Chapitre 11 : Matrices

(1)

Ce document est mis à disposition selon les termes de la licence Creative Commons « Attribution – Partage dans les mêmes conditions 4.0 International ». https://www.immae.eu/cours/

Chapitre 11 : Matrices

Dans ce chapitre, K est un corps commutatif (souvent un sous corps de C). Les lettres n, p, q…désignent des éléments deN^˚.

I Définition

A) Matrice

Définition :

Une matrice de type (n, p) à coeﬀicients dans K est une famille (ai,j) d’éléments de K indexée par J1, nKˆJ1, pK. Leur ensemble est notéMn,p(K). Mn,n(K)est noté aussiMn(K).

B) Représentation d’une matrice

Une matrice A= (ai,j)_1ďiďn

1ďjďp

deMn,p(K) est représentée par un tableau à nlignes, pcolonnes de sorte que, pour tout(i, j)PJ1, nKˆJ1, pK,ai,j est placé sur lai-ème ligne de laj-ème colonne.

Ainsi :

A=







a_1,1 a_1,2 . . . a_1,p a2,1 a2,2 . . . a2,p

... ... ... an,1 an,2 . . . an,p







PMn,p(K) (11.1)

Lai-ème ligne deAest (ai,1, ai,2. . . ai,p)PM1,p(K)(matrice ligne) Laj-ème colonne deA est(a1,j, a2,j. . . an,j)PMn,1(K)(matrice colonne) Une matrice de type(n, n)s’appelle une matrice carrée d’ordren.

II Matrice d’une famille de vecteurs dans une base

Ici,E est unK-ev de dimension p, muni d’une baseBE = (e₁, e₂, . . . e_p).

SoitvPE, on lui associe la matrice colonne





 x1

x2

... x_p







de ses composantes dans la baseBE.

L’application :

φ:E ÝÑ Mp,1(K) v ÞÝÑ





 x1

x₂ ... xp







(11.2)

MPSI Mathématiques 1 Ismaël Bouya

(2)

III. MATRICE D’UNE APPLICATION LINÉAIRE DANS DES BASESCHAPITRE 11. MATRICES est évidemment bijective, d’inverse





 x1

x₂ ... x_p





 ÞÑ

p

ÿ

i=1

xiei (11.3)

Plus généralement, étant donnée une famille F = (v₁, v₂. . . v_q) d’éléments de E, on introduit la matriceAPMp,q(K)telle que, pour toutjPJ1, qK, laj-ème colonne deAsoit la colonne des composantes devj dans la baseBE. Cette matrice sera notée mat(F,BE).

Exemple :

P = 1´2X, Q= 3 +X², R= 1 +X+X² (11.4) Matrice de(P, Q, R)dans la base naturelle deR2[X]((1, X, X²)) :







1 3 1

´2 0 1 0 1 1





 (11.5)

C’est aussi la matrice de((1,´2,0),(3,0,1),(1,1,1))dans la base canonique deR³.

III Matrice d’une application linéaire dans des bases

Définition :

SoitEunK-ev de dimensionp, muni d’une baseBE= (e1, e2, . . . ep).

SoitF unK-ev de dimension n, muni d’une baseBF = (f1, f2, . . . fn).

SoitφPL(E, F)

La matrice de φ dans les bases BE et BF est, par définition, la matrice à n lignes, pcolonnes, qui donne, par colonne, lesφ(e_j)dans la baseBF :

C’est mat((φ(e1), φ(e2). . . φ(ep)),BF), notée mat(φ,BE,BF).

Proposition :

La matrice A P Mn,p(K) détermine une unique application linéaire φ P L(E, F) telle que A = mat(φ,BE,BF).

Démonstration :

C’est le fait que la donnée des images des vecteurs deBEdétermine une et une seule application linéaire.

Ainsi, l’application ϕ_B_E_,_B_F: L(E, F) ÝÑ Mn,p(K) φ ÞÝÑ mat(φ,BE,BF)

est bijective.

Cas particulier :

SiE=F etBE=BF, alors mat(φ,BE,BE), notée mat(φ,BE)est la matrice deφdans la baseBE

IV Le K -ev M

^n,p

( K )

Idée : Transporter avec φ_B_E,BF la structure de K-ev de L(E, F) de sorte que φ_B_E,BF devienne un isomorphisme (et pas seulement une bijection).

(3)

CHAPITRE 11. MATRICES IV. LEK-EVMN,P(K)

A) Somme

Étude :

SoitE unK-ev de dimensionp, muni d’une baseBE= (e₁, e₂, . . . e_p).

SoitF unK-ev de dimensionn, muni d’une baseBF = (f1, f2, . . . fn).

