X(jf ) exp(+j2πf t) df

Analyse des signaux

signaux

Ce chapitre présente quelques outils fréquemment utilisés en analyse des signaux.

On y trouvera des aspects pratiques de la transformationde Fourier,son extension

auxsignaux bidimensionnels(les images),lesfonctions d'auto-etd'intercorrélation

servant à caractériser et comparer des signaux entre eux et enn une présentation

succintedes signaux aléatoires.

4.1. Transformation de Fourier

4.1.1. Dénition de la transformation de Fourier

Lestransformations de Fourier directeet inverse sontdénies commesuit

x(t) ≡

Z + ∞

−∞

X(jf ) exp(+j2πf t) df

^(4.1)

X(jf ) ≡

Z + ∞

−∞

x(t) exp( − j2πf t) dt

^(4.2)

On constate que les descriptions temporelle et spectrale sont parfaitement symé-

triquesetquelesunitésde

X(jf)

^{ne sontpas lesmêmesquecellesdusignaloriginal}

x(t)

^{.Danslecas où}

x(t)

^{est une tension}électrique, satransformée

X(jf)

^s'exprime

en [V/Hz] et elle est dénie comme la densité spectrale d'amplitude du signal

temporel

x(t)

^.

Ennotation abrégée, ondécrira ces deux transformations par lesopérateurs

T F { }

et

T F I { }

^.La correspondance réciproques'écrit alors :

x(t) = T F I { X(jf ) } ←→ T F { x(t) } = X(jf )

Si la fonction

x(t)

^{ne possède pas de symétries} particulières, sa densité spectrale d'amplitude

X(jf )

^{est une fonction complexe:}

x(t) ←→ X(jf ) = X r (f ) + jX i (f )

^(4.3)

Lemodule et laphase de la densité spectraled'amplitude valentalors :

| X(jf ) | ≡ X(f) = q

X _r ² (f ) + X _i ² (f )

^(4.4)

∠ X(jf ) ≡ α(f) = arctan X i (f )

X r (f )

^(4.5)

4.1.2. Puissance et énergie d'un signal

Les signaux permanents, périodiques ou non, sont caractérisés par leur puissance

moyenne (leur énergie est inniment grande). On a vu dans le cours Signaux et

Systèmesquelessignaux périodiques ontune puissance quel'on peut calculeraussi

bien dans ledomainetemporel que fréquentiel:

P = _T ¹

Z +T /2

− T /2

x ² (t) dt

V

2

(4.6)

P =

+ ∞

X

−∞

| X(jk) | ²

V

2

(4.7)

où

X(jk)

^est l'amplitudecomplexe de lacomposante spectraled'ordre

k

^.

Danslecas dessignauxnonpermanents,onprendragardeàparlerde leurénergieet

nonpasde leurpuissance,car celle-ciest nullesil'onconsidère uneduréeinniment

longue.De même que pour les signaux périodiques, on peut calculer l'énergied'un

signalapériodique dans lesdomaines temporel etfréquentiel :

W =

Z + ∞

−∞

x ² (t) dt

V

2

sec

(4.8)

W =

Z + ∞

−∞ | X(jf ) | ² df

V

2 /

^Hz

(4.9)

L'expressionde l'énergied'unsignal

x(t)

^{dansledomainedes fréquences entraîne la}

dénition de la densité spectrale d'énergie

S x (f)

^:

S x (f ) ≡ | X(jf ) | ² = X(jf ) · X(jf ) ^∗

V

2 /

^Hz

²

(4.10)

On noteraque ses unitéss'expriment en

[

^V

² /

^Hz

² ]

^{lorsque le signal est une tension.}

4.1.3. Propriétés de la transformation de Fourier

Parmi le grand nombre de propriétés associées à la transformation de Fourier, on

retiendra particulièrement celles qui ont le plus d'intérêt en traitement du signal.

Ellessontprésentéesdansletableau4.1.Deplus,unetableillustréedestransformées

de Fourier tirée de l'ouvrage de F. de Coulon[2] est présentée en n de chapitre.

4.2. Exemples de spectres continus

Pour illustrer l'utilisationde la transformée de Fourier, calculons les densités spec-

trales de quelques signaux particuliers.

a)linéarité

ax(t) + by(t) aX(jf ) + bY (jf )

b)décalage

x(t + t d ) X(jf ) exp(+j2πf t d )

c)amortissement

x(t) exp( − at), x(t)

^causal

X(j2πf + a)

d)modulation

x(t) exp(+j2πf 0 t) X (j(f − f 0 ))

e)dérivation

dx(t)

dt j2πf X(jf )

1

j 2πf X(jf ) + 1

2 X(0)δ(f)

f) intégration

Z t

−∞

x(t)dt

avec

X(0) = Z + ∞

−∞

x(t)dt

h(t) ⊗ x(t) H(jf ) · X(jf )

g)convolution

h(t) · x(t) H(jf ) ⊗ X(jf )

h)énergie

W =

Z + ∞

−∞

x ² (t)dt W = Z + ∞

−∞ | X(jf ) | ² df

j) valeurs àl'origine

x(t = 0) = Z + ∞

−∞

X(jf)df X(f = 0) = Z + ∞

−∞

x(t)dt

k) rotationOy

y(t) = x( − t) Y (jf ) = X( − jf ) = X ^∗ (jf )

l)fonction paire

x( − t) = x(t) X(jf ) ∈ <

m)fonction impaire

x( − t) = − x(t) X(jf ) ∈ =

4.2.1. Spectre d'une impulsion rectangulaire

Considérons une impulsion

x(t)

^{de largeur}

∆t

^et d'amplitude

A

^{centrée en}

t = 0

(gure4.1). Pardénition de la transformation de Fourier, ona :

X(jf ) = Z + ∞

−∞

x(t) exp( − j2π f t)dt

Entenant compte de la dénition de l'impulsionrectangulairecentrée :

x(t) =







0 si | t | > ^∆t ₂ A si | t | ≤ ^∆t ₂

(4.11)

ilvient :

X(jf ) =

Z +∆t/2

− ∆t/2

A exp( − j 2π f t)dt

= − A

j2πf exp( − j 2π f t)

+∆t/2

− ∆t/2

= − A j2πf

exp( − j2π f ∆t

2 ) − exp(+j2π f ∆t 2 )

= A

πf

exp(+jπ f ∆t) − exp( − jπ f ∆t) 2j

Utilisantlaformuled'Euler:

sin u = exp(+ju) − exp( − ju) 2j

onobtient nalement:

X(jf) = A ∆t sin(πf ∆t)

πf ∆t = A ∆t sinc(f ∆t) ∈ <

^(4.12)

Comme on pouvait s'y attendre, la densité spectrale d'amplitude d'une impulsion

rectangulairecentrée en

t = 0

^{estbiendécritepar unsinuscardinal.Deplus,comme}

l'impulsionrectangulaire

x(t)

^{est paire, sa densité spectrale} d'amplitude

Y (jf )

^est

une fonction réelle. Enn, on remarquera (gure 4.1) que le spectre passe par zéro

chaque fois que le sinus cardinal s'annule, c'est-à-dire, chaque fois que la fréquence

est un multiplede

1/∆t

^.

