Jérôme Von Buhren http://vonbuhren.free.fr
Cardinal d’un ensemble et théorème de Cantor-Bernstein
Introduction
L’objectif de ce problème est d’introduire la notion de cardinal d’un ensemble et de démontrer certaines de ses propriétés. Le cardinal d’un ensemble est simple à appréhender dans le cas finis, mais c’est une notion plus abstraite dans le cas général. Dans la seconde partie, nous démontrerons notamment le résultat suivant.
Théorème de Cantor Bernstein (1895) : SoientX etY deux ensembles. Si il existe une injection deX dansY et une injection deY dansX, alors il existe une bijection deX dansY.
Dans la suite du problème, nous utiliserons le vocabulaire suivant.
Définition (Équipotence et subpotence) : SoientX etY deux ensembles.
(i) On dit queX est équipotent àY, ce que l’on noteX 'Y, s’il existe une bijection deX dansY. (ii) On dit queX est subpotent àY, ce que l’on noteX 4Y, s’il existe une injection deX dansY.
I. Généralités
Dans cette partie, nous allons étudier les propriétés élémentaires de'et4. Nous montrerons que'vé- rifie les mêmes propriétés qu’une relation d’équivalence. Remarquons que ce n’en est pas une formel- lement, car il faudrait définir'sur l’ensemble de tous les ensembles pour obtenir une relation d’équi- valence, mais nous prouverons qu’un tel ensemble n’existe pas.
On considère trois ensemblesX,Y etZ.
1. Cas des ensembles finis.On suppose queX etY sont finis.
a) A quelle conditions les ensemblesX etY sont-ils équipotents ? b) A quelle conditions l’ensembleX est-il subpotent àY ?
2. Propriétés de'.
a) Montrer queX 'X.
b) Montrer que siX 'Y, alorsY 'X.
c) Montrer que siX 'Y etY 'Z, alorsX 'Z. 3. Propriété de4.
a) Montrer queX 4X.
b) Montrer que siX 4Y etY 4Z, alorsX 4Z.
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4. L’ensembleP(X)n’est pas subpotent àX.On noteP(X) l’ensemble des parties deX. a) Montrer queX est subpotent àP(X).
b) Soitϕ:P(X)→X une application. En considérant la partie
Y ={x∈X | ∃A∈P(X), x=ϕ(A) et x∉ϕ(A)}, montrer queP(X) n’est pas subpotent àX.
c) En déduire qu’il n’existe pas un ensemble de tous les ensembles.
II. Le théorème de Cantor-Bernstein
Dans cette partie, nous allons démontrer le théorème de Cantor-Bernstein dont l’énoncé est le suivant.
Si X etY sont deux ensembles tels que X est subpotent àY etY est subpotent àX, alors X etY sont équipotents.
SoitX un ensemble etZ une partie deX. Si f :X →X est une application etn∈N∗, on note f◦0=IdX et f◦n=f ◦ · · · ◦f
| {z }
nfois
1. Soitf :X →X une application injective telle que f(X)⊂Z. On définitϕ:X →Z par
∀x∈X, ϕ(x)=
½ f(x) si x∈C
x si x∉C où C= [
n∈N
f◦n(X\Z) Montrer que l’applicationϕ:X →Z est bijective.
2. En utilisant la question précédente, démontrer le théorème de Cantor-Bernstein.
III. Ensembles dénombrables
Un ensemble est dit dénombrable s’il est équipotent àN. Dans cette partie, nous allons étudier quelques ensembles dénombrables.
1. Montrer queN∗est dénombrable.
2. Montrer queZest dénombrable.
3. L’ensembleNdest dénombrable.On définit l’applicationϕ:N2→Npar
∀(p,q)∈N2, ϕ(p,q)=2p(2q+1)−1.
a) En utilisant le théorème fondamental de l’arithmétique, montrer queϕest surjective.
b) Montrer queϕest bijective.
c) En déduire par récurrence pour toutd∈N∗que l’ensembleNd est dénombrable.
4. L’ensembleQest dénombrable.
a) Construire une application injective deQdansN×Z.
b) En utilisant le théorème de Cantor-Bernstein, en déduire queQest dénombrable.
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IV. L’ensemble des nombres réels
Pour terminer, nous allons étudier l’ensembleR. On rappel que pour tout nombre réelx∈]0, 1[, il existe une unique suite (dn(x))n∈N∗∈J0, 9K
Nqui n’est pas stationnaire en 9 telle que
x= lim
n→+∞
à n
X
k=1
dk(x) 10k
! .
La suite (dn(x))n∈N∗est le développement décimal dex. SiA∈P(N), on définit1A:N→{0, 1} par
∀`∈N, 1A(`)=
½ 1 si `∈A 0 si `∉A.
1. Montrer que l’applicationα:]0, 1[→Rdéfinie par
∀x∈]0, 1[, α(x)= 2x−1 4x(1−x) est bijective.
2. Les ensemblesRetRd sont équipotents.
a) En utilisant le développement décimal d’un nombre réel rappelé ci-dessus, construire une application injective de ]0, 1[2dans ]0, 1[.
b) En déduire que ]0, 1[ et ]0, 1[2sont équipotents.
c) En déduire queRetR2sont équipotents.
d) Montrer queRetRd sont équipotents pour toutd∈N∗. 3. Les ensemblesRetP(N)sont équipotents.
a) Montrer que l’applicationg:]0, 1[→P(N) définie par
∀x∈]0, 1[, g(x)= ( n
X
k=1
dk(x)∈N|n∈N∗ )
. est injective.
b) En utilisant le développement décimal d’un réel, construire une application injective de l’en- sembleP(N) dans ]0, 1[
c) En déduire queRetP(N) sont équipotents.
d) L’ensembleRest-il dénombrable ? 4. L’ensembleC0(R,R)est équipotent àR.
a) Montrer que l’applicationC0(R,R)→RQdéfinie par f 7→f|Qest injective.
b) Montrer que l’applicationP(N)→{0, 1}Ndéfinie parA7→1Aest bijective.
c) En utilisant les questions précédentes, montrer queRQetRsont équipotents.
d) En déduire queC0(R,R) etRsont équipotents.
Fin
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