version du 2016-11-14 à 13h36TU (19c1b56)
On fixe un universU. Sauf mention du contraire, les sites (resp. topos) considérés seront desU-sites (resp.
topos), et « petit » signifieraU-petit.
1. Construction des produits orientés La construction suivante est due à Deligne [Laumon, 1983] :
1.1. — Soientf:X→S,g:Y →Sdes morphismes de topos. On suppose queX,Y,Sont des sites de définition C1,C2,D, admettant des limites projectives finies, et quef?,g?prolongent des foncteurs continus entre sites, et commutant aux limites projectives finies. SoitCle site suivant :
(i)Cest la catégorie des couples de morphismesU→V ←Wau-dessus deX→S← Y, oùU→V(resp.
V←W) désigne un morphismeU→f?V(resp.g?V←W) deC1(resp.C2) etVest un objet deD.
(ii)Cest muni de la topologie engendrée (cf. [SGA 4II1.1.6]) par les familles couvrantes(Ui→Vi←Wi)→ (U→V←W) (i∈I)du type suivant :
(a)Vi=V,Wi=Wpour touti, et la famille(Ui→U)est couvrante ; (b)Ui=U,Vi=Vpour touti, et la famille(Wi→W)est couvrante ;
(c)(U0 →V0 ←W0)→(U→ V ← W), oùU0 =UetW0 →West déduit par changement de base d’un morphismeV0→VdeD.
Remarquons que les limites projectives finies sont représentables dansC. On noteCele topos des faisceaux surC.
Lemme 1.2. — Soit F un préfaisceau sur C. Pour que F soit un faisceau il faut et il suffit que les deux conditions suivantes soient vérifiées :
(i) pour toute famille couvrante(Zi→Z)deCdu type (a) ou (b), la suiteF(Z)→Q
i∈IF(Zi)⇒Q
(i,j)∈I×IF(Zi×Z Zj)est exacte ;
(ii) pour toute famille couvrante(U0 →V0←W0)→(U→V←W)du type (c), l’application F(U→V←W)→F(U0→V0←W0)
est bijective.
En particulier, si l’on note(−)ale foncteur faisceau associé, pour toute famille couvrante(Z0 → Z)du type (c), le morphisme de faisceaux associésZ0a→Zaest un isomorphisme.
La nécessité est triviale pour (i), et pour (ii), il suffit d’observer que le morphisme diagonal (U→V0←W0)→(U→V0×V V0←W0×WW0)
est un morphisme couvrant (du type (c)), qui égalise la double flèche
(U→V0×VV0 ←W0×WW0)⇒(U→V0←W0).
Pour la suffisance, on note que les familles couvrantes(Zi →Z)de type (a), (b), ou (c) sont stables par chan- gement de baseZ0 →Z, et on applique [SGA 4II2.3].
1.3. — NotonseX(resp.eY,eS) l’objet final deC1(resp.C2,D). On a des projections naturelles p1:Ce→X, p2:Ce→Y
données par
p?1(U) = (U→eS←eY), p?2(W) = (eX→eS←W).
On a par ailleurs un morphisme canonique
τ:gp2→fp1
donné par le morphisme de foncteursτ: (gp2)? →(fp1)?défini de la façon suivante : pour un faisceauFsur C, et un objetVdeS,
τ: ((gp2)?F)(V)→((fp1)?F)(V) est le composé
F(eX→eS←g?V)→F(f?V→V←g?V)→F(f?V→eS ←eY),
1
où la première flèche est induite par la localisation(f?V → V ← g?V) → (eX → eS ← g?V), et la seconde est l’inverse de l’isomorphisme donné par1.2, relativement au morphisme de type (c)(f?V → V ← g?V → (f?V→eS←eY).
Théorème 1.4. — SoitT un topos muni de morphismesa:T →X,b:T →Yet d’un morphismet:gb→fa. Il existe alors un triplet(h:T →C, αe :p1h→∼ a, β:p2h→∼ b), unique à isomorphisme unique près, tel que le composé
gb β
−1//gp2h τ //fp1h α //fa soit égal àt.
Nous aurons besoin, pour la démonstration, du lemme suivant :
Lemme 1.5. — SoitZ= (U→V←W)un objet deC. Avec la notation de1.2, le carré suivant est cartésien :
(1.5.1) Za
//(p?2W)a
v
(p?1U)a u //((gp?2)V)a .
Dans ce carré,vet les flèches issues deZasont les flèches évidentes, etuest la flèche composée (p?1U)a //((fp1)?V)a τ //((gp2)?V)a,
oùτest le composé
(f?V→eS ←eY)a r
−1 //(f?V→V←g?V)a //(eX→eS←g?V)a,
rdésignant l’isomorphisme(f?V→V←g?V)a→∼ (f?V→eS←eY)ade1.2.
Soitz:Z→Z0 = (f?V →V ←g?V)la projection canonique. Le composéZ→p?1U→(fp1)?Vse factorise à traversz. Par suite, et par définition deτ, le diagramme
Za z //
Z0a
r ''
(p?1U)a //((fp?1)V)a τ //((gp2)?V)a
est commutatif. Comme le composé Z → p?2W → (gp2)?V se factorise aussi à travers z, le carré1.5.1 est donc commutatif. Celui-ci est le pourtour du diagramme suivant, où les flèches autres queτsont les flèches évidentes :
(U→V←W)a //
(f?V→V←W)a //
(eX→eS←W)a
(U→V←g?V)a //
(f?V→V←g?V)a //
r
(eX→eS←g?V)a
Id
(U→eS←eY)a //(f?V→eS←eY)a τ //(eX→eS←g?V)a .
Chacun des carrés qui le composent est cartésien. Il en est donc de même de1.5.1.
1.6. — Prouvons1.4. On peut supposer queaetbsont donnés par des morphismes de sites ([SGA 4IV4.9.4]).