Onconstate ainsique lespectre d'uneimpulsionest d'autantplus large etde faible

amplitude que l'impulsion est étroite (gure 4.2b). Cette remarque est vraie pour

l'ensembledes signaux de duréelimitée et ellepeut s'énoncer ainsi

Un signal de courte durée possèdeun spectre large bande.

À un spectre étroit correspond un signalde longue durée.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

temps

x(t)

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1 0 1 2 3 4

fréquence

X(jf)

Fig. 4.1.: Impulsionrectangulaire etsa densitéspectraled'amplitude

−10 −5 0 5 10

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x 1 (t)

−5 0 5

−2 0 2 4 6 8 10

X 1 (jf)

−10 −5 0 5 10

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

temps x 2 (t)

−5 0 5

−2 0 2 4 6 8 10

fréquence X 2 (jf)

Fig. 4.2.: Le contenu spectral d'une impulsiondépend fortement de sa durée

4.2.2. Spectre d'un sinus amorti

Étudions, comme deuxième exemple, la transformée de Fourier d'une sinusoïde de

fréquence

f p

décroissantexponentiellementaucoursdutemps(gure4.3).Sonéqua- tion s'écrit:

y(t) =







0, si t < 0 A exp( − at) sin(2πf p t), si t ≥ 0

(4.13)

Partant de ladénition de latransformée deFourier,oncalculesadensitéspectrale

d'amplitude:

Y (jf ) =

Z + ∞

−∞

y(t) exp( − j2πf t)dt

= Z _∞

0

A exp( − at) sin(2πf p t) exp( − j2πf t)dt

= Z _∞

0

A exp( − at) exp(+j2πf p t) − exp( − j2πf p t)

2j exp( − j2πf t)dt

Cette intégrale ne contient que des exponentielles; elle est très simple à calculer.

Après réduction des deux primitivesàun mêmedénominateur, on obtient :

Y (jf ) = A 2πf p

(a + j2πf ) ² + (2πf p ) ² ∈ C

^(4.14)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1

−0.5 0 0.5 1

temps

y(t)

A = 1.0 f _p = 4.0 a = 0.25

−10 −5 0 5 10

0 0.5 1 1.5 2

fréquence

|Y(jf))|

Fig. 4.3.: Sinusamorti etle module de sa densitéspectraled'amplitude

Onremarqueraqueladensitéspectraled'amplitude

Y (jf )

^{estunefonctioncomplexe}

car lasinusoïde décroissante

y(t)

^{ne possèdepas de symétrie} particulière. La gure 4.3 présente lesinus amortiet lemodule de sadensité spectrale d'amplitude.

On peut également noter lesdeux valeurs particulièressuivantes

f = 0 : Y (0) = A 2πf p

a ² + (2πf p ) ² ' A 2πf p

si

a 2π f p

f = f p : Y (jf p ) = A a

2πf p

a + +j4πf _p ' A

j2a

^si

a 2π f p

4.2.3. Spectre d'une impulsion sinusoïdale

On sait qu'à un produit de convolution dans le domaine temporel correspond un

produitsimple dans le domainecomplexe :

y(t) = h(t) ⊗ x(t) ←→ Y (jf ) = H(jf ) · X(jf )

^(4.15)

L'inverse de cette proposition est également vraie et elle est très pratique pour

calculerle spectre de signaux modulés en amplitude. Elle s'exprimecomme suit. À

un produit simple dans le domaine temporel correspond un produit de convolution

dans ledomainecomplexe :

y(t) = m(t) · x(t) ←→ Y (jf) = M(jf ) ⊗ X(jf )

^(4.16)

Considéronscomme exemple une impulsionsinusoïdalede durée

∆t y(t) =







cos(2πf ₀ t)

^si

| t | < ^∆t ₂ 0

^si

| t | ≥ ^∆t ₂

Voyant que ce signal est équivalent à la multiplication d'un sinusoïde permanente

par une impulsionde largeur

∆t

^{, ona :}

y(t) = m(t) · x(t) = m(t) · cos(2πf 0 t)

^avec

m(t) =







1

^si

| t | < ^∆t ₂ 0

^si

| t | ≥ ^∆t 2

Sachant que lesspectres des signaux

x(t)

^et

m(t)

^valentrespectivement

X(jf ) = 1

2 (δ (f + f 0 ) + δ (f − f 0 )) M(jf ) = A ∆t

^sinc

(f ∆t)

et que la convolution entre une fonction et une impulsion de Dirac reproduit la

fonction à l'endroit où se situe l'impulsion, on voit que le spectre de l'impulsion

sinusoïdalevaut

Y (jf ) = M (jf ) ⊗ X (jf ) = A ∆t

2 (

^sinc

((f + f 0 ) ∆t) +

^sinc

((f − f 0 ) ∆t))

Onconstateainsiquelespectred'uneimpulsionsinusoïdalededurée

∆t

^{estconstitué}

de deux sinus cardinauxsitués en

+f 0

^et

− f 0

^{(gure 4.4).}

−2 −1 0 1 2

−1 0 1

x(t)

−2 −1 0 1 2

−1 0 1

m(t)

−2 −1 0 1 2

−1 0 1

x(t)

temps

−10 −5 0 5 10

0 0.5 1 1.5 2

X(f)

−10 −5 0 5 10

0 0.5 1 1.5 2

M(f)

−10 −5 0 5 10

0 0.5 1 1.5 2

Y(f)

fréquence

Fig.4.4.: Impulsionsinusoïdaleet son spectre

4.2.4. Spectres de deux impulsions

Considéronsun signalconstitué de deux impulsionsd'amplitude

A

^{placéessymétri-}

quementen

± t 0 /2

^{(gure4.5).Cesignalpossèdeunspectrequisecalculefacilement}

àpartirdeceluid'uneimpulsioncentréeen

t = 0

^{etàl'aideduthéorèmedudécalage.}

Commelesignal

z(t)

^{est lasomme de 2 impulsionsdécalées de}

± t ₀ /2

^,

z(t) = x(t + t 0 /2) + x(t − t 0 /2)

^(4.17)

ona:

Z (jf) = A ∆t sin(πf ∆t) πf ∆t

exp(+j2πf t 0

2 ) + exp( − j2πf t 0

2 )

donc

Z (jf) = 2 A ∆t sin(πf ∆t)

πf ∆t cos(πf t 0 )

^(4.18)

Deplus, par rapport àce quivasuivre, ilest intéressant de considérer également la

densitéspectrale d'énergie :

S z (f) ≡ | Z(jf ) | ² =

2 A ∆t sin(πf ∆t)

πf ∆t cos(πf t 0 ) 2

(4.19)

Lesdensités spectralesd'amplitude etd'énergie sont représentées à lagure 4.5.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 0

0.5 1

z(t)

(a)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1 0 1 2

Z(jf)

(b)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

0 1 2 3 4

S z (f) (c)

Fig.4.5.: Deux impulsions rectangulaires symétriques

z(t)

^{avec ses densités spec-}

trales d'amplitude

Z(jf )

^{et d'énergie}

S z (f )

^.

