulations de Monte-Carlo N.

– On calcule ensuite le spread équitable avec la méthode explicitée dans la prochaine partie.

– On calcule la variance sur le spread du CDO avec la m´ethode explicit´ee dans la prochaine partie.

Les points forts de cette méthode sont : – elle est simple à implémenter ; – elle est rapide ;

– elle n´ecessite peu de param`etres et de calibrage ; Les points faibles sont :

– elle ne fonctionne pas si les nominaux sont diff´erents ;

– on ne peut pas introduire de taux de recouvrement diff´erents ou stochastiques.

En pratique, c’est cette m´ethode que nous utiliserons puisque nous nous pla¸cons dans le cadre d’un CDO standardis´e.

2.3.3 Réduction de la variance : méthode des variables antithétiques

Afin de réduire la variance et d’accélerer l’algorithme, nous utilisons la méthodes des variables antithétiques, la méthode de réduction de variance la plus simple à utiliser en pratique.

Pour chaque simulation paire, nous générons les variables aléatoires gaussiennes iid (M, Z₁, Z₂, . . . , Z_m) qui vont servir à calculer les X_j (1≤j≤m).

Pour chaque simulation impaire, nous prenons les variables al´eatoires gaussiennes iid (−M,−Z₁,−Z₂, . . . ,−Z_m) qui vont servir `a calculer les X_j (1≤j≤m).

Ainsi, cela nous économise la moitié des générations de variables aléatoires, et permet de réduire la variance d’un facteur 2 à nombre de simulations égales.

(13)

Chapitre 3

Calcul du prix de CDOs

3.1 Calcul des diff´ erentes esp´ erances, en vue de calculer le spread

Maintenant que les probabilités de défauts et de pertes sont calculées, nous pouvons passer au calcul des espérances décrites dans le premier chapitre !

3.1.1 CDO : esp´erance dans le cas standard

Dans cette première partie, nous allons aborder le calcul des espérances dans le cas standard, grâce à la méthode de Monte-Carlo (calcul de la distribution de la probabilité du nombre de défauts).

Le calcul revient au calcul de la distribution de la probabilité du nombre de défauts. La méthode de calcul du spread est en partie celle proposée par [G04].

Considérons la tranche [a, b]. Pour toutt_i ∈[T₁, T], il faut calculer l’espérance de la perte contenue dans le panier considéré (expected loss, notée EL_i). On note Π_t_i(j) la probabilité qu’il y ait j défauts àti, etH_a^b(j×Nj(1−R)) la proportion des défauts dans la tranche [a, b] (voir la définition de la fonctionH_a^b avec la fonction (1.3)) :

EL_i =

m

X

j=0

Π_t_i(j)H_a^b(j×N_j(1−R)) (3.1)

Ceci signifie que l’on somme pour tous les nombres de défauts, la probabilité que l’on ait ce nombre de défaut multiplié par la proportion de défauts de la tranche (si on n’a pas assez de défauts, alors ce terme est nul, puis quand le numéro de défaut entre dans la tranche considérée, ce terme croˆıt,... voir la figure A.1 pour une meilleure compréhension).

A partir de cela, nous pouvons calculer l’espérance de la jambe des défauts (ou default leg notée DL), qui est l’espérance des paiements de ”C” à ”A” suite à des défauts¹ :

DL = IE





m

X

j=1

1τj≤TID(0, τj)[H_a^b(L(τj))−H_a^b(L(τj−))]





=

I

X

i=1

D

0,T_i+Ti−1

2

(EL_i−ELi−1) (3.2)

1Nous supposons par la suite qu’un d´efaut a toujours lieu au milieu de la p´eriode [Ti, Ti−1] soit en Ti+Ti−1

2 ,

pour plus de simplicit´e !

