Mouvement et dissipation dans une cavité gravitationnelle pour atomes de césium

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gravitationnelle pour atomes de césium

Pierre Desbiolles

To cite this version:

Pierre Desbiolles. Mouvement et dissipation dans une cavité gravitationnelle pour atomes de césium. Physique Atomique [physics.atom-ph]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 1996. Français. �tel-00011906�

DÉPARTEMENT

DE

_PHYSIQUE

DE

L’ÉCOLE

NORMALE

SUPÉRIEURE

LABORATOIRE KASTLER BROSSEL

THÈSE

DE DOCTORAT DE

L’UNIVERSITÉ

PARIS VI

spécialité : Physique Quantique

présentée

par Pierre DESBIOLLES

pour obtenir le titre de Docteur de l’Université Paris VI

Sujet

de la thèse :

MOUVEMENT ET DISSIPATION DANS UNE

CAVITÉ

GRAVITATIONNELLE POUR ATOMES

Soutenue le 21 novembre 1996 devant le

_{jury composé}

de :

M. C. COHEN-TANNOUDJI Président

M. R. GRIMM

_Rapporteur

M. P. PILLET

Rapporteur

Mme N. VANSTEENKISTE Examinateur

M. A.

_MAQUET

Examinateur

M. B. GIRARD Examinateur

DE

L’ÉCOLE

NORMALE

SUPÉRIEURE

LABORATOIRE KASTLER BROSSEL

THÈSE

DE DOCTORAT DE

L’UNIVERSITÉ

PARIS VI

spécialité : Physique

Quantique

présentée

par Pierre DESBIOLLES

pour obtenir le titre de

Docteur de l’Université Paris VI

Sujet

de la thèse :

MOUVEMENT ET DISSIPATION DANS UNE

CAVITÉ

GRAVITATIONNELLE POUR ATOMES

Soutenue le 21 novembre 1996 devant le

_{jury composé}

de :

M. C. COHEN-TANNOUDJI Président

M. R. GRIMM

_Rapporteur

M. P. PILLET

_Rapporteur

Mme N.

VANSTEENKISTE

Examinateur

M.

A. MAQUET

Examinateur

M. B. GIRARD Examinateur

Remerciements

En premier

lieu,

je tiens à remercier Michèle Leduc et

_Jacques

Dupont-Roc de m’avoir accueilli au laboratoire Kastler

Brossel,

et de m’avoir _permis

d’effectuer

ce travail de thèse dans d’excellentes conditions. J’ai eu la chance

de travailler dans

_l’équipe

du

_professeur

Claude

_{Cohen-Tannoudji,}

je tiens ici à

l’assurer de ma

gratitude

et de ma

profonde

admiration. Jean Dalibard a encadré ce

_travail,

aussi bien dans sa

_partie

théorique

_{que dans} sa

_partie

expérimentale

Je tiens à le remercier de sa

grande

disponibilité

et de l’aide

appréciable qu’il

m’a

_apportée

tout au

long

de ces années. Le travail

expérimental présenté

dans ce mémoire n’aurait _pu être mené sans l’aide

précieuse

de Carl

Aminoff

et de

Philippe Bouyer

pour

l’expérience

de rebonds dite de

première génération,

et sans

le travail

_remarquable

de Pascal

_Szrzftgzser,

de Markus Arndt et d’Andrew Steane

pour

l’expérience

de seconde

génération. Qu’ils

soient ici remerciés de leur

pa-tience à mon

égard,

et de leur acharnement à contrôler une

expérience

_parfois

capricieuse.

J’ai eu le

privilège

durant mon travail de thèse de rencontrer et de discuter avec de nombreuses personnes. Je remercie

Christophe

Salomon et Yvan Castin

pour les

précieux

conseils

qu’ils

m’ont souvent

donnés,

ainsi _que les nombreux

postdocs

et

_thésitifs

_que

_j’ai

_pu

_{cotoyer :}

Simone

_Kulin,

Hélène

_{Perrin, Pippa}

Storey,

Brahim

_Lounis,

Olivier

_{Emile, François Bardou,}

Olivier

_Morzce,

David

Guéry-Odelin,

Maxime Ben

_Dahan,

Bruno

_Saubaméa,

Axel

_Kuhn,

Pierre

Lemon-de,

Denis

_Bozron,

Jacob

_{Reichel, Ralf Dum,}

John

_Lawall,

Ekkehard

_Pezk,

Alain

Michaud,

Maxim Ol’shanii.

Je remercie

_Rudy

Grimm et Pierre Pillet _pour leur lecture attentive et

_critique

du

manuscrit,

et _je leur suis

_{reconnaissant,}

ainsi

qu’à

Nathalze

Vansteenkiste,

Alfred Maquet

et Bertrand

_Girard,

de l’intérêt

_qu’ils

ont

_porté

à ces recherches en

_acceptant

de

faire

_partie

du _jury de soutenance.

Durant ces dernières

années, j’ai

eu la chance d’exercer à la

préparation

à

l’agrégation

de

_Physique

de

_l’ENS,

et _{je tiens} à remercier Yves Guldner et Lau-rence Rezeau de m’avoir accueilli dans leur

équipe d’enseignants.

J’ai eu

beau-coup de

plaisir

à travailler avec mes

collègues

de

Montrouge,

et _je

profite

de ces

remerciements _{pour leur exprimer} ma

sympathie

et mon

estime,

en

particulier

à

Le soutien

_efficace

des

_{équipes d’électronique}

et de

_mécanique

a été

essen-tiel,

qu’elles

trouvent ici

témoignage

de ma reconnaissance.