4.3. Extension de la transformation de Fourier

Lespectre d'énergiedes deuximpulsionsétudiéesci-dessus montreunegrandesimi-

litude avec la gure de diraction de Fraunhofer due à deux fentes étroites (gure

4.6). En réalité, il s'agit plus que d'une similitude car on montre en physique que

touteguredediractionestlatransforméede Fourierde l'objetquien estlacause.

De cette analogie, on déduit que la notion de transformation de Fourier peut être

étendueàdesespacesàplusieursdimensions.CettetransformationdeFouriermulti-

dimensionnelleest déniedemanièresimilaireàcellequenousavonsétudiéejusqu'à

présent

x(t) → X(jf ) ≡ Z + ∞

−∞

x(t)

^exp

( − j2π f t) dt

^(4.20)

avec

f

représentant lafréquence des oscillations, c'est-à-dire lenombre de périodes par unitéde temps. Cettefréquence est mesurée en [Hz]ou, de manièreplus fonda-

mentale, en [1/sec].

Dans le cas particulier d'une image (espace à deux dimensions), on a aaire à une

intensitélumineuse

i

^{fonction des} coordonnées

x

^et

y

i = i(x, y)

^(4.21)

Satransformée de Fourierest alors déniecomme suit

I(jf _x , jf _y ) ≡ Z + ∞

−∞

Z + ∞

−∞

i(x, y)

^exp

( − j 2π f _x x)

^exp

( − j2π f _y y) dx dy

^(4.22)

Fig.4.6.: Figuredediraction[3]causéepardeuxouverturesétroitescorrespondant

aux deux impulsionsrectangulaires de la gure4.5

Ici,lesfréquencesspatiales

f x

^et

f y

représentent lenombre de périodes parunité de longueurmesuréesen[1/m].Uneillustrationdes spectresspatiaux(oudesguresde

diraction)d'ouverturescirculaireetcarréeestdonnéeàlagure4.7;onyreconnaît

lafonction sinuscardinal distribuée dans l'espacedes fréquences spatiales

f x

^et

f y

^.

Comme nous venons de le voir, la notion de transformation de Fourier s'applique

à des fonctions bidimensionnelles. On imagine donc aisément que les principes de

ltrage bien connus en électronique peuvent s'étendre de la même manière à des

signaux multidimensionnels. Une illustration en est donnée à la gure 4.7 où l'on

voitcommentl'applicationdemasquesdansledomainefréquentielpermetd'extraire

les bords de l'image (ltrage passe-haut) ou de défocaliser l'image (ltrage passe-

bas).On notera qu'un ltrageréaliséavec un masqueconstitué simplementde 0 ou

1n'est pas optimumcar ilentraîne leseets de franges bien visibles sur les images.

4.4. Classication et types de signaux

Sans entrer dans les détails de la classication des signaux, il faut mentionner que

plusieursapproches sont possibles.Parmi celles-ci,on en citera deux :

laclassicationphénoménologiquequimetl'accentsurlecomportementtemporel

du signal;

laclassicationénergétique oùl'on classeles signauxsuivantqu'ilssont àénergie

nie ou àpuissance nie.

−50

0

50

−50 0

50 0 0.5 1

y x

g(x,y)

−5

0

5

−5 0

5

−0.5 0 0.5 1

f x f _y

G(f x ,f y )

−50

0

50

−50 0

50 0 0.5 1

y x

g(x,y)

−5

0

5

−5 0

5

−0.5 0 0.5 1

f x f _y

G(f x ,f y )

Original Passe−haut Passe−bas

Fig.4.7.: a) Transformées de Fourierspatiales d'un rond etd'un carré

b) Filtragespatialde lalettre A avec un masque quine laisse passer que

les hautesou lesbasses fréquences

4.4.1. Classication phénoménologique

Danscette classication,on répartitgénéralement lessignaux en deux classes prin-

cipaleset quatre sous-classes illustréespar la gure 4.8.

Dansles deux classes principales, ontrouve :

les signaux déterministes dont l'évolution temporelle parfaitement dénie peut

être prédite par un modèle mathématique approprié;

les signaux aléatoires qui ont un comportement temporel imprévisible et dont la

description ne peut sefaire qu'au travers d'observations statistiques.

Signaux

Déterministes Aléatoires

Périodiques Non périodiques Stationnaires Non stationnaires

Fig. 4.8.: Classicationphénoménologique des signaux

Parmi lessignaux déterministes (gure 4.9), on distingue :

les signaux périodiques dont la formese répète régulièrement;

lessignaux pseudo-aléatoiresquisont des signauxpériodiquesmais avec, àl'inté-

rieur de la période, un comportement aléatoire;

les signaux quasi-périodiques qui résultent d'une somme de sinusoïdes dont le

rapportdes périodes n'est pas rationnel;

les signaux non-périodiques; ils sont essentiellement représentés par des signaux

transitoires dontl'existence est éphémère.

Parmi lessignaux aléatoires (gure 4.10), ondistingue :

lessignaux stationnairesdontlescaractéristiques statistiquesne changent pas au

cours du temps (p.ex : le bruit électronique);

les signaux non-stationnaires dont le comportement statistique évolue au cours

du temps (p.ex. : la parole).

4.4.2. Classication énergétique

L'énergie

W _x

^{d'un signal}

x(t)

^{est dénie commesuit}

W _x ≡

Z + ∞

−∞

x ² (t) dt

^(4.23)

−5 0 5

−1

−0.5 0 0.5 1

(a)

−5 0 5

−1

−0.5 0 0.5 1

(b)

−5 0 5

−1

−0.5 0 0.5 1

(c)

temps

−5 0 5

−1

−0.5 0 0.5 1

(d)

temps

Fig.4.9.: Exemples de signaux déterministes:(a) périodique, (b)pseudo-aléatoire,

(c) quasi-périodique, (d) non-permanent

On dira que ce signal est à énergie nie si

W x < ∞

^{. Dans cette catégorie, on}

rencontre tous les signaux temporellement éphémères qu'ilssoientdéterministes ou

aléatoires.

Lapuissance moyenne

P x

^{d'un signal}

x(t)

^{est dénie par}

P x ≡ lim

T →∞

1 T

Z +T /2

− T /2

x ² (t) dt ≡ X _{ef f} ²

^(4.24)

On notera que cette dénition coïncide avec celle du carré de la valeur ecace du

signal

x(t)

^{. On dira que celui-ci est à puissance nie si}

P x < ∞

^{. Cette catégorie}

englobe les signaux périodiques, quasi-périodiques et les signaux permanents aléa-

toires ou non. Dans le cas où le signal est périodique, la durée d'intégration

T

^est

prise égaleà une période du signal.

Certainssignauxthéoriques n'appartiennentàaucunede cescatégories;c'estlecas,

par exemple,de l'exponentielle

x(t) = e ^{− at} − ∞ < t < ∞

^.

