Abstraction over Public Interfaces
Texte intégral
(2) INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE. Abstraction over Public Interfaces Dilian Gurov — Marieke Huisman. N° 5330 October 18, 2004 Thème SYM. N 0249-6399. apport de recherche.
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(119) ·YªeÀÁ©±&« ZohoxkzLX[°Nh/. m ∈ I+. 9x`y` . m1 , m2 ∈ I +. v →m v 0. v |= ¬r. ε. (v, σ) − → (v 0 , σ) m. 2 0 v1 −−→ m1 v 1. v1 m1 call m2. |= ¬r (v2 , v10. (v1 , σ) −−−−−−→. °hoNZof;hoz . m1 , m2 ∈ I +. v2 |= m2 ∧ r. v2 |= m2. v2 ∈ E. · σ). v1 |= m1. m2 ret m1. (v2 , v1 · σ) −−−−−−→ (v1 , σ). %I x^;`yNO*Hutw;w;`yNZtIhoxkzLX\b}Zobc_azs)fL`cNGX Ë 8"-L Ë rNÂWZ (NOYN£Lz;N#Z\J;N]z;_Zobc_az¼_¦xw;w;`yNZSbczAZoNh\xkNa¤ #;_khSN9xaJDxwLw;`cNZ9p ¦N#YbeX[Z\byz;kf;beX\J xkz¼ª ÁtÅ2½cÁO«L¬|±&¬-ª¶&«»ª «B¬0®°¯±k² YN£Lz;byz;#xk`c`2MONZ\JL_WLX w;ho_&nWby;N9©xzB©h\NGdAf;bchoN9O^WV]Z\JLNxwLw;`cNZ9pYxzB x
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(124) ¬ ¶ª «L¬|®°¯±a²¸À I = (I , I ) ±&« I = (I , I ) ªeÀ aÆ «2 ³ ! I ∪ I = (I ∪ I , I ∪ I ) I_'°_ah\M©xk`c`yV©YN£LzLNtZoJ;Nz;_Zobc_az±oÅaÅ2½c¬ ª ¬°´ª ÁtÅ2½cÁ©«B¬0±¬.ª¶«¼ª «L¬|®°¯±a²pY ¦NfBX[NZ\J;NSz;_kZ\by_kz_k ;byXjl_kbyzAZfLz;bc_az_kX\wBNGbc£BxZ\by_kzLX S ] S pY )J;N9h\NN9xaJX[ZoxZ\NbyX(ZxkaN9 )b}ZoJ 1 _kh 2 pYhoN9X\w2N9¸ZobcnaN`yVkp xkzL (s, i) −→ (t, i) pW°_ah i ∈ {1, 2} pWbc xkzL_kz;`yV¢bc s −→ t ¤ Ë
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(128) «L²¬|½y¶º®°¯À±a ²~b} _%I xz⊆xkw;I w;`ypNZ ª 2bcZtYby_WXN9XJLz;xkho_kxaZ¸hoZoN9NdAhobyf;X\byN9hoON^WxkVzWV¢x#NX[ÂWNZ\ZN9_kh\zBxMO`"NMOZoJ;NZ\_YJL;_WX LX¤ X\fLJ¢ZoJLx&Z Z\JLNSX\NZ)_M]NZ\J;_Y;XwLf;^;`yby`cV©Aw;:ho_&InWby;N9¢^WVOZoJ;NSxkw;w;`yNZ)beX M pY )JLbc`yNtZoJ;N~X[NMZ¦_kw;fL^;`cbe`yV M ⊆I hoN9dAf;byhoN9~MONZoJ;_Y;X%byX I −(I −M ) &ZoJAfBX%xkw;w;`yNZ A : I JLxkXw;f;^;`ybe(byzAZ\N9h[xaN (M, I −(I −M )) ¤ - Ë Ë Ï rNÂWZ) ¦N~bczLX[ZoxkzAZ\bex&Z\N~X\wBNGbc£BxZ\by_kzLX_azZoJ;N~^2NJLxºnWby_kf;hx`"`yNnkN9`.¤ . +. . +. −. −. + 1. + 2. − 1. + 1. 1. − 2. 1. a. 2. − 1. 2. + 2. − 2. 1. 2. a. S1 ]S2. Si. . . . m. m. m. m. . 1. 2. 1. 2. 1. −. 1. 2. 2. +. +. −. +. −. +. 021 4 043.
