L3B Ann´ ee 2017/2018
JANVIER 2019
JUSTIFIER TOUTES VOS REPONSES
Exercice 1
On consid`ere l’anneaux des polynˆomes R[X] `a coefficients r´eels. On note J ⊂R[X] l’id´eal engendr´e par X2+ 1, c’est-`a-dire :
J ={(X2+ 1)Q(X), Q∈R[X]}.
Soient A = R[X]/J l’anneaux quotient et π : R[X] → A la projection naturelle. On notef l’application d’´evaluation deP dansi∈C
R[X] → C P 7→ P(i) .
1. (a) Montrer que f est un morphisme d’anneaux et que f est surjectif.
(b) Montrer que X2+ 1∈ker(f).
(c) Plus g´en´eralement, montrer que le noyau de f est ´egal `a J.
2. On consid`ere l’applicationf :A→Cd´efinie parf(π(P)) =f(P).
Montrer que f est bien d´efinie et que f est un morphisme d’anneaux, injectif.
3. D´eduire de ce qui pr´ec`ede que f est un isomorphisme d’anneaux entreA etC.
4. Soit P = α+βX ∈ R[X] avec α, β ∈ R, α2 +β2 6= 0. On souhaiter calculer l’inverse deπ(P)∈A.
(a) Montrer queX2+ 1 etP sont premiers entre eux.
(b) TrouverU, V ∈R[X] tels que
(X2+ 1)U(X) +P(X)V(X) = 1.
(c) Montrer que π(P)π(V) = 1A. En notant π(X) = ¯X, d´eduire de ce qui precede
π(P)−1=α−βX¯ α2+β2. 5. SoitP ∈R[X]. Vrai ou faux,
1
(a) P est irr´eductible si et seulement siP est irreductible dansC[X].
(b) P est irr´eductible si et seulement siP n’a pas de racine dans R. Justifier vos r´eponses.
Exercice 2
Soientp≥3 un nombre premier etFp=Z/pZle corps `ap´el´ements et on rappel que (F∗p,×) est un groupe ab´elien. L’objectif est de d´eterminer les valeurs de p pour lequellesX2+ 1 est irr´eductible.
1. Montrer queX2+ 1 est irreductible surFp si et seulement s’il n’a pas de racine dansFp.
2. Montrer queX2+ 1 admet une racine dansFp si et seulement s’il existe un ´el´ement d’ordre 4 dans le groupe (F∗p,×) et en d´eduire que dans ce cas pest congru `a 1 modulo 4.
3. SoientE une ensemble fini non vide etσ∈S(E) une permutation.
(a) Montrer que si l’orbite de x ∈ E est de longueur m alors m divise l’ordre deσdans le groupe (S(E),◦).
(b) Montrer que l’ordre de σ est 2 si et seulement si σ = τ1◦τ2. . . τr
o`u τi ∈S(E), i= 1,2. . . r sont des transpositions `a supports 2-`a-2 disjoints.
(c) PourE={1,2,3,4}donner un exemple d’une permutationσd’ordre 2 dont la signature(σ) vaut 1.
4. On consid`ere :
σ1:F∗p → F∗p
x 7→ −x , σ2:F∗p → F∗p
x 7→ x−1
(a) Montrer que σ1 est une bijection, que σ2 est un isomorphisme de groupes et queσ1, σ2 commutent.
(b) Determiner l’ordre de chacun des permutationsσ1, σ2 etσ1◦σ2
(c) Montrer queσ1◦σ2admet au plus 2 points fixes et que pourp= 7 σ1◦σ2(x) =x, x∈F∗p
n’a pas de solution.
(d) On note:S(F∗p)→ {±1} la signature :
i. Calculer le nombre d’orbites deσ1 et deσ2en fonction dep.
ii. Pouri= 1,2 calculer la signature(σi) deσi.
iii. σ1, σ2 sont conjugues dans le groupe de permutationsS(F∗p) ? iv. Montrer que(σ1◦σ2) =−1.
2
v. σ1 etσ1◦σ2 sont conjugues pour quelles valeurs dep?
(e) (Reciproque de question 2) Pourpcongru `a 1 modulo 4 montrer que σ1◦σ2 admet exactement 2 points fixes et en d´eduire queX2+ 1 a 2 racines distinctes dansFp.
5. On note (X2+ 1)⊂Fp[X] l’id´eal engendr´e parX2+ 1 etA:=Fp[X]/(X2+ 1) l’anneau quotient :
(a) Donner la caract`eristique de A.
(b) Aest un corps pour quelles valeurs dep?
Exercice 3
Soient G et G’ des groupes etf :G→G0 un morphisme de groupes.
1. Rappeler la d´efinition de l’ordre d’un ´el´ement de G.
2. Montrer que six∈Gest d’ordre finiq, montrer que l’ordre def(x) divise q.
3. D´eterminer tous les morphismes deZ/4ZdansZ/16Z.
4. Soit n ∈ Z tel que n ≥ 2. Soit a ∈ Z. Montrer que la classe [a]n de a modulon∈Zest un g´en´erateur du groupe cycliqueZ/nZsi et seulement siaetnsont premiers entre eux.
5. D´esignons par φ(n) le cardinal de l’ensemble des g´en´erateurs de Z/nZ. Soit p un nombre premier et a un nombre entier positif. Calculer φ(p) puisφ(pa).
6. Soitn∈Ztel quen≥2. On suppose que m et n sont premiers entre eux . D´eterminer le noyau du morphisme de groupes
Z → Z/nZ×Z/mZ a 7→ ([a]n,[a]m)
7. En d´eduire queZ/mnZest isomorphe `aZ/nZ×Z/mZ. 8. En d´eduire queφ(mn) =φ(m)φ(n).
Exercice 4
On d´efinit une relation sur Rpar
t∼t0⇔t−t0∈2Z. 1. Verifier que∼est une une relation d’equivalence.
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2. Montrer queR/∼est en bijection avecU:={z∈C,|z|= 1}.
3. Dans les cas suivants, l’applicationg:R→Upasse-t-elle au quotient dans une application ¯g:R/∼→U ? Si oui cette application est-elle injective, surjective ?
(a) g(t) = exp(πit) (b) g(t) = exp(3πit)
(c) g(t) = exp(6πit)
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