4.4.3. Signaux types

Ande clarierleschoses,considéronscommeexempledesignaux-typeslessignaux

représentés à la gure 4.11. Le premier

x 1 (t) = A exp( − at) (t)

^{n'est ni périodique}

nipermanent; dans la même catégorie, on peut placer lessignaux temporaires tels

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1 0 1

(a)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1 0 1

(b)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1 0 1

(c)

temps

Fig.4.10.: Trois exemples de signaux aléatoires : (a) bruit blanc, (b) bruit large

bande, (c) bruit non-stationnaire

quelessignauxpériodiquesdeduréenieparexemple.Ledeuxième,unsignalcarré,

estpériodiqueetpermanent.Letroisièmeest unsignalpermanentquasi-périodique.

Le quatrième

x ₄ (t)

^{est un signal aléatoire permanent pour lequel il n'existe pas de}

descriptiontemporelle.

Signaux déterministes temporaires

Les signaux déterministes temporaires tels que

x 1 (t)

^{sont des signaux à puissance}

moyenne nulle mais énergie nie. Ils possèdent un spectre continu déni par leur

densitéspectrale d'amplitude.Celle-ci n'est autre quela transformée de Fourier du

signal:

X(jf) = Z + ∞

−∞

x(t) exp( − j2πf t) dt [

^{V sec}

] = [

^V/Hz

]

^(4.25)

Leur énergiese calculesoit auniveau temporel

W x = Z + ∞

−∞

x ² ₁ (t) dt

V

2

sec

soitdans ledomaine fréquentiel

W _x = Z + ∞

−∞

S _x (f ) df

V

2 /

^Hz

(4.26)

−5 0 5 10 15 20 25 0

0.5 1 x 1 (t)

−5 0 5 10 15 20 25

−1 0 1

x 2 (t)

−5 0 5 10 15 20 25

−1 0 1

x 3 (t)

−5 0 5 10 15 20 25

−1 0 1

x 4 (t)

temps

Fig. 4.11.:Quatre signaux types

àpartir de la densitéspectraled'énergie

S _x (f)

^{exprimée en}

[

^V

² /

^Hz

² ]

S _x (f) = X(jf ) · X(jf ) ^∗ = | X(jf ) | ²

^(4.27)

Signaux permanents périodiques

Unsignaldéterministepermanent,par exemple

x 2 (t)

^{,est un signal périodique dont}

lapuissance est nie et l'énergieinnie.Sa descriptionspectrale peut se fairegrâce

àla transformée de Fourier du signal

X(jf ) = Z + ∞

−∞

x(t) exp( − j2πf t) dt [

^{V sec}

]

^(4.28)

Pour tous signaux périodiques, on obtient alors une densité spectrale d'amplitude

constituéed'impulsionsde Dirac.Cesimpulsionscorrespondentauxraiesspectrales

du signal périodique qui, commeon lesait, possède un spectre discret.

Plutôtque de travailleravec lesimpulsionsde Dirac, ilest alors plus simple etplus

pratiqued'en rester à ladescription bien connue des séries de Fourier

X (jk) = 1 T

Z +T /2

− T /2

x(t) exp( − j2πkf 0 t) dt [

^V

]

^(4.29)

Lapuissance des signaux périodiques se calculesoitau niveau temporel

P x = 1 T

Z +T /2

− T /2

x ² (t) dt [

^V

² ]

^(4.30)

soitdans ledomaine fréquentiel

P x =

+ ∞

X

k= −∞

| X(jk) | ²

V

2

(4.31)

Signaux permanents non périodiques

Unsignaldéterministepermanentestunsignaldontlapuissanceestnieetl'énergie

innie.L'exempleillustréparlesignalquasi-périodique

x 3 (t)

^{est constituédequatre}

sinusïdes dont les fréquences ne sont pas dans un rapportrationnel. Sadescription

spectralepeut sefaire grâce àla transformée de Fourier du signal

X(jf ) = lim

T →∞

1 T

Z +T /2

− T /2

x(t) exp( − j 2πf t) dt [

^V

]

^(4.32)

etla puissance secalcule auxniveaux temporel oufréquentiel

P x = lim

T →∞

1 T

Z +T /2

− T /2

x ² ₁ (t) dt = Z + ∞

−∞ | X(jf ) | ²

V

2

(4.33)

Signaux aléatoires

Lessignaux aléatoiressont des signaux permanentsqui ne peuvent pas être décrits

analytiquement.Lesdénitionsci-dessus sontdoncinutilisables.Cependant,dansle

cas oùl'on est en possessiond'une suitede valeursenregistrées de durée

T = N ∆t

^,

onpeut calculerlespectreetlapuissance de cette séquence de valeurs

x[n] = x(t = n ∆t)

^:

X(jf ) ' 1 N

N − 1

X

n=0

x[n] exp( − j2πf n∆t) [

^V

]

^(4.34)

P x ' 1 N

N − 1

X

n=0

x ² [n]

V

2

(4.35)

Commelessignaux aléatoiresne sontpar dénitionpas descriptibles,ondoittenter

de trouver des modèles les représentant aussi bien que possible. Cela nous conduit

àles classerdans une des trois catégories types quisont :

les bruits à large bande dans lesquels toutes les fréquences sont présentes à am-

plitudeségales (à lalimite du bruit blanc);

les bruits à bande limitée dans lesquels les composantes hautes fréquences sont

nulles;

les bruitscolorés dans lesquels toutes les fréquences sontprésentes mais avec des

amplitudes variables.

Une illustration temporelle de ces trois bruits est donnée dans la gure 4.23. La

descriptionet analyse de ces signaux sera faitedans la section 4.8.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1

−0.5 0 0.5 1

(a)

Bruits: (a) large bande (b) bande limitée (c) coloré

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1

−0.5 0 0.5 1

(b)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1

−0.5 0 0.5 1

(c)

t

Fig. 4.12.: Troissignaux aléatoires

4.5. Comparaison des signaux

Une opération mathématique qui, de par sa forme, est très proche de la convolu-

tion est la fonction de corrélation de deux signaux. Cependant, contrairement à la

convolution, lebut de lacorrélation est de mesurer le degré de ressemblancede ces

signaux et d'extraire des informations qui, dans une large mesure, dépendent de

l'applicationconsidérée.

Lacorrélationestutiliséedanslesradars,lessonars,lescommunicationsnumériques,

ladétectionde signauxnoyésdans du bruit,la mesurede tempsde transmission, le

GPS (GlobalPositioningSystem), etc.

Danschaquecas,ondisposededeuxfonctions:lesignalderéférence

x(t)

^etlesignal

reçu

y(t)

^{.Ilfautalorstrouveruneopération}mathématiquepermettantdecomparer ces signaux etd'en mesurer la ressemblance oucorrélation. Ceci sefait simplement

eneectuant l'intégraledu produitdes signauxquel'ondécaleprogressivementl'un

par rapport àl'autre.

