Polyn ˆo mes

(1)

Polynˆ omes

Vincent Pilaud 2007

Dans tout ce texte, A désigne un anneau factoriel, k un corps (commutatif), et A[X] (resp. k[X]) l’algèbre des polynômes à une indéterminée sur A(resp.k).

1 Racines

1.1 D´ efinitions ´ el´ ementaires

Définition 1. Soit P ∈k[X] et a∈k. On dit quea est une racinede P siP(a) = 0, ou de manière équivalente si X−adivise P. On appelle multiplicitéde ale plus grand entier µtel que(X−a)^µ divise P.

Proposition 1. Si P ∈ k[X] admet a1, . . . , aℓ pour racines, de multiplicit´es respectives µ1, . . . , µℓ, alors il existe Q∈k[X]tel queP =QQℓ

(X−ai)^µⁱ.

En particulier, seul le polynˆome nul admet strictement plus de racines que son degr´e.

Définition 2. On dit qu’un polynôme P est scindé si on peut écrire P =λQℓ

(X −ai)^µⁱ, avec ℓ, µ1, . . . , µℓ ∈N et λ, a1, . . . , aℓ∈k.

1.2 Quelques exemples

Les polynômes du second degré. Soienta, betc trois réels, aveca6= 0. Alors le polynôme

P=aX²+bX+c=a(X+ b

2a)²−b²−4ac 4a²

admet deux racines r´eelles ⁻^b+^√_2a^b²⁻^4ac et ⁻^b⁻^√_2a^b²⁻^4ac (resp. une racine double ⁻_2a^b, resp. aucune racine r´eelle) lorsque b²−4ac >0 (resp.b²−4ac= 0, resp.b²−4ac <0).

Le déterminant. Le déterminant d’une matriceM = [mi,j]1≤i,j≤n est un polynôme (à plusieurs indéterminées) en les coefficients de M, donné par la formule

det(M) = X

σ∈S_n

ε(σ)

n

Y

i=1

mi,σ(i).

Les deux exemples suivants montrent des utilisations du caractère polynomial du déterminant : Proposition 2. Soienta0, . . . , an∈k. Le déterminant de Vandermonde dea0, . . . , an est donné par

V(a0, . . . , an) = det







1 a0 . . . aⁿ₀ 1 a1 . . . aⁿ₁ ... ... . .. ...

1 an . . . aⁿ_n







= Y

1≤i<j≤n

aj−ai.

On montre ce résultat par récurrence sur n. Il est évident pourn= 1. Supposons maintenant le résultat vrai au rangn. On considère le déterminantV(a0, . . . , an, X). Un développement par rapport à la première colonne assure que V(a0, . . . , an, X) est un polynôme en X, de degrén+ 1 dont le coefficient dominant estV(a0, . . . , an). Par ailleurs, il s’annule en tous lesai. Par conséquent,V(a0, . . . , an, X) =V(a0, . . . , an)Qn

i=0(X−ai), ce qui donne le r´esultat grˆace

`

a l’hypoth`ese de r´ecurrence.

(2)

Définition 3. On appelle polynôme caractéristiqued’une matriceM ∈Mn(k)le polynômeχM(X) = det(M−XIn).

Ses racines sont exactement les valeurs propres de M, ie. les scalaires α ∈ k tels qu’il existe un vecteur propre x∈kⁿr{0} tel queM x=λx.

Exemple.

1. L’ensemble des matrices inversibles deMn(R) est dense dansMn(R)

2. SoientA, B∈Mn(R)⊂Mn(C).Aet B sont semblables dansRsi et seulement si elles sont semblables dansC. Les suites r´ecurrentes lin´eaires.

Définition 4. On dit qu’une suite (un)n∈N∈ k^N est récurrente linéaire s’il existe p∈N^∗ et v0, . . . , vp ∈k tels que pour touti∈N,

ui+p+1=

p

X

j=0

vjui+j. Le polynˆomeX^p+1−Pp

j=0vjX^j est appelé polynôme générateurde la suite(un)n∈N. Proposition 3. Soit P=Qℓ

(X−ai)^µ_i un polynôme générateur scindé d’une suite récurrente linéaire (un)n∈N. Alors il existe λ1,1, . . . , λℓ,αℓ ∈k, dépendant des conditions initiales, tels que pour tout n∈N,

un =

ℓ

X

i=1 µi

X

j=1

λi,jn^j⁻¹aⁿ_i.

Exemple.Lasuite de Fibonacci d´efinie paru0=u1= 1 etun+2=un+1+un est donn´ee par un=λ 1 +√

5 2

!

+µ 1−√ 5 2

!

, avec λ=1 2 + 1

2√

5 etµ=1 2 − 1

2√ 5.

Les polynˆomes interpollateurs de Lagrange.

Proposition 4. Soientα1, . . . , αn, β1, . . . , βn∈k avec αi6=αj pour touti6=j. Le polynˆome L(X) =

n

X

i=1

βi

Y

j6=i

X−αj

αi−αj

est l’unique polynôme de degré strictement inférieur àntel queL(αi) =βi pour tout 1≤i≤n.

Les polynˆomes de Tchebychev.

Proposition 5. Pour tout entier n, il existe un unique polynômeTn∈R[X] de degrén, appelé n-ième polynôme de Tchebychev, qui vérifie Tn(cosθ) = cos(nθ), pour toutθ∈R.

Ces polynômes vérifient la formule de récurrence suivante :

T0(X) = 1, T1(X) =X et Tn+2(X) = 2XTn+1(X)−Tn(X).

