Théorie de Kummer-Artin-Schreier et applications

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

N

ORIYUKI

S

UWA

T

SUTOMU

S

EKIGUCHI

Théorie de Kummer-Artin-Schreier et applications

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

7, n

o

_{1 (1995),}

p. 177-189

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Théorie de

Kummer-Artin-Schreier

et

_applications

par

Noriyuki

SUWA et Tsutomu SEKIGUCHI

Introduction

Soit p un nombre

premier

et soit K un _corps. La théorie de Kummer

dit _{que si} .K est de

_{caractéristique #}

p et K contient les racines

_p-ième

de

l’unité,

toute extension

_cyclique

de K de

_degré

p est obtenue par

adjonction

d’une racine

_p-ième

d’un élément de ~. Ceci est une

_conséquence

des faits

suivants:

(1)

Si K est de

_{caractéristique #}

p, la suite de schémas en _groupes sur

.K

-est exacte pour la

_topologie

étale sur

_SpecK.

est le _groupe

multiplicatif

sur

K);

(2) (Hilbert 90)

H;t(K,Gm,K)

= 0.

D’autre

_part,

la théorie d’Artin-Schreier dit que si K est de

caractéristique

p, toute extension

cyclique

de K de

degré

p est obtenue par

adjonction

d’une racine de

_l’equation

T =

a (a

_E

K) .

Ceci _{est une}

conséquence

des faits suivants:

(1)

Si K est de

_{caractéristique}

_p, la suite de schémas en _groupes sur K

est exacte _pour la

_topologie

étale sur

_SpecK

est le _groupe additif sur

~) ;

(2)

O.

(Voir

SGA

_4,

_Exp.

IX _pour un

_argument

extrêmement

développé.)

Il est intéressant de décrire les extensions

_cycliques

non-ramifiées de

degré

p d’un anneau A de

caractéristiques

mixtes 0 et _p.

_Quand

A contient les racines

_p-iémes

de

_l’unité,

ce

problème

a été résolu _par

_Purtwângler

(théorie

des nombres

_p-primaires

_(1~,

_[2])

bien

_qu’il

ait restreint son étude

à l’anneau des entiers d’un _corps de nombres. Récemment ses résultats

ont été formulés dans le cadre de la théorie de

_cohomologie

de schémas en

groupes par Waterhouse

[10]

et

[6]

indépendamment.

Dans cet

article,

nous

expliquons

brièvement

_l’esquisse

de la théorie et ses

applications.

Voici

_{l’organisation}

de l’article un _peu

plus

en détail. Nous

_rappelons

quelques

formalismes sur les schémas en _groupes reliant le _groupe

multi-plicatif

et le _groupe additif dans la section

_1,

et la suite exacte

de schémas en _groupes unifiant les suites exactes de Kummer et

d’Artin-Schreier. La

_plupart

des résultats sont retirés de

_[6],

_qu’on

consultera _pour les détails. Nous

_ajoutons

une

description

des extensions non-ramifiées

cy-cliques

d’ordre p d’un anneau

_{local, analogue}

aux théories de Kummer et

d’Artin-Schreier

_rappelées

au début dans l’introduction. Ce cas le

_plus

élémentaire a

échappé

à

[10]

et à

_[6].

Dans la section 3 nous

développons

pour les schémas

arithmétiques

l’argument

de

Furtwângler

~1~, [2],

surtout

la théorie de nombres

_p-primaires.

On arrive enfin à un

acconplement

non-dégénéré CHO (X)

x

(X ) ---&#x3E;

_pp

_quand

X est

_{régulier, plat}

et

_projectif

sur

l’anneau des entiers d’un corps de nombres contenant

_Q(tip).

Nous tenons à remercier Humio Ichimura _pour nous avoir introduit aux

travaux de

_Furtwangler.