Deuxillustrationsen sontdonnées danslesgures4.13et4.14.Danslapremière,on

compare deux signaux dont la superposition (maximum de ressemblance) apparaît

après un décalage temporel égal à 0.8. Dans la deuxième, on compare un signal

chirp (signal sinusoïdal dont la fréquence varie linéairement avec le temps) avec sa

version décalée. On y voitque la corrélation d'un tel signal avec sa version décalée

possèdeun maximumtrès biendéniàl'endroitcorrespondantaudécalagedesdeux

signaux.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.5 1

Exemple de corrélation

y(t)

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1 0 1

x(t), y(t+ τ )

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1 0 1

x(t) ⋅ y(t+ τ )

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

−0.1 0 0.1

r xy (+ τ )

temps

Fig. 4.13.: Intercorrélation de deux signaux

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−1 0 1

Exemple de corrélation

y(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−1 0 1

x(t), y(t+ τ )

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−1 0 1

x(t) ⋅ y(t+ τ )

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−0.2 0 0.2 0.4

r xy (+ τ )

temps

Fig. 4.14.: Autocorrélation d'unsignal chirp

4.5.1. Corrélation de signaux à énergie nie

Intercorrélation de deux signaux

Considérantdeuxsignaux

x(t)

^et

y(t)

^{àénergienie,ondénitlafonction}d'intercorrélation (c)commel'intégrale du produit du signal

x(t)

^{avec le signal}

y(t)

^{décaléd'une va-}

leur

τ

^:

r xy (τ ) = Z + ∞

−∞

x(t) y(t + τ ) dt

^(4.36)

Par changement de variable

θ = t + τ

^{, onmontre que}

r _xy (τ) =

Z + ∞

−∞

x(θ − τ ) y(θ) dθ = r _yx ( − τ )

^(4.37)

On voit ainsi que la fonction

r xy (τ )

^{est aussi la version retournée de}

r yx (τ)

^autour

de l'ordonnée

Oy

^.

Commeonpeut leconstater, les fonctionsd'intercorrélation

Z + ∞

−∞

x(t) y(t + τ) dt = r xy (τ)

etde convolution

Z + ∞

−∞

x(θ) y(t − θ) dθ = x(t) ⊗ y(t)

sont formellement très proches. On montre qu'elles sont reliées entre elles par :

r xy (τ ) = x( − τ ) ⊗ y(τ)

^(4.38)

Cette relationvalable dans l'espace temps a bien entendu son équivalent dans l'es-

pace des fréquences :

R xy (jf ) = X ^∗ (jf ) Y (jf )

^(4.39)

Autocorrélation d'un signal

Dansle cas particulier où

y(t) = x(t)

^{, onobtient lafonction} d'autocorrélation (fac) du signal

x(t)

^:

r xx (τ) = Z + ∞

−∞

x(t) x(t + τ) dt

^(4.40)

qui,pour un décalage nul, donne l'énergiedu signal

x(t)

^:

r _xx (0) =

Z + ∞

−∞

x(t) ² dt ≡ W _x

^(4.41)

4.5.2. Corrélation de signaux à puissance nie

Danscecas,lessignauxsontpermanentsetpossèdentuneénergieinnimentgrande;

on ne peut donc pas utiliser les dénitions précédentes. Pour cette catégorie de

signaux,on redénit les deux fonctions de corrélation commesuit :

r xy (τ ) = lim

T →∞

1 T

Z +T /2

− T /2

x(t) y(t + τ ) dt

^(4.42)

r xx (τ ) = lim

T →∞

1 T

Z +T /2

− T /2

x(t) x(t + τ) dt

^(4.43)

Dansle cas d'un décalage nul, ontrouve la puissance du signal

x(t)

^:

r xx (0) = lim

T →∞

1 T

Z +T /2

− T /2

x(t) ² dt ≡ X _{ef f} ² = P x

^(4.44)

Il est d'autre part évident que si les signaux sont périodiques, l'intégration se fera

sur une période seulement.

La gure 4.15 illustre des fonctions d'autocorrélation représentatives de quelques

signaux aléatoires. On y trouve successivement trois signaux dont les puissances

sont les mêmes,à savoir0.2

V

2 ef f

:

un bruit blanc gaussien : son caractère non prévisible est manifeste et il est

conrmé par l'étroitesse du picde la fac.

un bruit à large bande :ce signala étéobtenuen ltrantpasse-bas lebruitblanc.

Son contenu spectral moinsétendu fait qu'ilest raisonnablementpossible de pré-

voir une valeur future pas trop éloignée. Une mesure de cet horizon de prévision

est donnée par la largeurà mi-hauteurdu picde lafac.

un bruit à bande étroite : ce signal a été obtenu en ltrantle bruit blanc àl'aide

d'un ltre passe-bande. Son contenu fréquentiel étroit se manifeste par un com-

portementoscillantdemanièreassezrégulière.Cettepseudo-périodicitéestencore

plus facileàdéterminer àl'aidede safac :ellesemesurepar ladistance séparant

le piccentraldu premier piclatéral.

4.5.3. Propriétés de l'autocorrélation

On rappellera tout d'abord que la fonction d'autocorrélation consiste à décaler un

signalpar rapport àlui-même,puis àintégrer leproduitdes deux. On montre alors

aisémentque la fonctiond'autocorrélationpossèdeles propriétés suivantes :

1. Lorsque le décalage temporel est nul (

τ = 0

^{), la fac est égale à l'énergie du}

signalpour lessignaux à énergienie :

r _xx (0) = Z + ∞

−∞

x(t) ² dt ≡ W _x

^(4.45)

−2 −1 0 1 2

−1 0 1

x(t)

(a)

−2 −1 0 1 2

−0.2

−0.1 0 0.1 0.2

r xx (τ)

−2 −1 0 1 2

−1 0 1

(b)

−2 −1 0 1 2

−0.2

−0.1 0 0.1 0.2

−2 −1 0 1 2

−1 0 1

temps

(c)

−2 −1 0 1 2

−0.2

−0.1 0 0.1 0.2

décalage τ

Fig.4.15.: Quelques signaux etleur fonction d'autocorrélation

ou, àla puissance moyenne pour les signaux àpuissance nie :

r _xx (0) = lim

T →∞

1 T

Z +T /2

− T /2

x(t) ² dt ≡ P _x

2. Comme la correspondance entre les 2 signaux ne peut pas être aussi forte

quelorsque lessignaux sesuperposent exactementcela entraîne quelafac est

maximumpour un décalage nul.On a donc :

r xx (0) ≥ r xx (τ)

^(4.46)

3. Lafac est une fonction paire :

r xx (τ ) = r xx ( − τ )

^(4.47)

4. Lafacd'un bruitblanc (ainsi appelépar analogieà lalumièreblanche consti-

tuéedetoutes lesfréquenceslumineuses)est uneimpulsionde Dirac.Eneet,

le bruit blanc étant formé d'une multitude de fréquences possédant la même

puissance, ilen résulte un signal variant sirapidement quesa valeur présente

estindépendantedes valeurs passéesetquesavaleur est nonnullepour

τ = 0

seulement. On a donc :

r xx (τ) = σ ² δ(t)

^(4.48)

où

σ ²

^{est la variance du signal aléatoire; c'est également, comme on l'a vu}

plus haut, lapuissance du signal aléatoire.