Par1.5l’unicité est claire : pourZ= (U→V←W)dansC, on doit avoir
(1.6.1) h?Z=a?U×(gb)?Vb?W,
oùa?U→(gb)?Vest le composé a?U //(fa)?V t //(gb)?V. Les isomorphismesαetβsont alors tau- tologiques, nous les négligerons dans le reste de la démonstration. Vérifions que le foncteur h? donné par 1.6.1définit un morphisme de toposhvérifiant la propriété énoncée en1.4. Commeh?commute aux limites projectives finies, pour vérifier queh?induit un morphisme de topos, il suffit de vérifier que h?est continu
([SGA 4 IV 4.9.1, 4.9.2]). Il est trivial que h? transforme familles couvrantes du type (a) ou (b) en familles couvrantes. Par ailleurs, si(U0→V0←W0)→(U→V←W)est une famille couvrante du type (c), le carré
b?W0 //
b?W
(gb)?V0 //(gb)?V est cartésien, et par suite
a?U×(gb)?V0b?W0→a?U×(gb)?V b?W
est un isomorphisme. Il reste à vérifier queτinduitt. Mais par définition, le morphisme de faisceaux défini parh?(τ)appliqué àVest le composé
((fa)?V)a r−1 //((fa)?V×(gb)?V(gb)?V)a //((gb)?V)a, donc est égal à celui défini partappliqué à(fa)?V, ce qui achève la démonstration.
Définition 1.7. — Le toposCeconstruit en1.1s’appelle leproduit orienté (gauche) deXetY au-dessus deS, et se noteX←×SY. Les morphismes du diagramme
X←×SY
p1
}}
p2
!!X
f
""
Y
g
||S
sont reliés par la2-flècheτ: gp2→fp1. Il découle de1.4que le quadruplet(X←×SY, p1, p2, τ)est indépendant (à isomorphisme unique près) du choix des sites de définitionC1,C2,D.
Pour un objetZ= (U→V←W)deC, on notera parfoisU←×VWl’objetZadeX←×SY.
On définit de même leproduit orienté droitX →×S Y, avec ses projections canoniquesp1 : X →×S Y → X, p2:X→×SY→Yet la2-flècheτ0:fp1→gp2, qui possède la propriété universelle de1.4, avecXetYéchangés.
1.8. — Désignons par pt un topos ponctuel (catégorie des faisceaux d’ensembles sur un espace réduit à un point). Soientx:pt→X,y:pt→Ydes points deXetYrespectivement, etu:gy→fxune2-flèche. Par1.4, le triplet(x, y, u)définit un pointz:pt→X←×SYtel quep1z'x,p2z'y. Ce point sera noté(x, y, u)(ou parfois (x, y)s’il n’y a pas de confusion à craindre). Tout point deX←×SYest de cette forme.
1.9. — Considérons un diagramme de 1-morphismes de topos
(1.9.1) X0 f
0 //
u
S0
h
Y0
g0
oo
v
X f //Soo g Y
et des2-flèchesa : hf0 → fu,b : gv → hg0. NotonsT = X←×SY,T0 = X0←×S0Y0,p1 : T → X,p2 : T → Y, p10 :T0 →X0,p20 :T0 →Y0les projections canoniques,τ:gp2→fp1,τ0:g0p20 →f0p10 les2-flèches canoniques.
Considérons la2-flèche composée
c: gvp20 b //hg0p20 τ
0 //hf0p10 a //fup10 .
D’après1.4,cdéfinit un diagramme de 1-morphismes
(1.9.2) X0
u
T0
t
p10
oo p02 //Y0
v
Xoo p1 T p2 //Y
et des2-isomorphismesα:p1t→∼ up10,β:p2t→∼ vp20 rendant commutatif le carré
(1.9.3) gp2t τ //
β
fp1t
α
gvp20 aτ
0b//fup10 .
On dit que le triplet(t, α, β)(ou simplementt:T0→T) de1.9.2est déduit de1.9.1parfonctorialité. On notera t=u←×hv.
On a une compatibilité évidente pour un composé de deux données1.9.1.
1.10. — Voici quelques exemples.
(a) Dans la situation de1.4, le triplet(a, b, t)définit un diagramme de type1.9.1 T
a
Id //T
fa
Id T
oo
b
X f //Soo g Y ,
avect:gb→fa, d’où un morphisme
a←×fab:T←×TT →X←×ST.
Par ailleurs, d’après1.4, les flèches identiques deT définissent un morphisme canonique, ditdiagonal
∆:T →T←×TT.
La1-flèchehde1.4est la composée
h= (a←×fab)∆:T →X←×SY.
En particulier, prenant pourTun topos ponctuel, de sorte que∆est un isomorphisme, on a, avec les notations de1.8
(x, y, u) =x←×fxy:pt→X←×SY.
(b) Dans la situation de1.7, soientX0,S0,Y0 des objets de X,S,Y respectivement, etf0 : X0 → S0, (resp.
g0:Y0→S0) une flèche au-dessus def(resp.g),i.e.une flèchef0:X0→f?(S0), (resp.g0 :Y0→g?(S0)). Notons X0←×S0Y0 l’objet (X0 → S0 ← Y0)a = p?1(X0)×(gp2)?(S0)p?2Y0 deX←×SY, cf.1.5. On en déduit un diagramme 2-commutatif de1-flèches naturelles
(1.10.1) (X←×SY)
/(X0×←S0Y0) p10
xx
p20
&&
X/X0
f/S0
//
S/S0
Y/Y0
g/S0
oo
X //Soo Y
,
où la notation(−)/−désigne un topos localisé, et la 2-flècheτ0 :g/S0p20 →f/S0p10 est déduite par localisation de la 2-flècheτ:gp2→fp1. D’après1.4,τ0définit donc un 1-morphisme
(1.10.2) m: (X←×SY)
/(X0←×S0Y0)→X/X0←×S/S0Y/Y0.
On montre (cf. ([Abbes & Gros, 2011b, 3.15]) quem est une équivalence, par laquelle, dans la suite, nous identifierons les deux membres. D’autre part, les carrés2-commutatifs de1.10.1définissent, d’après1.9, une flèche de fonctorialité
X/X0←×S/S0Y/Y0→X←×SY, Celle-ci, ou son composé avecm,
(1.10.3) (X←×SY)
/(X0←×S0Y0)→X←×SY s’appelleflèche de localisation.
Proposition 1.11. — Supposons queX0 soit l’objet final deXet queg0 soit cartésien au-dessus deg,i.e.g0 : Y0 →∼ g?(S0). Alors la flèche1.10.3est une équivalence.
En effet, avec les notations de1.10.1, il résulte de 1.2que la flècheeX
←×S0Y0 → eX
←×eSeY deX←×SY est un isomorphisme.