1.3 Relations entre les coefficients et les racines d’un polynˆ ome

1.3.1 Polynômes symétriques élémentaires

Définition 5. Soient p≤n deux entiers. On appelle p-ième polynôme symétrique élémentaire de A[X1, . . . , Xn] le polynôme

Σp,n= X

1≤i1<...<ip≤n

Xi1. . . Xip.

Par exemple, Σ1,1 = X1, Σ1,2 = X1+X2, Σ2,2 = X1X2, Σ1,3 = X1+X2+X3, Σ2,3 = X1X2+X1X3+X2X3, Σ3,3=X1X2X3, etc.

Th´eor`eme 1(Relations racines-coefficients). Soit P =cnXⁿ+. . .+c1X+c0=cnQn

i=1(X−ai)un polynôme scindé (aveccn6= 0). Alors pour tout1≤p≤n, le(n−p)-ième coefficient deP est donné par

cn−p= (−1)^pcnΣp,n(a1, . . . , an).

Exemple.Soientσetπdeux réels. Les deux racines du polynômeX²−σX+π, lorsqu’elles existent, forment l’unique couple de réels dont la somme vautσet le produitπ.

(3)

1.3.2 Localisation de racines

Théorème 2. Soit P =Xⁿ+cn−1Xⁿ⁻¹+. . .+c1X+c0 un polynôme unitaire deC[X]de racines a1, . . . , an ∈C. On note M = max{|ai| |1≤i≤n}. Siδ∈R⁺ vérifieδⁿ≥ |cn−1|δⁿ⁻¹+. . .+|c1|δ+|c0|, alors M ≤δ.

En effet, soientδ∈R⁺ v´erifiantδⁿ≥ |cn−1|δⁿ⁻¹+. . .+|c1|δ+|c0|et z∈Cavec|z|> δ. Alors

|P(z)|=|zⁿ+

n−1

X

i=0

cizⁱ| ≥ |z|ⁿ−

n−1

X

i=0

cizⁱ

≥ |z|ⁿ−

n−1

X

i=0

|ci||z|ⁱ= |z|

δ n

δⁿ−

n−1

X

i=0

|ci|δⁱ δ

|z| n−i!

>0

Ainsi, toute racine deP a un module inférieur ou égal à δ.

Exemple.On obtient en particulier les in´egalit´es suivantes : (i) M ≤max(1,Pn−1

i=0 |ci|),

(ii) M ≤1 + max{|ci| |0≤i≤n−1},

(iii) M ≤ |1−cn−1|+|cn−1−cn−2|+. . .+|c1−c0|+|c0|, (iv) Si tous lescisont non nuls, alors M ≤maxn

2|cn−1|,2_|^|^c_cⁿ⁻²^|

n−1|, . . . ,2^|_|^c_c⁰₁^|_|o .

1.3.3 Continuit´e des racines

Théorème 3 (Continuité des racines d’un polynôme complexe). Soit Un l’ensemble des polynômes deC[X]de degré exactementn(c’est un ouvert deCn[X]que l’on munit de la topologie induite). SoitVn le quotient deCⁿ par le groupe symétrique S_n, munit de la topologie quotient. Alors l’application φ:Un→Vn, qui a un polynôme associe (la classe de) ses racines, est continue.

Remarque.La topologie deVn est métrisée par la distance définie par : d(A, B) = min

σ∈S_n{ max

i=1,...,n|ai−bσ(i)|},

où (a1, . . . , an) (resp. (b1, . . . , bn)) désigne un représentant quelconque de la classe d’équivalenceA (resp.B).

2 Polynˆ omes irr´ eductibles

2.1 D´ efinitions

Définition 6. On dit qu’un polynômeP ∈A[X] est irréductiblesi (i) P /∈A[X]^∗=A^∗,

(ii) ∀Q, R∈A[X] tels queP =QR, on aQ∈A^∗ ouR∈A^∗.

Remarque.L’hypothèse de factorialité de l’anneauAimplique que A[X] est factoriel. Par ailleurs, lorsquek est un corps,k[X] est euclidien, donc factoriel. Ainsi, on se place toujours dans un cadre qui assure l’existence et l’unicité de la décomposition d’un polynôme en produits de facteurs irréductibles.

Exemple.

(a) Sur un corps algébriquement clos, les seuls polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1.

(b) Sur R, les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 de la forme aX²+ bX+c, aveca6= 0 etb²−4ac <0.

(c) Nous verrons plus loin que surQou sur un corps fini, il existe des polynômes irréductibles de n’importe quel degré.

2.2 Relation entre irr´ eductibilit´ e dans A et dans frac( A )

D´efinition 7. Soit P ∈A[X]. On appelle contenude P lepgcdde ses coefficients. On le notec(P). On dit queP est primitif lorsquec(P) = 1.

Lemme 1 (Gauss). Pour tous P, Q∈A[X], on a c(P Q) =c(P)c(Q).

Proposition 6. Soit A un anneau factoriel et frac(A) son corps des fractions. Les polynˆomes irr´eductibles de A[X] sont :

– les constantes irr´eductibles dans A,

(4)

– les polynˆomes non constants primitifs et irr´eductibles dans frac(A).

Remarque.Le polynˆome 2X et irr´eductible surQmais pas surZ.

Lemme 2. SoientP, Q∈A[X]tel queP soit unitaire etP Qsoit unitaire et `a coefficients entiers. AlorsQest unitaire etP etQsont `a coefficients entiers.