Notations

Pour un schéma

S,

le _groupe additif sur S

le _groupe

_{multiplicatif}

sur S

Ker(p : Gm,s

--

Pic(S)

= le _groupe de Picard de S

Pour un anneau commutatif

_B,

B X = le

groupe

multiplicatif

des unités de B

Pic(B)

=

Pic(Spec B):

le

group de Picard de B

=

Hl (Spec

B,

Z /p)

1. Schéma en _groupes

9()’)

1.1.

Soient A un anneau

(commutatif), À

e A et

_Ao

=

A/(À).

Définissons un schéma en _groupes commutatifs

~~a~,

lisse et affine sur A _par

~~~~ _

Spec

AT,

1

muni de loi de _groupe: L

(1) (multiplication)

(2) (unité)

T H

_0;

(3) (inverse)

T ~--&#x3E;

_1).

D’ailleurs on définit un

homomorphisme

de schémas en _groupes

... -t

par

Si À est inversible dans

_{A, a(’~) :}

_9(’X)

--~

_Gm,A

_est un

A-isomorphisme.

D’autre

_part,

si À =

0,

!9(À)

n’est autre _que le _groupe additif

(cf.

[6],

Ch.I.)

On _{remarquera que}

o:(À) :

_g(~’)

-~

Gm, A

n’est _pas

injectif

si À

n’est _pas

_inversible;

_{Ker [a(À) :}

ç(À)

-~ est

isomorphe

au _noyau de

l’homothétie sur

Ga, A

_par À.

THÉORÈME

1.2. Soit X un A-schéma. Alors la suite de

faisceaux

abéliens

sur X

est exacte _pour la

_topologie

étale.

_(Xo

= X _OA

Ao

_et i :

Xo --~

X

_désigne

l’immersion

_{f ermée}

_canonique,

et

_{Ga {1B1 =}

Ker

_{[À :}

Si À n’est _pas diviseur de zéro et X est

_plat

sur

A,

la suite de faisceaux abéliens sur X

est exacte _pour la

_topologie

étale.

On

_peut

vérifier

_{l’assertion,}

en

_passant

à la fibre

géométrique

en

_chaque

COROLLAIRE 1.3.

_(Hilbert

₉₀₎

Si A est un anneau

_local,

on a

En

_effet,

_posons G = Ker Alors on obtient une suite

exacte

. w ,! __1 ,..." _..1 , .. - 1

L’ application

canonique

A" -~

Aô

_est

_surjective

_et

H 1 (A,

=

Pic(A) =

0,

A étant

_local,

_{et par} suite 0. Considérons maintenant une

suite exacte

A})

= 0 _comme

Ga (À)

représente

_un faisceau

quasi-cohérent

_sur

Xet.

D’où le résultat.

Remarque

1.4.

Si .~ est

_nilpotent,

on a

même si A n’est pas local.

1.5.

Soient X un schéma et Y un sous-schéma fermé de X. Soient

_~C,

,C’

des faisceaux inversibles sur

_X,

triviaux sur Y et h :

Oy 00x £,

h’ :

_{Oy El}

_{Oy 00x}

£’ des

_{Oy-isomorphismes.}

_{(~C, h)}

et

_{(C’, h’)}

seront

dit

_équivalents

s’il

existe

un

C7X-isomorphisme g :

,C

;C’ tel _que le

diagramme

-siot commutatif. Posons

Définissons une

_{multiplication}

sur

Pic(X, Y)

_par

h) - (£’,

h’) _

(£

_®~X

£’, hh’) .

Alors

_Pic(X,

_Y)

est un _groupe commutatif. Si Y est

_vide,

Pic(X, Y )

n’est autre que le groupe de Picard de X.

On suppose maintenant

que À

n’est pas diviseur de zéro et X est

plat

EXEMPLE 1.6.

_([6],

_Ch.II,

1.5 et

_2.9)

Soit

_{f :}

X -

_SpecA

un

_morphisme

propre et

plat,

à fibres connexes et réduites sur A. Si À n’est _pas diviseur

de

_zéro,

on a

- . - -/,B -- .-- - . ,

- 1 - _" , B - - .- - . - - ..

De