Qu’il

en soit de

même _pour les secrétaires du

_laboratoire,

ainsi _{que pour} les bibliothécaires du

dé-partement

de

_physique

et le

_{personnel administratif}

de

_l’Ecole,

_toujours

de bonne volonté

Enfin,

je tiens à remercier mes

_parents

_{pour leur}

_soutien,

Heather et

_Marje

pour leur bonne humeur et leur

enthousiasme,

Jehanne et Laurent pour leurs

3

Table des

matières

Introduction Générale

7

I

Etude d’une cavité

_{gravitationnelle}

13

1 Formalisme

_général

17

I Hamiltonien du

_système

atome +

_champ

. 17

II Evolution de

_{l’opérateur}

densité _{atomique 03C3} 18

A

_Equation

d’évolution . 18

B

_{Approximation}

du

_champ

tournant 18

C

_Equations

de Bloch _optiques . 19

D Autre forme des

_équations

de Bloch _{optiques ...} 21

E Etat stationnaire .... 21

F Nombre _moyen de

_photons

_{absorbés par} unité de

_temps

22 III Forces radiatives _moyennes

_{s’exerçant}

sur l’atome .. 23

A

_Equation

du mouvement du centre du

_paquet

d’ondes

ato-mique ... 23

B Les deux

_types

de force _pour un atome initialement immobile 25

C Pression de radiation .... 25 D Force

_{dipolaire ...}

26 2 Le miroir à atomes 31 I L’onde évanescente ... 31 A Généralités ... 31 B Calcul de 03B5 et ~ ... 33

C Structure transverse du

_champ

évanescent ... 35 II Un atome dans le

_champ

évanescent ... 37

A L’atome à deux niveaux dans un

_champ

évanescent . 37

B Condition de rebond de l’atome sur le miroir . 39

C Taille du miroir ... 41

D L’émission

_spontanée

lors du rebond ... 42

III Influence de la surface

_{diélectrique}

... 56

A Condition de

rebond,

rayon du miroir et

_point

de

rebrousse-ment ... 57

B Emission

_{spontanée ...}

60

IV Ordres de

_grandeur

... 67

3 La cavité

_{gravitationnelle}

69

I Mouvement d’un atome dans une cavité

parabolique

.. 69

A Points de chute successifs sur le miroir . 70

B Stabilité du mouvement

_paraxial

. 71

C Miroir

_parabolique

et miroir

sphérique

.. 72

D Influence de la structure transverse du

_champ

évanescent

sur la courbure du miroir 73

II

_Expériences

. 76

A

_{L’expérience}

de

_{première génération}

.. 76

B

_{L’expérience}

de seconde

_génération

84

Annexe A : Cesium Atoms

_Bouncing

in a Stable Gravitational

Cavity

99

II

Etude d’un

_processus

_Sisyphe

élémentaire

au

voisi-nage

d’une

surface

diélectrique

105

1 Processus

_Sisyphe

élémentaire 109

I

_Principe

.... 109

A Modèle considéré ... 109

B

_Description

_{du processus} ... 111

C Probabilité du _processus

_Sisyphe

... 112

D Distribution en

énergie

des atomes

_après

le rebond . 113

II Influence de la surface

_{diélectrique}

. 116

A Potentiel de van der Waals .. 116

B

_Augmentation

du taux de transition .. 118

2

_Expérience

et

_analyse

121

I

_Expérience

... 121

A

_{Configuration}

_{expérimentale}

.... 121

B Résultats

_{expérimentaux}

... 125

II

_Programme

de simulation Monte-Carlo ... 128 A

_Principe

de la simulation ... 129

5

B Résultats ... 130

III Conclusions ... 134

IV

_Application

:observation de

_longs

_temps

de vie dans la cavité

gra-vitationnelle ... 136

A

_Principe

de

_{l’expérience}

... 136

B Confinement

_magnétique

transverse .... 139

C Résultats ... 145

D Conclusions ... 147

Annexe B :

_Elementary

_Sisyphus

Process Close to a Dielectric

Sur-face 151

III

Vers

un

_gaz

à deux

dimensions d’atomes de césium 169

1

_Piégeage

des atomes 173

I Présentation du

_piège

Notations . 173

II Etude du

_{piège dipolaire ....}

175

A Potentiel de Morse .... 175

B

_{Configuration}

étudiée .. 179

III Influence du

_potentiel

de van der Waals et de la

_gravité

sur la forme

du

_{potentiel ....}

183

A Influence du

_potentiel

de van der Waals 183

B Influence de la

_gravité

. 186

IV Confinement des atomes _{par la} structure

transverse du

_champ

évanescent .. 188

2

_Chargement

du

_piège

189

I Probabilité de transition

dans

_{l’appproximation}

de Born .. 190

A Etats mis en _{jeu... 191}

B Calcul du taux de transition ... 192

C

_{Interprétation}

et résultats .. 194

II Probabilité de transition:

Approche

Monte-Carlo

Quantique

... 198

A Présentation ... 198

B Résolution

_numérique

de

_{l’équation}

de

_Schrodinger

.. 199

C Méthode Monte-Carlo

Quantique

... 200

3 Autour des atomes

_piégés

205

I

_Temps

de vie des atomes sur le niveau fondamental . 205

A Nombre de

_photons

diffusés _{par seconde ...} 206 B Effet sur les atomes ... 207

II Détection des atomes

_{piégés ...}

208 III

_Statistique

_quantique

dans le _gaz bidimensionnel ... 210

Annexe C :

_Loading

Atoms in a Bi-dimentional

Light Trap

219

7

Introduction

_générale

Durant les dix dernières

années,

des

_progrès

considérables ont été réalisés dans le domaine du

_piégeage

et du refroidissement d’atomes neutres _{par la} lumière

cohérente,

tant dans la

_{compréhension}

des

_{phénomènes physiques}

mis en _{jeu que}

dans la maîtrise des _processus

_{expérimentaux}

Il est

_{aujourd’hui possible}

de

préparer

des _nuages

_atomiques

contenant

_quelques

dizaines de millions d’atomes à des

_{températures}

de l’ordre du

_{micro-Kelvin,}

et de conserver ces atomes dans des

_{pièges lumineux,}

comme _par

exemple

le

piège

magnéto-optique,

sur des durées

de

_plusieurs

secondes

_[1,

_{2, 3,}

_4]

Ces nouvelles

_techniques

ont ouvert de nombreuses voies de recherche On

leur doit ainsi l’essor récent de

l’optique

_{atomique qui}

reproduit

les

expériences

d’optique

traditionnelle,

les

_photons

étant

_remplacés

par des atomes On _peut en

effet associer aux atomes ralentis et

_piégés

_par la lumière des

_longueurs

d’onde de

de

_Broglie

A

dB

=

h/mv

comparables

_aux

longueurs

d’onde

_optiques,

leur _vitesse

étant très faible

_(typiquement

de l’ordre du

_cm/s)

Il devient alors

_possible

de

réaliser avec ces atomes des

_expériences

d’interférométrie ou de diffraction

[5,

_6,

7],

expériences jusqu’alors

délicates à mettre en oeuvre avec des

_jets

thermiques

d’atomes La

_{sophistication}

des

_techniques

de refroidissement a _permis d’obtenir

des

_longueurs

d’onde de de

_Broglie

de

_plus

en

_plus

_élevées,

et _{de parvenir à des}

facteurs de

_{dégénerescence}

_quantique

de

_plus

en

plus

_importants

dans les

_pièges

à atomes Voilà maitenant

_plus

d’une

_année,

la condensation de Bose-Einstein a

été observée _pour la

_première

fois dans un _gaz d’atomes refroidis et

_piégés

_{par la}

lumière,

puis transférés dans un

piège magnétique

et refroidis

_{évaporativement}

_[8.