Le fait queQest unitaire est ´evident. ´Ecrivons maintenantP=X^α+_µ¹Pα−1

i=0 piXⁱ, o`u les entiersµ, p0, . . . , pα−1

sont premiers entre eux dans leur ensemble (pour celà, il suffit de choisir pour µ le ppcm des dénominateurs des coefficients deP). On écrit de mêmeQ=X^β+¹_νPβ−1

i=0 qiXⁱ, avecν, q0, . . . , qν premiers entre eux dans leur ensemble.

On sait alors que les polynômesµP et νQ sont à coefficients entiers et de contenu 1. On a donc 1 =c(µP)c(νQ) = c(µP.νQ) =µν.c(P Q) =µν, ce qui implique queµ=ν= 1, i.e. queP etQsont à coefficients entiers.

2.3 Exemple : polynˆ omes cyclotomiques

Soit m∈ N^∗. On note U_m ={z ∈ C | z^m = 1} l’ensemble des racines m-ièmes de l’unité dans C. On rappelle queU_mest un groupe cyclique, et on appelleracine primitivem-ième de l’unitétout générateur deU_m. On noteP_m l’ensemble des racines primitives m-ième de l’unité.

Définition 8. On appelle m-ième polynôme cyclotomiquele polynôme Φm= Y

z∈P_m

(X−z).

Proposition 7. (i) Le polynˆome Φm est unitaire de degr´eφ(m).

(ii) X^m−1 =Q

d|mΦd.

(iii) Φm est `a coefficients dansZ.

Les points (i) et (ii) découlent directement des propriétés de structure de Z/mZ. Montrons le point (iii) par récurrence :

– le r´esultat est imm´ediat pourm= 1 puisque Φ1=X−1.

– en supposant le résultat vrai pour tous les entiers inférieurs à m, on obtient que U = Q

d|m,d6=mΦd est un polynôme unitaire à coefficients dansZ. On peut donc effectuer dansZ[X] la division euclidienne deX^m−1 par U : il existe Q, R∈Z[X] tels queX^m−1 =U Q+R et deg(R)< deg(U). L’unicité de la division euclidienne dansC[X] permet de conclure queQ= ΦmetR= 0, ce qui implique que Φm est bien à coefficients entiers.

Théorème 4. Le polynômeΦmest irréductible dans Q[X].

Pour montrer ce théorème, il suffit de montrer que Φmest le polynôme minimal de l’une de ses racines. Soitz∈Pm

etπ∈Q[X] son polynôme minimal (unitaire). On va montrer queπs’annule sur toutes les racines primitivesm-ièmes de l’unité, ce qui impliquera que Φm=π.

Commen¸cons par remarquer que comme X^m−1 s’annule en z, π le divise, donc il existe R ∈ Q[X] tel que πR=X^m−1. Le lemme 2 affirme alors queπetR sont `a coefficients entiers.

Considérons maintenant une racineω deπet un nombre premier pne divisant pasm, et supposons que ω^p n’est pas une racine de π. Tout d’abord, commeπ divise X^m−1, on sait que ω ∈U_m, et donc queω^p ∈U_m. On a donc 0 = (ω^p)^m−1 = π(ω^p)R(ω^p). Comme on a supposé que ω^p n’est pas une racine de π, on obtient R(ω^p) = 0. Le polynômeπétant irréductible, unitaire et s’annulant enω, c’est le polynôme minimal deω, donc il diviseR(X^p). Soit S ∈Q[X] tel queR(X^p) =π(X)S(X). À nouveau d’après le lemme 2, S est unitaire et à coefficients entiers.

Ainsi, l’égalitéR(X^p) =π(X)S(X) est une égalité dansZ[X], et on peut la passer modulop: ¯R(X)^p=R(X^p) =

¯

π(X) ¯S(X). Cette égalité nous assure que siT est un facteur irréductible de ¯π, alorsT divise ¯R(X)^p, donc ¯R(X). Par conséquent,T² divise ¯R¯π=X^m−1 =X^m−1. Ceci est impossible carX^m−1 et sa dérivéemX^m⁻¹ sont premiers entre eux : en effet, comme mest premier avecp, on peut l’inverser dansZ/pZet _m¹X

mX^m⁻¹−(X^m−1) = 1.

On obtient ainsi une contradiction ce qui montre que siω est une racine deπet pun nombre premier ne divisant pasm, alorsω^p est aussi une racine deπ.

Considérons maintenant une racine primitivem-ième de l’unitéz^′. On sait qu’il existe un entier npremier avecm et tel que z^′=zⁿ. On écritn=p^α₁¹. . . p^α_ℓ^ℓ où lespi sont des entiers premiers ne divisant pasm. D’après la discussion précédente, et commez est une racine deπ, il est facile de montrer quez^′ est aussi une racine deπ, ce qui termine la preuve du théorème.

Proposition 8 (Un cas particulier du th´eor`eme de Dirichlet). Soit mun entier non nul.

(5)

1. Soienta∈N et pun entier premier. Si p divise Φm(a)mais pas Φd(a)pour tout diviseur strict dde m, alors p≡1[modm].

2. Il existe une infinit´e de nombres premiers de la formeλm+ 1 (avecλ∈N).

Pour montrer le premier point, il suffit d’étudier l’ordre deadans le groupe (Z/pZ)^∗. On sait quepdivise Φm(a), donc aussia^m−1. Ainsi,a^m≡1 [modp] et l’ordre dea est un diviseur dem. Par un raisonnement similaire, le fait quepne divise Φd(a) pour aucun diviseur strict de massure queaest en fait exactement d’ordrem. Par conséquent, m divise l’ordre du groupe (Z/pZ)^∗, c’est à direp−1, donc p≡1 [modm].