_plus,

si

_{l’application}

_canonique

A x -+

_Aô

est

_surjective,

on a

En

_particulier,

si A est un anneau local strictement hénselien et X est un

schéma

_abélien,

on a

Reamrque

1. 7.. Soient X un schéma et D un diviseur de Cartier effectif

de X. Il existe alors un schéma en _groupes commutatifs lisse

et affine sur

_X,

tel que

Gm(-D)

soit

_isomorphe

à

sur le site étale de X .

(i :

D -&#x3E; X

désigne

l’immersion fermée

canonique.)

D’ailleurs, Hl

(X,

est

_isomorphe

à

_Pic(X,

_D).

Par

_exemple,

si A

est l’anneau des entiers d’un _corps de nombres

_K,

X =

Spec A

et D est un diviseur effectif de

_X,

=

Pic(X, . D)

_est

isomorphe

_au

groupe des classes de rayon de K modulo D.

2. Théorie de Kummer-Artin-Schreier

2.1.

Soit p un nombre

_premier.

Posons Ç

=

e27ri/p,

À

= ~ 2013 1,

A =

7~~~~

_et

K =

Q«).

Alors

(À)

_{est un} idéal

_premier

de

A,

et _{on a}

(p)

dans

A et

_{A/(A) =}

_~~.

Définissons un

homomorphisme

de schémas en _groupes sur A _par

Alors

_{Ker p}

=

Spec A [T,

_est

isomorphe

_au

en _groupes sur

A,

avec

lignes

exactes

Par

_suite,

la suite exacte

est

_isomorphe

à la suite de Kummer

D’autre

_part,

la suite exacte

n’est autre _que la suite d’Artin-Schreier

On

_appellera

la suite exacte

suite de Kummer-Artin-Schreier ou de

_Fourwangler

(cf.

[10], 6,

_{Ch.Il. ) .}

Soient X un A-schéma et

Xo

= X _QS)A

Fp.

En

_prenant

la

cohomologie,

on obtient un

_diagramme

commutatif au

_signe

_près,

avec

_lignes

exactes

THÉORÈME

2.2. Soit B une

A-algèbre.

On _{suppose que:}

(1)

A est

_nilpotent

dans

_B,

ou

(2)

B est un anneau local.

Alors

Hl

_{(B, Z/p)}

est

_isomorphe

à (

2.3.

On

_peut

formuler

_{plus explicitement}

l’assertion de 2.2. Soit B une

A-algèbre

locale. Alors toute extension de

_B,

non-ramifiée

_cyclique

de

_degré

p est obtenue par

adjonction

d’une racine de

l’équation

Wp (T)

= a

(a

E

_B).

Soient

et

Alors =

Z /p

est

engendré

_par 9 H

_{(0 + 1.}

(Théorie

de

Kummer-Artin-Schreier).

Posons d’ailleurs

Alors

_E(0)

_engendre

une base normale de l’extension

C/B

non-ramifiée

cyclique

de

_degré

_p

_{(cf. [3],}

_[7]).

2.4.

Soient maintenant B une

A-algèbre,

Bo

=

B/(A)

et

Bl

=

Posons

--Si B est

_plate

sur

A,

on a une suite exacte

Les éléments de

_{E2 (B~}

_{correspondent}

aux extensions de B non-ramifiée

2.5.

(cf.[6],Ch.II,3.2

et

_3.4)

En

_outre,

soient X un schéma _propre et

plat,

à

fibres connexes et réduites sur

_{B, Xo}

= X _®$

Bo

et

X l

= X _0~

Bi .

Alors on a une suite exacte

Si B est un anneau

local,

on a

et

d’après

2.2 et 1.6. On en obtient une suite exacte

En

_particulier,

si B est un anneau local strictement

hénselien,

on a

...

-De

_plus,

si X est un schéma abélien sur

B,

on a

3. Autour de

_Furtwângler

3.1.

Posons

= et À

= ~ -1.

Soient L une extension