(129) ³À¸¬.®o±k²¬.ª¶«¶&µ&®¦·L³½}ª²«L¬|®°¯±a²oÀ . Ë Ï ¬ A = (M, E) : I ³±¼²½c¶ºÀ D±ÅkÅ"½c¬ ´;®\ M = (V, L, → ; ´ ] 2 ^ N B J º x A n y b _kfLh]¶l¯ A ªeÀa¸À²®¸ª³)³!¢¬ ´L~À-ÅL²ª Ʀ²o±¬.ª¶« b(A) = (M , E ) ´;®\ M = , A, λ) À¸·L²´¬ ´L±&¬ S = V × V b-¤ Na¤"À¸¬0±¬0À±®\ÅLªeÀ±&ª k®.À
(130) Æi¶l«"¯
(131) )²¶³«L!¬-®\¬°¶&´;½A]ÅL¶&®¸ª ·Y«B½y¸¬À
(132) À#±&¶[¯« ] À¸±k¬0³±a½c² &À (S , L , → , A , λ ) L = {m l m | l ∈ {call, ret}, m , m ∈ I } ∪ {ε} → & ± « A = A λ ((v, σ)) = λ(v) ´;)À¬¶[¯¦ª «Lª ¬-ª±&½YÀ¸¬|±&¬|¸À ªeÀ k.Æi«2 ~³ ! E = E ×{} ´L®\ k«2¶¬0À¬ ´LÁtÅ2¬ !À #·L«"² E ¶µº® V rt_Z\NOZoJLx&Z'xkw;w;`yNZ~^2NJLxºnWby_kf;h~YN£Lz;N9X'xwLfLX[J¥Y_& )z»xf;Z\_kM©xZ\_kz X\NNap¦ ¿ yp °_kh
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(135) utzWVZl ¦_xw;w;`yNZXZoJLx&Z~xhoN'hoN`ex&ZoN9D^AV6X[Z\hofL¸Zof;hx` X[byM'f;`ex&Zobc_az¡pxhoN#xk`y≤X\_hoN`ex&ZoN96^WV ^2NJBxºnAby_kfLhoxk`BX\bcM#f;`yxZ\by_kz .IJ;N_ah\N9M ;¤
(136) byz 2 ¸pW^;fYZZoJ;NS_kzWnkN9hoX\NbeX¦z;_Z¦Z\hof;N X\bczLN^2NJBxºnAby_kfLhoxk` X\byM'f;`ex&Zobc_az_az;`cVh\NGdafLbchoN9X¦hoN9xkJBx^;`yNSX[ZoxZ\NGX¦Z\_O^BN~hoN`ex&ZoN9 ¤ #L_kh_azAnaNz;byNzBNkpº^2N`y_& à ¦N )by`c`Y_k Z\Nz# )h\bcZ\N(Z\JLNX[ZoxZ\NGX_k;Z\J;N^2NJLxºnWby_kf;hx`aMO_W;N`;xkX%xSX[byMOw;`cN X\N9dAf;N9zLN©_kXlZx&Z\NGXp¦ª v · σ pbyzLXlZoN9xa_k (v, σ) ¤6¨§NfLX\N¢hoNnaNhX[N]bczBYNÂYbyz;6Z\_YNz;_kZ\N©ZoJ;N i N9`cN9MONzAZ)°h\_aM ZoJ;N~^Lxk _ixOX[NGdafLNzLNkpLX\_OZ\JLxZ (v · σ) = v ° )JLNhoN |σ| YNz;_kZ\NGX¦Z\J;N
