Second CC – devoir maison

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Second CC – devoir maison

Exercice 1

Reproduire (sur cette feuille) le chat par symétrie axiale

Exercice 2

1) Mon oncle, automobiliste prudent, roule 1 h à 60 km/h, puis 1 h à 40 km/h. Quelle est sa vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours ?

1h à 60km/h => 60 km 1h à 40 km/h => 40km

Total 100km en 2h => 50 km/h de moyenne

2) Ma mère, randonneuse mesurée, marche 1 km à 6 km/h, puis 1 km à 4 km/h. Quelle est sa vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours ?

1km à 6 Km/h => 10 min 1km à 4km/h => 15 min

Total 2 km en 25 min => 2*60 / 25 = 4,8 km/h

3) Mon beau-cousin, cycliste fatigué, roule 30 km à 18 km/h et trouve sa performance bien médiocre. Il veut accélérer sur les 30 km du retour pour atteindre une vitesse moyenne de 24 km/h sur l'ensemble du parcours. Quelle doit être sa vitesse sur le retour ?

Aller

Km 18 30

Min 60 30*60/18 = 100 minutes = 1h40 Total parcours

Km 24 60

Min 60 60*60/24 = 150 = 2h30

ð On veut donc que la durée de retour soit de 150-100=50 minutes

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virginie.zampa.free.fr - -- - [email protected] 2 ð donc si 30 km sont faits en 50 min, mon beau-cousin doit rouler à 30*60/50 = 36 km/h

sur le trajet du retour.

Exercice 3

Le prix d'un article a augmenté de 5% en 2001 et de 6% en 2002.

Quel est le pourcentage d'augmentation de cet article sur les deux années écoulées ? Si le prix est x au départ, en 2001 il coûte x+ 0,05x

En 202 il coute (x + 0,05x) + 0,06*(x + 0,05x) = x + 0,05x + 0,06x + 0,003x = x+ 0,113x sur les deux années le prix de l’article a augmenté de 11,3%.

Exercice 4

Voici des indications sur la répartition durant l'année scolaire 2004-2005, des 260 élèves d'un établissement scolaire sans internat.

• II y a 78 garçons demi-pensionnaires,

• 35% des garçons sont externes,

• 45% des filles sont externes.

1) a) Déterminer le nombre de garçons.

b) Compléter le tableau suivant : Nombre de

garçons Nombre de filles Total Nombre de demi-

pensionnaires 78

65% pour garçon 140-63= 77

55*140/100 = 77 77+78 = 155 Nombre d’externes 35% ->

35*78/100= 42 45%

= 140*45/100 = 63 63+42 = 105

Total 78+42 = 120 260-120 = 140 260

2) Parmi les élèves de l'établissement (Les résultats seront arrondis à l'unité) : a) Quel est le pourcentage des externes ? 105*100/260 = 40%

b) Quel est le pourcentage des garçons demi-pensionnaires ? 78*100/260 = 30%

c) Quel est le pourcentage des élèves qui sont des garçons ou des externes ? somme garçons et filles externes = 120 + 63 = 183 => 183*100/260 = 70%

3) De l'année scolaire 2003-2004 à la suivante, les effectifs de l'établissement ont augmenté de 4 %.

Quel était le nombre d'élèves scolarisés dans cet établissement en 2003-2004 ? 100 -> 104

x -> 260

on a donc x = 260*100/104 = 250 Exercice 5

Un particulier souhaite carreler le sol d'une pièce rectangulaire à l'aide de dalles carrées en linoléum. La pièce mesure 4,2 m sur 8,7 m. Il souhaite n'utiliser que des dalles entières.

Il a le choix entre des dalles carrées de 15 cm, 12 cm, 29 cm, 30 cm ou 45 cm de côtés.

1) Quelles sont les dalles qu'il serait possible d'utiliser ? Dans la largeur de la pièce

- 420 /12 = 35 - 420 / 15 = 28

- 420 / 29 = 14,48 => impossible

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virginie.zampa.free.fr - -- - [email protected] 3 - 420/ 30 = 14

- 420 / 45 = 9,33 => impossible Dans la longueur

- 870 /12 = 72,5 => impossible - 870 / 15 = 58

- 870 /29 = 30 - 870 / 30 = 29 - 870 /45 = 19,33

ð les modèles de dalles possibles sans découpe sont 15*15 et 30*30

2) Sachant que les prix des dalles sont affichés à l'unité

Dimension 12 x 12 15 x 15 29 x 29 30 x 30 45 x 45

Prix en € 1,0 1,2 2,3 2,3 5,0

Quel sera le coût minimal de cet achat ?