9,

_10]

Ces

_{quelques exemples}

montrent

_{l’importance qu’a}

_prise dans la

_physique

atomique

actuelle la

_manipulation

des atomes _{par la}

_lumière,

et les

_implications

en

_physique

fondamentale _qui découlent de la dextérité _{acquise dans} ce domaine

Lorsque

le travail

_présenté

dans ce mémoire a

débuté, l’optique

_atomique

connaissait ses

_{premiers développements}

L’idée de réaliser un miroir à atomes à

l’aide d’une onde évanescente a été

proposée

en 1982 _par Cook et Hill

_[11].

et la

première

observation

_{expérimentale}

de la déflexion d’un

_jet

d’atomes de sodium

en incidence rasante _par un tel miroir

rapportée

en 1987

[12].

L’intensité des

ondes évanescentes

_disponibles

ne

_permettant

la réflexion

spéculaire

_que d’atomes

de faibles _vitesses, il était tentant

_d’essayer

de faire rebondir des atomes issus

d’un

_{piège magnéto-optique placé quelques}

millimètres au dessus d’un de ces

miroirs lumineux.

L’expérience

a été menée en 1990 à Stanford

[13],

où deux

rebonds consécutifs d’atomes de sodium sur un miroir

plan

ont été observés L’absence de confinement du mouvement

_atomique

transverse et la vitesse de recul

k

opt

/m

importante

des atomes de sodium

_pouvant

_expliquer

ce faible nombre de

rebonds,

nous avons décidé à Pans de

reprendre

la même

_expérience

en utilisant un miroir

courbé,

et des atomes de

_césium,

de masse

_{beaucoup plus}

élevée _que

celle des atomes de

sodium,

donc de vitesse de recul

_plus

faible L’étude

_théorique

des modes de la cavité

_atomique

_{formée par} l’association d’un miroir à onde

évanescente de forme

_parabolique

et de la

_gravité

avait de

_plus

été menée dans

notre _groupe

_[14],

ce _qui constituait une motivation

_{supplémentaire}

à ce travail

Notons

_qu’une

autre voie de recherche a été récemment

_explorée

dans le but

de créer des miroir à atomes _qui n’utilisent _pas la lumière Ils sont constitués de

supports

magnétiques,

et

_permettent

la réflexion

_spéculaire

d’atomes en incidence

normale avec une réflexivité

_importante,

supérieure

à 90

%

[15, 16]

La

_première

_partie

de ce mémoire est consacrée à l’étude de la cavité

as-sociant lumière évanescente et

_gravité,

nommée cavité

_{gravitationnelle}

Nous

commençons par

rappeler quelques

notions

d’optique

quantique qui rendront la suite de

_{l’exposé plus}

aisé Nous

_présentons

ensuite une étude

_théorique

du

fonctionnement du miroir à _atomes, en

soulignant l’importance

de l’influence du

diélectrique

sur ses

caractéristiques

Nous décrivons alors les

expériences

menées

dans notre _{groupe de} recherche L’observation de _quatre

_[17],

puis d’une dizaine

de rebonds consécutifs sur le miroir

[18]

a constitué une avancée sensible _par

rap-port

aux résultats obtenus _{par d’autres groupes}

Malheureusement,

le nombre

de rebonds dans la

_{configuration expérimentale présentée}

reste insuffisant pour que l’on puisse véritablement mettre en évidence dans notre cavité

gravitation-nelle des effets

_identiques

à ceux observés dans les cavités

_optiques,

comme les

interférences à ondes

_multiples

_par

_exemple.

Lors de l’étude du rebond des atomes sur l’onde

évanescente,

nous avions

re-marqué

que les atomes de césium

pouvaient

subir une transition Raman _qui les

transférait d’un niveau

_hyperfin

vers un autre niveau

hyperfin

Ce _processus

in-duisait des

_{pertes dans}

la

cavité,

la

_dynamique

des atomes sur le niveau d’arrivée

étant très différente de celle sur le niveau de

départ.

L’utilisation d’une telle

transition _pour abaisser

_{l’énergie mécanique}

de l’atome avait été

_proposée

en 1992

[19, 20],

ce _processus étant très

proche

d’un mécanisme de refroidissement nommé

9

optiques

Il nous a alors semblé intéressant d’étudier en détail ce _processus, et de mettre en

place

une

expérience

_qui

_permettrait

d’obtenir des résultats

quan-titatifs sur l’efficacité du refroidissement. C’est

l’objet

de la deuxième

partie

de ce mémoire. A la fin de cette

_partie,

nous

présentons

une

_{expérience préliminaire}

qui nous a _permis d’observer des très

longs

_temps

de vie dans la cavité

gravita-tionnelle Elle _repose sur l’utilisation du _processus

Sisyphe

et d’un confinement

du mouvement transverse des atomes _par un

_champ

magnétique quadrupolaire

Nous avons ainsi _pu mettre en évidence

_plus

d’une centaine de rebonds d’atomes

La troisième _partie de ce mémoire est consacrée à l’étude

_théorique

du

charge-ment _{d’un gaz} bidimensionnel d’atomes de césium Ce dernier est réalisé à

l’aide de deux ondes évanescentes qui permettent de confiner de manière

particu-lièrement efficace les atomes dans la direction

_{perpendiculaire}

au

diélectrique

[21]

Le

_chargement

est _{obtenu par} l’intermédiaire d’un _processus

_Sisyphe

semblable

à celui décrit et étudié

_{expérimentalement}

dans la seconde

_partie

du mémoire

Nous calculons la

_probabilité

_pour

_qu’un

atome issu d’un

piège magnéto-optique

soit

_piégé

dans _{le gaz} à la suite d’une transition Raman entre les deux niveaux

hy-perfins

de son état fondamental Nous évaluons ensuite la durée de vie des atomes

piégés,

proposons une méthode de détection de ces atomes et discutons des effets

de _{statistique quantique que l’on}

_peut

_espérer

observer dans cette

_{configuration}

11

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_Sidorov,

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282

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_45,

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_Grossman,

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P

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C G

_Aminoff,

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P

_Bouyer,

P

_Desbiolles,

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_Quantum

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J

_{Soding, R}

Grimm and Y B

_{Ovchinnikov, Opt}

Commun.

