pour l’obtention du Diplôme Universitaire d’actuariat de l’ISFA et l’admission à l’Institut des Actuaires
Par : Francesca Chamiot-Clerc
Titre : Calcul de la marge pour risque pour un portefeuille d’assurance vie
individuelle français en modèle interne
Confidentialité : NON (Durée : 1 an 2 ans)
Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus Membres présents du jury de
l’Institut des Actuaires
Signature
. . . . . . . . . . . . Membres présents du jury de l’ISFA
. . . . . . . . . . . .
Entreprise : Nom : Allianz Signature :
Directeur de mémoire en entre- prise :
Nom : Guillaume Metge Signature :
Invité : Nom : Signature :
Autorisation de publication et de mise en ligne sur un site de diffusion de documents actua- riels (après expiration de l’éventuel délai de confidentialité)
Signature du responsable entreprise
Signature du candidat
Résumé
Dans un environnement économique incertain, la directive européenne Sol- vabilité II est venue, depuis quelques années maintenant, imposer une régle- mentation forte en termes de provisionnement. Parmi les provisions introduites sous Solvabilité II, ces travaux s’attacheront tout particulièrement à la marge pour risque, dont le but est de faire face aux risques non réplicables. Cette provision s’ajoute aux Best Estimate of Liabilities pour former les provisions techniques.
La directive Solvabilité II impose aux compagnies d’assurance une métho- dologie de calcul de la marge pour risque, appelée la méthode du « Coût de Capital ». D’un point de vue théorique, ce coût du capital a été fixé à 6% de la somme des capitaux de solvabilité futurs actualisés. Cependant, la complexité d’un tel calcul implique un coût opérationnel très important. Ainsi, les com- pagnies optent pour l’utilisation de méthodes simplifiées, comme, dans le cas d’Allianz, l’utilisation de drivers pour projeter les capitaux de solvabilité de chaque risque.
Ce mémoire a pour objectif de justifier la pertinence de la méthode utilisée par Allianz et de trouver une approche plus adaptée en passant par des mé- thodes alternatives comme la détermination d’une combinaison de drivers à l’aide de régressions linéaires.
Mots clés : Solvabilité II, Marge pour risque, Capital de solvabilité, Projec- tions, Coût du capital, Drivers, Drivers combinés, Régression linéaire, Niveau de confiance
Abstract
In an unstable economic context, the directive Solvency II regulates insu- rance activities, and provides strict rules about the calculation of provisions.
Among the provisions governed by Solvency II, this actuarial science disserta- tion will deal with the Risk Margin the aim of which is to face unhedgeable risks. The Risk Margin constitutes along with the Best Estimate Liabilities, the technical provisions.
The directive Solvency II dictates insurance companies to adopt a calculation methodology for the Risk Margin called « Cost of Capital ». It has been set equal to 6% of the sum of the present values of the future solvency capital requirements. However, this methodology is complex and implies an important operational cost. In that respect, companies opt for simplified methodologies as with Allianz which has chosen to use drivers to project the solvency capitals of each risk.
This dissertation’s main purpose is to justify the relevance of the metho- dology used by Allianz through a comparison between the “Cost of Capital”
methodology and the one using drivers, and to challenge it with alternative models using linear and Lasso regressions.
Keys words : Solvency II, Technical provisions, Risk Margin, Solvency Ca- pital Requirement, Projections, Cost of Capital, Drivers, Combined drivers, Linear regression, Confidence level
Note de synthèse
Contexte
Depuis l’entrée en vigueur de Solvabilité II, les compagnies d’assurance font face à de nombreux défis pour calculer le bilan prudentiel requis par cette norme. Le passif du bilan prudentiel est composé des fonds propres écono- miques et provisions techniques, elles-mêmes composées du Best Estimate of Liabilities (BEL) et de la marge pour risque, ou Risk Margin (RM) qui fera l’objet de cette étude.
Une compagnie d’assurance est exposée à deux types de risque :
— Les risques réplicables, c’est-à-dire qui peuvent être parfaitement répli- qués à travers un portefeuille d’actifs.
— Les risques non-réplicables, non couverts par un portefeuille d’actifs.
La marge pour risque correspond au coût du capital non-couvrable immobilisé.
Elle correspond donc à un montant de BEL supplémentaire, qui permet à l’assureur de faire face à ses engagements, et permet de donner une valeur de marché aux provisions techniques, comme défini par Solvabilité II.
L’EIOPA a défini la méthode "Coût du capital" comme méthode de calcul de la marge pour risque, qui se traduit ainsi :
RM =CoC.X
t≥0
E(SCRt) (1 +rt)t Avec :
— rt, le taux zéro-coupon en t,
— E(SCRt), le capital réglementaire de solvabilité non-couvrable à la date t pour un portefeuille en situation de run-off,
— CoC, le coût du capital fixé à 6% par l’EIOPA.
Le calcul de la marge pour risque nécessite donc la projection du capital de solvabilité, appelé Risk Capital (RC) dans le cadre du modèle interne d’Al- lianz, de l’année 1 jusqu’à l’extinction du portefeuille. C’est le réel enjeu de la détermination de la RM, puisque c’est un calcul très lourd d’un point de vue opérationnel. Les compagnies d’assurance choisissent donc très souvent une méthode simplifiée, appropriée à leur business, à la nature et à la complexité de ses risques.
Parmi ces méthodes simplificatrices,les compagnies d’assurance optent souvent pour l’utilisation de drivers pour projeter chaque risque.
C’est la méthode qu’à retenu Allianz. L’enjeu de ce mémoire réside dans la justification de ce choix, et dans sonchallenge.
Étude
Méthode réelle Dans un premier temps, nous avons décidé de calculer la RM avec la méthode réelle, proposée par l’EIOPA : nous avons donc dû projeter chaque RC, dans une situation de run-off, c’est-à-dire que nous considérons qu’il n’y a pas d’affaires nouvelles.
Les RC concernés par la RM sont les risques non-réplicables soient les risques de mortalité, de mortalité catastrophique, de longévité, de rachat, de rachat massif, et de coût. Dans la construction du modèle interne d’Allianz ces risques correspondent au risque de souscription vie. Chacun de ces risques élémentaires RCi se calculent de la manière suivante :
RCi =BELchoc−BELcentrale Où :
— BELchoc est le BEL issu d’un scénario déformé, auquel nous avons appli- qué un choc,
— BELcentrale est le BEL issu d’un scénario central, qui correspond aux réelles hypothèses démographique et économique.
Pour projeter les RC, nous avons dû définir des méthodes de vieillissement des hypothèses utilisées pour le calcul du RC, soit :
— Le vieillissement des hypothèses démographiques, donc le vieillis- sement de notre portefeuille :
Nous avons donc défini les variables du portefeuille impactées par le temps, soient l’âge de la police, le nombre de contrats, les primes acquises ou le montant de rente versé et le montant de provisions mathématiques.
Puisque nous connaissions l’arrivée à échéance de chaque police (quand elle existe et qu’elle est différente du décès de l’assuré), ainsi que les taux de mortalité et les lois de rachats définis en interne, nous avons pu dé- duire le nombre de contrats par police à chaque pas de temps de calcul et ensuite en déduire la projection des autres variables.
— Le vieillissement des hypothèses financières :
àl’aide d’une méthode de boostrap, nous avons vieilli la courbe des taux en calculant les tauxforward et de manière à obtenir une courbe des taux pour chacun des pas de temps de projection.
