Limites singulières en faible amplitude pour l'équation des vagues.

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des vagues.

Benoît Mésognon-Gireau

To cite this version:

Benoît Mésognon-Gireau.

Limites singulières en faible amplitude pour l’équation des vagues..

Physique mathématique [math-ph]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2015. Français.

�NNT : 2015PA066467�. �tel-01294400v2�

E ole Do torale 386 : S ien es mathématiques de Paris Centre Département de Mathématiques et Appli ations / E ole Normale Supérieure

Dis ipline : Mathématiques

Thèse de do torat

Soutenue le2 Dé embre 2015 par

Benoît Mésognon-Gireau

Limites singulières en faible amplitude pour l'équation des vagues

Dire teurdethèse: M.LannesDavid DRCNRS(UniversitédeBordeaux) Rapporteurs: M.Bres hDidier DRCNRS(UniversitéSavoieMontBlan )

M.CraigWalter Professeur(M MasterUniversity) Compositiondu jury:

Dire teurdethèse M.LannesDavid DRCNRS(UniversitédeBordeaux) Rapporteur: M.Bres hDidier DRCNRS(UniversitéSavoieMontBlan ) Examinateurs: AlazardThomas CRCNRS(E oleNormaleSupérieure)

Benzoni-GavageSylvie Professeur(UniversitéClaudeBernardLyon1) DalibardAnne-Laure Professeur(UniversitéPierreetMarieCurie) La aveChristophe MaîtredeConféren e(UniversitéParis-Diderot) NoblePas al Professeur(INSAToulouse)

vagues

Mésognon-Gireau Benoît 



UMR8553CNRS,Laboratoire deMathématiqueset Appli ations del'E ole NormaleSupérieure,75005 Paris, Fran e. Email:benoit.mesognon-gireauens.fr

Remer iements

Ilseraitfort avalierdemapartd'armerquej'auraispupoursuivreunethèseenMathématiques, seul fa e auxélémentset sansl'aide de qui onque. C'est don ave grandplaisir queje débute e manus rit(oui, tapus ritçafaitmo he)ave lestraditionnelsremer iementsd'usage.

Je tiens àremer ier en tout premier lieu et parti ulièrement, David Lannes, mon dire teur de thèse,quiaétéextraordinairementdisponibledurant estroisannées. Davidasumeguiderdansla re her hedemanièreàlafoissimpleetterriblemente a e. Tantsurleplanmathématiquequesur leplanmatériel,ilatoujourssurépondreàtoutesmesquestionset jeluidoismonépanouissement mathématique dans edomaine immensémentvastemais nonmoins passionnantqu'estl'étudedes équations des vagues. Son in royable patien e, sa dé ontra tion et sa sympathie font sans au un doutedeluiledire teurdethèseidéal.

Je remer ie ensuite grandementmes deux rapporteurs de thèse, qui ont a epté de relire mon travailet d'apporter les onseils né essairesauxderniers peaunages. DidierBres h, o-auteurdu papiersurlequels'appuieunegrandepartiedutravailee tuéau oursdemathèse,m'aparailleurs beau oupapportélorsdenosé hangesdurant estroisannées. C'estégalementunhonneurd'avoir étéreluparWalterCraig,undespionniersdel'équationquej'aiétudiée duranttrois années.

Je remer ieThomasAlazard, SylvieBenzoni-Gavage,Anne-Laure Dalibard,ChristopheLa ave etPas alNobled'avoira eptédefairepartiedemonjurydethèse.

Je remer ie tout spé ialement Jean-Claude Saut, à qui je dois ma ren ontre ave David, et qui a su m'apporterau ours de nosdis ussions ertainesdes intuitions qui ont hangé ma vision mathématiquedes hoseset eave uneremarquablesimpli ité. Plusquemondire teurdemémoire deM2,Jean-Claudeestdevenu unami.

La han eimmensequim'aétédonnéedetravaillerdansunlieuaussiprestigieuxetagréableque leDépartementdeMathématiquesdel'E oleNormaleSupérieure,n'auraitrienétésanslasympathie etledynamismedesesmembres. Jeremer ietoutparti ulièrementThomaspourletempsprispour dis uterave moi,etpoursonaideessentielleàmestravaux. Thomass'estassuréquejenesoispas perduaprèsquej'eusseabandonnélâ hementmondire teur,partipour ette ontréeexotiquequ'est Bordeaux,etje nepourraijamaisluienêtreassezre onnaissant. Enn, edépartementnesaurait survivred'au unemanièresansletravailremarquabledeZaïna,Bénédi te,Lauren eetmaintenant Albane.

Lesouvenirde estroisannéesestbien entenduliéàmes ollèguesdebureauetdésormaisamis, ave quinousavonspuavoirlesdis ussionslespluspassionnantesquisoient,lesquellesnousaurons onduitsàmonterungroupedetravaildontlenombredemembresa tuels de essedes'a roître. Je remer ie ainsi Benjamin, Thibault, Yanni k et Maxime pour leur présen e et les moments de dé ontra tiondurant estroisannées.

Je remer ie aussi mes amis, pour la plupart eux-mêmes do torants, pour les soirées que nous avonspupasser à noyerlesé he s mathématiques dela semainedans l'al ool,Matthias, Damien, Agnès, Eve et Matthieu (quipour uneraison qui m'é happeavait hoiside d'expatrier dans ette terrere uléequ'estToulouse... ahnon,attendez...). Mer iàPierre-Antoinepourm'avoirhar elé pendantdesmoisquantàmadatedesoutenan e,etàERpourlessoiréespasséessurDroopix(???). Jeremer ieégalementmesparents,quiontsubimestergiversationsmultiplesenmatièred'études s olaires.

Je terminerai ette liste par remer ier tout spé ialement Magali, la personne qui a hoisi de m'a ompagnerà haqueinstantetnonsanspeinedepuismaintenantplusieursannées.

1 Introdu tion 7

1.1 L'équationdesWater-Waves. . . 8

1.1.1 DeEuleràZakharov-CraigSulem . . . 8

1.1.2 Adimensionnementdeséquationsetparamètrespertinents. . . 11

1.1.3 Modèlesasymptotiquesd'é oulementàsurfa elibre . . . 13

1.1.4 Arti ulationdelathèse . . . 14

1.2 Existen eentempslongspourleséquationsdetypehyperboliques . . . 15

1.2.1 Lessystèmeshyperboliques . . . 15

1.2.2 Méthodesd'énergiepourlessystèmeshyperboliques . . . 16

1.2.3 Tempshyperbolique . . . 16

1.2.4 Systèmeshyperboliquesave termenonhomogènesingulier . . . 17

1.2.5 Résultatsobtenus . . . 18

1.3 Problèmesdelimite singulièreet défautde ompa ité . . . 19

1.3.1 L'é helledetempsenlimitetoitrigide . . . 19

1.3.2 Défautde ompa itéenlimite toitrigide. . . 19

1.3.3 Résultatsobtenus . . . 19

1.4 Perspe tivesdere her he . . . 22

1.4.1 Versdesrésultatsoptimaux . . . 22

1.4.2 Limitefaible ontrastededensitédanslesmodèlesmulti- ou hes . . . 23

1.5 Plandelathèse. . . 23

2 The Cau hy problem on large time for the Water Waves equations with large topography variations 25 2.1 Introdu tion. . . 26

2.1.1 FormulationsoftheWaterWavesproblem. . . 26

2.1.2 Mainresult . . . 28

2.1.3 Notations . . . 30

2.2 Mainresult . . . 32

2.2.1 Theenergyspa e . . . 33

2.2.2 TheRayleigh-Taylor ondition . . . 35

2.2.3 Statementoftheresult . . . 35

2.2.4 Proofof Theorem2.2.2 . . . 36

2.2.5 ShallowWaterlimit . . . 50

2.A TheDiri hletNeumannOperator . . . 51

3 TheCau hyproblemonlargetimeforaBoussinesq-Peregrineequationwithlarge topography variations 54 3.1 Introdu tion. . . 55

3.1.1 TheWaterWavesproblem . . . 55

3.1.2 Thedimensionlessparameters. . . 56

3.1.3 TheShallowWaterregime. . . 56

3.1.4 Longtimeexisten efortheWater-Wavesmodels . . . 58

3.1.5 Mainresult . . . 59

3.1.6 Notations . . . 61

3.2 Lo alexisten efortheBoussinesq-Peregrineequation . . . 63

3.3 Modiedequation . . . 69

3.3.2 Longtimeexisten eindimension

1

forthemodiedBoussinesq-Peregrine

equa-tion . . . 78

3.A Classi alresultsonSobolevspa es . . . 83

3.B Resultsontheoperator

A

. . . 83

4 A dispersive estimatefor thelinearized Water-Waves equations in nitedepth 86 4.1 Introdu tion. . . 87

4.1.1 FormulationsoftheWater-Wavesproblem. . . 87

4.1.2 Mainresult . . . 89

4.1.3 Notations . . . 91

4.2 AdispersiveestimateforthelinearWater-Wavesequationsin dimension

1

. . . 93

4.2.1 Te hni altools . . . 93

4.2.2 Proofof themain result . . . 94

4.3 Lo alexisten efortheWater-Wavesequationsinweightedspa esindimension

d



1, 2

101 4.3.1 TheWater-Wavesequations . . . 101

4.3.2 A ommutatorestimate . . . 102

4.3.3 Lo alexisten einweightedSobolevSpa es . . . 108

4.A Estimatesontheatstrip

S

. . . 110

4.B TheDiri hletNeumannOperator . . . 110

5 The rigid lid limitforthe water waves equations 112 5.1 Introdu tion. . . 113

5.1.1 FormulationsoftheWaterWavesproblem. . . 113

5.1.2 Therigidlidmodel. . . 115

5.1.3 Reminderonthelo alexisten efortheWater-Wavesequationswithatbottom116 5.1.4 Mainresult . . . 117

5.1.5 Notations . . . 118

5.2 TherigidlidlimitfortheWater-Wavesequations . . . 120

5.2.1 Solutionsoftherigidlidequations . . . 120

5.2.2 Thelinearizedequation around

ζ



0

in therigidlidregime . . . 121

5.2.3 La kofstrong onvergen eforthefull Water-Wavesequationsindimension1 125 5.3 Equivalen ebetweenfreesurfa eEulerandWater-Waveequation . . . 130