13

(14)

14 CHAPITRE 3. CALCUL DU PRIX DE CDOS Nous pouvons également calculer l’espérance de la jambe des paiements de ”A” à ”C” (oupayment leg, notéePL), avec la partie régulièreP et la partie des coupons courusCC :

P = IE

"

X

I

X

i=1

α_iD(0, T_i)[b−a−H_a^b(L(T_i))]

#

= X

I

X

i=1

αiD(0, Ti)((b−a)−ELi) (3.3)

CC = IE



X

m

X

j=1

1_τ_j≤T_ID(0, τ_j)(τ_j−T_β(τ_j₎₋₁)[H_a^b(L(τ_j))−H_a^b(L(τ_j−))]





= X

I

X

i=1

α_i 2 D

0,T_i+Ti−1

2

(EL_i−ELi−1) (3.4)

P L=P+CC (3.5)

De l’égalité DL=P Lqui traduit le fait que le CDO est équitable, on obtient le spread X :

X =

I

X

i=1

D(0,T_i+Ti−1

2 )(EL_i−ELi−1)

I

X

i=1

α_iD(0, T_i)((b−a)−EL_i) +

I

X

i=1

α_i

2D(0,T_i+Ti−1

2 )(EL_i−ELi−1)

(3.6)

En pratique, on calcule d’abord les ELi puis DL, P

X et CC

X , et ensuite X = DL P

X +CC X

. Voil`a, maintenant nous avons abouti !

3.1.2 CDO : variance dans le cas standard

Une donnée importante dans les simulations de Monte-Carlo est le calcul de la variance, qui permet ensuite de calculer un intervalle de confiance. Ce qui nous intéresse ici est le calcul de la variance deX, le spread équitable du CDO. Or, cette variance n’est pas aisée à calculer : on calcule la variance d’un quotient de variables aléatoires !

AppelonsDL la jambe des d´efauts, P Lla jambe des paiements, alors d’apr`es [Muk] : V ar(X) =V ar

DL P L

=

IE(DL) IE(P L)

2

V ar(DL)

IE(P L)² +V ar(P L)

IE(P L)² − 2Covar(DL, P L) IE(P L)IE(DL)

Pour calculer la variance du spread équitable, nous devons donc calculer la variance de la jambe de défauts, la variance de la jambe des paiements ainsi que la covariance des deux jambes. Pour ceci, il nous faut donc garder en mémoire les résultats de toutes les simulations.

Introduisons la notation suivante, avec pour chaque simulation n l’indicateur Πⁿ_t_i(k), indicateur du nombre de d´efauts `a l’instantti :

ELⁿ_i =

m

X

j=0

Πⁿ_t_i(j)H_a^b(j×N_j(1−R)) (3.7) De manière similaire à la partie précédente, notons pour chaque simulation de Monte-Carlo n :

DLn =

I

X

i=1

D

0,Ti+Ti−1

2

ELⁿ_i −ELⁿ_i−1

(15)

3.2. R ÉSULTATS NUM ÉRIQUES 15 De même :

P Ln =

I

X

i=1

αiD(0, Ti)((b−a)−ELⁿ_i) +

I

X

i=1

αi

2 D

0,Ti+Ti−1

2

(ELⁿ_i −ELⁿ_i−1) Alors, en notant pour N grand :

IE(DL) = 1 N

N

X

n=1

DLn

IE(P L) = 1 N

N

X

n=1

P L_n

V ar(DL) = 1 N −1

N

X

n=1

(DL_n−IE(DL))²

V ar(P L) = 1 N −1

N

X

n=1

(P Ln−IE(P L))²

Covar(DL, P L) = 1 N −1

N

X

n=1

(DL_n−IE(DL)) (P L_n−IE(P L))

on peut calculer la variance deX. On peut noter que ceci est assez coˆuteux en temps de calcul, car il faut calculer les jambes de d´efauts et de paiements pour toutes les simulations de Monte-Carlo.

Cette ´etape double le temps de calcul de l’algorithme de simulation.

3.2 R´ esultats num´ eriques

3.2.1 Validit´e du mod`ele

Tout d’abord, nous avons testé la validité du modèle que nous avons implémenté en repro- duisant une des simulations de [HW04], décrite dans A.2. Nous trouvons des résultats quasiment identiques, ce qui valide notre modèle. Nous avons fait la simulation pour N=200.000, mais nous avons une bonne convergence à partir de N=10.000.

Pour informations sur les résultats que donnent le modèle, avec la variance des différentes tranches, l’écart type et l’intervalle de confiance du spread équitable, vous pouvez vous référer au tableau A.1 qui contient un résultat dans le cas standard, avec 100 noms et des tailles tranches similaires

`

a l’indice Itraxx. Nous pouvons nous rendre compte empiriquement que X'p

V ar(X).