— Le calibrage des chocs:
Afin de calculer les BEL issus d’un scénario "choqué", ou déformé, nous appliquons différents chocs :
— Augmentation ou diminution des taux de mortalité pour les risques de mortalité, de mortalité catastrophique et de longévité,
— Modification des lois de rachat pour les risques de rachat et rachat massif,
— Augmentation des coûts (frais de gestion, acquisition etc) pour le risque de coût.
Nous avons fait l’hypothèse d’appliquer les mêmes chocs pour chaque pas de temps, sauf pour la longévité que nous avons calibrer à chaque fois avec la méthode de Lee-Carter, basée sur la moyenne d’âge du portefeuille.
C’est ainsi que nous avons déterminé chaque RC en t avect ∈ {0,5,10,15,20,30,40,50,60}.
Pour obtenir tous les points, nous avons alors appliqué différentes méthodes d’interpolation, et choisi de conserver la régression linéaire (plus prudente qu’une régression par spline cubique dans le cas de courbes convexes) lissée par un lissage de Whittaker-Henderson.
Nous pouvons alors calculer le RC global de souscription vie, grâce à une ma- trice de corrélation des risques, et déterminer aisément la RM.
Utilisation de drivers Dans un second temps, nous avons projeté les RC à l’aide de drivers, de la manière suivante :
RCi(t) =RCi(0)× driveri(t) driveri(0) Où :
— RCi(t) est le RC du risquei à l’année t,
— driveri(t) est le driver choisi pour le risque i à l’année t. Un driver est une variable du portefeuille, par exemple les provisions mathématiques, qui se projette facilement.
Nous avons observé par la suite les résultats obtenus à l’aide de la méthode réelle ainsi que les résultats obtenus à l’aide de drivers. Pour le risque de mortalité par exemple, nous utilisons les provisions mathématiques globales du portefeuille d’Allianz vie comme driver, et nous obtenons :
"Comparaison des RC de mortalité réels et approchés par un driver"
Nous avons analysé et validé ou non ces choix de drivers en suivant les trois critères suivants :
— Critère quantitatif : vérification de la corrélation entre la courbe réelle et la courbe approchée et vérification du fait que les RC approchés soit toujours supérieurs aux RC réels dans une optique de prudence.
— Critère graphique: vérification de la similitude de l’allure générale des courbes.
— Critère qualitatif : respect d’une certaine logique.
Nous avons alors pu calculer la RM obtenue à l’aide desdrivers, notéeRMapprox, que nous avons comparé à la RM obtenue avec la méthode réelle, notéeRMreelle, et nous obtenons le résultat suivant :
RMapprox = 1,201×RM reelle
Construction de drivers combinés Dans un troisième temps, nous avons décidé de construire des drivers combinés pour essayer d’approcher au mieux les RC réels.
Pour ce faire, nous avons utilisé une méthode de régression linéaire multiple. En effet, nous avons considéré les RC réels comme des variables à expliquer, et fait une sélection de variables du portefeuille à utiliser comme va- riables explicatives. En appliquant ces régressions linéaires pour chaque risque, nous avons pu déterminer les meilleures combinaisons linéaires de ces variables pour expliquer les RC. Pour le risque de mortalité par exemple, nous utilisons la combinaison de drivers suivante :
drivermortalite(t) =−0,072+2,205×V AN_P M(t)−1,004×V AN_Sinistres(t) Où :
— V AN_P M est la Valeur Actuelle Nette des provisions mathématiques en t sur la Line of Business de l’épargne individuelle,
— et V AN_Sinistresest la Valeur Actuelle Nette des prestations décès en t sur laLine of Business de l’épargne individuelle.
Nous obtenons le graphique suivant :
"Comparaison des RC de mortalité réels et approchés par undriver combiné"
Dans un dernier temps, nous avons donc calculé la RM avec ces nouveaux drivers, notée RMdrivers comb, et obtenu le résultat suivant :
RMdrivers comb= 1.0008×RMreelle
Calcul du niveau de confiance de la RM Les calculs de RC futurs exact n’est pas possible, ils reposent sur un grand nombre d’hypothèses. Un approche
« niveau de confiance » pourrait être développée.
En effet, la RM représente une compensation attendue par l’assureur pour faire face à l’incertitude de ses flux de trésorerie relative à ses risques non- réplicables. La RM peut donc être vu comme la probabilité que les flux de l’assuranceΛsoient suffisants pour un certain seuilαà établir, c’est-à-dire :
P(Λ≤BE+RM) = α
Nous avons donc déterminé le niveau de confiance de la RM calculée à l’aide de la méthode du Coût du Capital. Nous avons donc déterminé la distribution des flux futurs, qui suivent une loi normale, de paramètreµΛetσΛ. Nous avons ainsi pu calculer α tel que :
α= Φ−1(BE+RM) Conclusion
L’étude a permis d’étudier avec profondeur la méthodologie de projection des capitaux de solvabilité des risques non-réplicables (et donc du calcul de la RM) utilisée par Allianz, et de l’améliorer. Cette étude pourra être utilisée dans le cadre d’une étude sur la marge pour risque à fournir à l’ACPR.
Les nouvelles méthodologies développées dans ces travaux pourront être uti- lisées par l’équipe de production Solvabilité II. Pour ce faire, un travail de backtesting devra être mené, pour s’assurer qu’elles résisteraient à un fort chan- gement économique ou démographique.
Enfin, il a été montré dans ce travail que la méthode du Coût du Capital est difficile à mettre en oeuvre, puisqu’il est impossible de calculer les exacts capitaux réglementaires futurs. C’est pourquoi différentes approches, telles que celle du niveau de confiance, pourraient être intéressantes.
Executive summary
Context
Since Solvency II came into effect, insurance companies have been facing lots of challenges to compute their economic balance sheets. Their liabilities are composed of the basic own funds and the technical provisions, which are themselves composed of the Best Estimate Liabilities (BEL) and the Risk Margin (RM). The RM is the subject of this actuarial dissertation.
An insurance company is exposed to two different types of risks :
— Hedgeable risks, which can be perfectly replicated by an asset portfolio,
— Non-hedgeable risks, which cannot be covered.
The RM is equal to the cost of the non-hedgeable capital. The risk margin is an additional amount of BEL, which allows insurance companies to face their liabilities and give a market-value to actuarial liabilities as defined under Solvency II.
The EIOPA has defined the following methodology, called “Cost of Capital”, to compute the RM, which results as follows :
RM =CoC.X
t≥0
E(SCRt) (1 +rt)t With :
— rt, zero coupon yield at year t,
— E(SCRt), the non-hedgeable solvency capital requirement at year t in a run-off situation,
— CoC, the cost of capital, fixed at 6%.
The risk margin calculation requires the projection of the future Solvency Capital Requirement (SCR), called Risk Capital (RC) under the Allianz pro- jection model. This is the real challenge of the determination of the RM, since the projection of the RC is a very long and tough process. Then, insurance companies find simplified method of calculation adapted to their business and to the nature of their risks to compute the RM.
Among these methods, insurance companies mostly opt for the use of drivers to project each risk. This is the method chosen by Allianz. The aim of this dissertation is to justify the relevance of this choice and to challenge it.
Results
Calculation of future RC First, we have decided to compute the RM with the real method, which EIOPA asks for : Cost of capital method. To do this, we had to project each RC, in a run-off situation, which means without new business.
Risks concerned by the RM are non-hedgeable risks, that is mortality, mor- tality calamity risk, longevity, lapse, mass lapse and cost risks. Each of these elementary risks, named RCi are computing the following way :
RCi =BELshock −BELcentrale Where :
— BELshock is the BEL coming from a deformed scenario, in which we had applied a shock which had been calibrated with historical data,
— BELcentral is the BEL coming from a central scenario, which correspond to the actual demographic and economic hypothesis.