5.3.1 Mainresult . . . 131

5.3.2 RegularityofthesolutionsoftheWaterWavesproblem . . . 132

5.3.3 Extensionofthesolution

φ

. . . 134

5.3.4 Regularityafterdieomorphism. . . 135

5.3.5 Craig-Sulem-ZakharovformulationtoEulerformulation . . . 135

5.4 Thenonstrong onvergen efromEulerto rigid-lid . . . 136

5.4.1 Compa tnessresult. . . 136

5.4.2 Extra tionofa onvergentsub-sequen efor

U

ε

. . . 137

5.A TheDiri hletNeumannOperator . . . 138

5.B ExtensionsonBeppo-LeviSpa es . . . 141

Index des notations 145

Introdu tion

Sommaire

1.1 L'équationdes Water-Waves. . . 8

1.1.1 DeEuleràZakharov-CraigSulem . . . 8

1.1.2 Adimensionnementdeséquationsetparamètrespertinents. . . 11

1.1.3 Modèlesasymptotiquesd'é oulementàsurfa elibre . . . 13

1.1.4 Arti ulationdelathèse . . . 14

1.2 Existen e entemps longspour leséquations detype hyperboliques . 15 1.2.1 Lessystèmeshyperboliques . . . 15

1.2.2 Méthodesd'énergiepourlessystèmeshyperboliques . . . 16

1.2.3 Tempshyperbolique . . . 16

1.2.4 Systèmeshyperboliquesave termenonhomogènesingulier . . . 17

1.2.5 Résultatsobtenus . . . 18

1.3 Problèmesde limitesingulière etdéfautde ompa ité . . . 19

1.3.1 L'é helledetempsenlimitetoitrigide . . . 19

1.3.2 Défautde ompa itéenlimitetoitrigide. . . 19

1.3.3 Résultatsobtenus . . . 19

1.4 Perspe tivesde re her he . . . 22

1.4.1 Versdesrésultats optimaux . . . 22

1.4.2 Limitefaible ontrastededensitédanslesmodèlesmulti- ou hes . . . 23

Cettethèse onsiste en l'étude de plusieurs omportements singuliers des équations de Water-Wavesdanslalimitefaibleamplitude. Leprésentmanus rit onsisteenquatrearti lesrédigésdurant ettethèse,dontunaa eptédans"AnnalesofIHP"etlestroisautresétanten oursdesoumission. Dans etteintrodu tion,nousprésentonsle adred'étudedanslequels'ins ritletravailee tuéau ours de ette thèse, ainsi queles hampsde re her heasso iés auxdiérentsrésultats démontrés. Nousnouseorçonsderetrans rirele heminementlogiqueadoptépourlaréda tionde emanus rit, toutenins rivant haquearti leprésenté dansson ontextegénéral.

1.1 L'équation des Water-Waves 1.1.1 De Euler à Zakharov-Craig Sulem

L'équationdesvagues, plus ommunément appeléeéquation desWater-Waves,modélise mathéma-tiquementle mouvement d'unuide sousl'inuen ede lagravité,délimité par lebas parunfond xe, et par le haut par une surfa e libre qui le sépare de l'air (ou de tout autre uide à densité négligeableparrapportàlasienne). Usuellement,leshypothèsessuivantessontfaites:

(H1) Leuideesthomogèneet nonvisqueux. (H2) Leuideestin ompressible.

(H3) Leuideestirrotationel.

(H4) Lasurfa eetlefondpeuventêtreparamétréspardesgraphes. (H5) Lesparti ulesdeuidenetraversentpaslefond.

(H6) Lesparti ulesdeuidenetraversentpaslasurfa e.

(H7) Lapressionextérieureest onstante,etontravaillesanstensiondesurfa e. (H8) Leuideestaureposàl'inni.

(H9) Ilexistetoujoursunehauteurd'eauminimale.

Les hypothèses (H1) et (H2) impliquent que le mouvement du uide peut être dé rit par les équationsd'Euler.

L'hypothèse(H3)simpliel'étude,maisn'estpasné essaire,etdeplusenplusdetravauxré ents s'intéressentauproblèmeave vorti ité(voirparexemple[20℄ ,[19℄,[41℄,[42℄;[21℄,[66℄,[58℄).

L'hypothèse(H4)ex lutl'étudedesvaguesdéferlantes. Enparti ulier,ons'attendd'oresetdéjà à e que les équations modélisant le mouvement ne soient pas bien posées globalementen temps dansle asgénéral. Enrevan he,ilparaîtlogiquequeplusl'amplitudedesvaguesdusystèmeétudié estfaible, plusletempsd'existen edessolutionspourdetelleséquationsestgrand. Cettedernière onsidérationestundestenantsimportantsdutravailee tuédans ettethèse. Voirlestravauxsur la réationdesingularitéspourl'équation desvaguesà esujet([23℄,[17℄,[18℄).

Leshypothèses(H5)et(H6)apportentauxéquationsd'Eulerdes onditionsdebord. Ces ondi-tionssontessentiellespourlamodélisation mathématiqueduproblème,etjouentunrleimportant dansl'étudequiestmenéedans ettethèse, ommenousleverronsplusloin.

Lefaitquelapressionextérieuresoit onstante(hypothèse(H7))ounonn'estenfaitpas primor-dial,etderé entstravauxsurl'inuen edefortespressionsextérieuresinduitesparexemplepardes tempêtes ontétémenés(voirparexemple[45℄). Enrevan he,nousutiliseronslatensionde surfa e plustard,maissonintrodu tionseraalorssoigneusementexpliquée.

Les hypothèses(H8) et (H9) sontraisonnables dans l'étudede domainesde uide innis, mais ex luent évidemment l'étude de la dynamique des uides en milieu tier, qui reste à e jour un problèmeouvert.

Si l'on traduit mathématiquement les hypothèses (H1) à (H9), on obtient les équations dites d'Euleràsurfa elibre. Avantdelesintroduire, pré isonsquelquesnotations:

Onnote

d

ladimensionhorizontale. Enpratique,

d



1

ou

d



2

,etleproblèmeestdon posé dansunespa eà

d

1

dimensions.

Onnote

Ω

t

€

R

d 1

z

X

P

R

d

0

H

0

Eau Air

ζ

p

t, X

q

H

0

b

p

X

q

Figure1.1: Leproblèmed'é oulementàsurfa elibre

Lavitesseduuideàuninstant

t

enunpointp

X, z

qP

Ω

t

,dénieparlavitessedelaparti ule deuidesituéeaupointp

X, z

qàl'instant

t

,est notée

U

p

t, X, z

qP

R

d 1

.

Onnote

P

p

t, X, z

qP

R

lapressiondansleuideàuninstant

t

etaupointp

X, z

q.

L'a élération de la pesanteursupposée onstante est notée

g

, et le ve teur normal unitaire dansladire tionverti aleestnoté

e

z

.

Ladensitéduuidesupposée onstanteestnotée

ρ

.

Aprésent,traduisonsmathématiquementleshypothèses(H1)à(H9)(onnotera(Hk')la tradu -tionmathématiquedel'hypothèse(Hk)).

(H1') B

t

U

p

U



∇

X,z

q

U



1

ρ

∇

X,z

P

ge

z

dans

Ω

t

, (H2')

divU



0

dans

Ω

t

,

(H3')

rot

p

U

q

0

dans

Ω

t

.

L'équation(H1') estobtenueenappliquantleprin ipefondamentalde ladynamiqueàun ube élémentairedeuide,puisenfaisanttendrelataillede e ubeverszéro.

L'équation(H2') est obtenue en é rivant que le ux algébrique total de uide traversant une surfa erégulièredélimitantunvolumebornéxeest nul (leuidenese ompresseoudé ompresse pas, don la quantité de uide est toujourslamême, et " equi entre est égal à e qui sort"). En utilisantalorslaformuledeStokes,onobtientquedanstoutvolumebornéladivergen e du hamp devitesseestnulle.

L'équation(H3')est ladénition de(H3).