1.12. — Considérons en particulier le cas oùS = Y est un schéma muni de la topologie étale, g = Id et f : X → S = Y est l’inclusion d’un sous-schéma fermé deY. Le topos T = X←×YY joue le rôle d’unvoisinage tubulaire étaledeXdansY. Les points deT sont les triplets(x, y, t), oùx(resp.y) est un point géométrique deX (resp.Y) ett:y→xune flèche de spécialisation (cf. [SGA 4VIII7.9]). En d’autres termes,(x, y, t)est la donnée d’un point géométriquexde X, d’une générisationy0 du point fermé (noté encore par abusx) du localisé strictX(x)deXenxet d’un point géométrique deY(x)localisé eny0, ou encore d’une extension séparablement closey→y0du point générique de{y0}. Par ailleurs, siv :Y0 →Yest un voisinage étale deXdansY,i.e.un diagramme commutatif
Y0
v
X
??//Y
,
oùvest étale, alors, d’après1.11le morphisme canonique X←×Y0Y0→X←×YY
est une équivalence. Ainsi, T ne dépend que du hensélisé deY le long de X(lorsque celui-ci est défini, en particulier, pourYaffine, cf. [Raynaud, 1970]). Nous verrons au numéro suivant et dans l’exposéXIIAd’autres propriétés deT précisant cette analogie avec un voisinage tubulaire.
1.13. — Voici un dernier exemple de fonctorialité de produits orientés, qui ne sera utilisé qu’en2.7. SoitIune petite catégorie cofiltrante et soient
(Xi fi
→Si gi
←Yi)i∈I
des morphismes de topos fibrés au-dessus de I. On en déduit un diagramme de topos limites projectives ([SGA 4VI8.1.3])
Limproj(Xi←×SiYi)
p1
vv
p2
((
LimprojXi f
((
LimprojYi g
vvLimprojSi
,
oùf=Limprojfi,g=Limprojgi, avec une 2-flècheτ:gp2→fp1déduite des flèchesτi:gip1→fip2, et par suite, un morphisme
(1.13.1) Limproj(Xi
←×SiYi)→LimprojXi
←×LimprojSiLimprojYi. Il résulte des définitions que1.13.1est une équivalence.
2. Tubes et changement de base
2.1. — Soit (S, s) un topos ponctué, i.e. un couple formé d’un topos S et d’un point s : pt → S de S. Si (S, s)et(T, t)sont des topos ponctués, un morphisme (ponctué) de(S, s)dans(T, t)est un couple(f, a)d’un morphismef:S→Tet d’une2-flèchea:fs→t. Une2-flèchec: (f, a)→(g, b)est une2-flèchec:f→gtelle queb(cs) =a. Si(S, s)est un topos ponctué, on noteF7→Fs=s?Fle foncteur fibre ens.
Rappelons qu’un topos ponctué(S, s)est ditlocal de centres([SGA 4VI8.4.6]) si, pour tout objetFdeS, la flèche naturelleΓ(S, F)→Fsest bijective. Un morphisme(f, a) : (S, s)→(T, t)de topos ponctués est ditlocal si la2-flèchea:fs→test un isomorphisme.
2.2. — La construction qui suit est due à Gabber. Soit(S, s)un topos local de centres. Notonsε: S → pt la projection. Par définition la flèche canoniqueε?→s?est un isomorphisme. On en déduit un isomorphisme
(2.2.1) ε?ε?→∼ (sε)?.
La flèche d’adjonctionε?ε?→Id s’identifie donc, par2.2.1, à un morphisme(sε)?→Id,i.e.à une2-flèche
(2.2.2) cs:Id→sε
entre les 1-morphismes Id : S → Setsε : S → S. SiF est un objet deS,(sε)?F est le faisceau constant surS de valeurFs = ε?F = Γ(S, F). SiUest un objet connexe deS, le morphisme(sε)?F → Finduit surΓ(U,−)le morphisme de restrictionΓ(S, F)→Γ(U, F). Le composécss:s→sest l’identité :(sε)?F→Finduit l’identité sur les fibres ens.
Soientf:X→S,g:Y →Sdes morphismes de topos,x:pt→Xun point deX,s=fx:pt→Sson image dansS. Le diagramme
(2.2.3) pt Id //
x
pt
s
εg Y
oo
Id
X f //Soo g Y ,
(où le carré de gauche est2-commutatif) et la2-flèche
(2.2.4) csg:g→sεg
sont une donnée de type1.9.1. Pour un objetFdeS,(sεg)?Fest le faisceau constant surYde valeurFs=Γ(S, F), et la flèche(sεg)?F→g?Fest la composéeΓ(S, F)Y →Γ(Y, g?F)Y →g?F. Notons que, par1.4, le produit orienté pt←×ptYs’identifie canoniquement àY, avecp1=Id:Y→Y. De2.2.3et2.2.4on déduit donc un diagramme de type1.9.2:
(2.2.5) pt
x
Y
σ
oo εg Id //Y
Id
X X←×SYp1oo p2 //Y
,
en d’autres termes, une sectionσ : Y → X←×SY dep2telle quep1σ= xεg. On peut voir cette section comme étant définie, via1.4par le couple de morphismesxεg:Y →X, Id:Y →Yet la2-flèchecsg:g→fxεg=sεg. On dit queσest lasection canoniquedéfinie par le pointx. Par composition avecp2?, la flèche d’adjonction Id→σ?σ?donne une flèche canonique
(2.2.6) γ:p2?→σ?.
Le résultat suivant est dû à Gabber :
Proposition 2.3. — Soientf: (X, x)→(S, s)un morphisme local de topos locaux (fx=s), etg:Y→Sun morphisme de topos. Soity:pt→Yun point deY. Pour tout objetFdeX←×SY,γ(2.2.6) induit un isomorphisme
γy: (p2?F)y→∼ (σ?F)y.