_119,

652

₍₁₉₉₅₎

13

Partie

I

Etude d’une

cavité

15

Les nouvelles

_techniques

de

_piégeage

et de refroidissement des atomes à l’aide

de lumière laser ont ouvert la voie à un domaine en

pleine

_expansion

l’optique

atomique

Certes, quelques expériences d’optique

atomique, en

particulier

des

expériences d’interférométrie,

sont

_possibles

avec des

_jets

thermiques d’atomes,

c’est-à-dire des

_jets

dans

_lesquels

les atomes ont des vitesses de

_quelques

cen-taines de _{mètres par} seconde

_{[1, 2]}

_Cependant,

les atomes ralentis et

_piégés

ont _permis

_{d’importants développements}

on sait à

_présent

réaliser des miroirs

à atomes

_[3],

des lames

_{séparatrices}

_{[4, 5],}

des lentilles et des interféromètres à ondes de matière

_{[6, 7]}

Ces derniers

_présentent

un intérêt tout

_particulier.

ils

pourraient

constituer des

_capteurs

très

_performants

de

_champs

de rotation ou

d’accélération,

inaccessibles aux interféromètres

_optiques

[1,

2, 8, 9,

10]

La

sen-sibilité des interféromètres _atomiques à deux ondes, _qui sont les seuls à avoir été

réalisés actuellement.

_pourrait

être

_augmentée

si l’on savait mettre en oeuvre des

interféromètres _atomiques à ondes

_multiples.

c est-à-dire des cavités _atomiques

semblables dans leur principe aux cavités que l’on sait concevoir _{pour des ondes}

lumineuses Ces cavités devraient de

_plus

_permettre de stocker des atomes sur

de

_longues

durées Dans ces nouveaux

pièges,

les atomes _passent la

_{plus grande}

partie

de leur

_temps

dans une zone où ils

_{n’interagissent}

_pas avec la

lumière,

contrairement à ce _qui se _passe dans les

pièges

lumineux

_classiques,

comme le

piège

magnéto-optique.

Dans ces

pièges,

l’interaction continue des atomes avec

la lumière conduit à des

_déphasages

incontrôlables des niveaux _atomiques Ils sont

de

_plus

le

_siège

d’une intense

_dissipation

liée aux _processus d’émission

_spontanée

Ces deux

_phénomènes

sont souvent

_dommageables

les

_déphasages

sont

_tragiques

si l’on désire

faire,

_par

exemple,

de la

métrologie,

et l’émission

_spontanée

induit

une _perte de cohérence

_atomique

nuisible à la réalisation des interféromètres

Dans une cavité au _contraire,

déphasages

et émissions

spontanées

n’interviennent

qu’au voisinage

des miroirs, et sont donc a _priori

plus

faciles à contrôler

Cette

_première

partie

du mémoire est consacrée à l’étude

_théorique

et

expé-rimentale d’une des cavités

_atomiques

les

_{plus simples}

que l’on puisse imaginer, que nous avons nommée cavité

gravitationnelle

Elle

présente

la

particularité

de ne

posséder qu’un

seul miroir : la

gravité

_joue le rôle du second miroir en

repliant

16

les

_trajectoires

des atomes

_{(figure 0 1).}

Figure

0 1 La cavité

_{gravitationnelle}

L’élément

_principal

de cette cavité est le miroir à _atomes, formé d’une onde lu-mineuse évanescente se

_propageant

à la surface d’un

_{diélectrique Après}

avoir

donné dans un _premier

chapitre quelques

notions

_d’optique

_{quantique qui} fa-ciliteront

_l’exposé.

nous consacrons un deuxième

_chapitre

au fonctionnement du miroir Nous discutons des conditions de rebond et du

_problème

du

_chauffage

transverse introduit _par les _processus d’émission

_spontanée

lors du rebond Nous

soulignons également

le rôle

_important

que joue la

présence

du

diélectrique

dans le fonctionnement du miroir Dans un troisième

_chapitre,

nous abordons la

réalisation

_{expérimentale}

de la cavité

_{gravitationnelle}

Nous montrons

_qu’il

est

nécessaire de courber la surface du miroir afin d’assurer la stabilité transverse

du mouvement des atomes Nous

_présentons

les résultats

_{expérimentaux}

obtenus

au cours de deux

périodes

de recherche _successives, avec deux

configurations

expérimentales

différentes A la lumière de ces

résultats,

nous discutons alors la

17

Formalisme

_général

Cette

_première

section

_présente

succinctement

_quelques

notions

_d’optique

quantique

qui rendront la suite de

l’exposé plus

aisée Il

s’inspire

en

_large

_partie

du

_chapitre

5 de la référence

_[11],

où l’on _pourra trouver des

_précisions

et des

développements

le cas échéant

I

Hamiltonien

du

_système

atome +

_champ

Considérons un atome immobile à

_l’origine

des coordonnées et ne

possédant

que deux niveaux discrets . l’état

_{fondamental g}

et l’état excité e, de

largeur

naturelle

_0393,

situé à une

énergie 03C9

0

au dessus

de g

(figure

1

1)