5. La fac d'un signal périodique quelconque est une fonction périodique paire.

Considéronscomme exemplele signal

x(t) = A sin(ωt + α)

^{.On aalors :}

r _xx (τ) = 1

T

Z +T /2

− T /2

x(t) x(t + τ) dt

= A ² T

Z +T /2

− T /2

sin(ωt + α) sin(ω(t + τ ) + α) dt

d'où:

r _xx (τ ) = A ²

2 cos(ωτ )

^(4.49)

Onremarqueainsi quel'amplitudede cettefacestlapuissance

A ² /2

^dusignal

x(t)

^{et quelafac ne nous donne aucune} informationsur la phase

α

^{du signal.}

6. Dans le cas d'un signal

x(t)

^{perturbé par du bruit}

n(t)

^{, il est possible de}

retrouver la fac du signal non perturbé. Considérant

y(t) = x(t) + n(t)

^{, on a}

en eet:

r yy (τ ) = lim

T →∞

1 T

Z +T /2

− T /2

(x(t) + n(t)) (x(t + τ) + n(t + τ)) dt

= lim

T →∞

1 T

Z +T /2

− T /2

(x(t) x(t + τ) + n(t) n(t + τ) · · ·

· · · + x(t) n(t + τ ) + n(t) x(t + τ)) dt

= r xx (τ ) + r nn (τ ) + r xn (τ ) + r nx (τ)

d'où:

r yy (τ) = r xx (τ) + r nn (τ) + r xn (τ ) + r nx (τ)

^(4.50)

Dans le cas où le signal

x(t)

^{et le bruit}

n(t)

^{ne sont pas corrélés, on a bien}

entendu

r xn (τ) = 0 = r nx (τ)

^{; ce qui donnenalement :}

r yy (τ ) = r xx (τ ) + r nn (τ )

^(4.51)

De plus, comme généralement la fac

r nn (τ)

^{du bruit tend rapidement vers 0,}

onvoit que, pour un décalage susamment grand, il restera la fac

r _xx (τ )

^du

signal

x(t)

^.

Uneillustrationde cettedernière propriété(gure4.16)montre commentl'autocor-

rélation permet d'extraire un signal noyé dans un bruit blanc. Dans cette gure,

le signal est une sinusoïde d'amplitude 1 volt et le bruit blanc possède une valeur

ecace de 5 volt.

Le signal extrait est reconnaissable mais encore perturbé par du bruit. Comme ce

bruit résidueldiminue avec la racine carrée du nombre d'échantillon, on voit qu'on

peut diminuer lebruit en augmentant le nombre d'échantillons enregistrés.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−20

−10 0 10 20

Signal + bruit avec 20’000 échantillons

x(t)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0 10 20 30

r xx ( τ )

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1

−0.5 0 0.5 1

r xx ( τ )

décalage τ

Fig.4.16.: Extraction d'un signalavec l'aide de l'autocorrélation

4.5.4. Propriétés de l'intercorrélation

Commepour lafonctiond'autocorrélation,onsecontenterad'énoncer lespropriétés

des fonctions d'intercorrélation :

1. Engénéral lac n'est ni paire, niimpaire.

2. Lemaximumde la c sesitue àl'endroitdu décalage correspondant aumaxi-

mumdesimilitudeentrelesdeuxsignaux.Cettepropriétéesttrèsutiliséepour

mesurer des temps de propagation.

3. Comme le fait de retarder

y(t)

^{par rapport à}

x(t)

^{d'une valeur}

τ

^{équivaut à}

avancer lesignal

x(t)

^{par rapport à}

y(t)

^{, onaura :}

r xy (τ ) = r yx ( − τ )

^(4.52)

4. Si les deux signaux sont périodiques de même période, la c sera également

périodique.

4.5.5. Calcul numérique de la corrélation

Lecalculnumériqued'unecorrélationsefaitenremplaçantl'intégralepar lasomme

du produit des valeurséchantillonnéesavec une période constante unité.

Danslecasoùl'onasusammentdepointsàdisposition,onpeutcalculerlasomme

sur

N

^{pointssans atteindre leslimites des signaux} enregistrés. On a alors :

r xy [k] = 1 N

N − 1

X

n=0

x[n] y[n + k], k min ≤ k ≤ k max

^(4.53)

Commeon l'a vu plus haut (équ. (4.39)), le calcul de l'intercorrélation peut égale-

mentsefairedansledomainefréquentielqui,pourlessignauxnumériques, sefaiten

utilisantla transformation de Fourier discrète(chapitre suivant).On obtientalors

R xy [jk] = 1

N X ^∗ [jk] · Y [jk]

Dans le cas où l'on souhaite utiliser toutes les valeurs à disposition, le nombre

de points intervenant dans la somme diminue au fur et à mesure que le décalage

augmente. Pour éviter de biaiser le résultat de la corrélation, on la calcule alors

commesuit :

r _xy [k] = 1 N − | k |

N −| k |

X

n=0

x[n] y[n + k], 0 ≤ k ≤ N − 1

^(4.54)

4.6. Exemples de corrélation

Lafonctiond'intercorrélationesttrèssouventutiliséepourdétecterlaprésenced'un

messageetmesurer un temps de propagation.Dans ce but, le signal émis est choisi

de manièreà ce que lepicde safonction d'autocorrélation soittrès bien déni. Les

signaux leplus souvent utilisésont les signaux chirp (à fréquence variable aucours

du temps)et lesséquences binaires pseudo-aléatoires.

4.6.1. Fonction de corrélation d'un signal chirp

Le signal chirp est un signal sinusoïdal dont la fréquence (ou la pulsation) varie

linéairement avec le temps.Il est dénicomme suit

x(t) = A sin(θ(t) + α)

avec

θ(t) = Z t

0

ω(t) dt ω(t) = ω min + ω _max − ω _min

t max

t 0 ≤ t ≤ t max

Safonction d'autocorrélationpossède unmaximum trèsbien dénicorrespondant à

lapuissance du signalqui vaut

A ² /2

^{(gure 4.17).}

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−1

−0.5 0 0.5 1

Signal chirp

temps

x(t)

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−0.2

−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Autocorrélation d’un signal chirp

décalage r xx ( τ )

Fig. 4.17.: Autocorrélation d'unsignal chirp

0 50 100 150 200 250

−1

−0.5 0 0.5 1

Séquence binaire pseudo−aélatoire

s[n]

temps n

−100 −50 0 50 100

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Autocorrélation d’une SBPA

décalage m r ss [m]

Fig.4.18.: Autocorrélation d'une SBPA

4.6.2. Fonction de corrélation d'une SBPA

Uneséquence binairepseudo-aléatoire(SBPA)estunesuccession devaleursbinaires

(généralement

± 1

^{) dont la} distribution temporelle possède un caractère aléatoire pendant une certaine durée et qui ensuite se répète périodiquement. Sa fonction

d'autocorrélation possède également un pic très bien déni égal à la puissance

A ²

du signal (gure4.18).