Soitf PL(E, F), de matriceA= (ai,j)_1ďiďn

1ďjďp

dansBE etBF. SoitgPL(E, F), de matriceB = (bi,j)_1ďiďn

1ďjďp

dansBE etBF. Alors, pour toutj PJ1, pK:

(f+g)ej=f(ej) +g(ef) =

n

ÿ

i=1

ai,jfi+

n

ÿ

i=1

bi,jfi=

n

ÿ

i=1

(ai,j+bi,jfi (11.6) La matrice def+g dansBE,BF est donc la matriceC= (ci,j)définie par :

@iPJ1, nK,@jPJ1, pK, ci,j=ai,j+bi,j (11.7) Définition :

Soient A = (ai,j)_1ďiďn

1ďjďp

et B = (bi,j)_1ďiďn

1ďjďp

deux éléments de Mn,p(K). A+B est la matrice C = (ci,j)_1ďiďn

1ďjďp

telle que@(i, j)PJ1, nKˆJ1, pK, ci,j =ai,j+bi,j.

Théorème :

SoitE unK-ev de dimensionp, muni d’une baseBE= (e1, e2, . . . ep).

Soientf, gPL(E, F).

Alors mat(f+g,BE,BF) =mat(f,BE,BF) +mat(g,BE,BF) Démonstration :

Résulte de l’étude.

B) Produit par un scalaire

L’étude est analogue à celle de la somme, avecf PL(E, F)etλPK.

Définition :

Soient A= (ai,j)_1ďiďn

1ďjďp

,λPK. λAest la matriceA¹= (a¹_i,j)_1ďiďn

1ďjďp

telle que@(i, j)PJ1, nKˆJ1, pK, a¹_i,j =λai,j.

Théorème :

SoitE unK-ev de dimensionp, muni d’une baseBE. SoitF unK-ev de dimensionn, muni d’une baseBF. Soitf PL(E, F).

Alors mat(λ¨f,BE,BF) =λ¨mat(f,BE,BF)

C) Le K -ev M

n,p

( K )

MPSI Mathématiques 3

(4)

V. PRODUIT MATRICIEL CHAPITRE 11. MATRICES

Théorème :

‚ (Mn,p(K),+,¨)est unK-ev.

‚ SoitE unK-ev de dimensionp, muni d’une baseBE. SoitF unK-ev de dimensionn, muni d’une baseBF. Alors ϕ_B_E_,_B_F:L(E, F) ÝÑ Mn,p(K)

φ ÞÝÑ mat(φ,BE,BF)

est un isomorphisme deK-ev.

‚ Vérification immédiates des différentes règles de calcul dans unK-ev (le neutre est noté0_M_n,p₍_K₎, matrice dont tout les coeﬀicients sont nuls).

‚ Idem.

SiE=K^p muni de sa base canoniqueBp, etF =Kⁿ muni de sa base canoniqueBn,

alors l’isomorphisme ϕ:L(K^p,Kⁿ) ÝÑ Mn,p(K) f ÞÝÑ mat(f,Bp,Bn)

est l’isomorphisme canonique deL(K^p,Kⁿ) versMn,p(K).

D) Dimension

Théorème :

Mn,p(K)est de dimension nˆp, une base naturelle deMn,p(K)étant la famille desEi,j pour(i, j)P J1, nKˆJ1, pK oùE_i,j est la matrice de Mn,p(K)dont tous les coeﬀicients sont nuls sauf celui d’indice (i, j)qui vaut1.

Repose sur le fait que pour toute matriceA= (a_i,j)_1ďiďn

1ďjďp

, on aA=ř

i,ja_i,jE_i,j. Conséquence :

SoitE unK-ev de dimensionp, muni d’une baseBE. SoitF unK-ev de dimensionn, muni d’une baseBF. AlorsL(E, F)est de dimensionnˆp.

L(E, F)est isomorphe àMn,p(K).

V Produit matriciel

A) Définition

Étude :

(5)

CHAPITRE 11. MATRICES V. PRODUIT MATRICIEL

SoitGunK-ev de dimensionm, muni d’une baseBG= (g1, g2, . . . gm).

Soitψ:EÑGlinéaire.

Soitφ:GÑF linéaire.

Alorsφ˝ψ est linéaire deE dansF.

SoitA=mat(φ,BG,BE) = (ai,j)PMn,m(K).

SoitB=mat(ψ,BE,BG) = (bi,j)PMm,p(K).

SoitC=mat(φ˝ψ,BE,BF) = (ci,j)PMn,p(K).

