Solutions entières de l’équation $Y^m = f(X)$

D

IMITRIOS

P

OULAKIS

Solutions entières de l’équation Y

m

= f (X )

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

3, n

o

_{1 (1991),}

p. 187-199

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Solutions

entières

de

_{l’équation}

Ym =

f(X).

par DIMITRIOS POULAKIS

Résumé 2014 Soit K un corps de nombres. Dans ce travail nous calculons

des majorants effectifs pour la taille des solutions en entiers algébriques de

K des équations, Y2 =

_f(X),

où

_f(X)

~

K[X] a

au moins trois racines

d’ordre _impair, et Ym

_{= f(X)}

où _{m ~} 3 et

_{f(X) ~ K[X]}

a au moins deux

racines d’ordre premier à m. On améliore ainsi les estimations connues

([2],[9])

pour les solutions de ces _équations en entiers _algébriques de K. Abstract 2014 Let K be a number field. In this work we _give effective _upper

bounds for the size of solutions in algebraic integers of _K, of _equations

Y2

_{= f(X),}

where

_f(X)

~ _K[X] has at least three roots of odd order, and

Ym=

_f(X)

where _f(X) ~

_K[X]

has at least two roots of order _prime to m.

We thus _improve the known estimations

_([2],[9])

for the solutions of these

equations in _{algebraic integers} of K.

1. Introduction.

Soit K un _corps de nombres et A son anneau des entiers. On considère

les

_équations

où

_f(X~

_E

_K[X]

a au moins trois racines d’ordre

impair

et

où m &#x3E; 3 et

_{f (X )}

E

_K[X]

a au moins deux racines d’ordre

_premier

à m.

Baker

_([1]),

dans le cas où

f(X)

E

_Z[X],

a calculé

explicitement,

en

fonction de m et des coefficients de

f,

un

majorant

de la taille des solutions

de

_(I)

et

_(II)

en entiers rationnels. Plus tard l’estimation de Baker a été

améliorée _par

_Sprindzuk

_([8]).

Trelina

_([9])

et Brindza

_([2])

ont donné des

majorants

effectifs pour la taille des solutions de

(I)

et

_(II)

en S-entiers de

K.

Dans ce travail nous calculons un

majorant

effectif _pour la taille des

solutions de

_(I)

et

_(II)

en entiers

algébriques

de K. Dans ce cas notre résultat

est meilleur _que ceux de

Trelina,

Brindza et Baker. En revanche dans le cas où K =

Q,

le résultat de

Sprindzuk

_pour

(I)

est meilleur _que le nôtre.

Soit l’ensemble

_canonique

des valeurs absolues de K

_([5)]

_chapitre

II

_§1).

Soient x =

(x~, ..., x")

_un

point

de

l’espace

projectif

et

v _E

h4(1) ;

on note

La

_quantité

où

_d"

sont les

_{degrés locaux,}

est

_appelée

"hauteur" de ;

_{(relativement}

à

K)

et la

_quantité

où d est le

_degré

de

_K,

"hauteur absolue" de x. Si

_f

E on définit

~ f ~", HT«f),

H(f)

en termes du vecteur des coefficients de

f .

Si a E li on note

_HT«a)

=

a)

et

_H(a)

=

H(l,

a).

Aussi _pour z réel

positif

posons

log* z

=

max(1 , log z).

On _notera

_DT,

le discriminant de K. Nous

montrons les résultats suivants :

THÉORÈME 1. Soit

_f(X)

un

polynôme

de

K[X]

_ayant

au moins trois

racines d’ordre

_impair.

Alors si

_{(x, y)}

E A x A est une solution de

l’équation

y2

=

f(X)

_{on a}

où

et

THÉORÈME

2. Soit m un enti.er &#x3E; 3

f (X )

un

polynôme

de

Ii[X]

_ayant

au

moins deux racines d’ordre

_premier

à m. Alors si

(x, y)

E A x A est une

où

et

1 1 1 1

La méthode _que nous utilisons est une

_{généralisation}

de la méthode

employée

par Schmidt pour démontrer le théorème 2 de

[6].

On va utiliser les notations habituelles suivantes. Soit k un _corps de

nombres. On note

_Dk

son discriminant et

_Rk

son

régulateur.

Si a

E ~

on note

Nk (a)

sa norme et

I n I la

_{plus grande}

des valeurs absolues de ses

conjugués.