4.7. Deux applications de la corrélation

4.7.1. Le radar

Commeexemple illustratif,imaginonsun systèmeradar avec lequelondésiredétec-

ter laprésence ounon d'un avionpuis connaître la distance à laquelle ilse trouve.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

−1

−0.5 0 0.5 1

Signal émis

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

−0.1

−0.05 0 0.05 0.1

Signal reçu en présence de l’avion

Instants n

Fig. 4.19.:Signaux émis et reçus par un radar

Leradarémet un signal chirp

x(t)

^{etcapte en retourl'écho}

y(t)

^{renvoyé par l'avion}

(gure4.19).S'iln'yapas d'aviondans lazone couvertepar leradar, lesignalreçu

y(t)

^{est constitué d'un bruit}

n(t)

^{seulement.De plus, il est évident que si un avion}

est présent, le signal

y(t)

^{reçu en retour consiste en une version atténuée, retardée,}

etfortement bruitéedu signal émis

x(t)

^{. Ainsi,lesignal reçu peut être décrit par :}

y(t) = A x(t − t d ) + n(t)

avec :

A

^=unefonctiond'atténuationdépendantde ladistance etde laformede l'avion

t d

^{=le tempsmis par l'onde pour faire son aller etretour}

n(t)

^{= lebruit additif captépar l'antenne et générépar} l'électronique du radar.

Pratiquement, le signal reçu est tellement perturbé par le bruit qu'une analyse vi-

suelleestincapablededécelerlaprésenceoul'absenced'unsignalrééchiparl'avion

(gure4.19).

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

−0.1

−0.05 0 0.05 0.1

Signal reçu en l’abscence de l’avion

−500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 500

−2

−1 0 1 2 3 4

5 x 10 ⁻³ Intercorrélation en l’abscence de l’avion

décalage m

Fig. 4.20.: Intercorrélation entre un signalchirp etdu bruit

Les gures 4.20 et 4.21 illustrent le principe de l'utilisationd'un signal chirp pour

détecterun avionetmesurer sadistance. Considéronslesdeux situationssuivantes :

1. Absence d'un avion :Lesignalreçu

y(t)

^{est fortementatténué etperturbé.}

Seule une intercorrélation entre

x(t)

^et

y(t)

^{permet de savoir si un avion est}

présent ou non. Dans ce dernier cas, aucun pic bien distinct n'apparaît dans

legraphe (gure4.20).

2. Présenced'un avion:Ici,l'intercorrélationfaitapparaîtreun pictrèsétroit

sedégageantnettementau-dessusdubruitdefond(gure4.21).Onnoteraque

ce pic est légèrement décalé vers la droite par rapportà la position centrale;

ce décalage correspond au temps d'aller et retour du signal émis. Unefois ce

tempsdéterminé,onpeut calculerladistance de l'avionpar rapportauradar.

4.7.2. La mesure d'un débit

On présente ici un débitmètre industrielréalisé par l'Institut d'AutomatisationIn-

dustriellede laheig-vd. Leprincipe,de mêmeque saréalisation, en est très simple.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

−0.1

−0.05 0 0.05 0.1

Signal reçu en présence de l’avion

−500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 500

−2

−1 0 1 2 3 4

5 x 10 ⁻³ Intercorrélation en présence de l’avion

Instants n

Fig. 4.21.: Intercorrélation entre un signal chirp et du bruit corrélé

Unecamérafournit régulièrementdesimagesd'un uxdegranulés (gure4.22).En

eectuantlacomparaisonparintercorrélationdedeuximagessuccessives,onobtient

un point lumineux se situant aux coordonnées du déplacement

∆y(t)

^. Connaissant lasection

A

^{du conduit, on peut calculerle débit aucours du temps:}

Q(t) = A · ∆y(t)

∆t

La seule diculté de cette mesure réside dans le temps nécessaire pour calculer

l'intercorrélationen temps réel. En eet, si l'on imagine que l'on dispose d'images

de 100x400pixels, on doittraiter 40'000pixels par intercorrélation; ce quientraine

un nombre d'opérations valantenviron

N op ' N _pxl ² = 16 · 10 ⁸

Même avec un DSP très performant(

T clock ' 10

^{ns), iln'est pas possible de fournir}

une information en moins d'une seconde. Par contre, en utilisant la FFT on peut

espérer fournir des résultats dans le temps imparti car celle-ci demande beaucoup

moinsd'opérations

N op ' N pxl

^log

2 (N pxl ) ' 40 · 10 ³ · 15 = 6 · 10 ⁵

L'algorithmede calculest alors lesuivant

1) acquisition de image1

2) acquisition de image2

3) FFT bidimensionnelle de image1 et image2 => IMG1 et IMG2

4) calcul de Rxy = conj(IMG1) * IMG2

5) FFT inverse pour obtenir rxy

6) recherche des coordonnées du maximum d'intensité

Unefoisces calculseectués, il reste encoresusamment de tempspourcalculer le

débitactuel, lisser cette valeur, acher lesimages, etc (gure 4.22).

Fig. 4.22.: Interface du débitmètrede granulés

4.8. Description des signaux aléatoires

Pardénition,lessignauxaléatoiresnepeuventpasêtredécritsanalytiquement.On

peut cependant, commeonl'avu plus haut, tenter de lesclasser dans une des trois

catégories types qui sont:

les bruits à large bande dans lesquels toutes les fréquences sont présentes à am-

plitudes égales(gure 4.23a);

les bruits à bande limitée dans lesquels les composantes hautes fréquences sont

nulles (gure 4.23b);

les bruitscolorés dans lesquels toutes les fréquences sontprésentes mais avec des

amplitudes variables (gure4.23c).

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1

−0.5 0 0.5 1

(a)

Bruits: (a) large bande (b) bande limitée (c) coloré

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1

−0.5 0 0.5 1

(b)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1

−0.5 0 0.5 1

(c)

t

Fig. 4.23.: Troissignaux aléatoires

Commeaucune description analytiquen'est possible pour lessignaux aléatoires, on

tented'enextrairedespropriétésstatistiquestemporellesen utilisantleursfonctions

d'autocorrélation(fac)illustréesàlagure4.24.On endéduitquelafacdu premier

signalestextrêmentétroite;onlamodéliseparuneimpulsiondeDirac.Ladeuxième

fac rappelleune fonction en sinus cardinal.Enn, la troisième peut être modélisée

par une exponentielle décroissante symétrique.

On peut montrer que la transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation

fournit ladensité spectralede puissance

R xx (jf ) = Z + ∞

−∞

r xx (τ ) exp( − j 2πf τ ) dτ

V

2

sec

=

V

2 /

^Hz

L'observation de la densité spectrale de puissance (gure 4.25) des trois signaux

permetdetirerquelques propriétésetde dénirdes modèlesreprésentantaussibien

quepossible chacune des trois densités spectrales de puissance.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−0.5 0 0.5

1 (a)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−0.5 0 0.5

1 (b)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−0.5 0 0.5

1 (c)

τ

Fig.4.24.: Fonctions d'autocorrélation des trois bruits types

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0 0.5

1 (a)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0 0.5

1 (b)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0 0.5

1 (c)

f

Fig.4.25.: Densités spectralesde puissance des trois bruits types

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 0

0.5

1 (a)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0 0.5

1 (b)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0 0.5 1

f (c)

Fig. 4.26.:Troismodèles de densités spectrales de puissance

4.8.1. Le bruit blanc à densité spectrale constante et bande

innie

Il contient toutes les fréquences de

−∞

^à

+ ∞

^{et sa densité spectrale de puissance}

est constante. Il est alors représentépar

R xx (f) = A ² − ∞ < f < + ∞

V

2 /

^Hz

(4.55)

dont la facest une impulsionde Dirac :

r xx (τ ) = A ² · δ(τ)

V

2

(4.56)

Lethéorèmede Parsevalnousditalorsquesapuissance est innie.Est-cepossible?

