Chap 20
Convexit´ e
1 D´ efinition
I d´esigne toujours un intervalle de R.
D´efinition. Soit f : I Ñ R. On dit quef est convexesi et seulement si :
@px1, x2q PI2, @λP r0,1s, f λx1 p1λqx2
¤λfpx1q p1λqfpx2q
On dit que f estconcave si et seulement si f est convexe.
Interpr´etation graphique.
Th´eor`eme.
Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I. Les assertions suivantes sont ´equivalentes :
(i) f est une fonction convexe ;
(ii) Pour tout adeI,xÞÑ fpxq fpaq
xa est croissante ;
(iii) Cf est en dessous de toutes ses cordes
Remarque.
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Chap 20 – Convexit´e
2 In´ egalit´ e de Jensen
Proposition (In´egalit´e de Jensen). Soit f : I Ñ R convexe. Soitpx1, . . . , xnq P In et pλ1, . . . , λnq P pR qn tels que
¸n
k1
λk1. Alors :
f n
¸
k1
λkxk
¤
¸n k1
λkfpxkq
Exemple. On peut d´eduire de l’in´egalit´e de Jensenl’in´egalit´e classique suivante :
?n
y1. . . yn¤ y1 yn
n @py1, . . . , ynq P Rn
3 Lien avec la d´ erivabilit´ e et la continuit´ e
Proposition. Soitf : I Ñ R une application convexe. Alors en tout point a de I qui n’est pas une extr´emit´e de I,f estd´erivable `a gauche et `a droite.
Corollaire. Sif est convexe sur l’intervalle I, alorsf est continue sur I, sauf peut-ˆetre aux extr´emit´es deI. Exemple. On r´efl´echira aux trois exemples suivants de fonctions d´efinies sur r1,1s pour ne pas faire de
g´en´eralisation abusive de ces r´esultats :
f : xÞÑ
#
0 sixPs 1,1r 1 six 1 ou 1 g : xÞÑ1?
1x2 h : xÞÑ |x|
4 Cas des fonctions d´ erivables
Th´eor`eme.
Soit f : I Ñ R d´erivable surI.
f est convexe sur I si et seulement si f1 est croissante.
Corollaire. Soitf : I Ñ R deux fois d´erivable sur I.
f est convexe surI si et seulement si f2 ¥0.
Propri´et´e. Soitf : I Ñ R une fonction convexe et d´erivable sur I. Alors pour touta bdans I, f1paq ¤ fpbq fpaq
ba ¤f1pbq
Exemple. xÞÑlnx est concave surR,xÞÑx4,xÞÑex,xÞÑlnp1 exqsont convexes sur R.
Exemple. sin est concave surr0,π2sdonc la courbe est en dessous de sa tangente en 0 et au dessus de sa corde.
D’o`u l’in´egalit´e classique `a connaˆıtre :
@xP r0,π 2s, 2
πx¤sinx¤x
D´efinition. Soitf une fonction de classe C2. On dit quef admet en aun point d’inflexionsi et seulement si
l’une des propri´et´es ´equivalentes suivantes est satisfaite :
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(i) f2paq 0 etf2 change de signe ena
(ii) f1 admet en aun extremum local
(iii) f change de concavit´e ena
Exemple. xÞÑx3 admet en 0 un point d’inflexion.xÞÑx6 n’admet pas en 0 de point d’inflexion.
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20.1Soitf:RÑRconcaveetd´erivable.Montrerque: @px,yqPR2 ,fpxyq¤fpxqfpyq convexite_1.tex 20.2Donnerdeuxm´ethodespourmontrerque: @xPR,ex ¥2ex 21 convexite_3.tex 20.3Montrerquepourtoutx¥0etnPN ,: xn1 pn1qxn¥0 convexite_4.tex 20.4Montrerquepourtoutpa,bqPR2 telque0 b¤aona: ab a¤lna b¤ab b convexite_5.tex 20.5Soitfunefonctionconvexesurs0,8r. (a)MontrerquexÞÑfpxq xadmetunelimiteen8(finieou8). (b)Montrerquesicettelimiteestunr´eel`,alorsxÞÑfpxq`x admetunelimiteen8(finieou8). convexite_6.tex 20.6 (a)Montrerquetouteapplicationconvexemajor´eesurRest constante. (b)Donneruncontrexemplesionsupposelapropri´et´evraieunique- mentsurs0,8r.
convexite_7.tex 20.7Pr´ef´erez-vousvotremoyennetrimestriellecalcul´eeavecune moyennearithm´etique(1 n°n k1xn)oug´eom´etrique(p±n k1xnq1 n)? convexite_8.tex 20.8 (a)D´emontrerl’in´egalit´e(x1,...,xn¡0): n? x1...xn¤x1...xn n (b)D´emontrerlesin´egalit´es(a,b,c¥0,nPN ): (b.1)a3 b3 c3 ¥3abc (b.2)pabcq3¥27abc (b.3)n? n!¤n1 2 convexite_9.tex 20.9 (a)Montrerquepourtoutx,y¡0,α,β¡0t.q.αβ1: xα yβ ¤αxβy (b)End´eduirel’in´egalit´edeH¨older(a1,...,an,b1,...,bn¡0et α,β¡0t.q.αβ1): n¸ i1aibi¤ n¸ i1a1 α iα n¸ i1b1 β iβ (c)
` A quoicorrespondcettein´egalit´elorsqueαβ1 2? convexite_2.tex
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