Pour toutjPJ1, pK, on a :

φ˝ψ(ej) =φ(ψ(ej)) =φ (_m

ÿ

k=1

bk,jgk

)

=

m

ÿ

k=1

bk,jφ(gk)

=

m

ÿ

k=1

bk,j

( _n ÿ

i=1

ai,kfi

)

=

m

ÿ

k=1

( _n ÿ

i=1

ai,kbk,jfi

)

= ÿ

iPJ1,nK, kPJ1,mK

a_i,kb_k,jf_i =

n

ÿ

i=1

( _m ÿ

k=1

a_i,kb_k,jf_i )

=

n

ÿ

i=1

(_m ÿ

k=1

a_i,kb_k,j )

f_i

(11.8)

Donc@iPJ1, nK, c_i,j=řm

k=1a_i,kb_k,j. Donc@(i, j)PJ1, nKˆJ1, pK, ci,j=řm

k=1ai,kbk,j

Définition :

Soit A P Mn,m(K), B P Mm,p(K). On note AˆB la matrice C, élément de Mn,p(K), définie par

@iPJ1, nK,@jPJ1, pK, ci,j=řm

k=1ai,kbk,j

Théorème :

SoitE unK-ev de dimensionp, muni d’une baseBE. SoitF unK-ev de dimensionn, muni d’une baseBF. SoitGunK-ev de dimensionm, muni d’une baseBG. SoitψPL(E, G),φPL(G, F). Alors :

mat(φ˝ψ,BE,BF) =mat(φ,BG,BF)ˆmat(ψ,BE,BG) (11.9)

Démonstration : Résulte de l’étude.

Exemple :



1 ´1 2 4



ˆ



3 ´1 4 7



=



´1 ´8 22 26



 (11.10)

B) Composantes de l’image d’un vecteur

(6)

V. PRODUIT MATRICIEL CHAPITRE 11. MATRICES

Théorème :

SoitφPL(E, F),A=mat(φ,BE,BF).

SoituPE, XPMp,1(K)la colonne des composantes deudansBE. SoitvPF, Y PMn,1(K)la colonne des composantes dev dansBF.

On a l’équivalence :v=φ(u) ðñ Y =AˆX.

Démonstration : NotonsA= (ai,j)1ďiďn

1ďjďp

,X=





 x1

x2

... xp





 ,Y =





 y1

y2

... yn





 .

On a :u=řp

j=1xjej. Donc φ(u) =

p

ÿ

j=1

xjφ(ej) =

p

ÿ

j=1

xj

( _n ÿ

i=1

ai,jfi

)

=

n

ÿ

i=1

( _p ÿ

j=1

xjai,j

)

loooooomoooooon

i-ème composante de φ(u)dans la base

(f1,f2,...fn)

fi (11.11)

Ainsi,

v=φ(u) ðñ v et φ(u)ont les mêmes composantes dansBF (11.12) ðñ @iPJ1, nK, y_i=

p

ÿ

j=1

a_i,jx_j (11.13)

ðñ Y =AˆX (11.14)

En effet : 





a1,1 a1,2 . . . a1,p

a2,1 a2,2 . . . a2,p

... ... ... a_n,1 a_n,2 . . . a_n,p





 ˆ





 x1

x2

... x_p







=





 řp

j=1a1,jxj

řp

j=1a2,jxj

... řp

j=1a_n,jx_j







(11.15)

Exemple :

SoitφPL(R²)de matriceA=



1 3 2 4



dans la base canoniqueB2 deR². NotonsB2= (e₁, e₂); alorsφ(e₁) = (1,2),φ(e₂) = (3,4).

Pour tout(x, y)deR², on aφ(x, y) = (x¹, y¹), avecAˆ



x y



=



x¹ y¹



, soit



x¹ y¹



=



1 3 2 4



ˆ



x y



=



x+ 3y 2x+ 4y



.

C) Propriétés du produit

Proposition :

Pour tousA, A¹PMn,p(K), B, B¹PMp,q(K), CPMq,r(K), λPK, on a :

(7)

CHAPITRE 11. MATRICES V. PRODUIT MATRICIEL

1. (AˆB)ˆC=Aˆ(BˆC) =AˆBˆC 2. (A+A¹)ˆB=AˆB+A¹ˆB

3. Aˆ(B+B¹) =AˆB+AˆB¹ 4. (λA)ˆB=λ.(AˆB) =Aˆ(λB)

5. AˆI_p = A et I_pˆB =B, où I_p =







1 0 . . . 0 0 1 . .. ...

... . .. ... 0 0 . . . 0 1







= (δ_i,j)1ďiďp 1ďjďp

avec δ_i,j = 1 si i =j, 0

sinon.

En passant par les applications linéaires, par exemple pour (2) : SoitE unK-ev de dimensionp, muni d’une baseBE.

SoitF unK-ev de dimensionn, muni d’une baseBF. SoitGunK-ev de dimensionq, muni d’une baseBG.

Soientφ, φ¹ PL(E, F)de matricesA, A¹ dans les basesBE et BF. SoitψPL(G, E)de matrice B dans les basesBG etBE.

Alors :

(A+A¹)ˆB=mat(

(φ+φ¹)˝ψ,BG,BF

) (11.16)

=mat(

φ˝ψ+φ¹˝ψ,BG,BF

) (11.17)

=mat(φ˝ψ,BG,BF) +mat(

φ¹˝ψ,BG,BF

) (11.18)

=AˆB+A¹ˆB (11.19)

(On procède de la même manière pour les autres formules)

La démonstration directe sans passer pas les applications linéaires est pénible.