Figure

1.1. Atome à deux niveaux

Cet atome

_interagit

avec un

champ

laser

monochromatique, supposé

être dans un état cohérent. On

_peut

alors le décrire _par un

champ classique

[11,

_page

571],

de

_pulsation

03C9L,

d’amplitude

03B5

L

(r)

et de

polarisation

~

où

_03A6(r)

est la

_phase

du

_champ

laser en r. L’atome

_interagit

aussi avec le

_champ

de

18

l’état vide

_|0>

à l’instant initial. Le Hamiltonien du

_{système atome+champ}

dans le

_point

de vue

dipolaire électrique

et à

l’approximation

des

grandes longueurs

d’onde s’écrit

où

_H

_A

est le Hamiltonien de

_l’atome,

H

R

celui du

_champ,

et d le moment

_dipolaire

de l’atome. Dans toute la suite, nous choisissons

l’origine

des

_temps

telle que

II

Evolution de

_{l’opérateur}

densité

_atomique

03C3

A

_Equation

d’évolution

S’il était

_possible

de ne tenir _{compte que du}

_couplage

de l’atome avec le

champ

laser,

l’évolution alors cohérente du

_système

_pourrait être _{décrite par celle} du vecteur d’état

_atomique,

via

_{l’équation}

de

Schrodinger

Il est

_cependant

indis-pensable

de tenir

_compte

de l’évolution incohérente du

_système,

due au

_couplage

avec les modes vides du

champ

_qui

_apportent

fluctuations et

_dissipation

C’est en

effet l’action

_conjuguée

de ces deux évolutions _qui

_permet

à l’atome d’atteindre un

régime

stationnaire

L’opérateur

densité

_atomique

_03C3, obtenu _par trace

par-tielle de

_{l’opérateur}

densité

_global

sur les variables du _{rayonnement. permet} de

décrire correctement ces deux

_types

de

couplage

Son évolution est donnée _par

Le premier terme du membre de droite décrit l’évolution cohérente de 03C3 sous

l’effet du

_laser,

le second est associé à l’émission

_spontanée

B

_{Approximation}

du

_champ

tournant

Si on suppose que les niveaux _g et e ont des

_parités

bien défimes et

_opposées,

l’opérateur dipôle électrique,

impair, est

purement

non

_diagonal

dans la base

(|g>, |e>)

et

_peut

être écrit sous la forme :

Le terme du Hamiltonien

_{dipolaire électrique}

décrivant l’interaction entre l’atome et le

_champ

laser s’écrit alors

En l’absence de

_champ

laser et d’émission

_spontanée,

_{|e><g|}

_précesse

en ei03C90t et

|g><e|

en

e

-i03C9

0

t

Si nous

supposons le champ

laser

quasi-résonant

avec la transition

atomique,

c’est-à-dire

_|03C9

_L

_-

_03C9

₀

_|

« 03C90, les deux premiers termes de la

parenthèse

sont lentement

_variables,

alors que les deux derniers oscillent à

grande

vitesse

nous les

négligerons ;

c’est

l’approximation

dite "du

champ

tournant"

On

_peut

donner une

interprétation physique simple

aux différents termes de cette

_parenthèse

Le _premier terme

_représente

un _processus au cours

_duquel

l’atome _passe de

_{l’état g}

à l’état e en absorbant un

photon,

le second un _processus au cours

duquel

il _{passe de} e

à g

en émettant un

photon

ces

phénomèmes

auront

une _part

_plus

_importante

dans l’évolution du

_système

_que ceux

représentés

_par

les deux derniers _termes,

_{respectivement}

_passage

_{de g}

à e avec émission d’un

photon

et _{passage de} e

à g

avec

absorption

d’un

photon

(processus

hautement non

résonants)

Dans toute la _suite, nous écrirons donc le Hamiltonien d interaction entre l’atome et le

_champ

sous la forme

où

03A9

1

(r)

est la

_fréquence

de Rabi associée au

couplage

entre l’atome et le

_champ

laser

en r Notons que _{pour que} le modèle de l’atome à deux niveaux reste

_réaliste,

c’est-à-dire

_{qu’on puisse négliger}

les

_couplages

avec d’autres niveaux

_atomiques,

il faut _que

Cette condition doit aussi être vérifiée si l’on veut

_négliger

les modifications de l’émission

_spontanée

liées à la

_présence

du _rayonnement incident

C

_Equations

de Bloch

_optiques

Revenons au terme d’amortissement

_(d03C3/dt)

_sp

qui

apparaît

dans

l’équation

20

Les termes 03C3ee et _03C3gg

représentent

respectivement

la

population

de l’état

fonda-mental g

et de l’état excité e. Les termes non

_diagonaux

_03C3eg et _03C3ge sont

_appelés

cohérences _optiques. Ces

_équations

traduisent le transfert de

_population

de l’état

excité e vers l’état

fondamental g

_par émission

spontanée

(équations (1 11)

et

(1 12)),

et l’amortissement des cohérences

_optiques

_(équations

_{(1 13)}

et

_{(1 14))}

Notons que cette évolution laisse la somme des

populations

de l’état excité et de

l’état fondamental constante au cours du

_temps.

L’évolution cohérente

présente

la même

_propriété,

si bien

qu’à chaque

instant on vérifie

En notant

_qu’avec

nos conventions

_(g

état

_{fondamental),}

le Hamiltonien de

l’ato-me au _repos s’écrit

on

_peut

développer l’équation

d’évolution de la densité

atomique 03C3

(1 4)

sur la

base

_{(|g>, |e>)}

en utilisant la relation

(1 8)

et les

équations

(1

11)

à

(1

16)

Afin

d’éliminer la

_{dépendance temporelle explicite}

dans les

_équations

recherchées,

on

effectue le

_changement

de variables

On obtient les

_{équations suivantes, appelées équations}

de Bloch

_optiques.

où 03B4

L

= _{03C9L - 03C90 est} le désaccord entre la

fréquence

_03C9L du laser et la

fréquence

D Autre

forme

des

_équations

de Bloch

_optiques

Il est souvent

_pratique

d’utiliser les variables suivantes,

appelées

composantes

du vecteur de Bloch

Réexprimées

en fonction de _u, v _{et w,} les

équations

de Bloch

_optiques

s’écrivent,

en utilisant en

particulier

la conservation de la somme des

_populations

de l’état

fondamental et de l’état excité

L’interprétation

des

_composantes

u et v est

_suggérée

_{par le} calcul de la valeur moyenne de

l’opérateur dipôle

atomique

d

Les _composantes u et v sont donc

_{respectivement}

_{proportionnelles}

aux

com-posantes

de

_{( d )}

en

phase

et en

quadrature

avance avec le

_champ

incident

L’interprétation

de w est

_{plus simple}

ce _qui montre _{que w +}

_1/2

donne la

_population

de l’état excité e de l’atome à

chaque

instant

E Etat

stationnaire

Après

un

régime

transitoire de constante de

_temps

caractéristique

de l’ordre

22

de Bloch

_{optiques :}

que l’on exprime souvent en fonction du

_paramètre

de saturation s

Pour une saturation s »

_1,

_{remarquons que} les

_populations

de l’état fondamental

et de l’état excité sont

_égales.