3.2.2 Tests des sensibilit´es

Nous avons effectué de nombreux tests de sensibilités afin de mieux comprendre l’influence des différents paramètres du modèle, avec comme paramètres de base : N=200.000, T=5 ans, 50 entreprises, spread des CDS=100bps, Corrélation de 30%, Recovery Rate de 40%, taux d’intérêt r=5%, tranches Itraxx. Nous donnerons ci-après des résultats sur le spread, les résultats sur la variance pouvant s’en déduire, car on peut remarquer empiriquement que X ' p

V ar(X) dans le cas d’un CDO.

1. L’influence du nombre d’entreprises : cf tableau A.3 et graphique A.2. En faisant varier le nombre d’entreprises de 10 à 100, on se rend compte que le prix de la tranche junior augmente, mais que toutes les tranches supérieures diminuent. Ceci est du au fait que la tranche junior a plus de chance d’être impactée par des défauts si le nombre d’entreprises est

(16)

16 CHAPITRE 3. CALCUL DU PRIX DE CDOS plus important, alors que les tranches supérieures bénéficient d’une meilleure diversification, donc d’un risque plus faible.

2. L’influence de la corrélation : cf tableau A.4 et graphique A.3. En faisant varier la corrélation de 10% à 50%, on se rend compte que qu’une augmentation de la corrélation diminue le prix des tranches basses, mais augmente celui des tranches hautes. Ceci est du au fait que les défauts ont tendance à être plus indépendants avec une corrélation basse, donc la probabilité qu’il y ait de nombreux défauts dans une simulation est beaucoup plus faible que lorsque la corrélation est importante. De même, la probabilité qu’il y ait peu de défauts augmente, ce qui renchérit la tranche basse.

3. L’influence du taux de recouvrement : cf tableau A.5 et graphique A.4. En faisant varier la recovery de 0% `a 50%, on se rend compte que l’augmentation du taux de recouvrement augmente le prix des tranches basses, tout en faisant diminuer celui des tranches hautes.

L’augmentation du taux de recouvrement augmente le taux de défaut des entreprises, puisqu’on suppose que le spread du marché est constant. Cependant, l’augmentation du taux de recouvrement diminue les pertes quand une entreprise fait défaut, ce qui va avoir tendance à diminuer les pertes des tranches supérieures (50% de taux de recouvrement indique qu’on ne peut pas perdre plus de 50% du portefeuille !). Donc sur ces deux influences (augmentation du taux de défaut mais diminution des pertes en cas de défaut), c’est l’effet d’augmentation du taux de défaut qui prédomine sur les tranches basses en faisant augmenter le spread, alors que sur les tranches supérieures c’est l’effet de diminution du montant des pertes en cas de défaut qui prédomine, en faisant diminuer le spread. A la limite pour un taux de recouvrement proche de 100%, on aurait un effet de diminution des pertes prépondérant, puisqu’on aurait un montant de pertes maximal faible, et uniquement la tranche junior touchée, donc des pertes nulles pour les tranches senior.

Le taux de recouvrement est donc un paramètre de calibration du modèle important, au même titre que la corrélation par exemple. Historiquement, le taux de recouvrement est corrélé négativement avec le taux de défaut : dans une période où les défauts sont importants, le taux de recouvrement a tendance à être faible, alors que dans les périodes où il y a peu de défauts, le taux de recouvrement a tendance à être plus élevé. Ceci va être implicitement utilisé par le marché comme paramètre pour pricer le CDO. De même, le taux de recouvrement sera différent en fonction du secteur auquel appartiennent les entreprises (plus élevé dans l’industrie que dans les services).

Ainsi, les pricers vont utiliser cette diversit´e pour calculer le prix.

(17)

3.2. R ´ESULTATS NUM ´ERIQUES 17

Conclusion

Nous avons donc remarqué l’importance des CDOs, produits dérivés de crédit très courants, qui sont sous le feu de la rampe depuis cet été. Le taux de recouvrement est un paramètre clé du modèle, qu’il faut anticiper en fonction des données du marché et de la situation économique globale.

Ce projet nous a permi de mettre en pratique les outils de pricing de CDOs, ainsi que de se confronter à des problématiques diverses. Il nous a donné la possibilité d’allier théorie, pratique, algorithmie, implémentation : un projet complet !