In order to project the RC, we had to define aging methods to apply to the hypothesis used for the RM calculation :
— Demographic hypothesis aging, that is, the portfolio aging.
To do this, we have defined the portfolio’s variables impacted by time, that is, the policy’s age, the number of contracts, the premium amount, the annuity amount and the mathematical provisions. Knowing the term of the contracts (when there is one), the mortality rates, and lapse rates (based on historical data, and on the age of the portfolio) we have been able to calculate the number of contracts at each time steps and then to deduct the other variables at each time steps.
— Economic hypothesis aging.
Thanks to a bootstrap method, we have projected the yield curve by computing forward rates, in order to obtain a yield curve for each time steps.
— Shock calibration
To calculate BELs coming from a shocked scenario, we have applied dif- ferent shocks :
— Increase or decrease of mortality rates for mortality, calamity mor- tality and longevity risks,
— Increase of lapse rates for lapse and mass lapse risks,
— Increase of costs for the cost risk.
We made the hypothesis to applied the same shocks every time, except for the longevity risk, for which we have calibrated the shock at each time steps with a Lee-Carter method, based on the average age of the portfolio.
This is how we have determined each RC at year t, witht∈ {0,5,10,15,20,30,40,50,60}.
To get RC at every time steps, we have applied different interpolation methods and chose to keep a linear interpolation (which is more prudent than a spline cubic interpolation for convex curves) smoothed by a Whittaker-Henderson smoothing.
Then, we have been able to compute an aggregated RC, thanks to a corre- lation matrix, and then to determine the RM.
Use of drivers Secondly, we have projected the RC thanks to drivers, using the following way :
RCi(t) =RCi(0)× driveri(t) driveri(0) Where :
— RCi(t) is the RC of riski at year t,
— driveri(t)is the driver chosen for risk i at year t. A driver is a variable of the portfolio, for example mathematical provisions, which can be easily projected
Thereafter, we have observed the results obtained with the real calculation of the future RC and the ones obtained with the use of drivers. For example, for the mortality risk, we used the mathematical provisions of the entire life portfolio of Allianz (including health and protection) as a driver, et we obtained the following graph :
"Comparison between the real mortality RC and the approximate ones"
We have then analyzed these choices of drivers according to the following three criteria :
— Quantitative criteria : The “real” RC et the approximate RC have to be correlated. Furthermore, in a prudent approach, approximate RC have to be greater than the “real” ones.
— Graphic criteria : The “real” curve and approximate curve must have a similar general shape.
— Qualitative criteria : The choice of the driver has to be logical.
Then, we were able to compute the RM obtained with drivers, named RMapprox, that we compared to the real RM, named RMreal, and we obtai- ned :
RMapprox= 1,201×RMreal
Combined drivers’ construction Thirdly, we have decided to construct com- bined drivers in order to approach the RC as best as possible. To do this, we have used multiple linear regressions. Indeed, we have considered each RC as a variable to be explained, and we have made a selection of variables of the portfolio to use as explicative variables.
Thanks to this method, we were able to determine the best linear combi- nations of theses variables in order to fit the real RC. For example, for the mortality risk, we obtained the following combination of drivers :
drivermortality(t) =−0,072+2,205×V AN_P M(t)−1,004×V AN_Claims(t) Where :
— V AN_P M is the Net Present Value of mathematical provisions, at year t, of the individual saving Line of Business,
— andV AN_Claims is the Net Present Value of the death claims, at year t, of the individual saving Line of Business.
We obtained the following graph :
"Comparison between the real mortality RC and the ones approximated by a com- bineddriver"
We have computed the RM with these new drivers, named RMdrivers comb, and obtained the following result :
RMdrivers comb = 1.0008×RMreal
Calculation of the confidence level of the RM The exact future SCR cal- culation is impossible, it asks for a consequent number of hypothesis. Then, different approaches could be developed such as the “confidence level”.
Indeed, the RM represents a compensation expected by the insurance company to face the uncertainty of its cash-flows. The RM can be considered as the pro- bability that the cash-flowsΛare sufficient for a levelαto be established, that is :
P(Λ≤BE+RM) = α
Then, we have determined the level of confidence of the RM computed with a Cost of Capital method. We have calibrated the distribution of the future cash-flows, which can be approached by a normal distribution with the parameters µΛ and σΛ. Then we calculated α :
α= Φ−1(BE+RM)
Conclusion
This study has allowed us to do indepth study of the calculation process of the required capital of the non-hedgeable risks, and so the calculation of the RM, used by Allianz, and to improve it. This will be used in a study on the Risk Margin that Allianz has to provide to the authorities.
Also, the new methodology of combined drivers could be used by the Sol- vency II modeling team. To do this, a back-testing work would need to be done before in order to ensure that those drivers can resist a strong demographic or economic change.
Finally, this paper highlights that the Cost of Capital method is difficult to implement, since the exact determination of the required capital is impossible.
This is why different approaches, such as the confidence level one, could be interesting too.
Remerciements
Je tiens à remercier dans un premier temps mon tuteur Guillaume Metge pour ses enseignements et pour m’avoir guidée dans les travaux de ce mémoire.
Je tiens également à remercier Thibaut Catarino pour avoir toujours pris le temps de répondre à mes nombreuses questions, et pour son aide précieuse.
Je souhaite remercier toute la Direction de l’Actuariat Vie d’Allianz France, et notamment l’équipe de modélisation Solvabilité II, pour leur accueil et pour m’avoir accompagnée durant mon année d’alternance.
Je remercie également mon tuteur académique, Frédéric Planchet, pour sa disponibilité et ses conseils.
Enfin, je remercie mes proches, pour leur soutien sans faille.
