Décomposition de Dunford

Décomposition de Dunford

Gourdon algèbre Théorème 1

SoitE unk-espace vectoriel de dimension nie. Soitu∈ L(E)tel queχu soit scindé surk. Alors :

∃!(d, n)∈ L(E)²,











u=d+n d◦n=n◦d dest diagonalisable nest nilpotent

Lemme 1

Soitu∈ L(E), soitF ∈k[X]tel queF(u) = 0. SoitF =β

s

Q

i=1

M_i^αi sa décomposition en facteurs irréductibles.

Pour i∈[|1, s|], soitNi = ker(M_n^αi(u)). Alors : E=

s

L

i=1

N_iet ∀i∈[|1, s|], le projecteur surN_i parallèlement à L

j6=i

N_j est un polynôme enu.

Démonstration : E=

s

L

i=1

Ni découle directement du lemme des noyaux Expression despi

Pouri∈[|1, s|], soitQi= Q

j6=i

M_j^αj.

LesQisont premiers entre eux dans leur ensemble donc : (Bézout)

∃U1, . . . , Us∈k[X],

s

X

i=1

UiQi= 1 SoientPi=UiQietpi=Pi(u), pouri= 1. . . s.

Lespisont des polynômes enuetPs

i=1pi= 1. Lespisont des projecteurs

Sii6=j, alorsF|QiQj, doncpi◦pj=QiQj(u)◦UiUj(u) = 0. Donc,

∀i∈[|1, s|], pi=

s

X

i=1

pi◦pj=p²_i Soiti∈[|1, s|], Impi=Ni

Soity=pi(x)∈Impi. Alors :M_i^αi(y) =M_i^αiPi(u)(x) = 0carF|M_i^αiPi. Doncy∈kerM_i^αi=Ni. Soitx∈Ni. On a :x=Ps

=1pj(x) =pi(x)car∀j6=i, M_i^αi|Pj. Doncx∈Impi

Soiti∈[|1, s|],kerpi=L

j6=i

Nj

Soitx∈kerpi. Alors :x=P

j6=i

pj(x)⊂L

j6=i

Impj=L

j6=i

Nj

Soitx∈ Nj, j 6=i. Alors ∃t∈ E, x=pj(t), doncpi(x) = pi◦pj(t) = 0. Ainsi, x∈kerpi. Il s'ensuit : L

j6=i

Nj⊂kerpi

Démonstration du théorème : Existence On écrit : χu = (−1)ⁿQs

i=1(X −λi)^αi. On peut appliquer le lemme précédent àχud'après le théorème de Cayley-Hamilton. On reprend les mêmes notations : Posons d=Ps

i=1λipi. L'endomorphismedest un polynôme enucar lespi sont dansk[u]. De plus,dest diagonalisable, car lespi le sont (projecteurs) et ils commutent deux à deux.

Soitn=u−d. Alorsn∈k[u]et doncdetncommutent.

De plus : Soitq= max

16i6sαi. On a :n=Ps

i=1(u−λiId)pi, puis : n^q =Ps

i=1(u−λiId)^qpi. Or∀i= 1. . . s, (u−λiId)^qpi= (u−λiId)^qPi(u), etχu|(X−λiId)^αiPi. Donc,n^q= 0. D'où,nest nilpotent.

1

Unicité Soientd⁰, n⁰∈ L(E), qui conviennent. Alors :ucommute avecd⁰ etn⁰, et commedest un polynôme enu,dcommute avecd⁰. Commedetd⁰ sont diagonalisables, ils le sont dans une même base et doncd−d⁰ est diagonalisable.

Par ailleurs,d−d⁰=n⁰−nest nilpotent. Donc,d−d⁰= 0, puisn⁰−n= 0.

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