Montrons à présent cette version faible du théorème de Dirichlet. SoitN ∈N. On posea= 3N!. Soitpun diviseur premier de Φm(a). Alors

(i) pest strictement plus grand queN. En effet, sip≤N, alorspdivisea. Comme Φmest à coefficients entiers, on en déduit quepdivise Φm(a)−Φm(0), donc il divise Φm(0) =±1. On obtient une absurdité.

(ii) p≡1 [modm]. En effet, s’il existe un diviseur strictddemtel que pdivise Φd(a), alorsaest une racine double deX^m−1 =Q

d|mΦd(X) dansZ/pZ, ce qui encore une fois est impossible puisque X^m−1 et sa d´eriv´ee sont premier entre eux.

On a donc trouvé une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulom.

Le théorème suivant, du à Kronecker, donne une caractérisation intéressante des polynômes cyclotomiques par les modules de leurs racines :

Théorème 5 (Kronecker). Soit P ∈Z[X] un polynôme unitaire irréductible dans Q[X] de degré supérieur ou égal

`

a 1. On suppose que toutes ses racines sont de module inférieur ou égal à 1. Alors P = X ou P est un polynôme cyclotomique.

Soienta1, . . . , an les racines deP etp0son terme constant. D’apr`es les relations racines-coefficients,po=Q ai. On a alors deux cas :

(i) soit l’une des racines est de module strictement inf´erieur `a 1. Alors|p0|=Q

|ai|<1, doncp0= 0. L’irr´eductibilit´e deP entraine donc queP =X.

(ii) soit toutes les racines de P sont de module 1. Pour tout entier k, on pose µk =Qn

i=1(a^k_i −1). C’est un poly- nôme symétrique en les racines de P, doncµk s’exprime comme un polynôme en les Σi,n(a1, . . . , an), i.e. en les coefficients deP. Par conséquent,µk est un entier pour toutk.

Supposons maintenant que pour toutk,µk soit non nul. Alors

|a^k₁−1|= µk

Q

i6=1|αi−1| ≥ 1 Q

i6=1|ai|^k+ 1 = 1 2ⁿ⁻¹,

donc le sous-groupe deUengendr´e par a1 n’est pas dense. Il existe donc un rationelp/q tel que a1 =e^2ipπ/q. Mais alorsa^q₁= 1 etµq = 0, ce qui contredit notre hypoth`ese.

On en déduit donc que µk s’annule pour un certain k, et donc qu’il existe i tel que a^k_i = 0. Comme P est le polynôme minimal deai, on en déduit qu’il diviseX^k−1, donc c’est un polynôme cyclotomique.

2.4 Crit` eres d’irr´ eductibilit´ e

2.4.1 Irr´eductibilit´e et racines

Pour qu’un polynôme de degré supérieur ou égal à 2 soit irréductible sur un corpsk, il faut évidemment qu’il n’ait pas de racines dansk. Cette condition nécessaire est aussi suffisante si le polynôme est de degré 2 ou 3. La proposition suivante généralise ce fait aux degrés plus grands :

Proposition 9. Soit P un polynôme de k[X] de degré α. Alors P est irréductible si et seulement s’il n’admet de racine dans aucune extension K de ktelle que [K:k]≤α/2.

Exemple.Le polynômeX⁴+X+ 1 est irréductible sur F₂. 2.4.2 Critère de Dumas, d’Eisenstein, ...

Définition 9. SoitA un anneau factoriel etfrac(A)son corps des fractions. Soitpun irréductible de A. On appelle valuationp-adiqued’un élémentade Al’entier vp(a) = max{ℓ∈N|p^ℓdivisea}. On appelle valuationp-adiqued’un

élément â_b de frac(A) l’entiervp a b

=vp(a)−vp(b).

(6)

2 1

0 1 ... ... 7

Fig. 1 – Le 2-polygone de Newton du polynˆome 12 + ¹₅X+ 4X²+¹₂X⁴+X⁵+⁴₇X⁶+ 4X⁷

D´efinition 10. Soit P =Pn

i=0ciXⁱ∈frac(A)[X] et pun nombre premier. On appelle p-polygone de Newton de P l’enveloppe convexe inf´erieure N^p(P)de l’ensemble {(i, vp(ci))|0≤i≤n}.

Exemple.Sur la figure 1, on a grisé le 2-polygone de Newton du polynôme 12 +¹₅X+ 4X²+¹₂X⁴+X⁵+⁴₇X⁶+ 4X⁷. Proposition 10. SoientP etQdeux polynômes defrac(A)[X]etpun irréductible de A. Alors

N^p(P Q) =N^p(P) +N^p(Q) ={u∈R²| ∃v∈ N^p(P), w∈ N^p(Q),tels queu=v+w}. Pour montrer cette proposition, on note

P =X

i∈N

αip^βⁱXⁱ et Q=X

i∈N

γip^δⁱXⁱ

où (αi)i∈N(resp. (γi)i∈N) est une suite presque nulle d’éléments de frac(A) de valuationp-adique nulle et (βi)i∈N(resp.

(δi)i∈N) est une suite d’entiers avec βi = +∞lorsque αi = 0 (resp. δi = +∞ lorsque γi = 0). Avec ces notations, le polygone de Newton N^p(P) (resp. N^p(Q)) est l’enveloppe convexe inf´erieure de l’ensemble{(i, βi) |i ∈N} (resp.