Remarque :

Ips’appelle la matrice unité d’ordre p.

Attention : Il n’y a pas commutativité en général :

‚ AˆB peut être défini mais pasBˆA.

Exemple : Ade type(n, p),B de type(p, q)avecq‰n.

‚ AˆB etBˆApeuvent être définies mais pas de même type.

Exemple : Ade type(n, p),B de type(p, n)avecp‰n.

‚ AˆB etBˆApeuvent être définies, de même type mais différentes.

Exemple : Ade type(n, n),B de type(n, n):



1 ´1 7 ´7



ˆ



1 2 1 2



=



0 0 0 0



 (11.20)



1 2 1 2



ˆ



1 ´1 7 ´7



=



15 ´15 15 ´15



 (11.21)

Il n’y a pas intégrité non plus (voir exemple ci-dessus).

(8)

VI. LAK-ALGÈBREMN(K) CHAPITRE 11. MATRICES

VI La K -algèbre M

n

( K )

A) Rappel

Mn(K) =Mn,n(K): ensemble des matrices d’ordrenà coeﬀicients dansK.

UneK-algèbre est un ensembleAmuni de deux lois de composition internes+,ˆet d’une loi à opérateurs dansKtels que :

‚ (A,+,¨)est unK-ev.

‚ ˆest associative, distributive sur +et, pour toutλPKet tous, a, bPA,(λa)ˆb=λ¨(aˆb) = aˆ(λ¨b).

‚ il existe un neutre 1_A pourˆ.

Exemple : K,F(K,K),K[X]

B) Théorème

Théorème :

‚ (Mn(K),+,ˆ,¨)est uneK-algèbre.

‚ Si E est un K-ev de dimension n muni d’une base BE, alors l’application ϕ_B_E:L(E) ÝÑ Mn(K)

φ ÞÝÑ mat(φ,BE)

est un isomorphisme de K-algèbre. (On sait déjà que (L(E),+,˝,¨)est uneK-algèbre)

‚ On sait que(Mn(K),+,¨)est unK-ev (de dimensionn²). De plus, selon le paragraphe précédent, ˆ est une loi de composition interne sur Mn(K), associative, distributive sur +, admet comme élément neutreI_n, et « les scalaires sortent des produits ».

‚ On sait déjà queϕ_B_Eest un isomorphisme deK-ev. De plus, pour tousφ, ψPL(E):ϕ_B_E(φ˝ψ) = mat(φ˝ψ,BE) =mat(φ,BE)ˆmat(ψ,BE) =ϕ_B_E(φ)ˆϕ_B_E(ψ), etϕ_B_E(IdE) =mat(IdE,BE) = I_n.

Remarque :

Si on noteB¹Eune autre base deE, alors l’application L(E) ÝÑ Mn(K)

φ ÞÝÑ mat(φ,BE,BE¹ )

est toujours un isomorphisme deK-ev mais plus deK-algèbre (car mat(IdE,BE,BE¹ )‰In).

Exemple :

DansR²,B= [(1,0),(0,1)]et B¹= [(1,2),(3,1)].

mat(IdE,B,B) =



1 0 0 1



 mat(IdE,B¹,B¹) =



1 0 0 1



 (11.22)

mat(IdE,B¹,B) =



1 3 2 1



 mat(IdE,B,B¹) =1 5



´1 3 2 ´1



 (11.23)

(9)

CHAPITRE 11. MATRICES VI. LAK-ALGÈBREMN(K)

C) Conséquences : règles de calcul

‚ Règles habituelles de l’anneau (Mn(K),+,ˆ), duK-ev(Mn(K),+,¨).

« Les scalaires sortent des produits ».

(C’est-à-dire les règles habituelles d’une K-algèbre)

‚ Notation habituelle dans un anneau : Pour APMn(K),

$

&

%

A⁰=I_n

@kPN, A^k+1=A^kA.

‚ Et (toujours dans l’anneau), si A, BPMn(K)sont deux éléments qui commutent, alors :

@mPN,(A+B)^m=

m

ÿ

k=0

C_m^kA^kB^m^´^k (11.24)

et

@mPN^˚, A^m´B^m= (A´B)ˆ(A^m´1+A^m´2B+. . .+B^m´1) (11.25) Exemple :

SoitA=







3 2 1 0 3 2 0 0 3





, calculerA^k.

Première méthode ; chercher une récurrence en calculant les premières valeurs, puis la montrer et donner le résultat.

Autre méthode, plus simple ; on peut en effet poserB telle que :

A=







3 2 1 0 3 2 0 0 3





= 3I₃+







0 2 1 0 0 2 0 0 0





 loooooomoooooon

B

(11.26)

On a alors :B⁰=I₃, B¹=







0 2 1 0 0 2 0 0 0





, B²=







0 0 4 0 0 0 0 0 0





, B³= 0.