Commela réponse est négative,on préfère travailleravec un modèle moins simple,

mais plus réaliste;c'est le bruit àdensité spectrale constante et àbande limitée

4.8.2. Le bruit à densité spectrale constante et bande limitée

Il contient toutes les fréquences de

− f max

^à

+f max

^{. Sa puissance nie est souvent}

désignéeparlavariancestatistique

σ _x ²

^{quin'estautrequelecarrédelavaleurecace}

X _{ef f} ²

^{du signal.Ce bruit est alors représenté par}

R xx (f ) =







σ _x ²

2 f max si − f max < f < +f max

V

2 /

^Hz

0 sinon

(4.57)

dont la facvaut

r xx (τ) = σ ² _x sin(2π f max τ)

2π f max τ − ∞ < τ < + ∞

V

2

(4.58)

4.8.3. Le bruit coloré à puissance nie

Il contient toutes les fréquences de

−∞

^à

+ ∞

^{. Maisson spectre diminuant avec la}

fréquence,sa puissance

σ _x ²

^{est nie. Un modèle souvent utilisé est le suivant:}

R xx (f ) = σ _x ²

πf c

1 1 +

f f c

2 − ∞ < f < + ∞

V

2 /

^Hz

(4.59)

dont la facvaut

r xx (τ) = σ ² _x · e ^{− a | τ |} − ∞ < τ < + ∞

V

2

(4.60)

avec

a = 2π f _c [1/

^sec

]

^(4.61)

4.9. Systèmes linéaires et densités spectrales

Il est extrêment fréquent que l'on doive étudier des signaux reliés entre-eux par le

passageautravers d'un systèmelinéaire,par exempleun ltre. Celui-ciétantdécrit

par sa réponse impulsionnelle

h(t)

^{ou sa réponse} fréquentielle

H(jf )

^{, les signaux}

d'entrée

x(t)

^etdesortie

y(t)

^{sontalorsreliésentreeuxparlesrelationsbienconnues:}

y(t) =

Z + ∞

−∞

h(θ) x(t − θ) dθ

^(4.62)

Y (jf ) = H(jf) X(jf )

^(4.63)

où

X(jf )

^et

Y (jf )

^{sontlesdensités spectrales} d'amplitudedes signaux

x(t)

^et

y(t)

^.

Sachant que lesdensités spectralesde puissance (ou d'énergie) valent :

R xx (f) = X(jf ) · X(jf ) ^∗ = | X(jf ) | ²

^(4.64)

R _yy (f ) = Y (jf ) · Y (jf ) ^∗ = | Y (jf ) | ²

^(4.65)

onmontre aisément que les densités spectrales de puissance sont reliées entre elles

par larelation suivante:

R yy (f ) = | H(jf ) | ² R xx (f)

^(4.66)

On peut également montrer que si

x(t)

^et

y(t)

^{sont reliés entre eux par}

h(t)

^{, le}

produitde convolution s'appliqueaux fonctions de corrélation et l'on a:

r xy (τ ) = Z + ∞

−∞

h(θ) r xx (τ − θ) dθ

^(4.67)

R _xy (f ) = H(jf ) R _xx (f )

^(4.68)

Letableau 4.2réunit les relationsexistantentre les signaux, lesfonctions de corré-

lationet lesdensités spectrales.

Domaine temporel Domaine fréquentiel

Signaux

entrée

x(t) X(jf )

système

h(t) H(jf )

sortie

y(t) Y (jf )

relation

y(t) = h(t) ⊗ x(t) Y (jf ) = H(jf ) · X(jf )

Corrélation

entrée

r xx (τ ) R xx (f )

système

h(τ) H(jf )

sortie

r xy (τ ) R xy (jf )

relation

r xy (τ) = h(τ) ⊗ r xx (τ) R xy (jf ) = H(jf ) · R xx (f )

Densités spectrales

R yy (f) = | H(jf ) | ² R xx (f)

Tab. 4.2.:Relations temporelles et fréquentielles

4.10. Énergie et puissance des signaux

Suivantlescaractéristiquesdessignaux,oncalculeraleurpuissancePouleurénergie

W.Ce calculpeut, bien entendu, sefairedans ledomainetemporel :

P = lim

T →∞

1 T

Z +T /2

− T /2

x ² (t)dt

V

2

(4.69)

W = lim

T →∞

Z +T /2

− T /2

x ² (t)dt

V

2

sec

(4.70)

oudans celui des fréquences :

P = Z + ∞

−∞

R(f) df

V

2

(4.71)

W = Z + ∞

−∞

S(f) df

V

2 /

^Hz

(4.72)

où

R(f) [

^V

² /

^Hz

]

^{estladensitéspectraledepuissanceet}

S(f) [

^V

² /

^Hz

² ]

^{estladensité}

spectraled'énergie.

4.10.1. Domaine temporel

Reprenons les signaux de la gure 4.11 et calculons leur puissance ou leur énergie

dans ledomainetemporel.

Signal temporaire

Soit

x ₁ (t) = A exp( − at) (t)

^{; sa puissance moyenne est nulleet son énergie nie :}

P 1 = lim

T →∞

1 T

Z +T /2

− T /2

x ² ₁ (t) dt = 0

W 1 = lim

T →∞

Z +T /2

− T /2

x ² ₁ (t) dt = A ²

2a = A ² τ

2 < ∞

V

2 /

^Hz

(4.73)

Signal périodique permanent

Soit

x 2 (t) = A signe(sin(2π f 0 t))

^{; sapuissance est nie etson énergieinni :}

P 2 = lim

T →∞

1 T

Z +T /2

− T /2

x ² ₂ (t) dt = A ² < ∞

V

2

(4.74)

W 2 = lim

T →∞

Z +T /2

− T /2

x ² ₂ (t) dt → ∞

Signal aléatoire permanent

Unsignal aléatoireetpermanentpossède unepuissance nie etune énergieinnie :

P 3 = lim

T →∞

1 T

Z +T /2

− T /2

x ² ₃ (t) dt = X _{3,ef f} ² < ∞

V

2

(4.75)

W ₃ = lim

T →∞

Z +T /2

− T /2

x ² ₃ (t) dt → ∞

4.10.2. Domaine fréquentiel

Reprenant les signaux de la gure 4.11 et connaissant leur densité spectrale de

puissance ou d'énergie, on peut calculer leur puissance ouénergie dans le domaine

fréquentiel.

Signal temporaire

Son énergiese calculeaprès dénition de sadensité spectrale d'énergie

S 1 (f )

^:

S 1 (f) = | X 1 (jf ) | ² =

A a + j2πf

2

= A ²

a ² + (2πf ) ²

V

2 /

^Hz

²

(4.76)

W ₁ = Z + ∞

−∞

S ₁ (f ) df = Z + ∞

−∞

A ²

a ² + (2πf ) ² df = A ² 2a

V

2 /

^Hz

(4.77)