_03C3

_st

_ee

=

03C3

st

gg

=

1/2

La transition est alors dite saturée

F Nombre

_moyen

de

_photons

absorbés

_par

unité de

_temps

Entre t et

_{t + dt,}

l’électron

_atomique

se

_déplace

d’une

_quantité

dr et le

_champ

incident

_E

_L

_(r,

_t)

effectue sur lui un travail dW

Compte

tenu du fait _que

_{e(r) = (d),}

_{la puissance moyenne} absorbée _par l’atome

vaut donc

Lorsqu’on

reporte

dans

_{(1 41)}

_{l’expression}

de

_(d)

donnée en

(1.33),

et _{que l’on}

moyenne sur une

période

_optique,

il _vient, en utilisant la définition

(1 9)

de la

fréquence

de Rabi

Remarquons

que la

puissance

moyenne absorbée n’est liée

qu’à

la composante

en

quadrature

v du

dipôle

_moyen de l’atome En divisant cette _{puissance par}

l’énergie 03C9

L

d’un

_{photon incident,}

on obtient le nombre moyen de

photons

En

_régime

_{stationnaire,}

le nombre de

_photons

absorbés _par unité de

_temps

est

égal

au nombre de

photons

émis

spontanément

_par unité de

_temps,

ce _qui

_permet

d’écrire,

en utilisant les

expressions

données en

(1 39)

de _{vst et}

03C3

st

ee

.

expression

que nous utiliserons souvent par la suite

III

Forces

radiatives

_moyennes

_{s’exerçant}

sur

l’atome

Nous avons considéré

jusqu’alors

un atome infiniment

lourd,

immobile à

l’ori-gine des coordonnées Si l’on veut tenir

compte

des

degrés

de liberté externes, il

faut

_remplacer

le Hamiltonien

_{(1 2)}

_par

où P et R sont

_{l’impulsion}

et le centre de masse de l’atome. et m sa masse Le

champ classique

et le

_champ

de

_rayonnement

_quantique sont maintenant évalués

au centre de masse de l’atome

A

_Equation

du

mouvement

du

centre

du

_paquet

d’ondes

atomique

Les

_équations

de

_Heisenberg

_pour R et P s’écrivent

L’équation

(1 47)

prise en valeur moyenne sur la fonction d’onde _atomique donne

l’équation

d’Ehrenfest

Soit rG =

(R)

le centre du

paquet

d’ondes

atomique.

Le membre de

gauche

de

_{(1 48)}

n’est autre _que mrG. Pour évaluer le membre de

droite,

nous allons

24

(i)

Limite des

_petits

_paquets

d’ondes

_atomiques

Compte

tenu de la valeur élevée de m, la

longueur

d’onde de de

Broglie

de

l’atome, 03BB

dB

=

h/mv,

_{est en}

général

beaucoup plus

petite

que la

longueur

d’onde

_optique,

_qui caractérise l’échelle des variations

_spatiales

du rayon-nement incident. Il est donc

_possible

de construire des

_paquets

d’ondes dont les dimensions sont très

_petites

devant la

_longueur

d’onde lumineuse Pour de tels

_paquets

_d’ondes,

il est tout à fait

_légitime

de

_remplacer

au second

membre de

_{(1 48)}

_{l’opérateur}

R _par sa valeur moyenne

( R )

= _rG

On

_peut

montrer _par ailleurs que le dernier terme de

_{(1 48),}

_qui

_représente

la contribution du

_gradient

du

_champ

_quantique

en rG, est nul

_[11.

_page

382]

L’équation

(1 48)

s’écrit alors

Le second membre _peut alors être

_interprété

comme la force _qui

_régit

le

mouvement du centre du _paquet d’ondes

_atomique,

force _qui s _exprime en

fonction du _rayonnement incident évalué en _rG

(ii)

Existence de deux échelles de

_temps

distinctes _pour l’évolution des

_degrés

de liberté interne et externe

Comme nous l’avons vu

plus

haut,

les

_degrés

de liberté internes de l’atome évoluent sur des échelles de _temps de l’ordre de

_T

_int

= 0393-1

(ou

03A9

-1

1

si

03A9

1

0393)

Nous ne considérons ici _que des atomes de vitesse v très

_faible,

dont le

_déplacement

vT

int

est

_supposé

très _petit devant la

_longueur

d’onde

lumineuse On

peut

montrer _que sous l’effet des forces

radiatives,

la vitesse

évolue sur des échelles de

_temps

de l’ordre de

T

ext

=

/E

rec

[11,

page

359],

où

_E

_rec

₌

₂

_k

₂

_/2m

est

_l’énergie

de recul de l’atome lors de

_{l’absorption}

d’un

photon d’impulsion

k Pour la

_plupart

des _{transitions permises,} 0393 »

_E

_rec

_,

ce _qui entraine

_T

_int

«

T

ext

1

La

_grande

différence entre ces deux _temps

implique

que, si l’atome est initialement immobile en _rG =

0,

le

dipôle

moyen

( d )

a le _temps d’atteindre le

régime

stationnaire avant _{que rG} n’ait

changé appréciablement

sous l’effet de la force radiative _moyenne écrite au second membre de

(1.49)

Dans la _suite, nous nous intéresserons à

la force radiative _moyenne

_{s’exerçant}

sur un atome initialement immobile

en 0 Nous pourrons

donc,

_pour calculer une telle

force, remplacer

dans

l’expression

de la force

_(1.49)

la _moyenne

_<d

_j

_>

_par sa valeur stationnaire.