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(138) ¦ É ©' IJLNz;NÂWZ)X\N9Z\by_kz;N£Lz;NGX)xzbcz;`ybyz;bczL]xk`ca_khob}ZoJ;M¹Z\JLxZ(ZohoxkzLXl°_ah\M©X¦x#_kzLh\NZ\NSxw;w;`yNZ)byMOw;`cN9MONzY Zx&Zobc_azbyzaZo_©xzxw;w;`yNZZoJLx&Z_azAZoxbyzLX¦_kzL`cV©MONZoJ;_Y9x`y`yX¦Zo_#wLf;^;`ybyMONZoJ;_Y;X9¤%¨§N~ xzAZ(Zo_Ow;h\_&naN ZoJLx&Z°_ahxkzWVO`c_AX[NGxkw;w;`yNZ9pYN9nkN9h\V©^2NJLxºnWby_kf;h¦_Z\J;N~_azLhoNZoNSxkw;w;`yNZ)beX¦xk`yX\_Ox'^2NJLxºnWby_kf;h¦_Z\J;N byz;`ybczLN9xw;w;`yNZG¤ _& ¦NnkN9h9pa°_kh(Z\JLbyX¦Zo_#J;_a`y¡pY (NSJLxºnkNtZ\_Ox^LX[Z\hxkZ ZoJ;N~_kzBhoNZ\N^BN9JLxºnWbc_af;h(Z\_]Z\J;N `yNnaN`(_w;f;^L`cbeMONZ\J;_Y;X9¤IJ;N9h\N°_khoNkp% (NbczAZoh\_YYfLN¢ZoJ;Nz;_kZ\by_kzÃ_k
(139) ª «L¬|®°¯±a²¥³o´;±µ9ª¶·Y®6_txkz xkw;w;#%`yNbyZ hoX[ Z(y ¦® yN¬ Yx©N£LX\z;NNtZ)Z\_J; N]w;f;¬0¶^LÅ`cbew;fLMO^;N`cbeZ\JLM]_WLNXZ\¤ J;_Y y® y¬ pkZoJLx&ZkbynkN9z¢x
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(142)
(143) b. b. b. b. 1. b. b. . b. b. 2. b. b. . ∗. b. 1. 2. +. b. b. b. b. b. b. th. |σ|. 0. . . top indexM (σ) topM (σ). = M ax({i | 0 ≤ i < |σ| ∧ λMeth (σi ) ∈ M }) = λMeth (σ top indexM (σ) ). . X[byz;OZ\JLN9X\N
(144) YN£LzLb}Zobc_azLXpB (N
(145) 9xzYN£Bz;N'x]h\N9`yxk^BN9`c`ybyz;. _%Z\hxzLX\bcZ\by_kz`yxk^BN9`yXZo_OZ\J;N'w;f;^;`yby `yNnaN`-¤ xk^BN9`yX°_ah
(146) xk`c`eX~xzL§hoNZof;h\zBX^BNZl (N9Nz»w;f;^;`ybeOM]NZ\ρJ;_Y;X'xhoN]fLzLJLxzLkN9¡¤¢u x`y`°ho_kM!x wLh\byn&x&Z\NtZ\_]x
(147) w;f;^L`cbeMONZoJ;_Y¢beX hoN`ex^2N`y`yN9¢xaX x'9x`y`L°ho_kM¹ZoJ;N'¬|¶oÅ6w;f;^;`ybetMONZoJ;_Y¢byz©Z\JLNw2NzL;bcz; 9x`y`%X[Zoxa"¤u h\NZ\f;hoz6°ho_kMÈxwLf;^;`yby
(148) Z\_x¢w;hobcn&xZ\N'MONZ\J;_Y¼beXh\N9`yxk^BN9`c`yN9¼xaXxh\NZ\f;hoz6Zo_ZoJ;N¬|¶oÅ. 44658739;:;:;<. M.