algébrique

de

Q«),

B l’anneau des entiers de L et

Bo

=

Bj(À).

Soient X _un schéma

irréductible et

_réduit,

_plat

sur B et

K(X)

le _corps des fonctions rationnelles

de X .

_Désignons

_par

_C~~

le localisé de X en

Q

et _par le corps résiduel

de

_C~~

_pour

_{chaque Q}

E X. Soient R :

et

_{RQ :}

_{H1(OQ, Zjp) --+}

_H1(K(X),

_Z/p)

les

_{homomorphismes}

induits _par les

_{morphismes canoniques}

_{Spec K(X)}

--+ X _et

Spec K(X) --&#x3E; Spec()Q

réspectivement.

Alors on a

D’après

les théories de Kummer et de

_{Kummer-Artin-Schreier,}

on a le

THÉORÈME

3.2. Soit X un schéma irréductible et

réduit,

plat

sur B. ~ on a

3.3.

Soit

_f

E Nous

_dirons,

en suivant

_Furtwângler

_([1],

Def.

_10),

que

f

est

_p-primaire

ou

_primaire

(relativement

à

X)

si

f

E

₍₁

+

(K(X) X)P

pour

chaque point

Q

E X de

_{craractéristique}

_p.

THÉORÈME

3.4. Soit X un schéma connexe et

_normal,

_plat

sur B. Alors on a

En

_effet,

X étant

_normal,

R :

_Hi(K(X),

_Z/p)

et

_{RQ :}

sont

_injectifs

_pour

_{tout Q}

E X

_(SGA

_1,

Exp.V,

Prop.8.2.).

3.5.

Supposons

maintenant X

_régulier.

Par le théorème de

_pureté

de

Zariski-Nagata

(SGA

2,

Exp.X,

Th.3.4.),

on a

Soit

_f

E

_{K (X) 1.}

Soit

_Q

un

_point

de X de codimension 1. Alors

_C~Q

est

un anneau de valuation discrète.

Désignons

_par

ordq

la valuation additive

normalisée de

_{OQ .}

Si

_f

E Im

_RQ,

on a

_{ordqf =-}

0 mod _{p par} 3.2.

_Donc,

si

f

E

_{Im RQ}

_pour

_chaque

_Q

E X de codimension

_1,

il existe un diviseur D

de X tel _que

_{div (f )}

=

pD.

soit -f

E Nous

_dirons,

en suivant encore

Furtwângler ([2]),

_que

f

est

_p-singulier

ou

singulier (relativement

à

X)

s’il existe un diviseur D

et

On obtient le résultat suivant:

THÉOR,ÈME

3.6. Soit X un schérraa connexe et

_{régulier, plat}

sur B. Alors on a

et une su2te exacte

3.7.

On _{suppose maintnant que} L est fini sur

Q«),

et totalement

_imaginaire

si p

=

2,

_{et que} X est

projectif

sur B. Alors le _groupe de Chow

des

_0-cycles

sur X est fini et

l’application

d’Artin induit un

isomorphisme

CHo (X)

~

_compatible

à l’action de

_{Gal(L/Q) (Kato-Saito}

_[4],

Th.6.1 et

_Th.9.10).

On a donc un

Gal(L/Q)-isomorphisme

. D’autre

part,

l’injection

induit un

Gal(L /Q)-isomorphisme

On en obtient un

Gal(L/Q)-isomorphisme

Si les fibres de X sur B sont connexes et

_réduites,

_{El (X)}

=

_{El (B).}

Par

consé-quent,

on obtient

pour tout

caractère X :

{w est

le caractère

cyclotomique

et

E~x~ désigne

la

_composante

_propre d’un

_{Fp[Gal(L/Q)]-module}

E _pour un

caractére X :

Gal(L /Q) -

_{Fg .)}

Quand

X =

Spec

B,

CHo(X)

=

Pic(X)

est

le _groupe des classes d’idéaux de

_L,

et on retrouve

_l’argument

de

_Leopoldt

sur le

Spiegelungsatz

[7].

3.8.

Nous allons terminer cet article en donnant une

déscription