Soitt=σy:pt→Tle point deT =X←×SYimage deyparσ. Ce point est défini (cf.1.4) par le triplet(x, y, u), oùu:gy→fx=fxεgy=sεgy =sest déduit de2.2.4. On a(σ?F)y =Ft. Choisissons des sites de définition C1,C2,Dcomme en1.1. Par définition,
Ft=colimzF(U→V←W),
oùz:pt→(U→V←W)parcourt les voisinages detdansT, avec(U→V←W)dansC. CommeXetSsont locaux, les voisinages detde la formeσw:pt→(eX→eS ←W), oùw:pt→West un voisinage deydans Yforment un système cofinal. Donc
Ft=colimwF(eX→eS←W),
oùz=σw:pt→(eX→eS←W)parcourt les voisinages précédents, avecU=eX,V=eS. Par ailleurs, (p2?F)y=colimwF(eX→eS←W),
oùw : pt → W parcourt les voisinages deydansY. La flècheγy est la restriction naturelle. C’est donc un isomorphisme.
Corollaire 2.3.1. — Sous les hypothèses de2.3, si Y a assez de points, en particulier, siY est localement cohérent ([SGA 4VI9.0]),γ(2.2.6) est un isomorphisme.
Il est plausible que l’hypothèse d’existence d’assez de points soit superflue. Celle-ci sera cependant satisfaite dans les applications que nous avons en vue.
Corollaire 2.3.2. — Sous les hypothèses de2.3, supposonsYlocal de centrey. AlorsX←×SYest local de centreσ(y). En effet, on a alors(p2?F)y=Γ(Y, p2?F) =Γ(X←×SY, F), etγys’identifie à la restrictionΓ(X←×SY, F)→Fσ(y). Notons que, sif :X→Sest un morphisme local de schémas strictement locaux,g:Y →Sun morphisme de schémas strictement locaux, le produit fibré schématiqueX×SYn’est pas en général strictement local, ni même local, même sigest local.
Le résultat ci-après est dû également à Gabber :
Théorème 2.4. — Soientf : X → S,g : Y → Sdes morphismes de topos, T = X←×SY, p1 : T → X,p2 : T → Y les projections canoniques,τ : gp2 → fp1 la2-flèche canonique. On supposeX, Y,S cohérents etf,gcohérents ([SGA 4VI2.3, 2.4.5, 3.1]). SoitΛun anneau. Alors, pour toutF∈D+(Y, Λ), la flèche de changement de base, déduite deτ,
(2.4.1) f?Rg?F→Rp1?p?2F
est un isomorphisme (deD+(X, Λ)).
Nous aurons besoin du lemme suivant, qui généralise [Orgogozo, 2006, 9.1] :
Lemme 2.5. — Sous les hypothèses de2.4,T est cohérent, et les projectionsp1,p2sont des morphismes cohérents.
Le toposX(resp.Y, resp.S) admet une (petite) famille génératriceC1(resp.C2, resp.D) formée d’objets cohérents, stable par limites projectives finies ([SGA 4VI2.4.5]). Commefetgsont cohérents,f?V(resp.g?V) est cohérent siV est dans D ([SGA 4VI 3.2]). On peut donc supposer que f?D ⊂ C1,g?D ⊂ C2. La sous- catégorie pleine deX(resp.Y, resp.S) correspondante, munie de la topologie induite, est un site de définition de X(resp.Y, resp.S). SoitCla catégorie définie comme en1.1, munie de la topologie définie par la prétopologieP engendrée par les famillesfiniesde type (a) et (b) et les familles de type (c). Elle est stable par limites projectives finies, et est un site de définition deT, puisque toute famille couvrante deCde type (a) ou (b) est raffinée par une famille couvrante finie. Il suffit donc de montrer que tout objet deCest quasi-compact ([SGA 4VI2.4.5]).
DécrivonsP. Pour chaque objetZ= (U→V←W)deC, notons Cov(Z)l’ensemble des familles(Zi→Z)i∈I obtenues par composition d’un nombre fini de familles de type (c) et de familles (finies) de type (a) et (b).
En particulier, l’ensembleIest fini. Par définition, la donnée des Cov(Z)vérifie les axiomes PT0, PT2 et PT3 de [SGA 4II1.3]. L’axiome PT1 (stabilité par changement de base) est également vérifié, les familles de type (c), ainsi que les familles finies de type (a) (resp. (b)) étant stables par changement de base, et le changement de base commutant à la composition des familles. La donnée des Cov(Z)est donc une prétopologie, et par définition, c’est la prétopologieP. Comme les familles appartenant à Cov(Z)sont finies, tout objet deCest automatiquement quasi-compact, comme annoncé. La cohérence des projectionsp1etp2en découle.
Remarques 2.6. — (a) Gabber sait montrer que la conclusion de2.5vaut sous les seules hypothèses queX,Y, Setgsont cohérents. Nous n’aurons pas besoin de cette généralisation. (b) Le lecteur trouvera dans exp.XIIA, 2.3.3une autre application de2.3à des théorèmes de changement de base, dans le cadre des schémas et de la topologie étale.
2.7. — Prouvons2.4. CommeXest cohérent, donc possède assez de points, il suffit de vérifier que, pour tout pointx:pt→XdeX, la fibre enxde2.4.1
(2.7.1) (f?Rg?F)x→(Rp1?p?2F)x
est un isomorphisme. Soits:pt→Sl’image dexparf. SoitX(x)(resp.S(s)) le localisé deX(resp.S) enx(resp.
s). Rappelons ([SGA 4VI 8.4.2]) queX(x)(resp.Y(y)) (noté Locx(X)(resp. Locs(S)) dansloc. cit.) est la limite projective
X(x)=LimtopU∈Vois(x)X/U (resp.
S(s)=LimtopV∈Vois(s)S/V),
où U(resp. V) parcourt la catégorie cofiltrante Vois(x)(resp. Vois(s)) des voisinages de x(resp. s) dans X (resp.S). CommeX(resp. S) est cohérent, on peut d’ailleurs se borner aux U(resp.V) qui sont cohérents, les morphismes de transition étant alors automatiquement cohérents. C’est ce que nous ferons dans la suite, notant encore Vois(x)(resp. Vois(s)) la sous-catégorie pleine formée desU(resp.V) cohérents. Le toposX(x) (resp.S(s)) est un topos local, au-dessus deX(resp.S), dont l’image du centre estx(resp.s) ([SGA 4VI8.4.6]).
Le morphismefinduit un morphisme localf(x):X(x)→S(s). Définissons de même T(x)=LimtopU∈Vois(x)T/p?