Ilexisteaussideuxfon tionsdé rivantlefondet lasurfa e,

b : R

d

ÝÑ

R

et

ζ :

r

0; T

r

R

d

ÝÑ

R

ave

T

¡

0

tellesque

(H4') 

t

Pr

0; T

r

,

Ω

t

tp

X, z

qP

R

d 1

_,

H

0

b

p

X

q 

z

 

ζ

p

t, X

qu,

où

H

0

¡

0

est une onstante orrespondantàlaprofondeur typique dumilieu onsidéré(qui varie bien entendu selonladynamique étudiée : mouvementdans un anal, vaguesdans lamer, vagues dansunla ...). Ennotant

n

leve teurnormalàunesurfa eunitaireorientéverslehaut,onobtient lesidentités: (H5')

U



n



0

surt

z



H

0

b

p

X

qu

,

(H6') B

t

ζ

a

1

|

∇ζ

|

2

_U



n



0

surt

z



ζ

p

t, X

qu. L'équation p

H6

1

q peut être obtenue en é rivant qu'une parti ule de position p

X

p

t

q

, z

p

t

qq à la surfa eresteàlasurfa e: si

z

p

t

q

ζ

p

t, X

p

t

qq

0

àuninstantdonné,alors 'estvraiàtoutinstant, et endérivantentemps onobtient don

z

1 p

t

q
B

t

ζ

p

t, X

p

t

qq

X

1 p

t

q

∇ζ

p

t, X

p

t

qq

0

. Commepar dénition

U

p

t, X

p

t

qq

X

1 p

t

q,et que

n

p

t, X

q

t

p

∇ζ

p

t, X

q

, 1

qonobtientlerésultatsouhaité pour toute ourberégulière

X

.

(H7')

P



P

0

surt

z



ζ

p

t, X

qu. (H8') 

t

Pr

0; T

r

,

lim

p

X,z

q

Ω

t

,

|p

X,z

q|Ñ8 |

ζ

p

t, X

q| |

U

p

t, X, z

q|

0

. (H9') D

H

min

¡

0,

p

t, X

qPr

0; T

r

R

d

_,

_H

0

ζ

p

t, X

q

b

p

X

q¥

H

min

. Leséquations(H1')-(H7')sontappelées"équationsd'Euleràsurfa elibre".

D'unpointdevuepurement"analysefon tionnelle", leséquationsd'Euleràsurfa elibre (H1')-(H7') sont di iles à étudier. En eet, il s'agit d'équations d'évolution dénies sur un domaine spatialquibougedansletemps. Dansquelespa efon tionnelpeut-onalors her herdessolutionsà etteéquation? Ens'inspirantdel'étudefaitepouruneéquationd'évolution lassique,onpourrait her herdessolutionsdansdesespa esdelaforme

C

pr

0; T

s

; H

N

p

Ω

t

qq,maisalorslanormedel'espa e de Sobolev onsidéré dépend elle-même dutemps. On pourrait onsidérer undiéomorphisme

Σ

t

dépendantdutemps,telquesi

f : Ω

t

Ñ

R

d 1

alors

f



Σ

t

: R

d 1

Ñ

R

d 1

etdénirlessolutions

U, P

ommedesfon tionstellesquep

U, P

qp

t, Σ

t

qsoitdansunespa erégulier(parexemple

C

pr

0; T

s

, R

d

q

2

). Voir[63℄,[22℄ouen ore[41℄pouruneappro heLagrangiennedeladémonstrationdu ara tèrebien posédeséquationsd'Euleràsurfa elibre.

Dansle dernier hapitre de e manus rit, une appro he diérente à été utiliséepour dénirla notiondesolutionspourleséquationsd'Euleràsurfa elibre. En eet,dansnotre adredetravail, le domaine de uide reste borné dans une bande xe de la forme

R

d

r

a; b

s (notons la

S

) dans l'intervalle de temps fermé onsidéré (en réalité, 'est for ément le as dans un adre de travail raisonnable: d'aprèsl'hypothèsep

H9

1

q,etensupposantraisonnablementquelasurfa eest ontinue entempsetespa e,l'élévationmaximaledel'eaurestebornéesurunintervalledetempsfermé). On dénit alorsune solutiond'Euler àsurfa e libre omme une fon tionp

U, P

q dénie sur r

0; T

s

S

tellequelarestri tionà

Ω

t

(quiestunouvertder

0; T

s

S

)vérieleséquationsd'Euler(H1')-(H7'). Nousreviendronssur etteappro heplusloin.

Andesedirigerversuneformulationmathématiqueplussimple, 'est-à-direversdeséquations posées sur des domaines xes, introduisons une formulation équivalente aux équations d'Euler à surfa e libre, onstituant les équations de Bernoulli. En remarquant que le hamp de vitesse du uide

U

est irrotationnel,onpeuté rire e dernier ommeladérivée d'unpotentiel, etl'hypothèse d'in ompressibilité implique que e potentielest harmonique dans le domaine de uide onsidéré. Cetteremarque onduitauxéquationssuivantes:

(H3")

U



∇

X,z

Φ

. (H2")

∆

X,z

Φ



0

. (H1") B

t

Φ

1

2

|

∇

X,z

Φ

|

2

_gz



1

ρ

p

P

P

atm

qdans

Ω

t

. (H5")

∇

X,z

Φ



n



0

surt

z



H

0

b

p

X

qu. (H6") B

ζ

a

1

|

∇ζ

|

2

_∇

X,z

Φ



0

surt

z



ζ

p

t, X

qu.

L'équation(H1")estobtenueparsimpleintégrationdel'équationd'évolution(H1'). Anoterquele potentiel

Φ

estdéniàune fon tiondépendantuniquementdutempsprès.

Cettenouvelleformulationnerésoutpasleproblèmed'équationsposéessurundomaine dépen-dantdu temps. Ce dernier sera résoluàpartir de la ndes années 60, parplusieurs travaux qui allaientdonner naissan eàlaformulationmoderne duproblèmedesWater-Waves. Zakaharovfait laremarquefondamentalesuivantedans[65℄:

Leproblèmepeutêtreentièrementdé rit pardeuxin onnues: lepotentielàlasurfa e,et la fon tiondé rivantlasurfa e.

En eet, appelons

ψ

la valeurdupotentiel

Φ

àla surfa e

z



ζ

, et supposons

ψ

et

ζ

onnus àun instant donné

t

. En résolvant le problème de Lapla e suivant, ave onditions de Diri hlet et de Neumannaubord: #

∆Φ



0

dans

Ω

t

Φ

|

z



ζ



ψ,

∇Φ



n

|

z



H

0

b



0

(1.1.1)

on onnaît alors la valeur de

Φ

dans le domaine

Ω

t

entier. On onnait alors

U



∇

X,x

Φ

puisla pression

P

en utilisant l'équation d'Euler p

H1

q.

1

Fort de ette remarque, Craig-Sulem et Sulem donnent dans [25℄ et [26℄ une formulation élégante duproblème des Water-Wavesen fon tion des seulesin onnues

ζ

et

ψ

: $ & % B

t

ζ

Gψ



0

B

t

ψ

gζ

1

2

|

∇ψ

|

2

p

Gψ

∇ζ



∇ψ

q

2

2

p

1

|

∇ζ

|

2

q 

0.

(1.1.2)

Leséquations i-dessussontposéessurundomainetemps-espa edelaformer

0; T

r

R

d

ave

T

¡

0

, puisque les in onnues

ζ

et

ψ

sont dénies en espa e sur l'espa e

R

d

tout entier. Le problème fon tionnel des équations d'Euler à surfa e libre est alors résolu! Le prix àpayer est ependant l'apparitiond'unopérateurnonlo al, ditopérateurdeDiri hlet-Neumannetasso iantaupotentiel

ψ

lavaleurdeladérivéenormaledupotentielàlasurfa e:

G

r

ζ, b

s

: ψ

ÞÑ a

1

|

∇ζ

|

2

_∇Φ



n

|

z



ζ

.

Pour al uler

G

r

ζ, b

s

ψ

onnaissant

ψ

et

ζ

, il faut résoudre le problème de Lapla e (1.1.1) pour déterminerlavaleurde

Φ

dansle domaineentier

Ω

t

, puis al ulersa dérivéenormaleàlasurfa e. Ainsi,lapremièreéquationde(1.1.2)n'estautrequela ondition inématiquesurlasurfa ep

H6”

q, etlase ondeestlatra edel'équationdeBernoullip

H1

2

qen

z



ζ

.

Leséquations(1.1.2) onstituent equ'onappellelaformulationZakharov-CraigSulemdel'équation desWater-Waves. Ilsetrouveque etteéquationaunestru ture hamiltonienne,etquelaquantité suivante(appeléehamiltonien)est onservée(lesnotations orrespondentauproduits alaireetàla normede

L

2

p

R

d

q):

H

p

ζ, ψ

q

1

2

p

Gψ, ψ

q

L

2

1

2

|

ζ

|

2

L

2

.

1.1.2 Adimensionnement des équations et paramètres pertinents

D'unpointdevuephysique,ladynamiqueduuideétudiédépendgrandementdeplusieursgrandeurs ara téristiquesdumilieu onsidéré:

(1) Laprofondeur ara téristiquedumilieu

H

0

,

(2) Lalongueurd'ondetypique

L

x

dansladire tion longitudinale,

(3) Lalongueurd'ondetypique

L

y

dansladire tiontransverse(quand

d



2

), (4) L'amplitudetypiquedesvagues onsidérées

a

surf

,

(5) L'amplitudetypiquedevariationdufond

a

bott

.