Sommaire
Introduction 1
I Sovabilité II et la Risk Margin 3
1 Solvabilité II : les généralités 3
1.1 Une nécessite réglementaire dans un cadre incertain . . . 3
1.2 Le bilan économique sous solvabilité II . . . 3
2 Le calcul des provisions techniques 4 2.1 LeBest Estimate Liabilities . . . 4
2.2 LaRisk Margin . . . 4
3 Les fonds propres économiques 5 4 Le SCR en modèle interne 8 4.1 Le modèle interne . . . 8
4.2 Le modèle ALM d’Allianz France . . . 9
4.2.1 Les différentes composantes du modèle . . . 9
4.2.2 Le fonctionnement du modèle . . . 11
4.3 Calcul desLife Non-Market Risks . . . 11
4.3.1 Risque de mortalité . . . 12
4.3.2 Risque de rachat . . . 13
4.3.3 Risque de coût . . . 15
4.3.4 Risque de longévité . . . 15
5 Focus sur la Risk Margin 16 5.1 Définition . . . 16
5.2 La méthode "Coût du capital" . . . 16
5.3 Les méthodes simplificatrices . . . 17
II Objectif et démarche de l’étude 20 III Projection du Risk Capital 22 6 Vieillissement du portefeuille d’assurés 22 6.1 La phase de capitalisation . . . 23
6.1.1 L’âge . . . 23
6.1.2 Le nombre de contrats . . . 23
6.1.3 Le montant de prime perçu . . . 25
6.1.4 Le montant des provisions mathématiques . . . 26
6.2 La phase de rente . . . 27
6.2.1 L’âge . . . 27
6.2.2 Le nombre de contrats . . . 28
6.2.3 Le montant d’arrérages perçu . . . 29
6.2.4 Le montant des provisions mathématiques . . . 30
7 Projection des hypothèses financières : la courbe des taux 30 8 Calibrage des chocs 32 9 Calcul du Risk Capital par risque 32 10 Réalisation d’une interpolation 34 10.1 Interpolation linéaire . . . 35
10.2 Interpolation par splines cubiques . . . 35
10.3 Interpolation non-paramétrique : lissage de Whittaker-Henderson 36 10.4 Discussion sur les méthodes d’interpolation . . . 37
IV Mise en place d’une méthode simplifiée : l’utilisation dedri- vers 38 11 Pertinence d’un driver 38 11.1 Pertinence quantitative . . . 38
11.2 Pertinence qualitative . . . 39
11.3 Pertinence graphique . . . 40
12 Analyse des drivers 40 12.1 Risque de mortalité . . . 40
12.2 Risque de mortalité catastrophique . . . 42
12.3 Risque de rachats . . . 43
12.4 Risque de rachats massifs . . . 43
12.5 Risque de longévité . . . 44
12.6 Risque de coût . . . 45
12.7 La marge pour risque . . . 46
13 Utilisation de drivers combinés : utilisation de régressions li- néaires 47 13.1 Théorie de la régression linéaire . . . 47
13.2 Application à la recherche de drivers combinés . . . 48
13.3 Calcul de la marge pour risque à l’aide des drivers combinés . . 59
14 Détermination d’un niveau de confiance pour la marge pour risque 59 14.1 Distribution des flux futurs de l’assureur . . . 60
14.2 Calcul du niveau de confiance α . . . 63
Conclusion 64
Références 66
Introduction
Depuis l’entrée en vigueur de la norme Solvabilité II le 1er janvier 2016, les compagnies d’assurance et notamment Allianz France doivent estimer trimes- triellement leurs passifs en valeur de marché, notamment les fonds propres et les provisions techniques, pour la réalisation des comptes prudentiels. Certains de ces calculs, comme celui de la marge pour risque, sont coûteux d’un point de vue opérationnel et donc difficiles à mettre en place dans un tel environnement.
L’enjeu de ce mémoire réside alors dans la mise en place d’une méthode simplifiée, rapide d’un point de vue opérationnel et pertinente, pour le calcul de la marge pour risque sur les produits de l’épargne et la retraite individuelle d’Allianz France.
Les provisions techniques sont perçues comme la somme du Best Estimate Liabilities (BEL) et de la marge pour risque, également appelée la Market Value Margin (MVM) ou laRisk Margin (RM), qui fait l’objet de ce mémoire.
Cette dernière est vu comme le coût d’immobilisation des fonds propres pour le cas des risques non-réplicables, et permet d’obtenir les provisions techniques en valeur de marché.
Cependant, le calcul de la marge pour risque, requiert par sa formule, la modélisation de l’ensemble des Capitaux de Solvabilité Requis (Solvency Ca- pital Requirement) jusqu’à extinction des engagements de l’assureur. Dans le cas de contrats à passifs longs d’assurance vie, un calcul propre de la marge pour risque est, en pratique, quasi irréalisable. De par la complexité de cette formule, un calcul "propre" est souvent abandonné au profit d’un calcul appro- ché : l’utilisation de méthodes alternatives s’avère alors nécessaire. L’EIOPA1 propose cinq méthodes pour le calcul de la marge pour risque à la suite des spécifications techniques du QIS52 en 2010 :
— Réaliser un calcul complet de tous les capitaux de solvabilité futurs sans utiliser de simplifications,
— Réaliser une approximation du capital de solvabilité global, en utilisant une approche proportionnelle,
— Réaliser une approximation du capital de solvabilité de chaque risque, en utilisant une approche proportionnelle,
— Estimer les futurs capitaux de solvabilité un par un, en utilisant une approximation basée sur la duration,
1. European Insurance and Occupational Pensions Authority : organe consultatif indépendant, européen, représentant l’une des trois autorités européennes de surveillance du Système européen de supervision financière.
2. Quantative Impact Study: documents de réflexion et de travail sur les sujets actuariels, réalisés par l’EIOPA.
— Réaliser une approximation de la marge pour risque en l’estimant comme un pourcentage du BEL.
Le choix de la méthode de calcul de la marge pour risque représente alors un réel enjeu stratégique pour chaque compagnie d’assurance. La méthode actuelle choisie par Allianz France est la projection du capital de solvabilité de chaque risque par une approche proportionelle.
Nous nous attacherons lors de nos travaux à étudier et analyser le choix d’Allianz France concernant la marge pour risque et présenterons des méthodes alternatives. Pour ce faire, avec avoir présenté le contexte dans lequel s’inscrit ce travail, nous réaliserons dans un premier temps le calcul de la marge pour risque à l’aide de la formule classique proposée par l’EIOPA, c’est-à-dire en modélisant l’ensemble des capitaux de solvabilité futurs, jusqu’à extinction du capital. Nous étudierons alors la méthode actuellement mise en place à l’aide de nos premiers résultats et proposerons par la suite différentes approches.
Première partie
Sovabilité II et la Risk Margin
Le domaine de l’assurance, et particulièrement en Europe, est dicté par une réglementation très forte. De larges événements boursiers, comme la crise de 2008, poussent les autorités de contrôle françaises et européennes à prendre des mesures légales toujours plus importantes, rendant les obligations des compa- gnies d’assurance, en terme de détention de capitaux, grandissantes.
La directive Solvabilité II fait partie de ces mesures légales. Le calcul de la marge pour risque découle de cette directive. Nous détaillons donc dans cette partie ce contexte réglementaire.
1 Solvabilité II : les généralités
1.1 Une nécessite réglementaire dans un cadre incertain
Une des spécificités du domaine des assurances réside dans son cycle de production inversé. En effet, un assuré paie une prime pour une prestation future inconnue : cette dernière est déclenchée à la réalisation d’un événement aléatoire et incertain. L’assureur ne connaîtra son rendement réel qu’à la fin du contrat. Il est donc absolument nécessaire pour l’assureur d’estimer avec précision ses engagements envers l’assuré jusqu’à extinction de son contrat, et d’être capable d’y faire face à tout moment, même lorsqu’il est confronté à des situations extrêmes. Les compagnies d’assurance se doivent d’être solvables à long terme et doivent donc posséder un certain montant de provisions afin d’être capables d’honorer l’intégralité de leurs engagements à chaque instant.
La norme Solvabilité II, faisant suite à la norme Solvabilité I, vient encadrer ce besoin en solvabilité. Elle impose aux compagnies d’assurance non seulement de mettre en place une gestion complète et profonde des risques auxquels elles sont exposées, mais aussi des exigences quantitatives en terme de détention de fonds propres. La norme, adoptée par l’EIOPA, a été votée en 2009 et a pris effet le 1erjanvier 2016.
1.2 Le bilan économique sous solvabilité II
Cette norme donne la vision à adopter du bilan économique d’une compagnie d’assurance. Les placements sont évalués en valeur de marché, à l’actif. Le passif est lui composé des provisions techniques, évaluées en valeur de marché également, et des fonds propres. Le bilan est donc le suivant :
Figure 1 – "Bilan économique simplifié sous Solvabilité II"
2 Le calcul des provisions techniques
Comme dit précédemment, les provisions techniques sont composées du Best Estimate Liabilities et de la marge pour risque. Les provisions techniques sont assimilables aux dettes que détient la compagnie envers ses assurés, et sont calculées en visionBest Estimate.
2.1 Le Best Estimate Liabilities
Le Best Estimate Liabilities (BEL) est la valeur actuelle probable des flux futurs actualisés au taux sans risque.