1

Si l’on considère un atome avec plus de deux niveaux il _{peut apparaître} des _temps internes

B Les deux

_types

de

force

_pour

un atome

initialement

immobile

En utilisant

_{l’expression}

_{(1 1)}

du

_champ

incident et la convention

_{(1 3)}

sur sa

phase,

on calcule

l’expression

du

gradient

_qui

apparaît

dans

l’équation

du

mouvement

_{(1 49)}

Par

_ailleurs,

en utilisant

_{l’expression}

de la valeur moyenne du moment

_dipolaire

( d )

donnée _par

_(1.33),

nous _pouvons écrire

Reportons

ces _expressions dans celle de la force

régissant

le mouvement du

_paquet

d’ondes

_atomique,

donnée en

(1 49)

La force radiative _{moyenne F qui s’exerce} sur l’atome est obtenue en _prenant la moyenne sur une

période

_optique

de la

relation obtenue On _peut

_l’exprimer

en fonction de la

fréquence

de Rabi

03A9

1

définie en

(1 9)

On voit

_apparaître

deux

_types

de force une force

proportionnelle

au

gradient

d’amplitude

du

_champ,

nommée

_{force dipolaire,}

et une force

proportionnelle

au

gradient

de

_phase,

nommée

_force

_{de pression de} radiation

En

_remplaçant

ust et vst par leurs

valeurs,

données en

(1 39),

on obtient une

expression de

F

dip

et de

F

pr

en fonction du

paramètre

de saturation s.

C Pression de

radiation

L’exemple

le

_{plus simple}

d’onde lumineuse

_possédant

un

gradient

de

phase

26

dont la

_phase

en r est donnée _par.

Son

_amplitude

étant

_constante,

aucune force

dipolaire

ne s’exerce sur un atome

plongé

dans une telle onde Il subit en revanche une force de _pression de radiation

F

pr

,

qu’on

calcule à

_partir

de

_{l’expression générale}

_{(1 55)}

soit, si on

reprend l’expression

de

03C3

st

ee

donnée en

(1 39)

On

_peut

donner une

interprétation simple

de ce

résultat,

en considérant

l’aspect

corpusculaire

de la lumière Cette

_{interprétation}

est,

en toute _rigueur,

_discutable,

car nous n’avons _pas

quantifié

le

champ

_pour obtenir

l’expression

de la force

_F

_pr

Nous la donnons

_malgré

_tout,

_pensant

_{qu’elle présente}

un caractère illustratif

indéniable

Un

_photon

incident

_transporte

une

impulsion

hk

L

,

qu’il

transmet à l’atome

lorsque

ce dernier l’absorbe Si l’atome retourne à l’état fondamental par émission

spontanée,

sa

_perte

d’impulsion

est nulle en _moyenne car cette émission _peut avoir

lieu avec des

probabilités égales

dans deux directions

opposées

(émission isotrope)

Ainsi, l’impulsion

moyenne

gagnée

par l’atome par unité de

temps,

c’est-à-dire la force moyenne

qu’il

subit est

_k

_L

_multiplié

_{par le nombre de}

_{photons spontanés}

émis par unité de

temps,

c’est-à-dire

_039303C3

_st

_ee

_,

ce _qui

_permet

de retrouver

_{l’expression}

de la force

_{(1 59)}

D Force

_dipolaire

Il est

_possible

de donner une

interprétation physique

de la force

dipolaire,

en considérant un atome

_plongé

dans une onde lumineuse

présentant

un

gra-dient d’intensité On montre alors _que cette force est associée _{à des processus}

d’absorption-émission

stimulée de

_photons

qui, associés à l’émission

spontanée,

conduisent à une

redistribution

d’énergie

dans l’onde Le calcul de la variation

de

_{l’impulsion}

_atomique

lors de ces _processus

_permet

de retrouver

_{l’expression}

de

la force

_dipolaire

_[12].

Cette force est l’outil essentiel

du

travail

_présenté

dans ce

mémoire. Nous allons donc maintenant

_{développer quelques-unes}

de ses

1 Potentiel

_dipolaire

La force

_dipolaire

est _{conservative,} et dérive donc d’un

_potentiel

_U(r)

donné par

Dans toute la suite de

_l’exposé,

nous nous

placerons

dans des situations _pour

lesquelles

le

_paramètre

de saturation s est faible

_(s(r)

«

_1),

et le désaccord 03B4

toujours

très

_supérieur

à la

_largeur

0393 de l’état excité e ainsi

qu’à

la

fréquence

de

Rabi

03A9

1

.

Sous ces

conditions,

le

potentiel dipolaire

s’écrit

plus simplement

La

_population

de l’état excité

_03C3

_st

_ee

_~

_s/2

est de

_plus

très _petite devant celle de 1 état

fondamental _g Ce

_potentiel

_peut

donc être

_interprété

comme un

déplacement

0394E

g

de

_l’énergie

de l’état

_{fondamental g}

sous l’effet du

couplage

avec le

champ

laser,

d’où le nom de

déplacement

lumineux

qu’on

lui donne souvent.

L’expression

du

_déplacement

_0394E

_g

_peut

être directement déterminée _{par la} théorie des

_{perturbations,}

le

_paramètre

de saturation s étant faible Il faut _pour

cela

_quantifier

le

_champ,

et considérer des états du

_{type |g}

_{(ou e), N),}

où N est le

nombre de

_{photons présents}

dans le mode associé au

champ

laser Ces états sont

en effet les états propres du Hamiltonien du

système lorsqu’on

ne

prend

_pas en

compte l’interaction entre l’atome et le

_champ

On traite cette interaction comme une

perturbation

et l’on obtient, au second

ordre,

le

déplacement

recherché

où V est le Hamiltonien d’interaction

_{dipolaire électrique}

entre l’atome et le

champ,

semblable au Hamiltonien donné par la relation

(1 8),

mais _pour

lequel

le

_champ

laser est

_quantifié

_[11,

_page

_395]