Ilest alorspluspratiqued'adimensionnertouteslesvariables,demanièreàfaireapparaîtredes ordres de grandeurtypiques dans l'équation. Dans ette optique, on ee tue les hangements de variablessuivants:

x

1 

x

L

x

,

y

1 

y

L

y

,

ζ

1 

ζ

a

surf

,

z

1 

z

H

0

,

b

1 

b

a

bott

,

eten ore:

t

1 

t

t

0

,

Φ

1 

Φ

Φ

0

,

où

t

0



L

x

?

gH

0

,

Φ

0



a

surf

H

0

L

x

a

gH

0

.

Si l'adimensionnementdespremières variablesse omprendaisément, elui de

Φ

et de

t

est moins intuitif. Ildé ouled'uneétudedusystèmelinéariséautourde

ζ



0, b



0

qui permet d'établirune vitesse dedépla ement desvagues typique pour esystème, et don unordre degrandeurtypique

1

Ilsutbiende onnaître

ψ

et

ζ

àuninstantdonnépour onnaître

P

à emêmeinstant:enprenantladivergen e de l'équationp

H1

1

q, et en utilisantp

H2

1

q, on obtient uneéquation deLapla e

∆

X,z

P



ρdiv

p

U



∇

X

,z

U

qave onditiondebord

P

p

X, ζ

q

P

atm

.

pourlepotentiel. Nousnenousétendons passur etteétudeandenepassur hargerlemanus rit (voirparexemple[37℄).

Après hangementsdevariables, quatreparamètresadimensionnésapparaissentdansl'équation. Ilssont:

a

surf

H

0



ε,

H

2

0

L

2

x



µ,

a

bott

H

0



β,

L

x

L

y



γ,

où

ε, µ, β, γ,

sont respe tivement nommés ommunément paramètre de "non linéarité", de "faible profondeur"

2

, de "topographie"et de "transversalité". Donnons tout de suite quelques ordres de grandeurpourlesparamètresqui nousintéressentleplusdans emanus rit,àsavoir

µ

et

ε

:

 En o éanographie tière,pourune houle de longueurd'onde

L

x



100m

, et une amplitude typiquede

a

surf



1m

surunplateau ontinentaldeprofondeur

H

0



10m

,ona

ε



10

1

et

µ



10

2

.

 Pouruntsunamioùleslongueursd'ondepeuventatteindre

240km

,suruneprofondeurde

4km

et ave uneamplitudedevaguede

60cm

,onobtient

ε



10

4

et

µ



10

4

.

Onvoit don quedessituations diérentes peuventdonnerdesparamètresadimensionnésd'ordres degrandeurtrèsdiérents. A présent,donnonsleséquationsdesWater-Wavessousforme adimen-sionnée(onometles"primes"pourdesquestions de larté):

$ ' & ' % B

t

ζ

1

µ

G

µ,γ

r

εζ, βb

s

ψ



0

B

t

ψ

ζ

ε

2

|

∇

γ

_ψ

|

2

ε

µ

p

G

µ,γ

r

εζ, βb

s

ψ

εµ∇

γ

_ζ



∇

γ

_ψ

q

2

2

p

1

ε

2

_µ

|

∇

γ

_ζ

|

2

q 

0,

(1.1.3)

où

G

µ,γ

r

εζ, βb

s

ψ

est l'opérateurdeDiri hlet-Neumannadimensionné,donnépar:

G

µ,γ

r

εζ, βb

s

ψ

 a

1

ε

2

|

∇

γ

_ζ

|

2

B

n

Φ

|

z



εζ

pB

z

Φ

µ∇

γ

p

εζ

q

∇

γ

_Φ

q |

z



εζ

,

où

Φ

estlasolutionduproblèmedeLapla eave onditionsdeDiri hlet(àlasurfa e)etdeNeumann (aufond)suivant:

#

∆

µ,γ

_Φ



0

danstp

X, z

qP

R

d



R

,

1

βb

p

X

q 

z

 

εζ

p

X

qu

φ

|

z



εζ



ψ,

B

n

Φ

|

z



1

βb



0.

Nousavonsintroduitlesnotationssuivantes :

∇

γ



t

pB

x

, γ

B

y

q si

d



2

et

∇

γ

B

x

si

d



1

∆

µ,γ



µ

B

2

x

γ

2

µ

B

2

y

B

2

z

si

d



2

et

∆

µ,γ



µ

B

2

x

B

2

z

si

d



1

et B

n

Φ

|

z



1

βb



1

a

1

β

2

|

∇

γ

_b

|

2

pB

z

Φ

µ∇

γ

p

βb

q

∇

γ

Φ

q |

z



1

βb

.

Remark1.1.1 Le paramètre

γ

égal au rapport des longueurs d'ondes dans les dire tions horizon-talesnejoueau unrledominantdansleprésentmanus rit. Saprésen einduitnéanmoinsl'agréable présen ed'un"exposant

γ

"audessusdetouslesopérateursdiérentiels... Ce in'estpasunevolonté d'alourdir lale ture,mais demontrerquetouslesrésultatsexposésrestent vraissi

γ



1

. Une situ-ationtypiqueoù ettedernière onditionestsatisfaiteestle asdesondesfaiblementtransverses,où

γ

 ?

µ

,quidonnelieuauxsystèmesBoussinesqfaiblementtransversesetàl'équationde Kadomstev-Petviashvili (voir [40 ℄).

2

Lemotanglaisétantintraduisibledemanièreélégante,engénéralonn'appellepas eparamètrequandonparle enfrançais.

1.1.3 Modèles asymptotiques d'é oulement à surfa e libre

Lorsqu'onétudiel'équationdesWater-Wavesdansle asoùunouplusieursdesparamètres adimen-sionnésest faible,onparlede"régime". Parexemple,lorsque

µ

estpetit,onparlede"régimed'eau peuprofonde"( ette appellationsimpliéenedoit ependantpasfaireoublier que

µ

estlerapport entrelalongueurd'ondeetlaprofondeur,etqu'uneprofondeurfaibleseulenesigniepasfor ément que

µ

est petit). Ilestalors possible detravaillerave deséquationssimpliées, qui sontobtenues formellementenee tuantundéveloppementlimitéenleparamètredefaiblevaleur onsidéré,dans leséquationsdeWater-Waves(1.1.3). Nousprésentonsi ilesdeuxrégimesquinousintéressentdans emanus rit.

i) Le régime dit "toit rigide" est atteint pour de faibles valeurs du paramètre

ε

. Le modèle asymptotiquele plussimpleest l'équationdutoit rigide,qui est obtenu enfaisanttendre

ε

vers

0

. Plus pré isément, en partant des équations d'Eulerà surfa e libre adimensionnées, on ee tue le hangementd'é helleentempssuivant:

t

1 

εt,

puis onfait tendre

ε

vers

0

. Formellement, on obtient leséquations suivantes, diteséquations du toitrigide(onomet les"primes"pourdesquestionsde larté):

$ ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' & ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' % B

t

V

p

V



∇

γ

1

µ

w

B

z

q

V



∇

γ

_P

dans

Ω

B

t

w

p

V

ε



∇

γ

1

µ

w

B

z

q

w


pB

z

P

qdans

Ω

w



0

∇

µ,γ



U



0

dans

Ω

rot

µ,γ

p

U

q

0

dans

Ω

U



e

z



0

en

z



1

P



ζ

en

z



0

(1.1.4)

où

Ω

estdésormaisledomainexe:

Ω

tp

X, z

qP

R

d 1

_,

1

¤

z

¤

0

u

,

oùonadé omposé

U

p

V, w

qen omposantesverti alesethorizontales,etoupourtoutegrandeur

A

,onnote

A



A

p

εζ

q. Nousavonsaussiintroduitlesnotationssuivantes:

∇

µ,γ



t

p ?

µ

B

x

, γ

?

µ

B

y

,

B

z

q si

d



2

et

∇

µ,γ



t

p ?

µ

B

x

,

B

z

q si

d



1

rot

µ,γ



∇

µ,γ

^ si

d



2

et rot

µ,γ



∇

µ,γ

K  si

d



1.

Physiquement, les équations du toit rigide modélisent l'é oulement d'un uide dont la surfa e seraitxéeà

0

, ommesionposaitun"toit"surl'ensembleduuide.

ii) Le régime d'eaux peu profondes est atteint pour de faibles valeurs du paramètre

µ

. De nombreuxmodèlesasymptotiquesexistentdans e adredetravail. Leplussimpleestl'équationde Saint-Venant,aussiappeléeéquation Shallow-Water,introduitparLagrange[35℄ puisSaint-Venant [1℄: # B

t

ζ

∇

γ

p

hV

q

0

B

t

V

∇

γ

_ζ

_ε

p

V



∇

γ

q

V



0.