{(i, δi)|i∈N}).

Par ailleurs,

P Q=X

i∈N



 X

j+k=i

αjγkp^β^j^+δ^k



Xⁱ,

doncN^p(P Q) est l’enveloppe convexe inf´erieure de l’ensemblen i, vp

P

j+k=iαjγkp^β^j^+δ^k

|i∈No . Or

vp



 X

j+k=i

αjγkp^β^j^+δ^k



≥min{βj+δk |j+k=i}, (1) donc on a déjà l’inclusionN^p(P Q)⊂ N^p(P) +N^p(Q), et tout revient à montrer l’égalité dans l’inéquation 1.

Pour cela, considérons un sommetudeN^p(P) +N^p(Q). Par définition, il existe (v, w)∈ N^p(P)× N^p(Q) tel que u=v+w. Montrons que ce couple est unique : supposons qu’il existe un autre couple (˜v,w)˜ ∈ N^p(P)× N^p(Q) tel queu= ˜v+ ˜w. On a alorsu=¹₂(v+w+ ˜v+ ˜w) =¹₂((v+ ˜w) + (˜v+w)) etv+ ˜w, ˜v+w∈ N^p(P) +N^p(Q). Commeu est extremal, on obtient doncv+ ˜w= ˜v+w. En combinant avec l’égalitév+w= ˜v+ ˜w, on obtientv= ˜v etw= ˜w.

Ainsi, pour tout sommetu= (x, y) deN^p(P) +N^p(Q), il existe un unique couple d’entiers (j, k) tel quex=j+k et y=βj+δk. On a donc bien égalité dans l’inéquation 1, et donc le résultat.

Nous pouvons maintenant appliquer directement cette proposition pour donner un critère géométrique d’irréduc- tibilité d’un polynôme :

Théorème 6 (Critère de Dumas). Soit P ∈frac(A)[X] de coefficient constant non nul. S’il existe un irréductible p tel que le p-polygone de Newton de P soit l’enveloppe convexe inférieure d’un segment ne rencontrant Z² qu’en ses extremités, alors P est irréductible dansfrac(A)[X].

Exemple.Le critère d’Eisenstein est un cas particulier de ce critère : soitP=cnXⁿ+. . .+c1X+c0∈A[X] etp∈A irréductible et tel que

(i)p6 |cn (ii)∀0≤j≤n, p|aj (iii)p²6 |c0. AlorsP est irr´eductible dans frac(A)[X].

(7)

2 1

0 1 ... ... n

Fig. 2 – Le crit`ere d’Eisenstein

2.4.3 R´eduction modulop

Théorème 7. Soit A un anneau factoriel et frac(A) son corps des fractions. Soit I un idéal premier deA et B le quotient de AparI. SoitP =cnXⁿ+. . .+c1X+c0 un polynôme deA[X]et P˜= ˜cnXⁿ+. . .+ ˜c1X+ ˜c0∈B[X]sa réduction modulo I (c˜i désigne la classe de ci dans B). Sicñ 6= 0 et P˜ est irréductible surB (ou frac(B)), alors P est irréductible surfrac(A)(et donc surAs’il est primitif ).

Exemple.

(i) Le polynôme 5X³+ 4X²+ 3X+ 1 se réduit modulo 2 enX³+X+ 1 qui est irréductible surF2 (il est de degré 3 et n’a pas de racines).

(ii) Même lorsqu’une réduction ne donne pas directement un critère d’irréductibilité, elle fournit des informations sur les possibles décomposition du polynôme de départ. Par exemple, le polynômeP =X⁵+X²+X+ 2 se réduit modulo 2 enX(X⁴+X+ 1). Le polynômeX⁴+X+ 1 étant irréductible dans F₂, il y a deux possibilités : soit P est irréductible, soitP se décompose en deux polynômes, l’un de degré 1 et l’autre de degré 4. Or la réduction deP modulo 3 n’a pas de racine, donc la deuxième solution est écartée.P est donc irréductible.

(iii) Il existe des polynômes irréductibles surZdont la réduction modulo n’importe quel nombre premier est réduc- tible : c’est le cas du polynôme cyclotomiqueX⁴+ 1.

3 Extensions de corps

3.1 Rappels sur les extensions de corps, nombres alg´ ebriques et transcendants

D´efinition 11. Soientk etK deux corps tels quek⊂K. On dit alors queK est une extension(de corps) de k, et on note K/k cette extension.

SiK est une extension dek, alorsK peut être vu comme unk-espace vectoriel avec la loi externe :∀a∈k,∀b ∈ K, a.b=ab (multiplication dans le corpsK). SiK est de dimension finie surk, on dit que l’extension estfinie et la dimension de K surkest appeléedegré de l’extension et est notée [K:k].

Théorème 8 (de la base télescopique et de la multiplication du degré). Soient K, L et M des corps tels que K ⊂ L ⊂ M. Soient (ei)i∈I et (fj)j∈J des bases respectives du K-espace vectoriel L et du L-espace vectoriel M. Alors (eifj)i∈I,j∈J est une base duK-espace vectorielM. En particulier, si les extensionsL/KetM/Lsont finies de degrés respectifs[L:K]et[M :L], alors l’extensionM/Kest finie de degré[M :K] = [M :L][L:K].

SoitK/k une extension de corps et Aune partie de K. On note k(A) (resp. k[A]) le plus petit sous-corps (resp.

sous-anneau) de K contenantk et A. On a bien sˆurk[A]⊂k(A). Si A={a1, . . . , an} est fini, on note aussik(A) = k(a1, . . . , an) (resp.k[A] =k[a1, . . . , an]). SiK=k(a), on dit que l’extension estmonog`ene.