Avec les dalles de 15*15 il en faut 28*58 = 1624 à 1,2€/pièce => 1624*1,2 = 1948,8€

Avec les dalles de 30*30 il en faut 14*29 = 406 à 2,3€/pièce => 406*2,3 = 933,8€

Le coût minimal de cet achat sera 933,8€ avec les dalles de 30*30cm.

Exercice 6

Sur la figure ci-dessous, les points A, B et C sont les centres de trois cercles, de même rayon, tangents deux à deux. Soit r le rayon de ces cercles. Calculez, en fonction de r, l'aire de la partie noire intérieure au triangle et délimitée par les trois cercles.

ABC triangle équilatéral de coté 2r. => chacun des angles est égal à 60°.

L’aire de chacune des portions est de 1/6 de cercle soit 1/6 π r².

La somme des 3 portions = ½ π r²

L’aire du triangle ABC = base * hauteur /2 Calcul de la hauteur (pythagore) : h² + r² = 4r² => h² = 3r² => h = √3r

Aire du triangle = 2r √3r/2 = √3 r²

Aire de la partie noire = aire du triangle – 3 portions de cercle = √3 r²-½ π r²= r²(√3--

½ π) = 1,43 r²

Exercice 7

ABCDEFGH est un octogone régulier de centre O.

1)

a) Calculer la valeur en degrés de l'angle HOG. HOG = 360/8 = 45°

b) Calculer la valeur en degrés de l'angle HBE.

HOB est isocèle de sommet O (car OH = OB) donc OHB=HBO Comme la somme des angles d’un triangle vaut 180° on en déduit que HBO = (180-HOB)/2

Or HOB= 2*HOA = 2*45 = 90 donc HBO=(180-90)/2 = 45.

De la même façon OBE= (180-135)/2=45/2=22,5°

On en déduit que HBE=HBO+OBE=45+22,5=67,5

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virginie.zampa.free.fr - -- - [email protected] 4 3) Construire à la règle et au compas cet octogone dans le cas où le rayon de son cercle circonscrit est égal à 5cm. La description de la procédure de construction n'est pas demandée mais les traits de construction sont attendus.

3) On veut obtenir une pyramide régulière de base l'octogone ABCDEFGH construit précédemment et de sommet S.

a) Quelles conditions doivent vérifier les longueurs des arêtes [SA], [SB], [SC], [SD], [SE], [SF], [SG], [SH] ?

elles doivent toutes être égales

b) On prend SA = 13 cm. Calculer alors SO.

SOA est un triangle rectangle en O. on a donc SA² = SO² + OS²

On a donc OS²= SA² - SO²=> OS² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144 => OS =12 cm

4) On coupe la pyramide SABCDEFGH par un plan parallèle à sa base et passant par le milieu du segment [OS]. On obtient ainsi une petite pyramide. Exprimer le volume v de la petite pyramide en fonction du volume V de la pyramide initiale SABCDEFGH.

=> désolée !! c’est hors programme je pensais l’avoir supprimée …

Exercice 8

Le responsable commercial d'un grand magasin achète un lot d'ordinateurs de même prix. Il en vend le tiers avec un bénéfice de 20 %, le quart avec un bénéfice de 16 % puis le reste avec une perte de 7 %.

1) Calculer en pourcentage le bénéfice réalisé sur la totalité de la vente.

Je passe les proportions en pourcentages : 1/3 = 33%

1/4 = 25 %

le reste = (33 + 25)-100 = 41,67 % Nous savons que :

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virginie.zampa.free.fr - -- - [email protected] 5 - 33% des ordinateurs ont été vendus avec un bénef de 20% ce qui traduit en chiffres donne

33,33 x 1,20 = 40

- 25% vendus avec un bénéf de 16% soit 25 x 1,16 = 29

- 41,67% vendus avec une perte de 7% soit 41,67 x 0,93 = 38,75

ainsi pour connaître le bénéfice total il suffit d'additionner les pourcentages obtenus et de comparer avec la valeur 100 de départ, soit :

40 + 29 + 38,75 = 107,75

le bénéfice total est donc de 107,75-100 = 7,75 %

2) Sachant que le bénéfice est de 2 976 €, calculer le montant des achats du responsable commercial.