En effet, sous la directive Solvabilité II, les engagements du passif sont estimés en visionBest Estimate et non plus en vision prudente comme sous la directive Solvabilité I. Ainsi, le BEL se calcule comme suit :
BEL=EQ[X
t≥1
δt.Ct|F0] Avec :
— Ct, les cash-flows (flux financiers) du business existant (primes, presta- tions, frais, rachats, résultats technique et financier...) à la date t, jusqu’à extinction du portefeuille.
— F0, l’information financière disponible à la date t=0.
— δt, le facteur d’actualisation des flux à la date t, tel que :δt=exp(−Rt 0 rudu) oùru représente le taux sans risque à la date u.
— Q, la probabilité risque-neutre.
2.2 La Risk Margin
La Risk Margin (RM), ou marge pour risque, est une marge qui, ajoutée au BEL, permet d’obtenir les provisions techniques en valeur de marché.
La méthode de calcul de cette marge, adoptée par l’EIOPA, est la méthode
"coût du capital", c’est-à-dire que cette marge représente le coût d’immobili- sation du capital nécessaire pour couvrir les risques non-réplicables. Elle est donc calculée comme suit :
RM =CoC.X
t≥0
E(SCRt) (1 +rt)t Avec :
— rt, le taux zéro-coupon en t.
— E(SCRt), le capital réglementaire à la date t, introduit dans la section suivante,
— CoC, le coût du capital fixé à 6% par l’EIOPA.
Comme expliqué précédemment, la marge pour risque calculée à l’aide de la formule ci-dessus est coûteuse en temps, il peut donc s’avérer nécessaire de mettre en place des méthodes de calcul alternatives, que nous présenterons plus tard, dans la section 5.
3 Les fonds propres économiques
Les fonds propres économiques, ou laNet Asset Value (NAV), représentent ce qu’il reste à la compagnie d’assurance, une fois ses engagements honorés. Ils sont calculés de la manière suivante :
N AVt=Actif st−P rovisions T echniquest
Le pilier I de directive Solvabilité II traduit les exigences quantitatives de solvabilité et les règles de valorisation de l’actif et du passif.
Il émet en particulier des exigences liées à la détention de fonds propres et impose notamment qu’ils soient supérieurs à deux niveaux de seuils :
— Le MCR (Minimal Capital Requirement), qui est le capital minimum requis pour exercer une activité d’assurance. Si le niveau de fonds propres se situe en-deçà de ce niveau, la compagnie d’assurance doit mettre en place un plan de redressement, et les autorités de contrôle sont dans l’obligation d’intervenir.
— Le SCR (Solvency Capital Requirement), qui est le capital que la compa- gnie doit détenir aujourd’hui pour avoir une probabilité de 99,5% de ne pas faire faillite. Il permet donc à la compagnie d’être capable de faire face à un choc exceptionnel (choc bicentenaire). Le calcul du SCR peut être fait à l’aide de la formule standard proposée par la norme, à l’aide d’un modèle interne, ce qui est le cas chez Allianz France, ou encore à l’aide d’un modèle interne partiel.
Il est également important que les fonds propres soient supérieurs au SCR afin d’assurer une solvabilité pérenne.
La contrainte imposée par la norme se traduit donc ainsi : P(F P1 ≥0)≥99,5%
Avec :
— F P1, les fonds propres à la date t=1.
Le norme Solvabilité II définit donc la Value-at-Risk comme principe de valorisation pour l’évaluation du MCR et du SCR.
Définition : Soit X une variable aléatoire à valeurs dans R. La Value at Risk d’ordre α de X est le quantile d’ordre α correspondant, i.e. :
V aRα(X) =inf{x∈R|FX(x)≥α}
où :
— X représente les pertes,
— α est fixé à 99,5% par la norme.
Le SCR est donc égal à :
SCR=V aR99,5%(F P1)
Le calcul des fonds propres à un an n’est pas un calcul simple. Ils peuvent être approchés par des méthodes de simulations. Ces méthodes sont très coûteuses et rarement mises en place.
Le QIS 5 spécifie la méthodologie suivante pour le calcul du SCR en formule standard :
SCR=BSCR−Adj+SCRop Avec :
— BSCR le SCR de base,
— Adjl’ajustement au titre des propriétés d’absorption du risque des futures PB et des impôts différés,
— SCRop l’exigence de capital au titre du risque opérationnel.
Le BSCR est basé sur une approche modulaire : son calcul est divisé en modules de risque, eux-mêmes subdivisés en sous-modules que nous observons sur le schéma ci-dessous :
Figure 2 – "Modules de risque pour le calcul du BSCR en formule standard"
La démarche pour le calcul du SCR est alors la suivante :
— Calcul de l’exigence de capital au titre de chacun des différents risques élémentaires, qui nous noterons CR.
Cette exigence est calculée comme la variation du niveau des fonds propres économiques constatée suite à un choc instantané sur le facteurR au ni- veau de risque 0,5% (appelé choc bicentenaire), nous avons donc :
CR =N AVcentrale(0)−N AVchoc(0)
— Agrégation des capitaux élémentaires à l’aide de matrices de corrélation pour obtenir les SCR de chaque module de risque.
— Agrégation, à l’aide d’une matrice de corrélation, des SCR de chaque risque pour obtenir le BSCR.
Dans le cadre de ces travaux, nous n’aurons pas besoin de calculer le BSCR puisque nous ne nous concentrerons que sur certains risques élémentaires (les risques non réplicables vie). Nous n’aborderons pas non plus l’ajustement ni le SCR opérationnel. De plus, nous calculerons ce SCR sous le modèle interne d’Allianz, présenté dans la section suivante.
4 Le SCR en modèle interne
4.1 Le modèle interne
Le calcul du SCR peut se faire en utilisant la formule standard proposée par l’EIOPA, dont les risques et les chocs sont définis par la norme. Il peut se faire également en ayant recourt à un modèle interne préalablement validé par l’ACPR3. Enfin, il est possible d’avoir recourt à un modèle interne partiel, pour lequel il s’agit d’appliquer, en fonction des branches de l’entreprise ou des risques, la formule standard et le modèle interne.
La formule standard est facile d’implémentation, mais présente certaines limites. Étant commune à toutes les compagnies d’assurance, elle ne prend pas en compte les spécificités de la compagnie, comme les risques auxquels elle serait plus ou moins sensible de par ses expositions, ou son business plan par exemple. De plus, les coefficients de diversification ne font pas de distinction entre la nature des activités d’assurance, ils sont donc souvent pessimistes.
Ainsi, le SCR calculé par la formule standard a vocation à être trop prudent et donc à engendrer des sur-coûts pour la compagnie.
Allianz France a fait le choix de construire un modèle interne pour le calcul de son SCR. Ce dernier est appelé le Risk Capital (RC), et nous travaillerons sur ce dernier dans nos travaux. Il est donc plus adapté et plus proche du risque réel d’Allianz France. Le schéma ci-dessous présente les différents risques auxquels est exposé Allianz France :
3. Autorité de Contrôle Prudentiel et de Résolution : institution intégrée à la Banque de France, chargée de la surveillance de l’activité des banques et des assurances en France.
Figure 3 – "Les risques dans le modèle interne d’Allianz France"
4.2 Le modèle ALM d’Allianz France
La modélisation des interactions entre l’actif et le passif chez Allianz France se fait à travers le modèle Assets and Liabilities Interaction Management (ALIM). Il permet de modéliser l’évolution du bilan économique d’Allianz (à partir d’un bilan équilibré) dans une approche stochastique. Ce modèle prend en compte plusieurs aspects, dont les différents scénarios économiques, la stra- tégie financière, la stratégie commerciale, les aspects actuariels, et les aspects comportementaux des assurés.