On retrouve dans cette _expression

le processus

d’absoption

d’un

_photon

du

_champ

laser

_accompagné

_{du passage de}

l’état g

à l’état e, suivi de l’émission stimulée d’un

photon

dans le même mode

du

_{champ, accompagné}

du retour de l’atome dans

_{l’état g Remarquons}

que

le calcul du

_{déplacement 0394E}

_e

de

_l’énergie

du niveau excité e

_peut

être effectué

suivant la même méthode. On obtient le même

résultat,

au _signe

près,

_{puisque le}

dénominateur

_d’énergie

de la relation

_{(1 62)}

est cette fois

_égal

à -03B4. La

_figure

1 2 illustre les

_{déplacements}

lumineux de l’état

_{fondamental g}

et de l’état excité

e

lorsqu’un

atome "traverse" une zone de

l’espace

dans

laquelle

se trouve localisé

un

champ

laser

Notons _que dans le cas d’un désaccord 03B4

positif,

le

potentiel

U est lui aussi

28

Figure

1 2

_{Déplacements}

lumineux des états internes e et _g d’un atome à deux

niveaux induits _par un

champ

laser localisé. Le désaccord 03B4 =

03C9 L

- 03C90 est ici

négatif

le désaccord 03B4 est

_négatif,

l’atome est attiré _par ces mêmes zones Ces effets

sont d’autant

_{plus marqués}

que le

gradient

de

champ

est

important

On pressent

donc l’intérêt de recourir à une onde évanescente _pour réaliser un miroir à atomes

le

_champ

associé à l’onde

_présente

un

gradient particulièrement

élevé,

_{puisqu il}

passe d’une valeur

comparable

à celle du

champ

incident à une valeur très faible sur une

longueur

de l’ordre d’une

longueur

d’onde _optique En choisissant un

désaccord 03B4

_positif,

on

_parvient

ainsi à créer un

potentiel répulsif

élevé et très

localisé

2 Emission

_spontanée

Nous discutons ici des

_phénomènes

d’émission

_spontanée

entre niveaux

dé-placés

par le

champ laser,

toujours

sous les

hypothèses

d’un

paramètre

de

sa-turation s faible et d’un désaccord 03B4

grand

devant la

largeur

0393 de l’état excité

Nous nous

plaçons

dans une situation

identique

à celle décrite

ci-dessus,

où un

atome "traverse" une zone de

_l’espace

dans

laquelle

se trouve localisé un

champ

laser Comme nous l’avons

déjà souligné,

hors de la zone d’interaction entre

l’atome et le

_champ,

_{les états propres du}

_système

sont les états du _type

_{|g, N)}

et

_|e,

_N)

_Lorsque

l’atome

_pénètre

dans la zone

d’interaction,

les états

d’énergies

voisines vont être

_couplés,

et chacun des états initiaux est contaminé _par un état

d’énergie

voisine.

Ainsi,

l’état

|g, N>

d’énergie

E =

N03C9

L

est contaminé _par

l’état

_|e,

N -

_1),

_d’énergie

E

_{= 03C9}

₀

+

_{(N - 1)03C9}

_L

_,

et l’état

_{|e, N)}

est contaminé

par l’état

|g, N+1).

On

appelle multiplicité

chacun de ces groupes de deux états

Le

_couplage

entre états restant

_faible,

on _passe

adiabatiquement

des états non

en

_interaction,

et nous les noterons

_{|1, N>}

et

_{|2, N>}

On

_peut

les écrire sous la

forme

où la

_paramètre

~ traduit le

couplage

entre le

_champ

laser et

_l’atome,

et vérifie

donc |~|

« 1 dans notre cas. Le passage des états non

couplés

aux états

couplés

lors de la traversée de la zone d’interaction est

_représenté

sur la

figure

(1 3),

_qui

illustre aussi les

déplacements

des

énergies

des niveaux

correspondants

Figure

1 3 Evolution des états _propres du

_{système atome+champ}

et

_{déplacements}

des

_énergies

des niveaux

correspondants

lors de la traversée de la zone

d’interac-tion Le désaccord 03B4 = _{03C9L - 03C90} est ici

positif.

A l’aide de cette

_{représentation,}

dite de "l’atome habillé"

_[11,

_page 389 et

suivantes],

on _peut mettre en évidence deux

_types

de processus d’émission

spon-tanée,

illustrés sur les

figures

1 3 et

_{1 4,}

et _que nous allons détailler L’atome

étant

_{initialement dans}

l’état

_{|g, N>,}

on va le trouver dans l’état

_{|1, N)}

lors de sa

traversée de la zone laser. La

présence

de l’état e dans cet état _propre autorise une émission

spontanée

vers un autre état _propre du

_système,

pourvu que

celui-ci contienne

_{l’état g}

et

_qu’il

se situe dans une

multiplicité d’énergie

inférieure à

30

2022 Soit l’atome _passe de l’état

|1, N)

à l’état

|1, N - 1)

L’interprétation

per-turbative de ce _processus, donnée sur la

figure

1 4

(a),

correspond

à un

processus de diffusion

Rayleigh,

i.e.

absoption

d’un

photon

du

_champ

laser

et émission d’un

_{photon spontané}

La

_probabilité

d’observer un tel proces-sus est

_{proportionnelle}

à

_|~|

₂

_,

_produit

du carré du

_poids

de l’état interne

e dans l’état de

départ

|1, N>

_par celui du

poids

de l’état _g dans l’état

d’arrivée |1, N - 1)

2022 Soit l’atome passe de l’état

|1, N>

à l’état

|2, N - 1)

L’interprétation

per-turbative de ce second _processus est donnée sur la

figure

1 4

(b).

l’atome

passe de g à e en absorbant deux

photons

du

champ

laser et en émetttant

d’un

_{photon spontané}

La

_probabilité

d’observer un tel _processus est

pro-portionnelle

à

_|~|

₄

_,

_produit

du carré du

_poids

de e dans l’état de

_départ

|1, N>

par celui du

poids

de

l’état g

dans l’état d’arrivée

|2, N 20141)

Comme la

_probabilité

d’observer un _processus

Rayleigh

est

_{proportionnelle}

à

_|~|

₂

et

_{que |~|}

«

_1,

ce second _processus d’émission

spontanée

est

_négligeable

devant le processus de

diffusion Rayleigh

Dans toute la suite de

_l’exposé,

nous n’en tiendrons _{pas compte}

Figure

1 4 Processus d’émission

_{spontanée possibles.}

_(a)

Processus

_Rayleigh

_(b)

Processus d’ordre

_supérieur.

Nous en avons maintenant terminé avec

l’exposé

du formalisme

général

de

l’in-teraction entre un atome et un

champ laser,

et _pouvons passer à la

description