(149) G. ¦·Y®o¶&µ
(150) ·YªeÀÁ©±&«. wLf;^;`ybyMONZoJ;_Y¤iu`y`¡_kZ\J;N9hZ\hxzLX\b}Zobc_azLXkNZ)`yxk^BN9`c`yN9xkX)X\by`cN9zaZxa¸Z\by_kzBX¤ ρM ((v, σ), `) = ` topM (v · σ) call m2 m1 ret topM (σ) ε. if ` = m1 {call/ret}m2 ∧ m1 , m2 ∈ M if ` = m1 call m2 ∧ m1 6∈ M, m2 ∈ M if ` = m1 ret m2 ∧ m1 ∈ M, m2 6∈ M otherwise. rt_& (Nxkh\Nh\NGxkYVZ\_§YN£LzLN¢Z\JLNbyzaZoNh\xkN^2NJLxºnWby_kf;h
(151) _ktxw;wL`cNZ A y®y¬ ixX[NZ#_wLf;^;`yby MONZ\J;_Y;X M ¤ Ë
(152) °
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(154) ^BN9JLxºnWbc_af;h_k A ((S, ~¤ hG¤ ZGL,¤ M→,ªeA,À aλ),Æ «2E) ±&À b M(A)⊆ =I ((S, L , → , A , λ ), E ) ´;®\ p L = {ε} ∪ {m `m | m , m ∈ M ∧ ` ∈ {call, ret}} p → = {((v, σ), `, (v , σ )) | ∃a ∈ L. (v, σ) → (v , σ ) ∧ ρ ((v, σ), a) = ` } p A = M ∪ {r} p λ = (v, σ) 7→ {top (v · σ)} ∪ (if(v ∈ M ∧ v |= r) then {r} else ∅) ¤ E = {v | v ∈ E ∧ λ (v) ∈ M } . Ï Ï Ï ´LHª «L¬|®°¯±a²oij´;±&µGª¶&·Y® ¶l¯ A ~¤ h9¤ Z9¤ I ªeÀÃ$ª a«B¬.ª²±&½#¬0¶ ª ¬À ³´;±&µGª¶&·Y® b-¤ Nk¤ b (A) = b(A) ¨§N¼YN£Lz;N¼^2NJLxºnWby_kf;hx`)byzAZ\N9h[xaN6X[byM'fL`yxZ\by_kz ≤ B xaX b (A) ≤ b (B) pxzLÄ ¦N9*x Ã^2N JBxºnAby_kfLhoxk`byzAZ\Nh\xkN©X[byM'f;`ex&Zobc_az A ≤ B xaX bA (A) ¤©r_ZobyN]Z\JLxZ A xkzL B zLNN9 ≤ b (B) °zL_a_h\Z#M#JBf;xº`exnkN©φZoJ;byzNXoX[xbyM'MOf;N¢`ex&byzAZobcZ\_aN9zÄh[xa`c_akN9X9bep (_&naNNh_kz;L`yV»h\xkNGzLdA f;bcAhoN Mp (⊆N¼IYN£Lz;xN¼zB ^2NMJBxºnA⊆by_kIfLhoxk¤»`¦byPWzAbyZ\MON9h[bc`exxaho`yN¼Vkp Xo°x&_kZ\hObeX[xxkzW¸V Zobc_az A |= φ xkX b (A) |= φ p)xzBH ¦N9*x ¥^BN9JLxºnWbc_af;hx`bczAZoNh\xkN6Xox&ZobyX[xkZ\by_kz A |= φ xkX ¤ b (A) |= φ " §
(155) $&~