Nous utiliserons cet outil lors de nos travaux, afin de calculer des variations de BEL, qui nous permettront d’estimer le RC.
4.2.1 Les différentes composantes du modèle
La structure du modèle ALIM, sur laquelle nous pouvons observer différents modules que nous présenterons par la suite, est présentée sur le schéma ci- dessous :
Figure4 – "Structure du modèle ALIM"
Le module "Scénario" Ce module contient différentes données économiques, comme le prix des zéro-coupons, les différents taux de change, le rendement des différents indices actions du portefeuille, le rendement de l’immobilier, etc.
Chaque scénario est l’origine de la création de plusieurs trajectoires aléatoires, identiques ent = 0, qui forment une distribution en univers risque-neutre.
Les scénarios permettent de projeter l’actif et le passif d’Allianz en prenant en compte les différentes possibilités économiques ;
Le module "Actif" Ce module est composé des différents portefeuilles d’ac- tifs en stock, à la date d’évaluation. Ce portefeuille évoluera en fonction des différents scénarios économiques et de la stratégie d’investissement que nous présenterons par la suite.
Les actifs sont regroupés en quatre grandes catégories : les taux (qui repré- sentent environ 80% du portefeuille), les actions, l’immobilier et les inves- tissements alternatifs (qui sont de plus en plus favorisés dans un contexte économique de taux bas). Les instruments d’actifs sont également agrégés en fonction de caractéristiques communes.
Comme défini dans la directive Solvabilité II, les actifs sont valorisés en valeur de marché pour la réalisation des comptes prudentiels.
Le module "Modèles de stratégie" Ce module permet de modéliser la stra- tégie d’investissement, et la politique de distribution de la participation aux bénéfices aux assurés, pour les contrats en euros.
Le modèle d’Investment Strategy permet d’atteindre une allocation cible du portefeuille d’actifs, et de réaliser des plus-values ou moins-values demandées par la Crediting Strategy.
Le modèle deCrediting Strategy permet essentiellement d’atteindre un taux de participation aux bénéfices cible. Ce dernier est défini en fonction des richesses latentes (en fonction des plus ou moins values latentes et de la provision pour participation aux excédents) et d’un taux prenant en compte le dernier taux crédité et le taux de marché.
Le module "Passif" Ce module est composé des différents portefeuilles d’as- surés. Les produits sous-jacents sont séparés en deux catégories :
— La catégorie "L441".
— La catégorie "Roll-up".
Dans la catégorie "Roll-up", les flux de passifs, issus d’une première modéli- sation déterministe, sont déformés en fonction de l’environnement économique.
En effet, les flux de passifs évoluent différemment en fonction du contexte fi- nancier et également en fonction du comportement des assurés.
Lors de la modélisation déterministe, il n’existe qu’un scénario "central" cor- respondant à la situation du marché à la date d’évaluation, qui d’un point de vue probabiliste, n’a aucune chance de se produire réellement.
De plus, le modèle stochastique permet également d’intégrer des lois compor- tementales de l’assuré qui dépendent, entre autres, de l’environnement éco- nomique. Il permet donc de prendre en compte les rachats dynamiques, les liens entre produits (transfert de rente par exemple), et la revalorisation des contrats en euros (grâce au taux de participation aux bénéfices pris en compte dans laCrediting Strategy, présentée au paragraphe précédent).
Dans la catégorie "L441", le mécanisme est différent car il concerne des pro- duits qui fonctionnent en nombre de points. Les flux de passifs sont alors mo- délisés directement par le modèle ALIM, à partir des données du portefeuille et des hypothèses de projection.
4.2.2 Le fonctionnement du modèle
Le modèle fonctionne en plusieurs étapes :
1. Dans un premier temps, l’actif et le passif sont mis à jour en fonction des scénarios économiques.
2. Ensuite, les actifs sont achetés et vendus afin d’obtenir le taux cible fixé dans l’Investment Strategy.
3. Enfin, la Crediting Strategy est appliquée et se fait en deux temps.
Premièrement, au niveau des produits, les TMG (Taux Minimum Ga- ranti) sont financés et le calcul du taux cible de PB (Participation aux Bénéfices) est défini. Le financement du taux cible est alors réalisé à tra- vers l’Investment Strategy et en veillant aux règles suivantes :
— Si les produits financiers sont suffisants pour atteindre le taux cible, la PPB (Provision pour Participation aux Bénéfices) est dotée.
— Si les produits financiers ne sont pas suffisants, des plus-values la- tentes sont réalisées.
— Enfin, si ces dernières ne suffisent pas, une reprise à la PPB est réalisée.
Deuxièmement, au niveau compagnie, le modèle de Crediting Strategy veille à ce que le minimum de PB soit respecté.
4.3 Calcul des Life Non-Market Risks
Comme précédemment expliqué, le RC est défini comme le capital nécessaire pour couvrir une perte à horizon un an avec un niveau de confiance de 99,5%.
Dans le cadre de ce mémoire, nous nous intéresserons au domaine de l’épargne et la retraite individuelle. Comme vu dans le schéma 3 ci-dessus, les risques liés à l’assurance vie sont les suivants :
— Les risques de marché ;
— Les risques de crédit ;
— Les risques actuariels vie ;
— Les risque commerciaux ;
— Le risque opérationnel.
Dans le cadre du calcul de la marge pour risque, seuls les risques non- réplicables sont concernés, nous nous intéresserons donc maintenant seulement aux risques actuariels et aux risques commerciaux. Dans le modèle interne d’Allianz France, ces risques sont appelés les Life Non-Market Risks (LNMR) et comprennent les facteurs de risques suivants :
— Les risques biométriques qui regroupent la mortalité (y compris la mor- talité catastrophique) et la longévité.
— Les risques d’affaires qui incluent les rachats (y compris le rachat de masse) et les risques de coûts.
Le Risk Capital d’un risque correspond donc à la variation du BEL issu d’un scénario central et du BEL obtenu après avoir fait varier les paramètres impactés par le choc associé au risque en question. Le RC d’un risquers’écrit :
RCr=BELcentralr −BELchocr Où :
— BELcentralr est le BEL du risque r, issu d’un scénario central,
— et BELchocr est le BEL du risque r, issu d’un scénario choqué.
Les RC de chaque risque sont par la suite agrégés, puisque les risques sont corrélés. Le RC global se calcule ainsi :
RC =p
σr1,r2·RCr1·RCr2 Où :
— RCr1 est le risk capital du risque r1,
— RCr2 est le risk capital du risque r2,
— et σr1,r2 est le coefficient de corrélation entres les risques r1 et r2.
Les différents risques et chocs liés au calcul du SCR de souscription dans le cadre du modèle interne d’Allianz seront présentés dans les parties suivantes.
4.3.1 Risque de mortalité
Le risque de mortalité est le risque de perte résultant de changements dans le niveau, l’évolution de la tendance ou la volatilité des taux de mortalité, où une augmentation du taux de mortalité conduit à une augmentation de la valeur des engagements d’assurance. Les produits de rente ne sont pas affectés par ce risque.
L’hypothèse qui sera soumise aux chocs de mortalité sera celle du coefficient d’ajustement à appliquer aux quotients de mortalité.
Les trois chocs liés au risque de mortalité sont les chocs de niveau, de volatilité et de calamité.
Le choc de niveau L’application de ce choc vient modifier la chronique de cette hypothèse, pour l’année en cours et au-delà.
