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L3B Ann´ ee 2017/2018

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Academic year: 2022

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(1)

L3B Ann´ ee 2017/2018

JANVIER 2019

JUSTIFIER TOUTES VOS REPONSES

Exercice 1

On consid`ere l’anneaux des polynˆomes R[X] `a coefficients r´eels. On note J ⊂R[X] l’id´eal engendr´e par X2+ 1, c’est-`a-dire :

J ={(X2+ 1)Q(X), Q∈R[X]}.

Soient A = R[X]/J l’anneaux quotient et π : R[X] → A la projection naturelle. On notef l’application d’´evaluation deP dansi∈C

R[X] → C P 7→ P(i) .

1. (a) Montrer que f est un morphisme d’anneaux et que f est surjectif.

(b) Montrer que X2+ 1∈ker(f).

(c) Plus g´en´eralement, montrer que le noyau de f est ´egal `a J.

2. On consid`ere l’applicationf :A→Cd´efinie parf(π(P)) =f(P).

Montrer que f est bien d´efinie et que f est un morphisme d’anneaux, injectif.

3. D´eduire de ce qui pr´ec`ede que f est un isomorphisme d’anneaux entreA etC.

4. Soit P = α+βX ∈ R[X] avec α, β ∈ R, α22 6= 0. On souhaiter calculer l’inverse deπ(P)∈A.

(a) Montrer queX2+ 1 etP sont premiers entre eux.

(b) TrouverU, V ∈R[X] tels que

(X2+ 1)U(X) +P(X)V(X) = 1.

(c) Montrer que π(P)π(V) = 1A. En notant π(X) = ¯X, d´eduire de ce qui precede

π(P)−1=α−βX¯ α22. 5. SoitP ∈R[X]. Vrai ou faux,

1

(2)

(a) P est irr´eductible si et seulement siP est irreductible dansC[X].

(b) P est irr´eductible si et seulement siP n’a pas de racine dans R. Justifier vos r´eponses.

Exercice 2

Soientp≥3 un nombre premier etFp=Z/pZle corps `ap´el´ements et on rappel que (Fp,×) est un groupe ab´elien. L’objectif est de d´eterminer les valeurs de p pour lequellesX2+ 1 est irr´eductible.

1. Montrer queX2+ 1 est irreductible surFp si et seulement s’il n’a pas de racine dansFp.

2. Montrer queX2+ 1 admet une racine dansFp si et seulement s’il existe un ´el´ement d’ordre 4 dans le groupe (Fp,×) et en d´eduire que dans ce cas pest congru `a 1 modulo 4.

3. SoientE une ensemble fini non vide etσ∈S(E) une permutation.

(a) Montrer que si l’orbite de x ∈ E est de longueur m alors m divise l’ordre deσdans le groupe (S(E),◦).

(b) Montrer que l’ordre de σ est 2 si et seulement si σ = τ1◦τ2. . . τr

o`u τi ∈S(E), i= 1,2. . . r sont des transpositions `a supports 2-`a-2 disjoints.

(c) PourE={1,2,3,4}donner un exemple d’une permutationσd’ordre 2 dont la signature(σ) vaut 1.

4. On consid`ere :

σ1:Fp → Fp

x 7→ −x , σ2:Fp → Fp

x 7→ x−1

(a) Montrer que σ1 est une bijection, que σ2 est un isomorphisme de groupes et queσ1, σ2 commutent.

(b) Determiner l’ordre de chacun des permutationsσ1, σ2 etσ1◦σ2

(c) Montrer queσ1◦σ2admet au plus 2 points fixes et que pourp= 7 σ1◦σ2(x) =x, x∈Fp

n’a pas de solution.

(d) On note:S(Fp)→ {±1} la signature :

i. Calculer le nombre d’orbites deσ1 et deσ2en fonction dep.

ii. Pouri= 1,2 calculer la signature(σi) deσi.

iii. σ1, σ2 sont conjugues dans le groupe de permutationsS(Fp) ? iv. Montrer que(σ1◦σ2) =−1.

2

(3)

v. σ1 etσ1◦σ2 sont conjugues pour quelles valeurs dep?

(e) (Reciproque de question 2) Pourpcongru `a 1 modulo 4 montrer que σ1◦σ2 admet exactement 2 points fixes et en d´eduire queX2+ 1 a 2 racines distinctes dansFp.

5. On note (X2+ 1)⊂Fp[X] l’id´eal engendr´e parX2+ 1 etA:=Fp[X]/(X2+ 1) l’anneau quotient :

(a) Donner la caract`eristique de A.

(b) Aest un corps pour quelles valeurs dep?

Exercice 3

Soient G et G’ des groupes etf :G→G0 un morphisme de groupes.

1. Rappeler la d´efinition de l’ordre d’un ´el´ement de G.

2. Montrer que six∈Gest d’ordre finiq, montrer que l’ordre def(x) divise q.

3. D´eterminer tous les morphismes deZ/4ZdansZ/16Z.

4. Soit n ∈ Z tel que n ≥ 2. Soit a ∈ Z. Montrer que la classe [a]n de a modulon∈Zest un g´en´erateur du groupe cycliqueZ/nZsi et seulement siaetnsont premiers entre eux.

5. D´esignons par φ(n) le cardinal de l’ensemble des g´en´erateurs de Z/nZ. Soit p un nombre premier et a un nombre entier positif. Calculer φ(p) puisφ(pa).

6. Soitn∈Ztel quen≥2. On suppose que m et n sont premiers entre eux . D´eterminer le noyau du morphisme de groupes

Z → Z/nZ×Z/mZ a 7→ ([a]n,[a]m)

7. En d´eduire queZ/mnZest isomorphe `aZ/nZ×Z/mZ. 8. En d´eduire queφ(mn) =φ(m)φ(n).

Exercice 4

On d´efinit une relation sur Rpar

t∼t0⇔t−t0∈2Z. 1. Verifier que∼est une une relation d’equivalence.

3

(4)

2. Montrer queR/∼est en bijection avecU:={z∈C,|z|= 1}.

3. Dans les cas suivants, l’applicationg:R→Upasse-t-elle au quotient dans une application ¯g:R/∼→U ? Si oui cette application est-elle injective, surjective ?

(a) g(t) = exp(πit) (b) g(t) = exp(3πit)

(c) g(t) = exp(6πit)

4

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