Poura∈K, on a

k[a] ={P(a)|P∈k[X]} et k(a) = P(a)

Q(a) |P, Q∈k[X], Q(a)6= 0

.

Il est important de noter quek[a] (resp.k(a)) n’est en général pas isomorphe àk[X] (resp. àk(X)) puisqu’il peut arriver queP(a) = 0 avecP6= 0. Plus précisément, il y a deux situations possibles :

D´efinition 12. SoitK/k une extension de corps eta∈L. Soitφ:k[X]−→K le morphisme d´efini parφ(P) =P(a).

(i) Siφ est injective, on dit quea est transcendant.

(8)

(ii) sinon, on dit queaest algébrique. Dans ce cas, l’idéalI= Kerφest principal non nul, donc il est engendré par un unique polynômeπunitaire, appelé polynôme minimal de asurk.

Proposition 11. (i) Si aest transcendant,k[a]≃k[X]etk(a)≃k(X).

(ii) Sia est alg´ebrique,k[a]≃k(a)≃k[X]/(π).

Exemple.

– iet √³

2 sont alg´ebriques surQ, – eetπsont transcendants surQ, – le nombre de LiouvilleP 1

10^n! est transcendant.

Autant il est difficile de montrer queeetπsont transcendants, autant le fait queP ₁

10^n! soit transcendant d´ecoule directement du lemme suivant :

Lemme 3. Soitαun nombre alg´ebrique. Alors il existe n∈N^∗ etλ∈R^∗ tels que∀(p, q)∈Z×Z^∗,|α−^pq| ≥q^λⁿ. En effet, soit P tel que P(α) = 0. On note n le degr´e de P et λ = 1/sup_[α₋_1;α+1]|P^′|. Alors pour tout ^p_q ∈ [α−1;α+ 1], on a|P(^p_q)| ≤ λ¹|^pq −α|. MaisP(^p_q)≥q¹ⁿ, et donc|α−^pq| ≥ q^λⁿ.

Proposition 12. Soit K/k une extension et κ = {x ∈ K | x alg´ebrique surk}. Alors κ est un corps (on parle d’extension interm´ediaire).

Définition 13. On dit qu’un corps kest algébriquement closs’il satisfait les conditions équivalentes suivantes : (i) tout polynôme non constant dek[X] admet une racine dansk,

(ii) les seuls polynômes irréductibles dek[X] sont les polynômes de degré1, (iii) tout élément algébrique d’une extensionK/k est contenu dansk,

(iv) il n’existe pas d’extension alg´ebrique dek(autre que k).

3.2 Corps de rupture, corps de d´ ecomposition

Définition 14. Soit k un corps etP ∈k[X] irréductible. Une extensionK de k est un corps de rupturede P surk siK est une extension monogène K=k(a) avecP(a) = 0.

Remarque.

(i) Par exemple,C=R[i] est le corps de rupture deX²+ 1 surR,Q[√³

2] est celui deX³−2 sur Q.

(ii) La dimension [K:k] est le degr´e deP.

Proposition 13. Il existe un unique corps de rupture deP surka isomorphisme pr`es. On le note` Rk(P).

Définition 15. Soit kun corps etP ∈k[X]. Une extensionK de k est un corps de décompositionde P surk si : – P est scindé sur K,

– les racines deP dansK engendrentK.

Remarque.

(i) Par exemple,Q[√³

2, j] est le corps de d´ecomposition deX³−2 surQ. (ii) La dimension [K:k] divise la factorielle du degr´e deP.

Proposition 14. Il existe un unique corps de décomposition deP surkà isomorphisme près. On le noteDk(P).

Définition 16. On appelle cloture algébriqued’un corpsk toute extension dek qui est à la fois algébriquement close et algébrique surk.

Proposition 15. Il existe une unique cloture algébrique dek à isomorphisme près. On le note¯k.

(9)

4 Application : corps finis

4.1 G´ en´ eralit´ es

4.1.1 Caract´eristique, cardinal

Définition 17. Soit k un corps. On appelle sous-corps premiers de k le plus petit sous-corps dek contenant 1. On appelle caractéristiquedekle générateurcar(k)du noyau du morphisme deZdanskdéfini parn7→n= 1+1+. . .+1.

On a alors :

1. soit la caract´eristique dekest nulle, et son sous-corps premier estQ.kest donc infini.

2. soit a caract´eristique dek est un nombre premierpet le sous-corps premier de kestF_p=Z/pZ.

Proposition 16. Si un corps est fini, alors son cardinal est une puissance de sa caract´eristique, qui est un nombre premier.

Proposition 17. Soit kun corps de caractéristiquep. Alors l’application x7→x^p définit un automorphisme du corps k, appelé automorphisme de Frobénius.

4.1.2 Existence et unicit´e

Théorème 9. Soit pun nombre premier, m∈N^∗ et q=p^m. À isomorphisme près, il existe un unique corpsF_q à q

éléments : c’est le corps de décomposition de X^q−X surFp.

4.1.3 Sous-corps et cloture alg´ebrique d’un corps fini

Proposition 18. Soitpun nombre premier, m∈N^∗ etq=p^m. On a une bijection {diviseurs dem} ←→ {sous−corps deF_q}

d 7−→ {x∈F_q|x^p^d−x= 0}

|F| ←−[ F

Exemple.Soitpun nombre premier etx∈F_p2. Alorsxest dansF_psi et seulement six^p=x.