Le montant des achats est de 2976*100/7,75 = 38400€

Exercice 9

Deux cyclistes font une course consistant en un aller-retour entre deux villes A et B ; on appelle d la distance entre ces deux villes.

Le premier cycliste est plein d'ardeur et fait le trajet de A à B avec une vitesse v très

honorable ; malheureusement, dans la ville B, sa bicyclette subit une avarie qui le contraint à Quant au deuxième cycliste, il part de A en même temps que le premier ; il effectue les deux trajets de A à B puis de B à A avec la même vitesse constante x nettement inférieure à v, mais la malchance de son compagnon lui permet de terminer la course en A en même temps que lui.

On précise :

- les vitesses v, w et x sont considérées comme constantes ; - aucun temps d'arrêt en B n'est à prendre en compte.

1) On suppose d'abord : d = 20 km, v = 40 km/h et w = 10 km/h

a) Combien de temps ont duré les deux trajets aller et retour du premier cycliste ? aller 20 km à 40 km/h et retour 20km à 10 km/h

donc aller en 30 minutes et retour en 2h soit un total de 2h30

b) Quelle était la vitesse x du deuxième cycliste ?

les deux cyclistes sont arrivés en même temps donc 40 km en 2h30 = 8km/30 minutes

=> la vitesse du second cycliste est de 16 km/heure

2) Établissez maintenant une formule générale qui permet de calculer x en fonction de d, v et w.

Là on avait 20=d, 40=v et 10=w et on trouve 2,5 (2h30) avec la formule (d/v)+(d/w) x=2.5/40

on a 2d=40 Donc:

x=[(d/v)+(d/w)]/2d

PAS SURE DE LE COMPTER !

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Exercice 10

Une station de sports d'hiver est équipée d'un téléphérique pour permettre aux skieurs d'atteindre un plateau en altitude. Des pylônes sont placés en A, E, C et B pour soutenir le câble que l'on considérera rectiligne. Le câble mesure 2,48 km. L'altitude au point A est 2100 m, l'altitude au point B est 2620 m.

Remarque : Sur ce schéma, les mesures des longueurs et de l'angle ne sont pas respectées.

1) On définit la pente comme étant le rapport entre la hauteur du dénivelé (BB' sur le dessin) et la distance parcourue à l'horizontale (AB' sur le dessin).

a. Calculer la pente de ce câble et l'exprimer en pourcentage.

2,480 km = 2480 m

Calcul de BB’ : 2620 - 2100 = 520 km AB² = AB’² + BB’²

2480² = AB’² + 520² AB’² = 2480² - 520² AB’² = 2425 m

Pente = 520 / 2425 = x/100 x = 520 x 100/2425 = 21,4 % La pente de ce câble est de ≈ 21 %

b. Calculer l'altitude au point C, arrondie à 1 m près.

Soit H le point de BB' tel que CH est perpendiculaire à BB' On utilise la propriété de Thalès :

BC/BA = BH/BB'

BH = BC x BB' = 480 x 520 BA 2480

CC’ = BB’ - BH = 520 - (480 x 520)/2480 ≈ 419 m

L’altitude au point C est donc l’altitude au point C’+ 419 = 2100 + 419 = 2519m a) E est le milieu du segment [AC]. Calculer EC.

BC = 480 => AC=AB-BC=2480-480=2000

=> EC= AC/2 = 1000 m

b) Entre E et C, la cabine progresse à la vitesse constante de 5 m/s. En combien de temps la cabine parcourt-elle la distance EC ? Vous donnerez le résultat en minutes et secondes.

1000 : 5 = 200 secondes

La cabine parcourt la distance EC en 200 secondes = 3 minutes et 20 secondes

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Exercice 11

Deux villes A et B se situent du même côté d’une voie ferrée rectiligne (CD), comme l’indique le schéma ci-dessous.

On cherche où construire la gare G pour que el trajet de la ville A à la ville B en passant par la gare G soit le plus court possible.

1) Représenter les points A, B, C et D sur une figure pour laquelle 1cm correspond à 1 km.