Aussi

_quand

I est un idéal entier de k on note

_Nk(I)

sa norme.

Notre outil

_principal

sera la

proposition

suivante :

PROPOSITION. Soient M un _corps de nombres de

degré

m et m2, m~ des entiers

_algébriques

non nuls de M tels _{que :}

Alors

_chaque

solution

_{(Ul,U2,U:¡),}

où Ul,U2,U3 sont des unités de M de

l’équation :

sa tisfai t :

On

_peut

consulter

_[3]

_pour une _preuve de ce résultat.

2. Démonstration du Théorème 1

Soient L le _corps de

_{décomposition}

du

_polynôme

f sur K et A son

degré ;

alors on a

.

Par

_hypothèse

trois au moins des

_{t J,}

disons sont

impairs.

Soit 6 le

_plus

_petit

entier

_positif

tel _que les nombres

_{62 an,}

_{..., 62en}

soient entiers dans L. On

multiplie les

deux membres de

_{l’équation}

y2

=

f ~X ~

par

62(n+l)

et on obtient

l’équation :

On est ramené ainsi au cas où _{ao , ei ,} ..., en sont des entiers de K.

Soit x,y une solution de

Y’

=

f (X ~

en entiers de K avec

y #

0. On

_peut

écrire

-n _ _

où

_{Ij, Jj}

sont des idéaux entiers de L et

_Ij

est sans facteur carré. Soit P un idéal

premier

divisant

1,.

Alors P divise

(y~2

avec un

_exposant

impair ;

il en résulte _que P divise

Donc ou bien

PI(an)

ou bien il

existe j #

1 tel _que

ej).

Dans ce

dernier cas

ej ).

Par

_conséquent

on conclut _que

De même on obtient _que

Donc

On

_sait,

_d’après

_[5]

_chap.

V

_{§4, qu’il}

existe un idéal entier

Ji

dans la classe

de

_Jj

tel _que sa norme est

NT; (J~ ~

Soit un idéal entier dans

la classe inverse de celle de

_{J ;}

alors =

(Zj),

où ej

est un entier de L.

i i

On a donc

-où i7j

est un entier de L tel _que

_(1Jj)

=

Notons 4

Soit M =

~2’ ~,~) ;

son

_degré

est m 8À et on note

D A1

son

discriminant. Alors la formule de transitivité des discriminants donne

LEMME 1. Soient k un _corps de nombres de

_degré

v et a un entier

algé-brique

de k. Alors il existe un entier b et une unité E de k tels _que

et

Démonstration. Il existe un ensemble d’unités fondamentales de k _{6~,..., for}

tel _que

où (

est une racine de l’unité

_{et -ii}

e Z i =

1, ...,

_{r ;} d’où

Soient

Ai

=

[q, /v] 1

=

1, 2,

Posons b = _au. Alors

où J . On déduit donc de

(*)

d’où le lemme 1.

sont des entiers de M. On a

.

Le lemme

_précédent

entraîne alors _{que pour toute}

_{permutation cyclique}

(ij,h)

de

_(1,2,3)

on

_peut

écrire

où sont des unités de M et

_{bh, gh}

des entiers de M avec

Le

_triplet

_f2,

_5j)

est une solution en unités de

_{l’équation}

La

_proposition

citée à l’introduction entraîne donc

où

LEMME 2. Soien t k un _corps de nombres de

degré

v _{et a,}

fl’2)

_...,

/?p)72)

’")7.7 des éléments de k a ve c cx

~

0 . Alors on a

Démonstration. Pour tout x

et x e

0 on a la formule du

produit

sont les

_degrés

locaux

_([5]

_page

_99).

Il en résulte _que si _{XO, Xl, ..., zn} E 1~ et

_{xn e}

0 on a

Hk (xo,

xl) ..., = Xl

IXO,

...,

Xn/ XO).

On

peut

donc supposer que

a = 1. Alors

pour tout v E

M(k)

on a

d’où le lemme 2.

Le lemme 2 et la

_majoration

_{pour y,}

_bh)

entraînent

En

_particulier

on a

Des

_majorations

₍₂₎

et

₍₃₎

on déduit

Pour tout x _{E M} notons

_(t

=

_{1, ...,}

m)

ses

conjugués.