1U, Y(s)=LimtopV∈Vois(s)Y/g?V, de sorte qu’on obtient un carré
(2.7.2) T(x)
p1
p2 //Y(s)
g
X(x) f //S(s) ,
avec une2-flècheτ : gp2 → fp1. Par la compatibilité de la formation des produits orientés à la localisation (1.10.2) et aux limites projectives (1.13.1), la flèche
(2.7.3) T(x)→X(x)←×S(s)Y(s),
déduite de ce carré par1.4est une équivalence. En fait, comme l’observe le rapporteur, pour toutV∈Vois(s), la flècheX(x)←×S/VY/g?V →X(x)←×SYest une équivalence, de sorte que la localisation surSest superflue. D’après 2.5, les toposX/U,S/V,T/p?
1U,Y/g?V sont cohérents, les flèches de transition des systèmes projectifsX/U,S/V sont cohérentes, et les morphismesg: Y/g?V →S/V,p1: T/p?
1U →X/U sont cohérents. On est donc dans les conditions d’application de [SGA 4VI8.7.3], qui, compte tenu de ce queS(s)etX(x)sont locaux, implique que les flèches canoniques
(2.7.4) (Rg?F)s→RΓ(S(s),Rg?F)→RΓ(Y(s), F), (2.7.5) (Rp1?p?2F)x→RΓ(X(x),Rp1?p?2F)→RΓ(T(x), p?2F)
sont des isomorphismes. Avec les identifications2.7.3,2.7.4et2.7.5, la flèche2.7.1s’identifie à la fibre enxde la flèche de changement de base (déduite deτ) du carré2.7.2. Cette flèche s’écrit
(2.7.6) RΓ(Y(s), F)→RΓ(T(x), p?2F).
On a :
(∗) :La flèche2.7.6s’identifie canoniquement à la flèche de fonctorialité définie parp2.
Pour le vérifier, on peut supposerSetXlocaux, de centres respectifssetx, etflocal. Par définition,2.7.6est la flèche composée
RΓ(S,Rg?F) 2.7.6 //
α
RΓ(T, p?2F)
RΓ(S,Rg?Rp2?p?2F)RΓ(S,τ)//RΓ(S,Rf?Rp1?p?2F)
β
OO ,
où la flècheαest définie par la flèche d’adjonctionadj : F → Rp2?p?2F(et donc est la flèche de fonctorialité RΓ(Y, F)→ RΓ(T, p?2F)définie parp2), etβest l’isomorphisme canonique de transitivité relatif àfp1: T → S.
Or, par définition deτ(1.3), pour tout faisceauGsurT, la flèche
Γ(S, τ) :Γ(S,(gp2)?G)→Γ(S,(fp1)?G)
est l’identité. Il en est donc de même de la flèche horizontale inférieure du diagramme ci-dessus, ce qui prouve (∗). Il reste à prouver que2.7.6est un isomorphisme. En fait, la flèche
(2.7.7) adj:F→Rp2?p?2F
est un isomorphisme. Pour le voir, il suffit d’observer que, compte tenu de la description deγdonnée en2.3.2, le composé
F adj//Rp2?p?2F γ //σ?p?2F=F ,
oùσest la section dep2définie en2.2.5etγl’isomorphisme de2.3.1, est l’identité. Ceci achève la démonstration de2.4.
Remarques 2.8. — 1. Supposons que les données de2.4proviennent de morphismes de schémas, munis de la topologie étale, avecX,S,Ycohérents etfetgcohérents. Les pointsx,ssont des points géométriques, et les localisésX(x),S(s)des localisés stricts. Sifest une immersion fermée, la flèche d’adjonction2.7.7est un isomorphisme (on peut en effet supposerSstrictement local, et il en et alors de même deX). Supposons de plus queY =S,g=IdScomme en1.12. On a vu enloc. cit.queT =X←×SSjoue le rôle d’un voisinage tubulaire de X dansS. Soientj : S? = S −X → S l’ouvert complémentaire deX, et T? = X←×SS? = T/(eX→eS←S?) le topos induit. Alors T? joue le rôle d’un voisinage tubulaire épointé de X dans S : pour F∈D+(S?, Λ), on a, par2.4,
f?Rj?F→∼ Rp1?p?2F.
2. Sans l’hypothèse de cohérence surg, la conclusion de2.4peut être en défaut, comme le montre l’exemple suivant, dû à Gabber. SoientXun espace topologique connexe, non vide,i:Y →Xl’inclusion d’un fermé non vide distinct deX,j:U=X−Y→Xl’inclusion de l’ouvert complémentaire. Alorsi?j?Zest non nul.
Mais, si tout point deUa un voisinage dont l’adhérence dansXne rencontre pasY, alors le produit orienté Y←×XUest vide. C’est le cas par exemple, siXest le segment[0, 1]etYle point{0}.
3. Sous les hypothèses de2.4, on montre de manière analogue que :
(a) Pour tout faisceau d’ensemblesFsurY, la flèche de changement de base f?g?F→p1?p?2F
est un isomorphisme.
On peut espérer des variantes non abéliennes supérieures :
(b) Pour tout faisceau en groupesFsurY, la flèche de changement de base f?R1g?F→R1p1?p?2F,
est un isomorphisme (de faisceaux d’ensembles pointés).
(c) Plus généralement, pour tout champFsurY, la flèche de changement de base f?g?F→p1?p?2F
est une équivalence.
La vérification de (b) et (c) semble requérir, outre les techniques de réduction des champs aux gerbes de [Giraud, 1971, III 2.1.5], des résultats de passage à la limite pour la cohomologie non abélienne analogues à ceux de [SGA 4VI8.7], pour lesquels nous ne connaissons pas de référence.
4. Gabber sait démontrer la généralisation suivante de2.4. Soientf : X → S,g : Y → S des morphismes de topos,T = X←×SY. On suppose que YetSsont localement cohérents, et que, pour tout objet cohérent algébrique V de S,g?V est cohérent algébrique ([SGA 4 VI 2.1, 2.3]). Alors, pour toutF ∈ D+(Y, Λ), la flèche de changement de base2.4.1est un isomorphisme, et on devrait avoir des résultats analogues dans le cas non abélien, comme en (3) (a), (b), (c) ci-dessus. Gabber déduit ces résultats d’un théorème général de changement de base pour certains topos fibrés.
3. Produits fibrés
Les compléments donnés dans ce numéro et le suivant ne seront pas utilisés dans le reste du volume.