Donc, commeI3 etB commutent (I3commute avec tout le monde), on a :

A^k= (3I₃+B)^k=

k

ÿ

p=0

C_k^p(3I₃)^k´pB^p

=

k

ÿ

p=0

C_k^p3^k´pB^p

(pourkě2)=C_k⁰3^k´0B⁰+C_k¹3^k´1B+C_k²3^k´2B²

= 3^kI3+k3^k´1B+k(k´1) 2 3^k´2B²

(11.27)

Donc

A^k =







3^k 2k3^k´1 k3^k´1+ 2k(k´1)3^k´2

0 3^k 2k3^k´1

0 0 3^k





 (11.28)

(10)

VII. TRANSPOSITION CHAPITRE 11. MATRICES

VII Transposition

A) Définition

Définition :

SoitAPMn,p(K), disonsA= (a_i,j)1ďiďn 1ďjďp

.

La transposée de A est la matrice ^tA P Mp,n(K) définie par ^tA = (a¹_i,j)_1ďiďp

1ďjďn

où @i P J1, nK,@j P J1, pK, a¹_i,j=a_j,i.

Exemple :

A=





 1 4 2 5 3 6





 ^tA=



1 2 3 4 5 6



 (11.29)

B) Propriétés

Propriété :

Pour tousA, A¹PMn,p(K), BPMp,q(K), λPK, on a :

‚ ^t(^tA) =A

‚ ^t(A+A¹) =^tA+^tA¹

‚ ^t(λA) =λ^tA

‚ ^t(AB) =^tB^tA Démonstration :

Pour les trois premiers, c’est immédiat. Pour le quatrième : Notons A= (ai,j)_1ďiďn

1ďjďp

,B = (bi,j)_1ďiďp

1ďjďq

,AB = (ci,j)_1ďiďn

1ďjďq

, ^tA = (a¹_i,j)_1ďiďp

1ďjďn

,^tB = (b¹_i,j)_1ďiďq

1ďjďp

,^tB^tA= (c¹_i,j)_1ďiďq

1ďjďn

.

Pour tousiPJ1, qK, jPJ1, nK, on a : c¹_i,j =

p

ÿ

k=1

b¹_i,ka¹_k,j =

p

ÿ

k=1

bk,iaj,k=

p

ÿ

k=1

aj,kbk,i=cj,i (11.30) Donc^t(AB) =^tB^tA.

C) Matrices symétriques, antisymétriques

Définition : SoitAPMn(K).

Aest symétrique ðñ

déf @iPJ1, nK,@jPJ1, nK, ai,j=aj,i ðñ ^tA=A (11.31) A est antisymétrique ðñ

déf @iPJ1, nK,@jPJ1, nK, ai,j=´aj,i ðñ ^tA=´A (11.32)

Exemple :







1 3 0 3 2 2 0 2 0





est symétrique,







0 ´3 0

3 0 2

0 ´2 0





est antisymétrique.

(11)

CHAPITRE 11. MATRICES VIII. MATRICES INVERSIBLES

Proposition :

Les ensemblesSn(K)et An(K)des matrices symétriques et antisymétriques deMn(K)forment deux sous-espaces supplémentaires deMn(K), de dimensions ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ et ⁿ⁽ⁿ₂^´¹⁾.

Sn(K) =Vect













0 1 . . . . . . 0

1 0 0 ...

0 0 . .. ... ...

... . .. 0 0 0 . . . . . . 0 0





 ,







0 0 . . . . . . 0

0 0 1 ...

0 1 . .. ... ...

... . .. 0 0 0 . . . . . . 0 0





 , . . .

looooooooooooooooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooooooooooooooon

n(n´1) 2

,







1 0 . . . . . . 0

0 0 0 ...

0 0 . .. ... ...

... . .. 0 0 0 . . . . . . 0 0





 ,







0 0 . . . . . . 0

0 1 0 ...

0 0 . .. ... ...

... . .. 0 0 0 . . . . . . 0 0





 , . . .

looooooooooooooooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooooooooooooooon

n





 (11.33)

Et cette famille est évidemment libre est génératrice.

De même, dimAn(K) =^n(n´1)₂ (même famille queSn(K)en enlevant lesnderniers et en remplaçant le 1« du haut » par´1dans les autres).

Donc dimAn(K) +dimSn(K) =n².

De plus, siM PAn(K)XSn(K), alors évidemmentM = 0_M_n₍_K₎.

DoncSn(K)et An(K)sont en somme directe, etAn(K)‘Sn(K) =Mn(K).

VIII Matrices inversibles

A) Définitions – Rappels

Définition : SoitAPMn(K).

Aest inversible ðñ

déf DBPMn(K), AB=BA=In (11.34) (C’est la définition générale de l’inversibilité pourˆdans un anneau).