Pour les années n supérieures ou égales à l’année de début de projection, le coefficient d’ajustement sera donc modifié comme suit :
αmorta_level =αcentral ×(100 +chocmorta_level) 100
Avec :
— αcentral, le coefficient d’ajustement à appliquer aux quotients de mortalité dans le scénario central.
— αmorta_level, le coefficient d’ajustement à appliquer aux quotients de mor- talité dans le scénario choqué.
— chocmorta_level, le choc de niveau de mortalité en pourcentage, donné par l’Unité Technique et Produit d’Allianz France.
Le choc de volatilité Pour le choc de volatilité et contrairement au choc de niveau, seule la valeur de l’hypothèse pour la première année de projection est choquée. En reprenant les notations précédentes, on a :
— Si l’année n correspond à l’année de début de projection : αmorta_vola =αcentral× (100 +chocmorta_vola)
100
— Si l’année n est supérieure à l’année de début de projection : αmorta_vola =αcentral
Avec :
— chocmorta_vola, le choc de la volatilité de la mortalité en pourcentage, donné par l’Unité Technique et Produit d’Allianz France.
Le choc de calamité Pour représenter une hausse instantanée et permanente du taux de mortalité sur la première année de projection, l’impact sur l’hy- pothèse est construit de la même manière que le choc volatilité. Ainsi, en reprenant les notations précédentes, on a :
— Si l’année n correspond à l’année de début de projection : αmorta_calam =αcentral× (100 +chocmorta_calam)
100
— Si l’année n est supérieure à l’année de début de projection : αmorta_calam =αcentral
Avec :
— chocmorta_calam, le choc de calamité en pourcentage, donné par l’Unité Technique et Produit d’Allianz France.
4.3.2 Risque de rachat
Le risque de rachat est le risque de perte dû à des modifications dans le niveau ou la volatilité de sorties des contrats (i.e. termes, prorogations et ra- chats). Ce risque doit couvrir tous les comportements du souscripteur. Les produits de rente ne sont pas affectés par ce risque.
Les chocs de rachat feront évoluer les hypothèses qui correspondent aux coef- ficients d’ajustement à appliquer aux lois de rachat.
De plus, on distingue le risque de rachat à la hausse ou à la baisse.
Les trois chocs appliqués sont le choc de niveau, le choc de volatilité et le choc de rachats massif.
Le choc de niveau L’application de ce choc à la hausse ou à la baisse vient modifier la chronique des hypothèses, pour l’année en cours et au-delà. Ainsi, pour les années n supérieures ou égales à l’année de début de projection, on a :
αrachatlapse_level_up=αrachatcentral× (100 +choclapse_level) ou 100
αrachatlapse_level_down=αrachatcentral× (100−choclapse_level) 100
Avec :
— αrachatcentral, le coefficient d’ajustement à appliquer aux lois de rachat dans le scénario central.
— αrachatlapse_level_up ou αrachatlapse_level_down, le coefficient d’ajustement à appliquer aux lois de rachat dans le scénario choqué.
— choclapse_level, le choc de niveau de rachat, en pourcentage, donné par l’Unité Technique et Produit d’Allianz France.
Le choc de volatilité Pour le choc de volatilité, contrairement au choc de niveau, seule la valeur de l’hypothèse pour la première année de projection est choquée. Avec les mêmes notations, on a :
— Si l’année n correspond à l’année de début de projection : αlapse_vola_uprachat =αrachatcentral× (100 +choclapse_vola)
100 ou
αrachatlapse_vola_down =αrachatcentral× (100−choclapse_vola) 100
— Si l’année n est supérieure à l’année de début de projection : αrachatlapse_vola_down=αrachatlapse_vola_up=αrachatcentral Avec :
— choclapse_vola, le choc de la volatilité des rachats en pourcentage, donné par l’Unité Technique et Produit d’Allianz France.
Le choc de rachats massifs Comme pour le choc de mortalité, pour repré- senter une hausse instantanée et permanente du taux de rachat sur la première année de projection, l’impact sur l’hypothèse est construit de la même manière que le choc de volatilité, et seulement à la hausse. Avec les mêmes notations, on a :
— Si l’année n correspond à l’année de début de projection : αrachatlapse_mass=αrachatcentral× (100 +choclapse_mass)
100
— Si l’année n est supérieure à l’année de début de projection : αrachatlapse_mass=αrachatcentral
Avec :
— choclapse_mass, le choc de rachats massif des rachats en pourcentage, donné par l’Unité Technique et Produit d’Allianz France.
4.3.3 Risque de coût
Le risque de coût est le risque de perte résultant de changements dans le niveau, l’évolution de la tendance ou la volatilité des frais engagés dans le suivi des contrats. Ces changements correspondent principalement à des coûts de personnel, de commissions aux intermédiaires, de l’infrastructure informatique, et de l’immobilier. L’impact de ce risque se traduit au travers des hypothèses sur les coûts fixes et variables de gestion.
4.3.4 Risque de longévité
Le risque de longévité est un risque qui continue d’évoluer et qui constitue un réel enjeu pour les compagnies d’assurance. Ce risque provient de l’incertitude liée à l’allongement de la durée de vie des assurés, or l’espérance de vie à 60 ans ne cesse d’augmenter en France : d’après l’INSEE, elle a progressé de 2,3 ans pour les femmes et de 3,2 ans pour les hommes, atteignant respectivement 27,6 ans et 23,2 ans. La hausse de la durée de vie d’un assuré impacte les engagements d’une compagnie d’assurance : en effet, si elle détient des produits de rente viagère, i.e. des rentes versées jusqu’au décès de l’assuré, le montant de prestation versé sera plus conséquent.
Le risque de longévité est alors le risque de perte résultant de changements dans le niveau, l’évolution de la tendance ou la volatilité des taux de mortalité, où une baisse du taux de mortalité conduit à une augmentation de la valeur des engagements d’assurance. L’hypothèse qui sera soumise aux chocs de longévité sera celle du coefficient d’ajustement à appliquer aux quotients de mortalité.
Il existe deux types de choc de longévité : les chocs de niveau et de volatilité.
Le choc de niveau L’application de ce choc vient modifier la chronique de cette hypothèse, pour l’année en cours et au-delà.
Pour les années n supérieures ou égales à l’année de début de projection, le coefficient d’ajustement sera donc modifié comme suit :
αlong_level =αcentral ×(100 +choclong_level) 100
Avec :
— αcentral, le coefficient d’ajustement à appliquer aux quotients de mortalité dans le scénario central.
— αlong_level, le coefficient d’ajustement à appliquer aux quotients de mor- talité dans le scénario choqué.
— choclong_level, le choc de niveau de mortalité en pourcentage, donné par l’Unité Technique et Produit d’Allianz France.
Le choc de volatilité Pour le choc de volatilité, seule la valeur de l’hypothèse pour la première année de projection est choquée. En reprenant les notations précédentes, on a :
— Si l’année n correspond à l’année de début de projection : αlong_vola =αcentral× (100 +choclong_vola)
100
— Si l’année n est supérieure à l’année de début de projection : αlong_vola =αcentral
Avec :
— choclong_vola, le choc de la volatilité de la mortalité en pourcentage, donné par l’Unité Technique et Produit d’Allianz France.
5 Focus sur la Risk Margin
5.1 Définition
Pour rappel, une compagnie d’assurance est exposée à deux types de risque :
— Les risques couvrables ou réplicables, c’est-à-dire qui peuvent être par- faitement répliqués à travers un portefeuille d’actifs.
— Les risques non-couvrable ou non-réplicables, qui à l’inverse, ne peuvent pas faire l’objet d’une stratégie de couverture.