(18)

18 CHAPITRE 3. CALCUL DU PRIX DE CDOS

(19)

Annexe A

Tableaux et Figures

Tranche/ Prix Variance Ecart-Type Largeur demi-intervalle de confiance `a 95%

[0%,3%] 2322.6 500 2235.5 9.80

[3%,6%] 877.6 63.8 798.8 3.50

[6%,9%] 472.4 17.0 412.1 1.81

[9%,12%] 278.4 5.5 234.5 1.03

[12%,22%] 107.0 0.7 80.7 0.35

[22%,100%] 3.2 0.0 0.9 0.00

Tab. A.1 – R´esultat d’une simulation de Monte-Carlo, 100 noms, N=200.000, R=40%, r=5%, corr´elation = 30%,λ= 0.0166, T=5ans

Intensit´e λ= 0.01 λ= 0.01 λ= 0.01 λ= 0.01 Corr´elation cor= 0.3 cor = 0.3 cor= 0.1 cor = 0.1

Tranche / nous [HW04] nous [HW04]

[0%,3%] 1490.1 1487 2275.3 2279

[3%,6%] 476.1 472 455.9 450

[6%,10%] 204.8 203 90.7 89

[10%,100%] 7.4 7 0.7 1

Tab.A.2 – Spreads CDO de [HW04], 100 noms, copule gaussienne, N=200.000 simulations Tranche / Nombre entreprises 10 30 50 100

[0%,3%] 1005 1836 2051 2212

[3%,6%] 1005 878 857 860

[6%,9%] 551 512 477 471

[9%,12%] 358 310 291 283

[12%,22%] 183 130 120 116

[22%,100%] 9.5 5.4 4.8 4.4

Tab.A.3 – Influence du nombre d’entreprises pour le spread de CDO

19

(20)

20 ANNEXE A. TABLEAUX ET FIGURES

Tranche / Corr´elation 10% 30% 50%

[0%,3%] 3236 2051 1350

[3%,6%] 1085 857 681

[6%,9%] 442 477 448

[9%,12%] 182 291 320

[12%,22%] 34 120 180

[22%,100%] 0.15 4.8 16

Tab. A.4 – Influence de la corr´elation pour le spread de CDO

Tranche / Corr´elation 0% 10% 20% 30% 40% 50%

[0%,3%] 1754 1844 1955 2051 2150 2314

[3%,6%] 858 851 851 857 901 905

[6%,9%] 469 490 439 477 477 479

[9%,12%] 315 299 302 291 288 274

[12%,22%] 141 138 131 120 111 98

[22%,100%] 8.4 7.2 6.3 4.8 3.5 2.2

Tab. A.5 – Influence du taux de recouvrement pour le spread de CDO

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

-1 1 3 5 7 9 11

x y

Fig. A.1 – Exemple de fonctionH_a^b(x), poura= 10 et b= 20.

(21)

21

Fig. A.2 – Influence du nombre de loans sur le spread des diff´erentes tranches..

Fig. A.3 – Influence de la corr´elation sur le spread des diff´erentes tranches..

(22)

22 ANNEXE A. TABLEAUX ET FIGURES

Fig.A.4 – Influence du taux de recouvrement sur le spread des diff´erentes tranches..

(23)

Bibliographie

[A06] Aurélien Alfonsi : Introdution au risque de crédit. Chapitre 1 de sa thèse, 2006 ; [BGL05] X. Burtschell, J. Gregory & J.-P. Laurent : A comparative analysis of CDO pricing

models. Working paper, April 2005 ;

[CR05] Olivier Cousseran & Imène Rahmouni :Le marché des CDO : Modalités de fonctionne- ment et implications en termes de stabilité financière. Banque de France — Revue de la stabilité financière — N°6 — pp47-67, Juin 2005 ;

[G04] Michael S. Gibson : Understanding the risk of synthetic CDOs. Working paper, July 2004 ;

[HW04] John Hull & Alan White : Valuation of a CDO and an nth to Default CDS without Monte Carlo simulation. Journal of Derivatives, September 2004 ;

[HW06] John Hull & Alan White : Valuing Credit derivatives using an implied copula appoach.

Working paper, May 2006 ;

[M05] Guillaume Mauras : Calcul du prix d’un CDO — Modélisation à partir d’une copule gaussienne à un facteur. Mémoire de DEA, 2005.

[Muk] Aloke Tukul Mukherjee for IRCM Spring 2006 at NYU,

http ://math.nyu.edu/%7Eatm262/spring06/ircm/cdo/index.html, CDO Pricing in Gaussian Copula

23