Proposition 19. Soitppremier. Alors Kp=S

n∈N∗F_pn! est la cloture alg´ebrique deF_p.

4.2 Polynˆ omes irr´ eductibles sur un corps fini

Proposition 20. Le groupe multiplicatifF^∗_q est cyclique.

En particulier, siaest un générateur deF^∗_q, alorsFq =Fp[a]. On en déduit : Proposition 21. Il existe donc au moins un polynôme irréductible de degrémsurF_p.

Un tel polynôme permet de représenterF_q sous la formeF_p[X]/(π). C’est cette représentation que l’on utilise en pratique pour les corps finis non premiers.

Théorème 10. Soit p un nombre premier, m ∈ N^∗ et q = p^m. Pour tout d ∈ N, on note A(q, d) l’ensemble des polynômes irréductibles unitaires de degrédsurF_q. Alors pour toutℓ∈N,

X^q^ℓ −X =Y

d|ℓ

Y

P∈A(q,d)

P.

Considérons en effet un entierddivisantℓet un polynômeP deA(q, d). Soitκ=RF_q(P) le corps de rupture deP surF_q. L’extensionκ/Fq est de degréd, doncκ≃F_qd={racines deX^q^d−X}. On en déduit queP diviseX^q^d−X, qui divise X^q^ℓ−X (carX^q^ℓ−X = (X^q^d−X)(X^q^ℓ−d+X^q^ℓ−^2d+. . .+ 1)). Le polynômeP est donc bien un diviseur deX^q^ℓ−X.

Réciproquement, soitP est un facteur irréductible unitaire de degréd deX^q^ℓ−X et soitxest une racine de P dansF_q^m. Alors par multiplicativité des degrés, on a

[F_qℓ :F_q(x)].d= [F_qℓ :F_q(x)][F_q(x) :F_q] = [F_qℓ :F_q] =ℓ.

(10)

DoncddiviseℓetP ∈A(q, d).

Enfin, les racines deX^q^ℓ −X dans F_qℓ étant des racines simples, tout facteur irréductible de X^q^ℓ −X apparaˆıt avec multiplicité 1. On a donc bien l’égalité

X^q^ℓ −X =Y

d|ℓ

Y

P∈A(q,d)

P.

Définition 18. On appelle fonction de Möbius la fonction définie par µ(1) = 1, µ(n) = 0 si n contient un facteur carré et µ(p1. . . pr) = (−1)^r si lespi sont des nombres premiers distincts.

Lemme 4. (i) Pour tout entiern,P

d|nµ(d) =δ1,n. (ii) Soit f :N^∗→Net g:N^∗→Nd´efinie parg(n) =P

d|nf(d). Alors pour toutn∈N^∗, f(n) =X

d|n

µn d

g(d).

Le premier point est clair pour n = 1. Maintenant, si pest un nombre premier divisant n, alors n =mp (avec m∈N) et

X

d|n

µ(d) = X

d|mp

µ(d) = X

p6 |d|m

µ(d) +µ(dp) + X

p|d|m

µ(dp) = 0.

Pour le second point, on ´ecrit X

d|n

µn d

g(d) =X

d|n

µn d

X

e|d

f(e) =X

n d|n

µn d

X

n d|ⁿ_e

f(e) =X

n e|n

f(e)X

n d|ⁿ_e

µn d

=X

n e|n

f(e)δ1,ⁿ_e =f(n).

Proposition 22. Pour tout puissance d’un nombre premierq=p^m et tout entierℓ, on a

|A(q, ℓ)|= 1 ℓ

X

d|ℓ

µ ℓ

d

q^d∼^ℓ→∞

q^ℓ ℓ. Le theorème 10 donne l’égalité q^ℓ = P

d|ℓd|A(q, d)|, ce qui donne la première égalité par la formule d’inversion.

Pour obtenir l’équivalent, il ne reste plus qu’à majorer la différence :

X

d|ℓ d6=ℓ

µ ℓ

d

q^d

<

⌊²^ℓ⌋ X

d=1

q^d =qq⌊^ℓ²⌋ −1 q−1 =o

q^ℓ ℓ

.

4.3 Carr´ es dans un corps fini

4.3.1 L’ensemble F²_q

Soitpun nombre premier,m∈N^∗etq=p^m. Dans toute la fin de ce texte, on noteF²_q ={x∈F_q | ∃y∈F_q, x=y²} et F^∗_q²=F²_qr{0}.

Proposition 23. 1. Sip= 2, alors F²_q =F_q. 2. Sip >2, alors

F²_q =^q+1₂ .

Dans toute la suite,pest suppos´e diff´erent de 2.

Proposition 24. Soitx∈F^∗_q. Alors x∈F²_q si et seulement si x^q−1² = 1.

Exemple.−1 est un carr´e deF_q si et seulement siq≡1 [mod 4].

(11)

4.3.2 R´eciprocit´e quadratique

D´efinition 19. Soit pun nombre premier diff´erent de 2 etx∈F_p. On note

x p

=x^p−1² le symbole de Legendrede x. On l’´etend pour y∈Zpar

y p

=

¯ y p

.

Proposition 25. On a

1 p

= 1,

−1 p

= (−1)^p−1² et 2

p

= (−1)^p

2−1 8 .

Théorème 11(de réciprocité quadratique de Gauss). Pour tous nombres premierspetq distincts et différents de2,

on a

p q

q p

= (−1)^{(p−1)(q−1)}⁴ .