(1.1.5)

Ces équations sont obtenues formellement en prenant

µ



0

dans les équations de Water-Waves (1.1.3). Bien qu'elles ne onstituent pas dire tementl'objet d'étude de ette thèse, des méthodes employéespourl'étudede etteéquation(notammentdans[13℄)ontétéadaptéesdans ettethèseà desmodèlesplus omplexes,telle quel'équation généraledesWater-Waveselle-même,oulemodèle Boussinesq-Peregrineintroduit i-dessous.

En ee tuant formellement un développement limité à l'ordre

1

en

µ

, on obtient un modèle rendantmieux ompte du ara tère dispersif desWater-Waves,appelé équation de Green-Naghdi.

Cependantnousnousintéressonsdans emanus ritàuneversionsimpliéedel'équationde Green-Naghdi,dansle asd'unefaibleamplitude:

ε



O

p

µ

q. Anoterqu'au unehypothèsedetaillen'est faite sur la topographie

β

). On obtient alors dans e as l'équation dite de Boussinesq-Peregrine (voir[11℄,[10℄,et[51℄): # B

t

ζ

∇

γ

p

hV

q

0

r

1

µT

b

sB

t

V

ε

p

V



∇

γ

q

V

∇

γ

_ζ



0

(1.1.6)

où

T

b

estl'opérateursuivant:



V ,

T

b

V



1

3h

b

∇

γ

p

h

3

b

∇

γ



V

q

β

2h

b

r

∇

γ

p

h

2

b

∇

γ

b



V

q

h

2

b

∇

γ

b∇

γ



V

s

β

2

_∇

γ

_b∇

γ

_b



V ,

ave

h

b



1

βb.

Dénissonsennunenotionde" onsistan e"pourunmodèleasymptotique,que nousdonnons volontairementvaguementi i. Onditqu'uneéquationasymptotiquedelaforme(EA=0)est onsis-tanteàl'ordre

k

en

µ

ave l'équationdesWater-Waves,quel'onmetsouslaforme(EWW=0)sion peuté rirel'équation desWater-WavessouslaformeEWW=EA+

µ

k

_R

.

Ainsi,leséquationsdeShallow-Water(1.1.5)etdeBoussinesq-Peregrine(1.1.6)sont onsistantes respe tivementàl'ordre

1

etàl'ordre

2

en

µ

ave l'équationdesWater-Waves.

1.1.4 Arti ulationde la thèse

Les modèles asymptotiques sont importants en pratique, ar ils permettent une étude simpliée duproblèmedes Water-Waves. Parétudesimpliée, nousentendonsnotamment al ul numérique sur des é oulements à surfa e libre. Par exemple, l'équation de toit rigide (1.1.4) est posée sur un domaine xe, ontrairement aux équations d'Euler à surfa e libre. L'équation de Boussinesq-Peregrine (1.1.6), quant à elle, ne fait intervenir que des opérateurs diérentiels " lassiques" (ou tout dumoinslo aux),tout enpermettantl'étudedu ara tère dispersifdes Water-Wavesenfond nonplat.

Le premierobje tif delathèse étaitdejustiermathématiquementlemodèletoitrigide,en dé-montrantrigoureusementla onvergen equand

ε

tendvers

0

deséquationsd'Euleraprès hangement d'é helleentemps

t

1



εt

. Pour efaire,plusieursétapesétaientàfran hir: (1) donner un temps d'existen e de taille

1

ε

quelleque soit la taille du fond pour l'équation des Water-Waves;

(2) donnerunedénitionrigoureusedessolutionsdel'équationd'Euleràsurfa elibre,puisprouver l'équivalen ede etteéquationave elledesWater-Waves;

(3) étudierlalimitetoitrigidequand

ε

tendvers

0

.

Lepremierpoint n'estpasanodin. En eet, lethéorèmed'existen e lo alelepluspré is onnu pour l'équation des Water-Waves était elui d'Alvarez-Samaniego Lannes, qui donnait un temps d'existen e de taille

1

ε

_

β

, 'est à dire un temps d'existen e

T



C

ε

_

β

où

C

dépend des données initiales,ave

a

_

b



max

p

a, b

q

.

Après hangement d'é helle en temps dans le adre de l'étude du régime toit rigide,

t

1



εt

, on obtient ave e Théorèmeuntemps d'existen ede taille

ε

ε

_

β

, et don àla limite

ε

tend vers

0

, on obtientdessolutionsdénies... uniquementenzéro,siau unehypothèsedepetitessen'estfaitesur la taille

β

de la topographie. Un premier arti le rédigé au ours de ette thèse, portant le doux nomde "TheCau hyproblemonlargetimefor theWaterWavesequationswith largetopography variations"eta eptédanslejournal"AnnalesofIHP",démontreuntempsd'existen eamélioré,de taille

1

ε

danslesvariablesdedépart,et e quellequesoit l'amplitudedevariationdufond,pourvu quel'onintroduisedelatensiondesurfa e. Commenousleverrons,untempsd'existen ede ette tailleaégalementunintérêtthéoriquedansle adredelathéoriedessystèmeshyperboliques.

Ledeuxièmepointsembleapparaître ommeta itementvraidanslalittérature,alorsqu'iln'est en réalitéque très rarementjustié (voir ependant[3℄). Pourtantil existe une véritablequestion fon tionnelle nontriviale qui est de dénirmathématiquementun espa e desolutions dénies sur undomainequibougedansletemps. Uneappro heoriginaleaétéabordéeau oursde ette thèse, etseradétailléeplusloin.

Brisons dèsà présent le petit mythe rée quelqueslignes plus tt sur l'équation du toit rigide (1.1.4) : ette équation est triviale. Plus pré isément, il n'est pas di ile de démontrer que les seulessolutionspossiblesà etteéquationsont... nulles. Si edernierfaitea einstantanémenttout intérêtaumodèle,ilapportenéanmoinsuneinformationimportante: lessolutionsdel'équationdes Water-Wavesdansl'é helle de tempsdu toit rigide(

t

1



εt

)doivent onvergervers

0

(puisqu'elles onvergentverslessolutionsdel'équationdutoitrigide). La onvergen edanslemêmerégimeaété étudiée dans [13℄ dansle as del'équation Shallow-Water. La onvergen e faibley est démontrée. Néanmoinsla onvergen efortedansunespa edetype

L

8

pp

0; T

q

; L

2

p

R

d

qqn'estpasvraiedansle as général. Un se ondobje tifau oursdelathèseaétédedémontrerqu'unteldéfautde onvergen e persistaitdansle asdel'équationdesWater-Waves omplète. C'estl'objetd'unautrearti lesoumis durant ettethèse, intitulé "Singularlimitin therigidlidregime for theWater-Wavesequations". Remplir et obje tif né essitait néanmoins d'établir une estimation de dispersion pour l'équation linéariséeautour d'unesurfa eplate et d'unfondplat, equi ànotre onnaissan en'apasété fait jusquei idansle asdeséquationsenfondni(voirIones u-Pusateri[32℄,Alazard-Delort[4℄et[5℄ et une largelittératurepourl'étude du asdufond inni, et [45℄ pourune premièreétude dansle asdufondni). Cetteétude onstitueuntroisièmearti le,intitulé"Adispersiveestimateforthe linearizedWater-Wavesequationsin nitedepth".

Enn, un dernier obje tif était d'adapter la méthode d'existen e en temps long utilisée pour l'équation des Water-Waves au modèle asymptotique de Boussinesq-Peregrine. Comme d'au uns pourrontle onstaterenlisantl'arti leintitulé"TheCau hyproblemonlargetimefora Boussinesq-Peregrineequationwithlargetopographyvariations",lastru turefortpeupratiquede etteéquation nousa ontraintàenvisagerunmodèleéquivalent(entermede onsistan eave l'équationdes Water-Waves)seprêtantmieux àlaméthode.

Commenousl'expliqueronsplusloin,l'obtentionderésultatsd'existen eentempslongpourles équationsdeBoussinesq-PeregrineetdeWater-Wavesen grandfondrevientàétudierunproblème deperturbationsingulièredetypeanelastique/faiblenombredema h,dansun adredispersif.

1.2 Existen e en temps longs pour les équations de type hy-perboliques

Nous expliquons dans ette partie que l'obtention d'un temps d'existen e long de taille

1

ε

pour l'équationdesWater-Waves(1.1.3)n'estpasunesimpleaméliorationd'unrésultatd'existen elo ale, ni unsimplemoyendejustierlemodèletoitrigide. Ilest eneetintimementlié àlathéorieplus généraledessystèmeshyperboliques.

1.2.1 Les systèmes hyperboliques

Unsystème d'équationsauxdérivéespartiellesest dithyperboliques'ils'é ritsouslaforme

B

t

u

d

¸

j



1

B

j

f

j

p

u

q

g

p

u

q

0

où

u : R

d

Ñ

R

p

,

g : R

p

Ñ

R

p

est régulière, et où pour tout

j

,

A

j

 B

1

f

j

...

B

p

f

j



P

M

p

p

R

q, tout

α

p

α

1

, ..., α

d

qP

R

d

,

α

1

A

1

...