(156) rtNÂWZ (NSYN£LzLNSxkz¢bczL`cbyz;byz;]xk`ca_khob}ZoJ;M ZoJLx&ZGpAabcnaNzx#X[NZ(_kw;f;^;`ybetMONZoJ;_Y;X pkZohoxkzLX[°_khoMOX xkzHxkw;w;`yNZOkhxw;JH^AV¥byz;`ybczLbcz;»x`y`)w;hobcn&xαZ\Nx`y`eX¤Ãs)NGf;hX\bcnaN9x`y`yX'Z\_»w;hobcn&xZ\NM]NMZ\J;_Y;X©xkh\Nz;_Z byz;`ybczLN9p)^;f;ZhoN9xZ\N`c_W_awLX©byzÄZ\J;N¼hoN9X\f;`cZ\byz;¥khxwLJ¡¤ ¨§N¼w;ho_&nkNZ\JLxZ¢Z\JLN6bczAZ\N9h[xaN6^2NJLxºnWby_kf;h _k(ZoJ;N¢_ah\bykbyzLx`ixkw;w;`yNZ A beX'X\bcM#f;`ex&Z\NG§^AVDZ\J;N^BN9JLxºnWbc_af;h
(157) _¦Z\JLN¢bczL`cbyz;N9¥xkw;w;`yNZ α (A) p%Z\JWfLX ^WV¼IJ;N_ah\N9M Sx`y`%wLh\_awBN9h[ZobcNGX _iZoJ;NO`yxZ[Z\N9h ª pxhoN#x`eX\_w;ho_kw2Nh\Z\byN9X_(Z\J;N °_ah\MON9h9pª A |= φ ¤OR6_ah\N9_&nkNφhGp2 (N]w;ho_&nkN
(158) ZoJL x&Z~bc ZoαJ;N¢(A) xw;wL`c|=NZSbeXφ `yxaXlZ\09x`y` h\NGf;hX[bynkNap2Z\J;N]Zl ¦_ ^2NJBxºnAby_kfLhoX¢xkh\N6 ¦N9*x HX\bcM#f;`ex&Z\by_kz NGdAf;bcn&xk`cN9zaZ ' Z\JWfLX^B_kZ\J4xkw;w;`yNZXXox&Z\beX[°VHNÂYxa¸Zo`cVHZ\J;N§X\xkMON _a^LX\Nhonºxk^;`yNw;ho_kw2Nh\Z\byN9X)xZZ\J;N~w;fL^;`cbebyzaZoNh\xkNS`yNnaN`-¤ NÂWZ\NrthozL_Z\xkbe`2MONZ\NJBZ\J;x&Z _Y;ZoJ;XNSxaXbcz;w;`ybyf;z;^;bczL`ybe#¤ x`yk_ah\bcZ\JLM¹Y_WNGX z;_kZ¦hoN9dAf;byhoN)Z\J;NxwLw;`cNZ Zo_'^2NS`c_AX[NG©xzL¢Z\hoN9x&ZX xk`c` +. M. M. 1. 2. 0. M. M. 1. M. M. M. M. 2. a. 0. 0. 0. M. M. M. M. M. Meth. +. I+. M b,w. M. M. M b. M. M b. M. w. + A. M. M. M. + B. M. M b,w. w. M. M. M. b. M b. 021 4 043.
(159) ³À¸¬.®o±k²¬.ª¶«¶&µ&®¦·L³½}ª²«L¬|®°¯±a²oÀ. a. - - 2Ï # IJ;N#xk`ca_khob}ZoJ;Mbcz;`ybyz;N9XSNnaNhoVwLf;^;`yby#MONZ\JL_W¡¤~q|zaZof;bcZ\bynkN`yVkp¡_kzY [X Z\hofLZ\byz;)Z\JLN byz;`cbyz;byz;°_ah%xw;f;^;`yby(MONZoJ;_Y m _khoh\NGX[w2_kzB;X"Z\_tNÂYN9fYZ\byz;ZoJ;N byzAZ\N9h[xaNi^2NJLxºnWby_kf;h ho_kN wLm`yxapN9 )ÃJL^ANhoV¥N©bcM]Z\N9NhoZ\xJ;Z\by_Y_k»z¡¤¥xkI`c`eXJ;NZo_6z;_Yw;Yf;NG^;X#`ybyO_kMOZ\NJLZ\NJ;_Ybyz;;`yX
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