Proposition :

Si A P Mn(K) est inversible, alors il existe un et un seul B P Mn(K) tel que AB = BA = In. Cet élément s’appelle l’inverse deAet est notéA^´1. (la démonstration a été faite dans le cas général pour un anneau).

Définition :

L’ensemble des éléments inversibles deMn(K)est notéGLn(K). Il forme un groupe pour la loiˆ. (idem, voir cours sur les anneaux).

Plus précisément :

‚ GLn(K)est stable parˆ:

Si A, BPGLn(K), alorsABPGLn(K)et (AB)^´¹=B^´¹A^´¹.

(12)

VIII. MATRICES INVERSIBLES CHAPITRE 11. MATRICES

‚ Si APGLn(K), alorsA^´1PGLn(K)et(A^´1)^´1=A.

‚ InPGLn(K) Remarque :

Si AB=BA, alors A etB sont carrées de même type. Le fait d’avoir choisi Mn(K) pour la définition d’inversibilité n’est donc pas restrictif pourGLn(K).

B) Théorème essentiel

Théorème : SoitAPMn(K).

SoitE unK-ev de dimensionn, muni d’une baseBE. SoitE¹ unK-ev de dimensionn, muni d’une baseBE¹. SoitφPL(E, E¹)de matriceAdans les basesBE et BE¹.

AlorsAest inversible si et seulement siφest bijective. Si c’est le cas,A^´1est la matrice deφ^´1 dans les basesBE¹ et BE.

‚ Supposons A inversible : on peut introduire A^´1 et l’application linéaire ψ: E¹ ÑE de matrice A^´1dans les basesBE¹ et BE. Alorsφ˝ψ=IdE et ψ˝φ=IdE¹. En effet :

mat(φ˝ψ,BE¹,BE¹) =mat(φ,BE,BE¹)ˆmat(ψ,BE¹,BE) =AˆA^´1=I_n, (11.35) et

mat(ψ˝φ,BE,BE) =mat(ψ,BE¹,BE)ˆmat(φ,BE,BE¹) =A^´¹ˆA=I_n (11.36) Doncφest bijective etφ^´¹=ψ.

‚ Supposonsφbijective. On introduitφ^´1 etB =mat(φ^´1,BE¹,BE). Alors : AˆB=mat(φ,BE,BE¹)ˆmat(φ^´1,BE¹,BE)

=mat(φ˝φ^´1,BE¹,BE¹)

=mat(Id_E¹,BE¹,BE¹)

=In

(11.37)

et

BˆA=mat(φ^´1,BE¹,BE)ˆmat(φ,BE,BE¹)

=mat(φ^´1˝φ,BE,BE)

=mat(IdE,BE,BE)

=In

(11.38)

DoncAest inversible etA^´1=B.

Théorème (Cas particulier) :

SoitE unK-ev de dimensionn, muni d’une baseB. SoitφPL(E),A=mat(φ,B).

AlorsAest inversible si et seulement siφest bijective, et dans ce casA^´1=mat(φ^´1,B).

(13)

Conséquence :

SoitE unK-ev de dimensionn, muni d’une baseB. Alors ϕ_B:GL(E) ÝÑ GLn(K)

φ ÞÝÑ mat(φ,B)

est un isomorphisme de groupe.

C) Exemples

SoitA=



1 ´1 2 1



.A est-elle inversible, si oui que vautA^´1?

‚ première méthode, exclue : SoitB=



x z y t



. On a les équivalences : AB=BA=In ðñ

!système de 8 équations

à 4 inconnues (11.39)

‚ deuxième méthode :

Soitφl’endomorphisme deR² de matriceAdans la base canoniqueB2. Alors, pour tout(x, y)P R², φ(x, y) = (x´y,2x+y). Soit(a, b)PR². On a les équivalences :

φ(x, y) = (a, b) ðñ

$

&

%

x´y=a 2x+y=b ðñ

$

&

%

x= ^a+b₃ y= ^b´2a₃

(11.40)

Doncφest bijective etφ^´¹ a pour matrice



 1/3 1/3

´2/3 1/3



dansB2.

DoncA^´1=¹₃



 1 1

´2 1



.

Autre exemple : SoitA=



2 4 1 2



. SoitφPL(R²)de matriceAdans la base canoniqueB2= (⃗i,⃗j).

Alors Imφ=Vect(φ(⃗i), φ(⃗j)) =Vect((2,1),(4,2)) =Vect((2,1)). Donc Imφest de dimension1. Donc φn’est pas de rang2, doncφn’est pas bijective, doncAn’est pas inversible.

D) Diverses caractérisations

Ici,APMn(K).