3.1. — Les produits fibrés de topos ont été construits par Giraud [Giraud, 1972, 3.4]. La construction suivante est due à Gabber. Soientf:X→S,g:Y→Sdes morphismes de topos comme en1.1. SoitDle site suivant :
i. La catégorie sous-jacente àDest la catégorieCconsidérée en1.1(i).
ii. Dest munie de la topologie définie par la prétopologie engendrée par les familles couvrantes(Ui→Vi← Wi)→(U→V←W) (i∈I)de la forme (a), (b), (c) de1.1(ii) et de la forme
(d)(U0 →V0←W0)→(U→V←W), oùW0=WetU0→Uest déduit par changement de base d’un morphismeV0→Vdu site de définition deS.
En d’autres termes, la topologie surDest la borne supérieure des topologies surCdéfinissant les produits orientésX←×SYetX→×SY.
D’après1.2, pour qu’un préfaisceauFsurDsoit un faisceau, il faut et il suffit queFvérifie les conditions d’exactitude habituelles relatives aux familles couvrantes de type (a) et (b), et que, pour toute famille couvrante Z0 →Zde type (c) ou (d),F(Z)→F(Z0)soit un isomorphisme.
SoitDe le topos des faisceaux surD. On a des projections naturelles p1:De →X, p2:De →Y
données par les mêmes formules qu’en1.3, et la construction deτenloc. cit.donne unisomorphisme
(3.1.1) ε:gp2→∼ fp1.
Théorème 3.2. — SoitT un topos muni de morphismesa:T →X,b: T →Yet d’un isomorphismet: gb→∼ fa. Il existe alors un triplet(h:T →D, αe :p1h→∼ a, β:p2h→∼ b), unique à isomorphisme unique près, tel que le composé
gb β
−1//gp2h ε //fp1h α //fa soit égal àt.
La démonstration est analogue à celle de1.4. Le foncteurh?est encore donné par la formule1.6.1. Comme test un isomorphisme, on a
a?U×(gb)?Vb?W=a?U×(fa)?Vb?W,
oùb?V →(fa)?V est le composé b?V //(gb)?V t−1 //(fa)?V . Il s’ensuit queh?transforme famille cou- vrante de type (d) en famille couvrante, et l’on conclut comme dans1.6.
Définition 3.3. — Le toposDe s’appelleproduit fibré de XetY au-dessus deS, et se noteX×S Y. Les mor- phismes du diagramme
X×SY
p1
{{
p2
##X
f
##
Y
g
{{S
sont reliés par le2-isomorphismeε:gp2→fp1.
Exemples 3.4. — 1. Espaces topologiques. Soientf:X→S,g:Y →Sdes applications continues entre espaces topologiques. On a un morphisme canonique
(3.4.1) X^×SY→Xe×
eSY,e
oùZedésigne le topos des faisceaux sur un espace topologiqueZ. SiX,Y,Ssont sobres, (3.4.1) induit une bijection sur les classes d’isomorphisme de points ([SGA 4IV4.2.3]). Si l’on suppose de plus queXe×
SeYe a assez de points (condition vérifiée par exemple siX,Y,S,f,gsont cohérents, cf.2.5), alors, comme la famille des sous-objets de l’objet final deXe×
SeYeest génératrice, il résulte de [SGA 4IV 7.1.9] que (3.4.1) est une équivalence de topos. On ignore si cette seconde hypothèse est nécessaire.
2. Schémas. Soientf: X→S,g: Y →Sdes morphismes de schémas. Désignons par l’indice zar (resp. ´et) le topos zariskien resp. étale) associé. Du fait de (1), le morphisme naturel(X×SY)zar→Xzar×SzarYzarn’est pas une équivalence en général. De même, le morphisme naturel(X×SY)´et→ X´et×S´et Y´etn’est pas une équivalence en général, même siX,Y,S sont les spectres de corps : siS = Speck,S´etest équivalent au
topos classifiantBGdu groupe profiniG =Gal(k/k), oùkest une clôture séparable dek, et la formation deBGcommute aux produits fibrés.
4. Topos évanescents et co-évanescents
4.1. — Soientf:X→S,g:Y→Sdes morphismes de topos comme en1.1. Le produit orienté
(4.1.1) X←×SS,
oùS→Sest le morphisme identique, s’appelle letopos évanescentdef. Il est étudié dans [Laumon, 1983] et [Orgogozo, 2006]. Le produit orienté
(4.1.2) S←×SY,
oùS→ Sest le morphisme identique, joue un rôle important dans les travaux de Faltings sur les théorèmes de comparaisonp-adiques et la correspondance de Simpsonp-adique (topos de Faltings) (cf. [Faltings, 2002], [Faltings, 2005], [Abbes & Gros, 2011a], [Deligne, 1995], [Abbes & Gros, 2011b]). On propose ici de l’appeler topos co-évanescentdeg. Du topos évanescent de IdS,
(4.1.3) ←−
S =S←×SS,
qui est aussi le topos co-évanescent de IdS, les produits orientésX←×SYse déduisent par changement de base.
Considérons en effet le produit fibré itéré
(4.1.4) Z=X×S←−
S ×SY, où la flèche de gauche (resp. droite) de←−
S versSestp1(resp.p2). On a des projections naturellesq1:Z→X, q2 :Z→Y etm:Z →←−
S, avec des isomorphismesp1m→∼ fq1,gq2→∼ p2m. Par composition avec la flèche structuraleτ: p2 →p1de←−
S, on en déduit une flèchez: gq2 →fp1. D’après1.4, le triplet(q1, q2, z)définit donc une flèche
(4.1.5) h:Z→X←×SY
et des isomorphismesp1h→∼ q1,p2h→∼ q2, par lesquelszs’identifie àτh, oùp1,p2désignent les projections canoniques deX←×SYsurXetY.
Proposition 4.2. — Le morphismeh(4.1.5) est un isomorphisme. En particulier, il définit des isomorphismes cano- niques
(4.2.1) X×S
←−
S →∼ X←×SS,
(4.2.2) ←−
S ×SY →∼ S←×SY.