de

l’isomor-phisme

~(X)

Soient

f

E et P un

_point

fermé de X de

caractéristique =1=

_p.

Quand f

E

_Op,

on

désigne

par

la racine

p-ième

telle _que

(P)P

où

_N(P)

est l’ordre du _corps résiduel

_k(P).

Soit maintenant Z

_{= ~ p}

nPP

un

0-cycle

de

X, premier

à p.

Quand

Par

_ailleurs,

on voit que le

symbole

P

est bien défini _pour

_f

z p

et Z E

_CHO(X),

en

_remarquant

les faits suivants:

(1)

si

_{= 1 ;}

Z p

(2)

si

_f

est

_singulier

et

_primaire,

et Z est rationnellement

_équivalent

à

0, on a

(Z)P

=1.

’

° "

La

_bijectivité

de

_{l’application}

d’Artin

_{CHO (X) -}

_1rl(x)ab

entraîne _que la forme bilinéaire

, -1

est

_{non-dégénérée.}

Remarque

3.9. Il existe une suite exacte de schémas en _groupes sur

qui

unifie les suites de Kummer et d’Artin-Schreier-Witt de

degré

pn.

On en obtient une

déscription

des extensions non-ramifiées

cy-cliques

de

_degré

_p~

d’un anneau de

caractéristiques

mixtes 0 et p.

(cf.

[8].

On consultera

_[9]

pour les

details.)

REFERENCES

[1]

P. _{Furtwängler,} Über die _{Reziprozitätsgesetze} der l-ten Potenzreste in alge-braischen _{Zahl-körpern,} wenn l eine ungerage Primzahl _bedeutet, Math. Ann.

58 _(1904), 1-50.

[2]

____, Allgemeiner Existenzbeweis für den Klassenkörper eines bebliegen

Zahlkölpers, Math. Ann. 63

_{(1907), 1-37.}

[3]

L. N. Childs, The _{group of unramified} Kummer extensions _of prime degree, Proc. London Math. Soc. 35 _(1977), 407-422.

[4]

K. Kato and S. Saito, Global class field theory of arithmetic schemes,

Contem-porary Math. 55

_(1986),

255-331.

[5]

H. W. Leopoldt, Zur Struktur der _{l-Klassengruppe galoisscher Zahlkôrper,} J. Reine _Angew. Math. 199 _{(1958), 165-174.}

[6]

T. _Sekiguchi, F. Oort and N. _Suwa, On the _{deformation of} Artin-Schreier to

Kummer, Ann. Scient. Ec. Normale Sup. 22 _(1989), 345-375.

[7]

T. _Sekiguchi and N. _Suwa, Théorie de _{Kummer-Artin-Schreier,} C. R. Acad.

Sci. Paris 312

_(1991),

417-420.

[8]

____, Théories de Kummer-Artin-Schreier-Witt, C. R. Acad. Sci. Paris 319

(1994),105-110.

[9]

____, Unified Kummer-Artin-Schreier-Witt sequences, (en préparation).

[10]

W. C. _Waterhouse, A _unified Kummer-Artin-Schreier sequence, Math. Ann.

277 _(1987), 447-451.

[SGA

1]

A. Grothendieck, Revêtements étales et groupe fondamental, Lecture Notes in

Math 224 _(1971).

[SGA

2]

____, Cohomologie local des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz

locaux et _globaux

_(1968),

_Masson, North-Holland.

[SGA 4]

M. _Artin, A. Grothendieck and J.-L. _Verdier, Théorie des _topos et _cohomologie

Tsutomu SEKIGUCHI

Department of Mathematics Faculty of Science and _Engineering

Chuo University Kasuga 1-13-27, Bunkyo-ku Tokyo 112, Japan e-mail: _{sekiguti@math.chuo-u.ac.jp} Noriyuki SuwA Department of Mathematics Tokyo Deniki _University

Kanda-Nisiki-cho _{2-2, Chiyoda-ku}

Tokyo 101, Japan