α

d

A

d

est diagonalisable àvaleurs propresréelles. Un as parti ulierintéressant est elui où les matri es

A

j

sont symétriques, ou symétrisables (ie il existe

S

P

M

p

p

R

qsymétriquedéniepositivetelque

SA

j

estsymétriquepourtout

j

),etilexisteunelarge littératureà esujet(voirparexemple[61℄,ou[7℄pourne iterqu'eux). L'équationShallow-Water (1.1.5)est un astypiquedesystèmehyperboliquesymétrisable(multiplierlase ondeéquationpar

L'équation des Water-Waves a une stru ture très pro he des équations hyperboliques. Cela apparaîtunpeuplus lairementsuruneformulationéquivalentedeséquations(1.1.3)(voir[37℄pour plusdedétails) : # B

t

ζ

εV



∇ζ

1

µ

w



0

B

t

V

a∇ζ

ε

p

V



∇

q

V



0,

oùonrappelleque

V , w

sontles omposantesrespe tivementverti aleset horizontalesdelavitesse àlasurfa e,et où

a

est le oe ientdeRayleigh-Taylor(voirse tion2.2.2dumanus ritpourune dénition pré isede e dernier). Biensûr, leterme

w

est une quantité qui s'exprime defaçonnon lo ale en

V

(voir plus loin pour les détails te hniques), mais on re onnaît déjà là une forme très pro hedelastru turehyperbolique.

1.2.2 Méthodes d'énergie pour les systèmes hyperboliques

Une ara téristiquedessystèmeshyperboliquessymétrisablesestqueleurexisten elo aleseprouve ave desméthodesditesd'estimationd'énergie. Pluspré isément,onmontrequesionadessolutions, une ertaine quantité dépendant des in onnues, qu'on appelle "énergie"est bornée sur un ertain intervalledetemps,endémontrantunebornesur etteénergieappelée"estimationd'énergie". Cette énergiedonneengénéraldesinformationssurlesnormesdessolutions(parexemplesur lesnormes Sobolev),etparunargumentdetypepointxeonpeutalorsréussiràdémontrerl'existen elo ale, dansunespa edelaforme

C

pr

0; T

s

; H

N

p

R

d

qqparexemple.

Enparti ulier,pourmontrer desrésultatsd'existen een tempslong

1

ε

, ils'agit demontrerque esénergiessontbornéessurunintervalledetempsde ette taille. Parexemple,en equi on erne l'équationShallow-Water(1.1.5),ilestpossibledemontrerquelaquantité

E

N

p

ζ, V

qp

hV , V

q

H

N

|

ζ

|

2

H

N

est bornée tantquelanorme

W

1,

8

desin onnuesn'explosepas,ave

N

¡

d

{

2

1

. Dans le asde l'équation desWater-Waves,l'énergie onsidéréeest plus omplexe, mais ommenous l'avonsdéjà indiquéplushautl'hamiltonien suivantest onservé:

H

p

ζ, ψ

q

1

2µ

p

Gψ, ψ

q

L

2

1

2

|

ζ

|

2

L

2

.

1.2.3 Temps hyperbolique

Considéronsunsystèmequasi-linéairehyperboliquesymétriquedelaforme

B

t

u

ε

d

¸

j



1

A

j

p

u

qB

j

u



0

ave les notations i-dessus (

A

j

p

u

q est une matri e symétrique). Il se trouveque le "bon temps" d'existen epouruntelsystème,appelé souvent"tempshyperbolique",est detaille

1

ε

. C'est-à-dire qu'il"devraitêtre"de ettetaille,etqu'ilneserapasplusgrandengénéral. Tentonsd'illustrer ette armationsurune équationhyperboliquetrèssimple,l'équationdeBurgersunidimensionnelle:

#

B

t

u

εu

B

x

u



0

u

p

0, x

q

u

0

p

x

q

(1.2.7)

ave deshypothèsesraisonnablessur

u

0

. Enutilisantlaméthodedes ara téristiques,onprouveque les ara téristiquessontdelaforme

x

p

t

q

εu

0

p

x

1

q

t

x

1

ave

x

1

P

R

. Lessolutionsn'existentpasglobalemententemps arles ara téristiquess'interse tent. Estimons letempsauquelelless'interse tent. Soitdon deux ara téristiques

x

p

t

q

εu

0

p

x

1

q

t

x

1

et

εu

0

p

x

2

q

t

x

2

. Ellesse roisentautemps

t



x

2

x

1

ε

p

u

0

p

x

2

q

u

0

p

x

1

qq

Par onséquent,letempsd'existen elo al pourl'équationdeBurgersest

T



min

x

1

,x

2

P

R

x

2

x

1

ε

p

u

0

p

x

2

q

u

0

p

x

1

qq 

1

εmin

x

P

R

u

1

0

p

x

q

quiest biendetaille

1

ε

.

1.2.4 Systèmes hyperboliques ave terme non homogène singulier

Nous onsidéronsi idesproblèmeshyperboliquesdontlaformeesttrèspro hede ellede l'équation-modèlesuivante:

B

t

u

εu

B

x

u

L

p

εu, a

p

x

qq

u



0

(1.2.8) ave

u

P

H

N

p

R

q pour un ertain

N

¡

0

et où

L

est un opérateur à oe ients variables, an-tisymétrique pour le produit s alaire

L

2

. Expliquons brièvement l'idée utilisée dans ette thèse permettant d'obtenir des résultats d'existen e en temps long pour une équation de ette forme. L'estimationd'énergieusuellepouruneéquationhyperbolique onsisteàfaire ommuterdesdérivées spatialesave l'équation,and'estimerdesénergies" ontrlant"( 'est-à-dire"donnantdes informa-tionssur") desnormes Sobolev. Dans le asd'une équationdutype (1.2.8), l'estimation d'énergie

L

2

est"bonne":

d

dt

1

2

|

u

p

t

q|

L

2

pB

t

u, u

q

L

2

etenutilisantl'équation(1.2.8) pourrempla erB

t

u

parsonexpression,onobtient:

d

dt

1

2

|

u

p

t

q|

L

2



ε

p

u

B

x

u, u

q

L

2

p

L

p

εu, a

p

x

qq

u, u

q

L

2

.

L'opérateur

L

p

εu, a

p

x

qq

u

B

x

étantantisymétriquepourleproduits alaire

L

2

,laquantité i-dessus est nulle, et la norme

L

2

de u est onservée dans le temps ! L'estimation

H

1

, en revan he, est "singulière",ausens"pasdetaille

ε

". En eet,dérivonsl'équation(1.2.8)unefoisparrapportàla variabled'espa e:

B

t

B

x

u

εu

B

x

pB

x

u

q

L

p

εu, a

p

x

qqB

x

u

ε

pB

x

u

qB

x

u

ε

pB

x

u

q

dL

1

p

εu, a

p

x

qq pB

x

a

q

dL

2

p

εu, a

p

x

qq

0

oùonanoté

dL

i

ladiérentiellede

L

parrapportàla

i

-ième omposante,pour

i



1, 2

. Utilisantla même te hniquequepourl'estimation

L

2

i-dessus,onvoit quelaquantité

d

dt

|

u

p

t

q|

H

1

n'estpasde taille

ε

,à ause dutermeen ladiérentielle

dL

2

. En parti ulier,nousn'avonsau une han e ave etteméthodedemontrerquelanorme

H

1

restebornéesuruntempsdetaille

1

ε

.

La méthode employée prin ipalement dans ette thèse est inspirée de [43℄, [55℄ ou en ore [13℄ et onsiste àfaire ommuter desdérivées entemps ave l'équation. Parexemple, pour(1.2.8), en dérivantparrapportautemps,onobtient:

B

t

pB

t

u

q

εu

B

x

pB

t

u

q

L

p

εu, a

p

x

qqB

t

u

ε

pB

t

u

qB

x

u

ε

pB

t

u

q

dL

1

p

εu, a

p

x

qq

0.

Lesseulstermesnonantisymétriquesonttousunfa teur"

ε

". Celarestevraisiondériveplusieurs foisentemps. Onmontrealorsquelesdérivéesentempsdesin onnuessontbornéessurunintervalle detempsdetaille

1

ε

,eton on lutenutilisantl'équationquipermet derelier lesdérivéesentemps etlesdérivéesenespa e. Parexemple,si

L

p

εu, a

p

x

qqestelliptiqued'ordre

1

,oné ritpourl'équation (1.2.8):

L

p

εu, a

p

x

qq
B

t

u

εu

B

x

u

etenutilisantlabonneestimationpourlesdérivéesentemps,onobtient,enutilisantl'ellipti itéde

L

p

εu, a

p

x

qq:

|

u

p

t

q|

H

1

¤

C

p|

u

p

t

q|

H

1

q

εt

C

0

où

C

est ontinue, et

C

0

ne dépend que des normesdes données initiales. On peut ré upérer des estimationssimilairespourlesnormesSobolevd'ordresupérieuren onsidérantl'équationsurpB

t

q

k

_u

. Uneestimationdelaforme

|

u

p

t

q|

H

N

¤

C

p|

u

p

t

q|

H

N

q

εt

C

0

ave

N

assez grand, permet de montrer par un argument de ontinuité que

u

est dénie sur un intervalledetempsdetaille

1

ε

.