Pour prouver ce résultat, on considère une racine primitiveq-ième de l’unitéω dans une cloture algébrique deF_p. On peut alors définirω^xpourx∈F_q puisque ω^q = 1. On definit donc lasomme de Gauss :

S= X

x∈F_q

x q

ω^x.

On proc`ede alors en deux ´etapes : (i) On a

S²= X

x∈F_q

x q

ω^xX

y∈F_q

y q

ω^y= X

z∈F_q



 X

x∈F_q

x q

z−x q



ω^z.

Or six6= 0, on a x

q

z−x q

=

x(z−x) q

= −x²

q

1−zx⁻¹ q

= (−1)^q−²¹

1−zx⁻¹ q

. d’o`u

(−1)^q−1² S²= X

z∈F_q



 X

x∈F∗ q

1−zx⁻¹ q



ω^z= (q−1) + X

z∈F∗ q



 X

x∈F∗ q

1−zx⁻¹ q



ω^z= (q−1)−X

z∈F∗ q

ω^z=q,

car lorsquez6= 0, l’applicationx7→1−zx⁻¹ d´efinit une bijection deF^∗_q dansF_qr{1} etP

y6=1

_y

q

=−1.

On a donc montr´e que

S²= (−1)^q−1² q.

(ii) Par ailleurs

S^p=



 X

x∈F_q

x q

ω^x





p

= X

x∈F_q

x q

ω^xp= X

x∈F_q

xp⁻¹ q

ω^x=

x q

S.

On a alors tous les ´el´ements pour terminer la preuve : p

q

=S^p⁻¹= S²^p−1₂

=

(−1)^q−1² q^p−₂¹

= (−1)^{(p−1)(q−1)}⁴ q

p

.

5 Questions et remarques

5.1 Questions

On pourra traiter les probl`emes suivants : 1. sur les exemples du paragraphe 1.2 :

(a) montrer les propositions 3, 4 et 5.

(b) montrer les deux assertions de l’exemple 1.2.

(12)

(c) donner l’inverse d’une matrice de Vandermonde (on pourra soit utiliser la formule de la comatrice, soit utiliser des polynˆomes interpollateurs de Lagrange).

(d) soientα1, . . . , αn, β1, . . . , βn, γ1, . . . , γn∈R. Montrer qu’il existe un unique polynômePde degré strictement inférieur à 2ntel que pour tout 1≤i≤n, on aitP(αi) =βi etP^′(αi) =γi.

(e) montrer que les polynômes de Tchebytchev vérifient la formule de dérivation suivante : (1−X²)T_n^′′(X)−XT_n^′(X) +n²Tn(X) = 0.

2. sur la localisation des racines :

(a) montrer les 4 inégalités de l’exemple 1.3.2 (pour le (iii), on considèrera le polynômeR(X) = (X−1)P(X) auquel on appliquera le résultat du (i)).

(b) soitP ∈C[X]. Montrer que les racines deP^′ sont situées dans l’enveloppe convexe des racines deP. 3. sur les critères d’irréductibilité :

(a) donner d’autres exemples de critères d’irréductibilité que l’on peut obtenir à partir du critère de Dumas.

(b) montrer que même si le critère de Dumas ne révèle pas l’irréductibilité d’un polynômeP, il peut donner des informations sur les éventuels diviseurs deP. Montrer par exemple que le polynômeP = 6X⁴+3X³+2X²+6 est irréductible en utilisant les diagrammesN²(P) etN³(P).

(c) appliquer le crit`ere d’Eisenstein `aXⁿ+ 2 etX^p⁻¹+. . .+X+ 1 (faire la transformationY + 1 =X).

(d) montrer que le polynômeX⁴+ 1 est réductible dans F_p pour tout premierp(on pourra d’abord montrer quep²−1 est divisible par 8 pour tout nombre premier impairp, et en déduire l’existence d’une racine de X⁴+ 1 dansF_p²). Pourquoi est-il irréductible dans Z?

(e) montrer que pour toutppremier,X^p−X−1 est irr´eductible dansF_p. 4. sur les corps finis :

(a) repr´esenter et faire des calculs dans un corps fini sous maple (la question ne se limite ´evidemment pas aux corps premiers).

(b) comment fait-on pour trouver un polynôme irréductible unitaire de degréℓsurF_q?

(c) donner une preuve de la loi de réciprocité quadratique sans passer par les corps finis (c’est-à-dire en prenant pourω une racine primitiveq-ième de l’unité dansC).

(d) calculer

−3 p

en fonction du reste depmodulo 3.

5. autres questions :

(a) montrer que Φm(0) =±1.

(b) montrer qu’il existe une infinit´e ind´enombrable de nombres transcendants.

(c) montrer (directement) qu’il existe une infinit´e de nombres premiers congrus `a 1 (resp. 3) modulo 4.

5.2 Remarques et r´ ef´ erences

Pour ce texte, j’ai utilisé essentiellement le Cours d’algèbre de d. Perrin, le livre de Théorie de Galois de y.

Gozard, le tome d’algèbre desMaths en têtedex. Gourdonet les Exercices pour l’agrégation(Tome 1 d’algèbre) des. Francinou & h. Gianella.

Il va sans dire que tout ou partie de ce texte peut être présenté dans les le¸cons d’agrégation portant sur les polynômes. Pourtant, il me semble important dans ces le¸cons de bien réfléchir aux différences de point de vue que leur titre suggère. Il faudra donc rester prudent dans l’utilisation de ce texte.