1) Avec les endomorphismes

Proposition :

SoitE unK-ev de dimensionn, muni d’une baseB. SoitφPL(E)de matriceAdans la baseB. On a les équivalences :

Aest inversible ðñ φest bijective ðñ φest injective ðñ φest surjective

(11.41)

(14)

2) Avec les colonnes

Proposition : On a les équivalences :

Aest inversible ðñ Ses colonnes forment une base deMn,1(K) ðñ Ses colonnes forment une famille libre

ðñ Ses colonnes forment une famille génératrice deMn,1(K)

(11.42)

Les deux dernières équivalences viennent du fait queMn,1(K)est de dimensionn.

Concernant la première équivalence :

Soitϕl’endomorphisme deMn,1(K)de matriceAdans la base naturelle deMn,1(K):





 E₁=





 1 0 ... 0





 , E₂=





 0 1 ... 0







, . . . , E_n=





 0 0 ... 1













(11.43)

Alors :

Aest inversible ðñ ϕest bijective

ðñ [ϕ(E₁), ϕ(E₂), . . . ϕ(E_n)] est une base deMn,1(K)

(11.44)

Or, pour toutj PJ1, nK,ϕ(Ej)n’est autre que laj-ème colonne deA, d’où l’équivalence.

Généralisation :

SoitE unK-ev de dimensionn, muni d’une baseB= (e₁, e₂, . . . e_n).

Pour toutj PJ1, nK, on notev_j le vecteur deE dont les composantes dansBsont données par laj-ème colonne deA.

Alors :

Aest inversible ðñ [v1, v2, . . . vn] est une base deE (11.45)

La démonstration est la même en prenant ϕ P L(E) de matrice A dans la base B (puisque @j P J1, nK, vj=ϕ(ej)).

SiE=Kⁿ etBest la base canonique deKⁿ. Lesvj sont alors appelés les vecteurs colonnes (c’est-à-dire les colonnes vues commen-uplets)

3) Avec les systèmes

(15)

Proposition :

Aest inversible si et seulement si pour toutB =





 b1

... bn





PMn,1(K)le système

AX=B, (S)

oùX =





 x₁

... xn





est la colonne des inconnues, a une unique solution.

En effet : (S) traduit l’assertion «ϕest bijectif, oùϕest un endomorphisme d’unK-evE de matriceA dans une baseB».

En effet : SiϕPL(E), mat(ϕ,B) =A,B= (e1, e2, . . . en), alors : Aest inversible ðñ ϕest bijective

ðñ @⃗bPE,D!⃗xPE, ϕ(⃗x) =⃗b

ðñ @(b1, b2, . . . bn)PKⁿ,D!(x1, x2, . . . xn)PKⁿ, ϕ(⃗x) =⃗b ðñ @(b₁, b₂, . . . b_n)PKⁿ,D!(x₁, x₂, . . . x_n)PKⁿ, AX =B

(11.46)

Définition :

Un systèmeAX=B où :

$

’’

&

’’

%

APGLn(K) BPMn,1(K)

XPMn,1(K)est la colonne des inconnues

(11.47)

est appelé un système de Cramer. Il admet l’unique solutionX =A^´1B.

4) Inversibilité à droite ou à gauche seulement

Théorème :

On a les équivalences :

Aest inversible ðñ DB PMn(K), AB=In (11.48) ðñ DB PMn(K), BA=I_n (11.49) Et dans ces cas làB=A^´1.

Déjà, les implications de gauche à droite sont évidentes.

‚ Pour la première équivalence : Supposons qu’il existeBPMn(K)tel queAB=In

SoitE unK-ev de dimensionn, muni d’une baseB.

(16)

SoitφPL(E)de matriceA dans la baseB. SoitψPL(E)de matriceB dans la baseB. Alorsφ˝ψ=IdE.

Donc φ est surjective : tout élément v de E s’écrit φ(ψ(v)). Donc φ est bijective. Donc A est inversible. Et on a AB=I_n, doncA^´1AB=A^´1, doncB=A^´1.

‚ Pour la deuxième équivalence : on introduit les mêmes éléments.

ψ˝φ=IdE. Doncφest injective :

φ(x¹) =φ(x) ùñ ψ(φ(x¹)) =ψ(φ(x)) ùñ x¹=x (11.50) Doncφest bijective. DoncAest inversible etB=A^´1.

5) Transposition

Proposition : On a l’équivalence :

A est inversible ðñ ^tAest inversible, (11.51) et dans ce cas,(^tA)^´1=^t(A^´1).

SupposonsAinversible :AA^´1=A^´1A=I_n. Alors :

t(AA^´1) =^t(A^´1A) =^tIn =In ; ^t(A^´1)^tA=^tA^t(A^´1) =In (11.52) Donc^tAest inversible, d’inverse^t(A^´1).

Réciproquement, si^tAest inversible, alors ^t(^tA)est inversible, c’est-à-dire queAest inversible.

Conséquence : On a les équivalences :

A est inversible ðñ Ses lignes forment une base deM1,n(K) ðñ Ses lignes forment une famille libre

ðñ Ses lignes forment une famille génératrice deM1,n(K)

ðñ la famille de ses vecteurs lignes(PKⁿ!!)a les mêmes propriétés...