1.2.5 Résultats obtenus

Pour leséquations des Water-Waveset de Boussinesq-Peregrine, la méthode exposée i-dessus ne s'applique pas dire tement, et diérents problèmes apparaissent. En eet, es équations font in-tervenirdes termes dispersifs, et laméthode dé riten'a jamais étéappliquée ànotre onnaissan e à e dernier adre. Par ailleurs, les termes dispersifs en question ont des stru tures diérentes selonl'équation. Parexemple,pourle asdel'équationdesWater-Waves(1.1.3),ave lesnotations i-dessus,

u



t

p

ζ, ψ

qet

L

p

εu, a

p

x

qq 

0

1

µ

G

r

εζ, βb

s

1

0

.

L'équationdesWater-Wavesn'estpasstri tementhyperboliqueetl'opérateur

L

n'estpaselliptique d'ordreun. Dans le as de l'équation de Boussinesq-Peregrine(1.1.6), ladispersionprovient dela présen edel'opérateur

I

µT

b

devantladérivéeentemps. Ces onsidérationste hniquespoussentà développerplusieursstratégies,quisontdéveloppéesdanslesarti les"TheCau hyproblemonlarge timefortheWaterWavesequationswithlargetopographyvariations"et"TheCau hyproblemon largetimeforaBoussinesq-Peregrineequationwithlargetopographyvariations".

Ce manus ritexpose les résultatssuivants d'existen een grand temps obtenus durantla thèse (nousne donnonsvolontairementpasd'énon épré ispourne pasalourdirlale ture, et renvoyons auxénon és omplets):

Theorem1.2.1 L'équation des Water-Waves ave tension de surfa e est bien posée en temps

1

ε

quellequesoitla tailledela topographiepourvuqueleseetsdetension desurfa esoientdel'ordre de

µ

. [VoirTheorem2.2.2℄

Biennoterqu'au unehypothèsen'estné essairesurlatailledufond, equi onstituel'amélioration durésultatde[6℄. Commenousleverrons,laméthodeemployéereposegrandementsurlastru ture deséquations,etpar onséquentilaéténé essaired'introduirelatensiondesurfa epourprouverun telrésultat. Cependant,enpratique,le oe ientdetensiondesurfa eestfaible, aussil'hypothèse del'énon éestraisonnablesil'on onsidèredesrégimeoù

µ

estraisonnablementpetit. Ondémontre égalementlesrésultatssuivants:

Theorem1.2.2 L'équation de Boussinesq-Peregrine (1.1.6) est bien posée sur un intervalle de tempsne dépendantpasde

µ

.[VoirTheorem 3.2.1℄

Aussi étonnant que ela puisse paraître,il n'existe ànotre onnaissan eau une démonstration de l'existen e lo ale dans la littérature pour ette équation. Pour des raisons te hniques dues à la stru ture de l'équation (typiquement, ave les notations de la se tion pré édente, l'opérateur an-tisymétrique

L

n'est pas elliptique d'ordre susant par exemple), la méthode de démonstration d'existen e en temps long ne s'applique pas bien à l'équation de Boussinesq-Peregrine. An de démontrer l'existen e en "temps hyperbolique" (don de taille

1

ε

), on onsidère alors modèle un équivalentà(ausens" onsistantàl'ordre

2

en

µ

ave ")l'équation:

Theorem1.2.3 Ilexiste une équation onsistante àl'ordre

2

en

µ

ave l'équation de Boussinesq-Peregrine (1.1.6) bienposéeen temps

1

ε

endimension

1

.[VoirTheorem3.3.7℄

Cerésultatn'estobje tivementpasoptimal, arilne on ernepasl'équationdeBoussinesq-Peregrine elle-même, mais un modèle équivalent. De plus, le résultat n'est vrai qu'en dimension

1

. Ces défautsproviennentdufaitquelastru turede l'équationoriginale(1.1.6) nesemble pasadaptéeà l'utilisationdelaméthodeemployéepar[13℄, ommeexpliqué endétaildansl'arti le"TheCau hy problem onlarge time for aBoussinesq-Peregrineequation withlarge topographyvariations". En revan he, il onstitue unrésultat intéressantpour une étude numérique. En eet, les modèles de typeGreen-Naghdi/Boussinesq permettentde prendre en ompte les eetsdispersifs de l'équation desWater-Waves.L'équationGreen-Naghdi omporteégalementuntermedelaformep

I

µT

b

qB

t

V

, maisave

h

b



1

βb

rempla éparlahauteurd'eautotale

h



1

εζ

βb

. Unerésolutionnumérique de l'équation deGreen-Naghdi par uns héma detype diéren esnies en temps né essitedon à haque pas de temps l'inversion de l'opérateur p

I

µT

b

q (qui dépend alors du temps), e qui est oûteuxen al uls. Avoirdon unmodèlesimpliéde etteéquationestalorsunbon ompromisentre omportementqualitatifdessolutionsetdi ulté d'implémentationpouruns hémanumérique.

1.3 Problèmes de limite singulière et défaut de ompa ité Ladémonstrationd'unrésultatd'existen eengrandtempspourdeséquationsd'é oulementàsurfa e libre, et la limite toit rigide qui en dé oule rentrent dans le adre des problèmes dits de "limite singulière".

1.3.1 L'é helle de temps en limite toit rigide Démontrer unrésultatd'existen e sur untemps detaille

1

ε

estéquivalentàdémontrer unrésultat d'existen euniformeparrapportà

ε

après hangementd'é helleentemps

t

1 

εt.

Pré isons: l'équationdesWater-Waves(1.1.3)après hangementd'é helleprendlaforme # B

t

ζ

1

µε

Gψ



0

B

t

ψ

1

ε

ζ

M

p

ζ, ψ

q

0

(1.3.9)

où

M

p

ζ, ψ

qest untermebilinéaire en

ζ, ψ

. Dansl'optiquededémontrer desestimationsd'énergies valablessuruntempsindépendantde

ε

,onessayed'éliminerlestermes"singuliers"detaille

1

ε

dans lesestimations. Demême,lorsqu'onpasseàlalimite

ε

tendvers

0

,il onvientdetraiterlestermes detaille

1

ε

ave pruden e(enpratique,onmultipliel'équation par

ε

avantdepasseràlalimite).

1.3.2 Défaut de ompa ité en limite toit rigide

Dans [13℄, ettelimite dite "singulière"quand

ε

tend vers

0

enrégime toit rigideest étudiée pour l'équationShallow-Water. La onvergen efaibledessolutionsestdémontrée,maisonnes'attendpas engénéral(dumoinssilalimitefaibleestnulle)àavoir onvergen eforte(sous-entendu" onvergen e forteglobaleenespa e"danslesespa esdeSobolev

3

). Uneraisontrèssimpleà elaestquelaquantité p

hV , V

q

L

2

|

ζ

|

2

L

2

est onservéedansletemps.

Dansle asdel'équationdesWater-Waveselle-même, ommeindiquépré édemment,la onver-gen equand

ε

tendvers

0

,siellealieu,doitavoirlieuverszéro(rappelonsrapidementquel'équation d'Euleràsurfa elibretend formellementvers

0

quand

ε

tendvers

0

versl'équationdutoit rigide, dontlessolutionssontnulles). Commepourle asShallow-Water,iln'yapas onvergen efortevers

0

dans

L

2

dansle asgénéral,puisquel'hamiltonien

1

2µ

p

Gψ, ψ

q

L

2

1

2

|

ζ

|

2

L

2

est onservé au ours du temps (pré isons sans donner de détail te hnique que

G

est symétrique déni positif pourle produit s alaire

L

2

). Pourtant, l'énergie est bornée quand

ε

tend vers

0

, et ette énergie ontrle des normes de type Sobolev, aussi par unargumentde ompa itéil y a (à sous-extra tionprès) onvergen efaibledans

L

2

.

1.3.3 Résultats obtenus

Undesobje tifsde ettethèseétaitdemettreenexergueledéfautde ompa itépourlalimite toit rigide. Exposonsbrièvementlastratégieutilisée: l'équationlinéariséeen

ζ



0, b



0

est :

$ & % B

t

ζ

1

µ

G

0

ψ



0

B

t

ψ

ζ



0,

(1.3.10)

oùl'opérateur

G

0



G

r

0, 0

sestdonnépar

G

0

 ?

µ

|

D

|

tanh

p|

D

γ

|q

,

3

ave

F

p

g

p

D

q

f

qp

ξ

q 

g

p

ξ

q

F

p

f

qp

ξ

q où

F

p

f

q désigne la transformée de Fourier de

f

pour tout

f

P

S

1 p

R

d

q. Iln'estpasdi ile devoirque

ζ

vériealorsl'équation B

2

t

ζ

1

µε

G

0

ζ



0

et etteéquationaunestru turepro hede elle del'équationdesondes,hormislefaitqu'àhautes fréquen es

G

0

n'estque d'ordre

1

. Commepourl'équation des ondes, onpourraitalors s'attendre àavoir des omportementspour les solutionsde (1.3.10) de type omposantes partant en 8 en espa e,lorsque

t

tendvers 8. En réalité,le omportementesttrès diérentde eluiobtenu pour l'équationdesondes,dumoinsendimension

1

,puisqu'onmontreunphénomènededispersion. Plus pré isément,onalerésultatsuivant:

Theorem1.3.1 Les solutions

U

 p

ζ, ψ

q du système linéarisé (1.3.9) pour

d



1

vérient une estimationde dispersion dela forme :



t

¡

0,



ϕ

P

S

p

R

q |

U

p

t

q| 8 ¤

C

p

1

µ

3

{

4

1

p

1

t

{ ?