Quelle est l’échelle de cette représentation ? Justifier la réponse.

Si on représente sur le schéma, 1 cm pour 1 km, cela veut dire que 1 cm sur le schéma représente 100 000 cm.

On dit que le schéma est à l'échelle 1/ 100 000.

2) Construire le point E symétrique du point B par rapport à la droite (CD)

3) On appelle F le point d’intersection des droites (AE) et (CD). Soit M un point quelconque du segment [CD] distinct du point F. Démontrer que AM+MB > AF + FB

Soit E le symétrique de B par rapport à la droite (CD), et F l'intersection entre (AE) et (CD).

Les points A, F et E sont alignés. BF = FE.

Soit M, un point quelconque sur (CD) différent de F. Construisons le segment [ME].

On a alors ME = MB.

Comparons maintenant AM + MB et AF + FB.

AM + MB = AM + ME et AF + FB = AF + FE.

Les points A, F et E sont alignés, AE peut être considéré comme un côté du triangle AME et, d'après la définition de l'inégalité triangulaire, la longueur d'un côté d'un triangle est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. On a bien AE < AM + ME.

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virginie.zampa.free.fr - -- - [email protected] 8 AF + FE < AM + ME

AF + FB < AM + MB ou AM + MB > AF + FB.

4) En déduire l’endroit où l’on doit construire la gare G

AF + FB étant la distance la plus courte pour relier A à B en passant par la droite (CD), c'est au point F que la gare sera construite.

G = F.

Exercice 12

Les instruments autorisés sont le compas et la règle graduée.

Soit EFG un triangle isocèle en E tel que FG = 4 cm et EG = 6 cm. Le cercle (C) de diamètre [EG] coupe [FG] en K.

1. Réaliser la figure en vraie grandeur sur la copie.

2. Démontrer que EKG est un triangle rectangle.

Le triangle EKG est inscrit dans le cercle de diamètre un des côtés de ce triangle.

Donc EKG est un triangle rectangle en K et son hypoténuse est ce côté [EG].

3. Démontrer que K est le milieu de [FG].

K est également le pied de la hauteur issue de E du triangle isocèle EFG en E.

Il coupe donc le segment [FG] en son milieu.

4. Calculer la valeur exacte de EK.

Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle EKG rectangle en K.

On a alors : EG² = EK² + KG² Donc EK² = EG²-KG²

En remplacant par les valeurs numériques, on obtient : EK² = 6²-2²=36-4=32

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virginie.zampa.free.fr - -- - [email protected] 9 ð EK=√32=4√2=5.7cm

5. Soit S le point image du point E par la translation qui transforme K en G. Placer le point S sur la figure, en expliquant cette construction. On laissera apparents les traits de construction.

6. Démontrer que le quadrilatère ESGK est un rectangle

Le parallélogramme ESGK est un rectangle car l'angle GKE est droit.

7. En déduire que ESGK est inscrit dans le cercle (C).

Le cercle (C) de diamètre [EG] coupe [FG] en K. On a donc E, G et K inscrit dans le cercle.

ESKG étant un rectangle, ces diagonales se coupent en leur milieu O. donc S est aussi sur C.

ð Le rectangle ESGK est inscrit dans le cercle C.

Exercice 13

Soit ABCD un rectangle. On note F le milieu du segment [CD], E le milieu de [AD] et G l’intersection des droites (EC) et (FB).

1) Faire un croquis.

2) Démontrer que l’aire du triangle DEC est le quart de l’aire du rectangle ABCD.

Soit E’ le milieu de BC. L’aire du rectangle DEE’C est la moitié de l’aire du rectangle

ABCD. Le triangle DEC correspond à la moitié du rectangle DEE’C son aire correspond donc au quart de celle du rectangle ABCD.

3) Démontrer que l’aire du quadrilatère EDFG est égale à celle du triangle BCG.

Selon le même principe BCF = ¼ ABCD donc BGC = ¼ ABCD – GFC

EDFG = EDG - GFC or EDG = ¼ ABCD donc EDFG = ¼ ABCD – GFC= BGC

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Exercice 14

Un cargo de 76 mètres de long et navigant à 25 km/h dépasse un bateau de plaisance de 15 mètres de long se déplaçant à 12 km/h.

Calculer la durée du dépassement.