Alors

(4)

entraîne

, on déduit de même que

On a

Alors

₍₅₎

et

₍₆₎

entraînent

On sait

_d’après

un résultat de

Siegel

([7]),

_que

où

Il en résulte

où

Considérons le

_polynôme

~ et notons

_D(g)

son

dis-criminant. Alors on a

(la

dernière

_inégalité

résulte de

_[4]

_chap.

3

_proposition

_2.4).

On a aussi

Démonstration.

discriminants et

_[5]

_III,

_prop. 13 donnent :

Alors le lemme

_3,

les

_majorations

_(8),

_{(9), (10)}

et

_{l’inégalité}

n! entraînent le résultat.

3. Démonstration du théorème 2.

Soient L le _corps de

_{décomposition}

du

_polynôme

f et a son

degré ;

on a

Par

_hypothèse

deux au moins des

_tj,

soient sont

_premiers

à m.

Comme dans la démonstration du théorème 1 on se ramène au cas où

ao,6i,...~ sont des entiers de L.

où

_{7j, Jj}

sont des idéaux entiers de L et

_h

n’est divisible _par aucune

puis-sance m-ième d’un idéal

premier.

Soit P un idéal

_premier

divisant

h .

Alors P divise

(~ -

avec un

exposant

m. Comme

(t1, m)

= 1 et que

il en résulte

que P

divise 1

Donc ou bien

PI(ao)

ou bien il existe i

~

1 tel _que

ei).

Dans ce

dernier cas on a

PI (ei - ei ).

On a donc _que

De même on a

Alors

Comme dans la démonstration du théorème

_1,

il existe des entiers

_{~~ ( j}

=

1, 2)

tels _que

et

Soit M =

"~/~2~

où

_{( est}

une racine

primitive

m-ième de

l’unitê ;

son

degré

_{est p}

est la fonction d’Euler.

LEMME 4. On a

Alors

On obtient donc

d’où le résultat.

Posons _o-i

_{= ~~}

_(i

=

1, 2).

On élimine _{x et on a}

Alors

Comme m &#x3E;

_3,

il existe des entiers de K

_{61 ,62,63}

avec

5j[e2 - ei

_y

( j

=

1, 2, 3)

et des unités e3 tels _que

D’après

le lemme 1 du

_§2

on

_peut

_{supposer que}

On élimine ai et a2 entre les trois

équations

(2)

en

multipliant

la

j-ième

équation

par

(k - (1

avec

~j, k,1} _ {0, 1, 2} :

Par

_conséquent

la

_proposition

citée à la fin de l’introduction

_{implique :}

Il résulte donc de

₍₃₎

et

₍₄₎

_que

D’autre

_part

on déduit de

(2)

_que

Alors on a Cela entraîne et on a Donc d’où La

_majoration

la

_majoration

₍₉₎

du

_§2

et le lemme 4 entraînent

On en déduit

où

Alors

₍₈₎

et le lemme 3 entraînent la

_majoration

annoncée dans le théorème 2.

RÉFÉRENCES

[1]

A. _BAKER, Bounds _for the solutions _of the _{hyperelliptic equation,} Proc. Cambridge Phil. Soc. 65

_(1969),

439-444.

[2]

B. _BRINDZA, On _S-integral solutions _of the _{equation ym} =

_f(x).,

Acta Math. Hung. 44

_(1984),

133-139.

[3] K. _GYORY, On the solutions _of linear _{diophantine equations} in _{Algebraic integers of}

bounded norm, Ann. Univ. Budapest Eotvos, Sect. Math. 22-23 _(1979-80), 225-233.

[4] S. _LANG, Fundamentals _{of Diophantine Geometry, Springer-Verlag (1983).}

[5]

S. _{LANG, Algebraic} Number _Theory, Addison _{Wesley (1970).}

[6]

W. _{SCHMIDT, Integer points} on curves _of

_{genus 1 (à paraître).}

[7]

C.L. SIEGEL, Abschätzung von _Einheiten, Nachr. Akd.Wiss _Göttingen Math. _Phys.

K1 II

_(1969),

71-86.

[8]

V.G. SPRINDZUK, A hyperelliptic diophantine equation and class numbers _(in

Rus-sian),

Acta Arith. 30

_(1976),

95-108.

[9]

L.A. TRELINA, On _S-integral solutions _of the _{hyperelliptic equation}

_{(in Russian),}

Dokl.Akad. Nauk BSSR

_(1978),

881-884.

Université de _{Théssalonique} Département de _{Mathématiques}

54006 _{THESSALONIQUE}