µ

q

1

{

3

1

p

1

t

{ ?

µ

q

1

{

2

qp|

U

p

0

q|

H

1

|

x

B

x

U

p

0

q|

2

|

U

p

0

q|

L

1

q

.

[VoirTheorem4.2.5℄

L'estimationde dispersionestmoins bonnequela dispersionen

1

t

1

{

2

pourl'équation enfond inni (voirparexemple[15℄),à ausedu omportementàbassesfréquen esdel'opérateur

G

0

( ommeun opérateurd'ordre

2

). Bienque

G

0

soit équivalentàbasses fréquen es àl'opérateurdes ondes,son omportementestenfaitdiérent,neserait- equepar equeladérivéese ondedesatransforméede Fouriern'estpasnulle( ontrairementàl'opérateurdesondes,justement)! Untelrésultatn'avaitpas été obtenu ànotre onnaissan e,pourle as dufondni(voir ependant[45℄ pourune estimation en fond plat dans des espa es diérents), et un soin tout parti ulier a été utilisé pour ontrler pré isémentladépendan een

µ

. Remarquonsquesil'onpose

λ



t

?

µ

,onretrouveladispersiondu asen fondinni(voir[15℄ parexemple)enfaisanttendre

µ

vers 8: en eet,oné rit

e

itω

p

D

q 

e

i

?

t

µ

g

p ?

µD

q ave

g

p

x

q 

x

Ñ 8 a |

x

|.

LeTheorem1.3.1montredéjàqueledéfautde ompa itéenlimitetoitrigideexistesurl'équation linéarisée(1.3.10):

Theorem1.3.2 Ona, pour tout

ζ

0

assezrégulière, tout

t

¡

0

etpour

d



1

:

e

i

t

ε

b

1

µ

G

0

ζ

0

á

ε

Ñ

0

0

etla onvergen en'estpasfortedans

L

2

p

R

qen général. [Voir Theorem5.2.6℄

Andemettreenéviden elemêmetypede omportementsurl'équationglobale,oné rit ette dernièresouslaforme

# B

t

ζ

1

µ

G

0

ψ



f

B

t

ψ

ζ



g,

où

f

et

g

orrespondent aux termes de taille

O

p

1

q par rapport à

ε

présents dans l'équation des Water-Waves(1.3.9). On traite alors les non-linéarités

f, g

omme des perturbations du système linéarisé(1.3.10),enutilisantl'estimationdedispersion1.3.1.

And'utiliser l'estimationdedispersiondeTheorem1.3.1,il onvenaitdedémontrerégalement un résultat d'existen e pour l'équation des Water-Waves dans un espa e à poids. Nous donnons volontairementunénon évaguepournepasalourdirlale ture:

Theorem1.3.3 Pour

N

assezgrand,il existe

k

0

¡

0

telquesip

ζ

0

, ψ

0

qvérient |

ζ

0

|

H

N

|

x

B

x

ζ

0

|

H

N

k0

|

ψ

0

|

H

N

1

{

2

|

x

B

x

ψ

0

|

H

N

1

{

2

k0

 8

,

alors les solutions de l'équation des Water-Waves (1.1.3) ave onditionsinitiales p

ζ

0

, ψ

0

q vérient la même ondition surleur intervalled'existen e. [VoirTheorem4.3.11℄

La démonstration onsiste en une adaptation de la preuve de l'existen e lo ale pour le système (1.1.3)de[37℄. Cependant,unedi ultéte hniquenonnégligeableapparaît,quiestde ontrlerde manièreoptimalele ommutateurdel'opérateurdeDiri hlet-Neumann

G

ave

x

. Lesdeuxthéorèmes i-dessous onstituent l'arti le "Adispersiveestimate for thelinearized Water-Waves equationsin nitedepth",quisertdesupportte hniqueàlapreuved'undesrésultatsprin ipauxde ette thèse, quenousénonçonsi idelafaçonsuivante:

Theorem1.3.4 Les solutions de l'équation desWater-Waves non linéaire (1.1.3) pour

d



1

ave fond plat onvergent fortement quand

ε

tend vers

0

vers les solutions du système linéarisé (1.3.9), en é helletoit-rigide,dans

L

8 pp

0; T

q

; L

2

p

R

d

qq. [VoirTheorem5.2.31℄

Cerésultatarmedon qu'en dimension

1

,lessolutionsdel'équation totale onvergentfaiblement vers

0

, mais pas fortement (à moins d'avoir des onditions initiales nulles). De plus, le défaut de onvergen e est dû à l'opérateur de l'équation linéaire, qui induit une dispersion des vagues. Expliquons physiquement en quoi onsiste la limite toit rigide. Pour obtenir ette limite, on fait d'abordle hangementdevariable

t

1



εt

puisonfaittendre

ε

vers

0

. Danslesvariablesoriginales,

t



t

1

ε

etsionxe

t

1

,la onvergen ede

ε

verszéroimpliquequel'onfaittendrel'amplitudedesvagues vers

0

, tout en "avançant dans letemps" (à la vitesse

1

ε

). Asymptotiquement, quand

t

tend vers 8,toutesles omposantesintéressantesdesvaguesontétéé raséesetilneresteau unmouvement (hormisd'éventuels ourantrotationnels). Onpeutsereprésenterlasituationenimaginantquel'on "poseuntoit"surleuideétudié,é rasantainsilesvagues.

Enrevan hela onvergen eannon éepar eThéorèmenetientplussi

µ

estreliéà

ε

(serappeler de l'estimation de dispersion du Theorem 1.3.1). Ce i se traduit physiquement par le fait qu'on est alorsdans unrégime oùla dispersionn'estplusdominante et oulemé anisme de onvergen e faibleestdavantagedetype"équationdesondes", 'est-à-direuneséparationdelasolutionendeux omposantes qui partent a l'inni. C'est là le grand intérêt d'avoir une estimation de dispersion ave paramètres. Ce i ouvre desperspe tivespour determinerquelssontlesrégimes danslesquels la dispersion va dominer. Typiquement, si

µ



1

et

ε

!

1

alors les eets dispersifs l'emportent (le omportement est pro he de l'équation linéaire). Si à l'inverse

µ



ε

!

1

, alors les eets dispersifssontdemêmeordrequeleseetsnon-linéairesetonaun omportementpro hede eluide l'équationdeKortewegdeVriesetleme anismeetdetype"équationdesondes"enplus ompliqué. En parti ulier,ons'attend à equ'ilne soitplus possibledetraiterlesnon-linéarités quadratiques dusystème omplet ommede simplesperturbationsdusystème linéaire. Si

ε



?

µ

!

1

alorson a unregime oùla dispersionest plus faible que lanon-linéarité et on s'attend àavoirdes vagues déferlantes...

An de ompléter l'étude de la limite toit rigide entamée, il reste àmontrer que les solutions p

ζ

ε

_{, ψ}

ε

q bornées sur

C

pr

0;

T

ε

s

, H

N

p

R

d

q

2

quniformémenten

ε

del'équation des Water-Waves(1.1.3) fournissentdessolutionspourl'équationd'Euleràsurfa elibre. Pour efaire,nousavonseutl'idée de prolonger

U

ε



∇

X,z

Φ

ε

( a priori dénie uniquement sur

Ω

t

) à une bande xe

S

de la forme r

a; b

s

R

d

danslaquelle

Ω

t

estin lutpourtout

t

ettout

ε

dansl'intervalled'existen edessolutions. On montre alors que le prolongement

U

˜

ε

est borné dans un espa e de laforme

C

pr

0;

T

ε

s

; H

N

p

S

qq uniformémenten

ε

,et qu'ilvérieleséquationsd'Eulersurledomaine

Ω

t

. Ce iaboutitaurésultat suivant:

Theorem1.3.5 L'existen e de solutions à l'équation des Water-Waves induit l'existen e de solu-tionsauxéquations d'Euleràsurfa elibre.[VoirTheorem5.3.4℄

Parunargumentde ompa ité,onaensuiteàsous-extra tionprès onvergen efaibledelasuite

U

˜

ε

quand

ε

tendverszéroverslessolutions del'équation toit rigide, qui sont nulles. La onvergen e n'est pas forte dans

L

8

pp

0; T

q

; L

2

p

R

d

qq, ar elle ne l'est pas pour le système Water-Waves, et les deuxsystèmes(EuleretZakharov/Craig-Sulem)sontéquivalents.

Onpeutillustrerunepartiedutravailee tuédurant ette thèseparlediagrammedelaFigure 1.2. La onvergen eforteenrégimed'eauxpeuprofondesdeWater-WavesversShallow-Wateraété démontréeparAlvarez-SamaniegoetLannes[6℄etparIgu hi[31℄. Laè hede onvergen efaiblede Shallow-Waterversl'équationdesla s(quiestunmodèletoitrigideenrégimed'eauxpeuprofondes, voirparexemple [12℄) aété justiée par Bres h-Métivier dans [13℄. Nous avonsau ours de ette thèse démontré les deux dernières onvergen es apparaissant sur e diagramme. Les onvergen es