En assurance-vie, l’aléa porte sur la vie ou le décès de l’assuré, et il est difficile de trouver des instruments financiers reproduisant exactement les flux engendrer par cet aléa. Les compagnies d’assurance font donc fréquemment face à des risques non-couvrables en assurance-vie.
La marge pour risque est décrite comme le coût du capital non-couvrable immobilisé. Elle permet de faire face aux risques qui ne sont pas couverts par un portefeuille d’actifs.
La RM correspond donc à un montant de BEL supplémentaire, qui permet à l’assureur de faire face à ses engagements, et permet de donner une valeur de marché aux provisions techniques, comme défini par la directive Solvabilité II.
5.2 La méthode "Coût du capital"
La méthode de calcul de la RM proposée par l’EIOPA est la méthode "Cost of Capital" ou "Coût du capital". La RM est, selon cette méthode, calculée comme la valeur actualisée des coûts des capitaux de solvabilité actuels et futurs du portefeuille en situation de run-off, c’est-à-dire que les affaires nou- velles ne sont pas prises en compte.
En d’autres termes, elle se calcule de la manière suivante : RM =CoC.X
t≥0
E(SCRt) (1 +rt)t Avec :
— rt, le taux zéro-coupon en t.
— E(SCRt), le capital réglementaire à la date t.
— CoC, le coût du capital fixé à 6% par l’EIOPA. Ce taux correspond à l’attente de rendement moyenne des investisseurs.
En modèle interne, le modèle utilisé ne sera donc pas les SCR mais les RC et sous les mêmes notations que la formule précédente, on aura :
RM =CoC.X
t≥0
E(RCt) (1 +rt)t Avec :
— E(RCt), le risk capital à la date t.
La démarche pour calculer la RM consiste en la projection du RC de l’année 1 jusqu’à extinction du portefeuille, en son actualisation, et enfin en l’applica- tion du coût du capital, comme on peut voir à travers le schéma ci-dessous :
Figure 5 – "Calcul de la RM avec la méthode de coût du capital"
5.3 Les méthodes simplificatrices
Ainsi, le calcul de la marge pour risque nécessite une projection de tous les futurs SCR, processus qui peut s’avérer long d’un point de vue opérationnel.
Il est donc parfois pertinent pour les compagnies d’assurance d’adopter une méthode simplificatrice pour la projection du SCR.
La compagnie d’assurance doit choisir une méthode appropriée à son business, à la nature et à la complexité de ses risques. Elle peut choisir par exemple une méthode permettant de projeter le SCR dans sa globalité, ou une méthode permettant de projeter les SCRstandalone, c’est-à-dire par risque.
Dans le QIS5, cinq méthodes sont proposées pour calculer la marge pour risque :
1. Réaliser un calcul complet de tout les SCR futurs sans utiliser de simpli- fications.
2. Réaliser une approximation du SCR global, en utilisant une approche proportionnelle. La compagnie d’assurance peut faire l’hypothèse que les SCR futurs sont proportionnels à une variable du portefeuille (les réserves par exemple), qui deviendra un driver de projection. On aura alors :
SCR(t) = SCR(0)× drivert
driver0, t= 0,1,2...
Avec :
— SCR(0) le SCR calculé pour l’année en cours,
— driver0 le driver à l’année en cours,
— drivert ledriver à l’année t.
3. Réaliser une approximation des risques standalone, en utilisant une ap- proche proportionnelle, pour ensuite calculer les futurs SCR : cette mé- thode est donc similaire à la précédente mais l’approximation est faite par risque. On aura donc :
SCRr(t) = SCRr(0)× drivertr
driver0r, t= 0,1,2...
Avec :
— SCRr(0) le SCR du risquer, calculé pour l’année en cours,
— driver0r ledriver du risque r, à l’année en cours,
— drivertr ledriver du risque r, à l’année t.
Cette méthode est celle choisie par Allianz France.
4. Estimer les futurs SCR un par un, en utilisant une approximation basée sur la duration, comme suit :
RM = CoC
1 +r1×D×SCR(0) Avec :
— SCR(0), le SCR calculé pour l’année en cours,
— CoC, le coût du capital, fixé à 6% par l’EIOPA,
— r1, le taux d’actualisation à l’année 1,
— D, la duration.
La duration se calcule ainsi : D=
PT k=1
k·CFk
(1+i)k
PT k=1
CFt
(1+i)k
Où :
— CFk, les flux financiers en k,
— i, le taux sans risque,
— T, la date d’extinction du portefeuille.
5. Réaliser une approximation de la marge pour risque en l’estimant comme un pourcentage du Best Estimate, tel que :
RM =αlob·BE(0) où :
— BE(0) est le Best Estimate,
— αlob est un pourcentage fixé, adapté au périmètre en question.
Étant donné que le pourcentage αlob est fixé par Line of Business, cette méthode alternative ne peut être appliquée que si la compagnie d’assu- rance ne travaille que sur une seuleLine of Business.
Quelle que soit la méthode choisie par la compagnie d’assurance, son uti- lisation judicieuse et efficiente devra être justifiée auprès de l’ACPR. Allianz France a fait le choix d’utiliser des approximations des risquesstandalones par une approche proportionnelle. La justification du choix de cette méthodolo- gie fera l’objet d’une partie de ce mémoire, et nous tenterons également de l’améliorer, par de nouvelles approches comme la combinaison de drivers.
Deuxième partie
Objectif et démarche de l’étude
L’objectif de ce mémoire réside en l’établissement d’une méthodologie simple d’application et pertinente pour le calcul de la marge pour risque. La méthode actuellement utilisée par Allianz France est l’utilisation de drivers pour la projection des RC par risque.
A) Calcul de laRisk Margin (dont les méthodes de calcul ont été présentées en section 5) en projetant le RC :
1. Choix d’un pas de temps : la projection du RC étant une procédure coûteuse en temps, nous avons fait le choix dans ce mémoire de réduire le pas de temps de projection et de ne calculer le RC que tous les 5 ans.
2. Vieillissement des hypothèses démographiques : la projection du RC nécessite le vieillissement des hypothèses utilisées. Nous procéde- rons donc au vieillissement du portefeuille d’assurés du périmètre concerné, en utilisant le modèle de projection d’Allianz.
3. Projections financières : la projection du RC nécessite la projection de la courbe des taux zéro-coupon. En en appliquant une méthode debootstrapping, nous calculerons les tauxforward.
4. Application des chocs.
5. Calcul des RC à chaque pas de temps étudié, à l’aide des hypothèses vieillies et du modèle interne d’Allianz.
6. Réalisation de différentes interpolations pour estimer les RC entre les pas de temps.
7. Calcul de la RM.
B) Calcul de la Risk Margin en utilisant des drivers pour projeter le RC : 1. Calcul du RC en 0.
2. Recherche d’une variable du portefeuille, à utiliser comme driver.
3. Projection des RC de chaque risque à l’aide desdrivers choisis. Nous aurons :
RCr(t) = RCr(0)× driver(t) driver(0)
4. Analyse des drivers : définir des critères de pertinence quantitative et qualitative, en s’appuyant sur les RC calculés à l’étape précédente, pour valider leur utilisation.
5. Aggrégation des RC par risque à l’aide d’une matrice de corrélation pour obtenir le RC global.
6. Calcul de la RM.
C) Calcul de laRisk Margin en utilisant desdrivers combinés pour projeter le RC : nous utiliserons des méthodes de régressions linéaires, en considérant le RC concerné comme la variable à expliquer et les drivers potentiels comme des variables explicatives.