Il suffit de montrer queZ, muni de(q1, q2, z)vérifie la propriété universelle du produit orienté. SoitT un topos muni de morphismesa:T →X,b:T →Y, et d’une2-flèchet:gb→fa. Par la propriété universelle de
←−
S, on en déduit d’abord un unique triplet, formé d’un morphismek:T →←−
S et d’isomorphismesp1k→fa, p2k→gbtels quet=τkmodulo ces identifications. Puis, par la propriété universelle des produits fibrés, on en déduit un unique quadruplet formé d’un morphismes : T → Zet d’isomorphismesms →∼ k,q1s →∼ a, q2s→∼ btel quezs=tmodulo ces identifications.
4.3. — Soitf:X→Sun morphisme de topos. D’après1.4, les morphismes IdXetfdéfinissent un morphisme
(4.3.1) Ψ:X→X←×SS
tel que
(4.3.2) p1Ψ=IdX, p2Ψ=f, τΨ=Idf,
oùτ:p2→fp1est la2-flèche structurale deX←×SS:
(4.3.3) X
Ψ
IdX
}}
f
!!X
f !!
X←×SS
p1
oo p2 //S
IdS
}}S
Le foncteurΨ?s’appellefoncteur cycles proches. Pour un objet(U→V ←W)du siteCdéfinissantX←×SS, on aΨ?(U→V←W) =U×VW, oùU×VW:=U×f?(V)f?W. SiΛest un anneau etF∈D+(X, Λ), le complexe RΨ?F∈D+(X←×SS, Λ)(noté aussiRΨF) s’appellecomplexe des cycles proches(defrelatif àF).
L’identitép1?Ψ?=Id définit, par adjonction, un morphisme canonique
(4.3.4) p?1→Ψ?.
Pour F ∈ D+(X, Λ), le cône du morphismep?1F → RΨF qui s’en déduit s’appelle lecomplexe des cycles évanescents(defrelatif àF) et se noteRΦF. Dans le cas des schémas (munis de la topologie étale), ces foncteurs, qui généralisent les foncteursRΨetRΦde Grothendieck ([SGA 7XIII]), sont étudiés dans [Laumon, 1983] et [Orgogozo, 2006].
Considérons le morphisme de changement de base
(4.3.5) p1?→Ψ?
déduit de l’identitép1Ψ=IdX, en d’autres termes, le morphisme déduit, par application dep1?, de la flèche d’adjonction Id→Ψ?Ψ?, compte tenu de ce quep1?Ψ?=Id. Le résultat suivant est donné sans démonstration dans [Laumon, 1983] :
Proposition 4.4. — Le morphisme4.3.5est un isomorphisme.
On va définir un morphisme
(4.4.1) Ψ?→p1?,
dont on montrera qu’il est inverse de4.3.5. Pour cela, on définit un morphisme
(4.4.2) Id→Ψ?p1?
de la façon suivante. Pour un faisceauFsurX←×SSet un objetZ = (U→ V ← W)du siteCde1.1, la flèche F(Z)→(Ψ?p1?F)(Z)est la composée
(4.4.3) F(Z)→F(U×f?Vf?W→W←W)→F(U×f?Vf?W→eS←eS),
oùW →West l’identité, la première flèche est la restriction et la seconde, l’inverse de l’isomorphisme relatif au recouvrement de type (c)
(U×f?V f?W→W←W)→(U×f?V f?W→eS←eS).
Le morphisme4.4.1est adjoint de4.4.2. Notonsu(resp.v) le morphisme 4.3.5(resp.4.4.1). On va montrer queuetvsont inverses l’un de l’autre. L’argument qui suit est dû à Orgogozo. Il s’agit de montrer que, pour tout faisceauFsurX←×SSet tout faisceauGsurX, les applicationsα(F, G) = Hom(u(F), G) :Hom(Ψ?F, G)→ Hom(p1?F, G)etβ(F, G) =Hom(v(F), G) :Hom(p1?F, G)→Hom(Ψ?F, G)sont inverses l’une de l’autre.
L’application
α(F, G) :Hom(Ψ?F, G) =Hom(F, Ψ?G)→Hom(p1?F, G)
envoiea : F→ Ψ?Gsurp1?a: p1?F →p1?Ψ?G= G. L’applicationaest la donnée d’une famille compatible d’applicationsa(U→V←W) :F(U→V ←W)→G(U×V W), pour(U→V ←W)parcourant les objets deC,
“compatible" voulant dire compatible aux flèches de restriction. L’applicationα(a)est la famillea(U→eS←eS): F(U→eS←eS)→G(U),Uparcourant les objets deX.
L’application
β(F, G) :Hom(p1?F, G)→Hom(Ψ?F, G) =Hom(F, Ψ?G)
envoieb: p1?F → Gsur le composéF → Ψ?p1?F → Ψ?G, où la première flèche est4.4.2et la secondeΨ?b.
L’applicationβ(b)est la famille desβ(b)(U→V←W):F(U→V←W)→G(U×V W), oùβ(b)(U→V←W)est la composée de4.4.3et de
(Ψ?b)(U×VW→eS←eS) :F(U×VW→eS←eS) = (p1?F)(U×VW)→G(U×VW).
Pour chaquea:F→Ψ?G, on a un diagramme commutatif F(U→V←W)
a(U→V←W)
//G(U×V W)
F(U×VW→W←W) //F(U×VW→eS←eS)
a(U×
V W→eS←eS)
OO ,
où la flèche horizontale inférieure est l’isomorphisme figurant dans 4.4.3. Dans ce diagramme, le composé des flèches autres que la flèche horizontale supérieure estβα(a)(U→V←W), doncβα= Id. La vérification de αβ=Id est triviale également.
Remarque 4.5. — Lorsque les toposXetSsont localement cohérents etf : X → S est localement cohérent, donc en particulier dans le cas des schémas, on peut prouver4.4plus simplement, en se ramenant au cas local.
CommeXa assez de points, il suffit de montrer que, pour tout pointx: pt→X, et tout faisceauFsurX←×SS, la fibre enxde4.3.5, est un isomorphisme. Quitte à remplacerXpar son localisé enx(cf.1.10.2et1.13.1), on peut supposerXlocal de centrex. Soits:pt→Sl’image dexparf. SoitFun faisceau surT =X←×SS. On doit montrer que
(p1?F)x=Γ(T, F)→(Ψ?F)x=F(x,s)
est un isomorphisme. SoientS(s)le localisé deSensetT(s) = X←×S(s)S(s). D’après les résultats de passage à limite invoqués dans2.7, on a
Γ(T(s), F) =colimΓ(TU, F),
oùUparcourt les voisinages cohérents desetTU=X←×S/US/U. D’après1.11, les flèches de restrictionΓ(T, F)→ Γ(TU, F)sont des isomorphismes (en fait,TU→T est une équivalence). On peut donc supposerSlocal de centre s. D’après2.3.2,T est alors local, de centre(x, s), etΓ(T, F) =F(x,s)= (Ψ?F)x.
