Th´eor`eme Central Limite
Maximilien Dreveton April 10, 2016
R´ef´erence : Yger, L3 Maths Appliqu´es, p.650
Lemme 0.1. Zn, Z va `a densit´e respectiveshn, h. Si hn→h, alors Zn converge en loi vers Z
Proof. Soit t∈R. On utilise le lemme de Fatou : lim inf
n FXn(t) = lim inf Z t
−∞
hn(t)dt≥ Z t
−∞
h(t)dt
lim inf
n (1−FXn(t)) = lim inf Z ∞
t
hn(t)dt≥ Z ∞
t
h(t)dt= 1−FX(t) Donc FXn(t)→FX(t).
Th´eor`eme 0.2. Th´eor`eme de L´evy (le plus simple) Xn converge en loi vers X si et seulement si φXn converge simplement vers φ.
Proof. Le sens direct d´ecoule de la d´efinition de la convergence en loi, car t → exp(it) est une fonction continue born´ee.
Pour le sens direct, consid´erons Y une gaussienneN(0, σ), avecσ >0, et Y ind´ependante desXn et de X.
Dans une premi`ere ´etape, on va montrer queXn+Y converge en loi vers X+Y. Puis on montrera que Xn converge en loi vers X.
Premi`ere ´etape :
Soit f la densit´e de Y, fixons m∈R.
Alors ∃g int´egrable telle que f(t−n) = bg(−t). Pour cela, on peut prendre g(x) = cexp(−σ22x2 +imx), avec c constante bien choisie.
Notonsh=f∗PX densit´e de X+Y, et hn=f ∗PXn celle de Xn+Y.
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hn(m) = Z
f(t−m)dPXn(t)
= Z
bg(−t)dPXn(t)
= Z Z
exp(ity)g(y)dy
= Z
g(y)φXn(y)dy (Fubini)
→ Z
g(y)φX(y)dy (Convergence domin´ee)
= Z
f(t−m)dPX(t) (en faisant le chemin inverse)
=h(m)
Donc, par le lemme, Xn+Y converge en loi vers X+Y Deuxi`eme ´etape : Montrons queXn converge en loi vers X.
Soit >0 et t un point de continuit´e deFX. P({Xn≤t}\
{Y ≤})≤P(Xn+Y ≤t+) lim supP({Xn≤t}\
{Y ≤})≤lim supP(Xn+Y ≤t+) (En fait la limsup du membre de droite est une limite !)
=P(X+Y ≤t+)
≤P({X ≤t+ 2}[
{Y ≤ −})
Donc
lim supP({Xn≤t})−P(Y > )≤P({X≤t+ 2}) +P({Y ≤ −}) Bienaym´e-Tchebychev : P(|Y| ≥)≤σ2/2.
Donc lim supP(Xn≤t)≤P(X≤t+ 2) +σ2/2.
Ceci ´etant vrai pour toutσ >0, on a donc : lim supP(Xn≤t)≤P(X≤t+ 2) (1).
Enfin, un raisonnement similaire conduit `a lim infP(Xn≤t≥P(X ≤t−2)) (2).
(1) et (2) ´etant vrai pour tout, on a P(Xn ≤t)→nP(X ≤t), et ce en tout point de continuit´e t de FX. Donc Xn converge en loi vers X.
Th´eor`eme 0.3. TCL
(Xn) va iid de carr´e int´egrables. On pose m=E(X1), σ2 = V ar(X1), et Xn :=
X1+...Xn
n . Alors √
nXnσ−m →Loi N(0,1) Par cons´equent,∀a < b P(aσ/√
n < Xn−m < bσ/√
n)→n 2π1 Rb
aexp(−t2/2) 2
Proof. Notonsφn(t) la fonction caract´eristique de√
nXnσ−m =√ nPn
i=1Yi. avec Yi:= Xiσ−m.
E(Y1) = 0 et E(Y12) = 1.
φ(t) = 1−t2/2(1 +(t) avec limt=0(t) = 0.
Donc
φn(t) =φP
iYi( t
√n)
= (φ( t
√n))n
= (1−t2/2n(1 +(t)))n
= exp(nln(1− t2
2n(1 +(t/√ n))))
= exp(−t2
2n(1 +( t
√n)))
→exp(−t2 2)
Or exp(−t22) est la fonction caract´eristique d’une gaussienne N(0,1) ! Donc (L´evy) √
nXnσ−m →LoiN(0,1) 0.1 Intervalle de confiance asymptotique
Soit Z une N(0,1), et 0 < α < 1. On note φα tel que P(Z ∈ [−φα, φα]) = α, d’o`u P(Z < φα) = 1−α/2.
σ connu : P(|Xn−m|< φ√αnσ)≈1−α (TCL) c’est `a dire :
P(m∈[Xn−φασ
√n, Xn+φασ
√n])≈1−α Mais en fait, dans la pratique, σ est souvent inconnu.
Sn2 := 1 n−1
n
X
i=1
(Xi−Xn)2
est un estimateur sans biais (E(Sn2) =σ2) consistant (converge en proba versσ2) deσ2. Lemme 0.4. Slutsky
Si Xn converge en loi vers X et Yn en proba vers a une constante, alors le couple (Xn, Yn) converge en loi vers (X,a).
Donc √
n(XnS−m
n )→N(0,1)
Autrement dit, on peut remplacer σ par Sn dans le TCL, carSn converge en proba vers σ constante.
L’intervalle de confiance asymptotique de niveau 1−α est donc : [Xn−φ√αSn
n , Xn+
φ√αSn
n ]
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