(11.53)

(Les vecteurs lignes deA sont les vecteurs colonnes de^tA)

E) Exemples importants 1) Les matrices diagonales

On note Diag_n(K)l’ensemble des matrices diagonales d’ordrenà coeﬀicients dansK. (attention, ce n’est pas une notation standard !). Alors Diag_n(K)est une sous algèbre deMn(K)(et même commutative).

(17)

Proposition : SoitAPDiag_n(K):

A=







λ1 0 . . . 0 0 λ2 . .. ...

... . .. ... 0 0 . . . 0 λ_n







(11.54)

AlorsAest inversible si et seulement si@iPJ1, nK, λ_i ‰0, et dans ce cas :

A^´¹=







λ^´1₁ 0 . . . 0 0 λ^´1₂ . .. ... ... . .. ... 0 0 . . . 0 λ^´1_n







(11.55)

‚ Si un desλiest nul, la colonneCiest nulle, donc la famille des colonnes deAn’est pas libre. Donc A n’est pas inversible.

‚ Si aucun desλi n’est nul, on introduit la matrice proposée (on la nommeB), et alorsAB=BA= In. DoncAest inversible etA^´¹=B.

2) Les matrices triangulaires supérieures

On noteT Sn(K) l’ensemble des matrices triangulaires supérieures d’ordren à coeﬀicients dansK, c’est-à-dire du type(ai,j)_1ďiďn

1ďjďn

oùiąj ùñ ai,j= 0. (la notation n’est pas standard non plus) AlorsT Sn(K)est une sous algèbre deMn(K)(mais non commutative).

Proposition : SoitA= (ai,j)_1ďiďn

1ďjďn PT Sn(K).

AlorsAest inversible si et seulement si ses coeﬀicients diagonaux sont tous non nuls.

‚ Si lesai,i sont tous non nuls :

A=







˚ _ _ _

0 ˚ _ _

... . .. ... _ 0 . . . 0 ˚







(˚désigne un scalaire non nul) (11.56)

Alors la famille de ses colonnes(C1, C2. . . Cn)est libre :

Si λ1C1+λ2C2+¨ ¨ ¨+λnCn = 0, alors, avec le dernier coeﬀicient, λnan,n= 0. Doncλn= 0(car an,n‰0), et ainsi de suite...

‚ Si l’un des ai,i est nul :C1, C2. . . Ci sont i éléments d’un ensemble de dimension i´1, à savoir

(18)

l’ensemble des colonnes du type





 x1

... x_i´1

0 ... 0







(qui est Vect(E1, E₂, . . . E_i´1), où(E₁, E₂, . . . E_n)est la

base naturelle deMn,1(K)).

Donc(C₁, C₂. . . C_i)est liée. DoncAn’est pas inversible.

D’où l’équivalence.

Remarque :

On peut montrer que si une matrice triangulaire supérieure est inversible, alors l’inverse de cette matrice est aussi triangulaire supérieure.

3) Matrice triangulaire inférieure

On a le même résultat que pour les matrices triangulaires supérieures, avec la même démonstration (ou en remarquant queAest triangulaire supérieure si et seulement si^tAest triangulaire inférieure...) Conséquence :

Un système carré (c’est-à-dire du typeAˆ





 x1

... xn





=





 b1

... bn





, où





 x1

... xn





est la colonne des inconnues) qui

est triangulaire (c’est-à-dire que Aest triangulaire) sans0 sur la diagonale est de Cramer (c’est-à-dire qu’il admet une et une seule solution)

Exemple :

On considère le système suivant :

$

’’

’&

’’

’%

λ₁x₁ + ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ = b₁ λ₂x₂ + ¨ ¨ ¨ = b₂

. ..

λ_nx_n = b_n

(S)

Alors :

‚ Le système admet une et une seule solution lorsque les coeﬀicients diagonaux sont tous non nuls.

‚ Si l’un des λi est nul, le système n’a pas une et une seule solution.

Démonstration (de la conséquence, en utilisant la notation de l’exemple) : Supposons l’un desλ_i nul. On notek=mintiPJ1, nK, λ_i= 0u.

‚ Si k=n(c’est-à-direλ_n= 0et @iăn, λ_i‰0), alors :

˛ Soitbn ‰0 et le système est incompatible.

˛ Soitbn= 0, alors on voit qu’on peut fixerxnquelconque et obtenir une solution(x1, x2. . . xn) à (S) en résolvant le système(S¹)composé desn´1 premières équations et considéré comme d’inconnues x1, x2. . . xn´1 (qui a une unique solution puisque triangulaire sans 0sur la diagonale). Donc (S) a une infinité de solutions (avec un degré de liberté).

‚ Sinon, soit (S²) le système « sous » (strictement) la k-ième équation, en tant que d’inconnues xk+1, xk+2. . . xn.