4.6. — Soitg : Y → Sun morphisme de topos. Les faisceaux sur le topos co-évanescentT = S←×SY (4.1.2) ont une description simple, due à Deligne [Deligne, 1995]. Pour un faisceauFsurT, la flèche de restriction F(U→V←W)→F(U→U→U×VW)est un isomorphisme. Cela suggère de considérer le siteC0suivant.
La catégorieC0est celle des flèches(V←W)au-dessus deg, i.e. des flèchesW→g?VdeY. On munitC0de la topologie définie par la prétopologie engendrée par les familles couvrantes des types (a) et (b) ci-après :
(a)(V←Wi)i∈I→(V←W), où la famille(Wi→W)i∈Iest couvrante,
(b)(Vi←Wi)i∈I →(V←W), où la famille(Vi→V)i∈Iest couvrante, etWi=Vi×V W.
On montre ([Abbes & Gros, 2011b, 4.10]) queC0est un site de définition deT. Un objetFdeS←×SY, décrit comme un faisceau surC0, s’interprète comme la donnée d’une famille de faisceauxFV :W7→F(V←W)sur g?V et de flèches de restrictionFV → jV0V?FV0 pourV0 → V, définissantjV0V : g?V0 → g?V, satisfaisant la condition de descente que, pour une famille couvrante(Vi→V)i∈I, la suite
FV →Y
i
jViV?FVi⇒Y
ii0
jVii0V?FVii0
soit exacte, oùVii0=Vi×V Vi0. D’après1.4, les morphismesg:Y→Set IdYdéfinissent un morphisme
(4.6.1) Ψ:Y→S←×SY
tel que
(4.6.2) p1Ψ=g, p2Ψ=IdY, τΨ=Idg,
oùτ:gp2→p1est la1-flèche structurale deS←×SY:
(4.6.3) Y
Ψ
g
}}
IdY
!!S
IdS
!!
S←×SY
p1
oo p2 //Y
}} g
S
.
Le foncteurΨ?, qu’on pourrait appelerfoncteur cycles co-proches, se comporte de manière très différente du foncteur cycles proches de4.3.1. En effet, de l’identitép2Ψ = IdY on déduit, par adjonction, un morphisme canonique
(4.6.4) p?2→Ψ?,
analogue de4.3.4, et l’on a :
Proposition 4.7. — Le morphisme4.6.4est un isomorphisme.
En particulier,le foncteurΨ?est exact.Ici, c’est la flèche de changement de base, déduite de l’identitép2Ψ= IdY,
(4.7.1) p2?→Ψ?,
analogue de4.3.5, qui n’est pas, en général, un isomorphisme. On peut donner de4.7une démonstration ana- logue à celle de4.4. Il est plus simple de déduire ce résultat des descriptions explicites suivantes des foncteurs p?1,p?2,Ψet du morphismeτ. Ces descriptions sont dues à Deligne [Deligne, 1995] (voir [Abbes & Gros, 2011b, 4.12, 4.14] pour les détails).
4.8. — (a) Description dep?1. On ap?1V = (V ← g?V)(l’objet (V → eS ← eY)deCcorrespondant à l’objet (V ← g?V) de C0). SiF est un faisceau surS, p?1F est le faisceau associé au préfaisceau dont la valeur en (V ←W)est la limite inductive desF(V0)suivant la catégorie des flèches(V ←W)→p?1V0. Cette catégorie ayant(V ← W) → (V ← g?V)pour objet initial, cette limite est égale àF(V). En d’autres termes,p?1Fest le faisceau associé au préfaisceau dont la valeur en(V←W)estF(V). Dans la description donnée plus haut d’un faisceau surS←×SYen termes d’une famille de faisceaux sur lesg?V,p?1Fest le faisceau associé à la famille des faisceaux constantsGV surg?Vde valeurF(V).
(b) Description dep?2. On ap?2W = (eS ← W). SiF est un faisceau surY,p?2F est le faisceau associé au préfaisceau dont la valeur en (V ← W) est la limite inductive des F(W0) suivant la catégorie des flèches (V ← W) → p?2W0. Cette catégorie ayant (V ← W) → (eS ← W)pour objet initial, cette limite est égale à F(W). En d’autres termes,p?2F est le faisceau associé à la famille des faisceauxHV sur g?V, où HV est le faisceauW7→F(W)(en fait, cette famille est déjà un faisceau, la condition de descente étant automatiquement satisfaite).
(c)Description deτ.SiFest un faisceau surS, le morphismeτ:p?1F→(gp2)?Fest déduit du morphisme de préfaisceaux qui, pour(V ←W)dansC0, envoieF(V)dans(gp2)?F(V ←W) = (g?F)(W)par le morphisme composéF(V)→(g?F)(g?V)→(g?F)(W). On le voit à l’aide de (a) et (b), en explicitant le morphisme(fp1)?→ (gp2)?adjoint du morphismeτdécrit en1.3.
(d)Description deΨ?.SiFest un faisceau surY, et(U→V ←W)un objet deC, on a(Ψ?F)(U→V←W) = F(U×VW. Dans la description deS←×SYà l’aide du siteC0, on a donc
(Ψ?F)(V←W) =F(W).
Compte tenu de (b), on a donc
Ψ?F=p?2F Cette identification est celle donnée par4.6.4, ce qui prouve4.7.
Notons encore que les points deT = S←×SYsont les flèchess←y, oùs(resp.y) est un point deS(resp.Y), et que, pour un faisceauFsurY, si(s←y)est un point deT, on a
(p?2F)(s←y)=Fy= (Ψ?F)(s←y).
Remarque 4.9. — Comme l’observe Gabber, l’isomorphisme 4.6.4implique le théorème de changement de base2.4pourX=S, f=IdSsans hypothèse de cohérence surS,Y, etg(voir [Abbes & Gros, 2011b, 4.15]).