(Le moment initial du dépassement correspond au moment où l'avant du cargo est à la hauteur de l'arrière du bateau de plaisance. Le moment final du dépassement correspond au moment où l'arrière du cargo est à la hauteur de l'avant du bateau de plaisance.

Le cargo (mesurant 76 m de long et navigant à 25 km/h) commence à dépasser le bateau de plaisance (mesurant 15 m de long et navigant à 12 km/h), quand l’avant du cargo arrive au niveau de l’arrière du bateau de plaisance, et le dépassement se termine quand l’arrière du cargo arrive au niveau de l’avant du bateau de plaisance.

Un passager du bateau de plaisance, verra donc l’avant du cargo parcourir une distance égale à la longueur du cargo (76 m) augmentée de la longueur du bateau de plaisance (15 m) pour permettre à l’arrière du cargo d’atteindre l’avant du bateau de plaisance, soit :

76 m + 15 m = 91 m.

Pendant ce temps le bateau de plaisance aura continué à avancer à sa propre vitesse et aura parcouru une certaine distance d comme le montre le schéma

Cette distance de 91m étant perçue par rapport au bateau de plaisance, elle sera parcourue à la vitesse à laquelle un occupant du bateau de plaisance voit avancer le cargo, c'est-à-dire à une vitesse égale à la différence des vitesses des deux bateaux soit : 25 km/h - 12 km/h = 13 km/h Le problème revient donc à calculer la durée nécessaire pour parcourir 91 m à la vitesse de 13 km/h.

Distance parcourue en mètres 13 000 91 Durée du trajet en secondes 3600 t on peut déduire que : 13000 t = 91 x 3600 = 327 600 D’où t = 327 600 13 000 = 25,2

Exercice 15

Une course pédestre est organisée le long d'un parcours rectangulaire comme indiqué par la ci-dessous :

On appelle x la distance parcourue, à partir du départ situé en I, par un coureur représenté par un point noté M. On appelle V(x) la distance à vol d'oiseau du point I au point M.

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virginie.zampa.free.fr - -- - [email protected] 11 1) Reproduire et compléter le tableau ci-dessous. On Justifiera les résultats lorsqu'ils

nécessitent un calcul ou un raisonnement.

3) Comment varie la distance à vol d'oiseau V(X) lorsque le coureur représenté par le point M effectue un tour du parcours ?

On sépare les différents cotés 1°) Pour M sur [IA], V(x) = x

2°) Pour M sur [AB], V(x) ² = IA² + AM²avec AM = x-4 donc AM = 16 – 8x + x²

=> V(x) ² = 32-8x+ x²

3°) Pour M sur [BC], on aura un triangle rectangle en K soit IKB soit IKC et V(x) ² = IK² + KM²avec IK² = 9 et KM = |x-11| donc KM² = 121-22x+ x²

=> V(x) ² = 130 – 22x + x²

4°) Pour M sur [CD], V(x) ² = ID² + DM²

Pour M sur [DI], V(x) = tour complet – IM = 22-x

3) Reproduire et compléter le tableau suivant. Les résultats seront arrondis au dixième de kilomètre et justifiés.

Pour x = 5 et x= 6 on a x sur [AB] donc V(x) ² = AI² + Ax² V(5) ² = 16 + 1 = 17 => V(5) = √17

V(6) ² = 16 + 4 = 20 => V(5) = √20

Pour x = 8, x=9 et x = 10 on a x sur [BC] donc V(x) ² = KI² + Kx² V(8) ² = 9 + (11-x)² = 9 + 9 => V(5) = √18

V(9) ² = 9 + 4 = 13 => V(5) = √13 V(10) ² = 9 + 1 = 10 => V(5) = √10

4) On prévoit pour les vétérans le parcours correspondant au quadrilatère IJKL. De quel pourcentage le parcours initial a-t-il été réduit ? On donnera le résultat à l'unité près par défaut.

Le parcours initial mesure 2*8 + 2*3 = 16 + 6 = 22 km

Le parcours vétérans mesure 4*IJ avec IJ² = AI² + AJ² = 16 + 2,25 = 18,25 d’où IJ= √18,25 = 4,27

Le parcours vétérans mesure donc mesure 17,09km il correspond donc à 77,68% du parcours initial. Il a donc été réduit de 22,32%.