CORRIGEPartie Numérique (12 points)

(1)

Collège Robert DOISNEAU Classes de 3^ème

ÉPREUVE

B

LANCHE du DIPLÔME NATIONAL DU

B

REVET : MATHÉMATIQUES (14 mai 2008)

CORRIGE

Partie Numérique (12 points)

I.1

I.1.a) Calculons A :

7 2 5 1 3 1 2 14 5 3 2 9 24 9 3 8 27

4 2 8 8 3 12 2 8 24 8 5 8 5

7 5

4 8

1 1

8 1

5 2

A                          

  

 

 

 

  

 



   



    

I.1.b) Calculons B :

 

101 101 20

3 2 5

0

2 2

3 2 52

14 27 10 10 2 7

25 21

14 10 27 10

25 10 21 10 10 10

B



 





  

   

 

  

  

3 9 25 3



 7

101 20 6 52 35

35 1 35 36

10 18 10

25 0,72 10 7, 2 10 10 7, 2 10

    

   

  

      

I.2

I.2.a) ^C^



^^{2 4}^{2 24}^ ^¹⁶⁹⁶^ ^¹⁰⁰⁶



⁰^⁰^⁶^{2 4 6}^{   }

^

^{2 2 4 10}^{ } ^{16 6}^{ }

^

^ ^{100 6 2 4}⁶ ^{ }^{ }^{2 6} ^ ⁶^ ¹⁶^ ⁶^ ¹⁰⁰^ ⁶

I.2.b) Développons et réduisons D :



3 5 2



3 5 2

    

³ ² ^{5 2} ² ^{3 5}²

 

² ² 3 25 2 3 50 47

D              

I.3

I.3.a) Développons et réduisons

         

   

2 2

2 2 2 2 2 2

2

4 2 4 1 1 4 1 4 5 1 5

16 8 1 4 20 5 16 8 1 4 19 5 16 8 1 4 19 5 12 2

4 1 4 1 5

7 6

x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

E x x x

x

           

                 

   





  



I.3.b) Factorisons l’expression E :



⁴ ¹

 

² ⁴ ¹

 

⁵

 

⁴^x ¹

 

⁴^x ¹

 

^x ⁵

 

⁴ ^{1 4}

 

¹ ⁵

 

⁴ ^{1 3}

 

⁶



E x  x x        x x   x x x I.3.c) Calculons E pour 1

x 4 en remarquant que : 1 4

4 1 1 1 1 0

4 4

        

  

²

    

⁰ ² ⁰ ¹ ⁵ ⁰

4 1 4 1 5 4

E x x x    

     

Calculons E pour x 3 à l’aide de la forme développée (c’est plus simple) :

 

²

 

12 3 27 3 6 12 3 27 3 6 36 27 3 6 42 27 3

E           

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(2)

II Partie Géométrique (12 points) II.1

II.1.a) Le triangle AOC étant rectangle en C, d’après le théorème de Pythagore on a : AC² = AO² - OC² = 6² - 3² = 36 – 9 = 27. AC = 27  9 3  9 3 3 3

II.1.b) Les droites

 

^NS et



^AC



sont parallèles car elles sont toutes les deux perpendiculaires, d’après l’énoncé, à une même droite : la droite (EC).

II.1.c) Calculons OS et ES : Comme

 

^ES est parallèle à



^AC



et que (EC) coupe (SA) en O, nous somme dans une situation de Thalès. Le théorème de Thalès nous dit qu’alors OA OC AC

OS OE  SE . Nous avons donc

6 3 3 3

5

OS   SE et par conséquent 6 5 30 5 3 3

10, et 5 3.

3 3 3

OS    SE  

II.1.d) Calculons ON sachant que NOE = 30°cosNOE= 5 5

' 5,8

cos30

OE d où ON cm

ON ON  



II.1.e) Calculons l’angleCOA :  3  ¹

cos 0,5 ' cos (0,5) 60

6

COA OC d où COA OA

      

II.1.f) Déduisons de la question précédente que le triangle SON est rectangle :

Les angles COA et EOS sont opposés par le sommet, ils sont donc égaux. L’angle SON , qui est constitué des 2 angles adjacents EOS et NOE de mesure 60° et 30°, mesure donc 60 + 30 = 90°. Le triangle SON est donc rectangle en O.

II.2

II.2.a) Comme M est le milieu de [AC], on a : CM MA

 .

II.2.b) Décomposons le vecteur ^{}_BM avec la relation de Chasles, puis remplaçons _CM^{}par MA(égaux d’après 2a)) et^_BC par^_AD (égaux car ABCD est un parallélogramme) :

BM BC CM BC MA AD MA MA AD MD

    

   

    

     :

II.2.c) Le point P défini par _{MC MD MP}  _ _ est placé de manière à être le 4^ème sommet du parallélogramme MCPD car la définition de P est sous la forme de la règle du

parallélogramme.

II.2.d) Le symétrique du triangle ABM par rapport à (AC) est le triangle ADM.

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(3)

II.2.e) L’image du triangle ABM par la translation de vecteur ^_AD est le triangle DCP.

II.2.f) Le triangle ABM a pour image le triangle DCM par la symétrie de centre M.

III Problème (12 points)

III. 1 Oceane étant adhérente au club de voile, elle a déjà payé sa cotisation annuelle (40 €). Elle devra payer 12 € par journée de voile car avec une réduction de 20 % le prix de chaque journée (15 €) devient :

20 80

15 1 15 15 0,8 12

100 100

   

       .

.III. 2 Pour 5 jours de voile, le tarif A revient à 15×5 = 75€ , le tarif B revient en tout à 40 + 12×5 = 100 €.

III. 3 Compléter le tableau suivant en y incluant vos calculs :

Nombre de jours de voile pour la saison 2008 – 2009 5 8 225÷15 = 15

Coût avec le tarif A en euros 75 8×15 = 120 225

Coût avec le tarif B en euros 100 40 + 12×8 = 136 40 + 12×15 = 220 III. 4 a) le coût annuel CA en euros pour un utilisateur ayant choisi le tarif A : CA = 15×x

b) le coût annuel CB en euros pour un utilisateur ayant choisi le tarif B : CB = 12×x + 40

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(4)

III. 5 Oceane, adhérente au club de voile, a dépensé au total 316 €. Elle a pratiqué x jours, x vérifiant l’égalité : 12×x + 40 = 316. Cela revient à 12×x = 316 – 40 = 276, et en divisant par 12, on trouve x = 276÷12 = 23.

Oceane a donc pratiqué 23 jours.

III. 6 Traçons les représentations graphiques des fonctions affines définies, pour tout nombre x, par ^{f x}

 

^¹⁵^x

et^{g x}

 

^¹²^x^⁴⁰

III. 7 a) Joe doit venir pratiquer douze journées pendant la saison 2008 – 2009. Le tarif le plus intéressant pour lui est le tarif A (courbe de la fonction f). On lit et on vérifie par le calcul que f(12) = 180. Joe devra donc payer 180 € (au lieu de 184 euros avec le tarif B).

b) Estelle constate que, pour son séjour, les tarifs A et B n’ont qu’un euro de différence. Elle prévoit de pratiquer 13 jours car :

15x112x40 équivaut à 15x12x39, soit 3x39. Donc x39 3 13, cette solution est acceptable car entière  . 15x12x401 équivaut à 15x12x41, soit 3x41. Donc x41 3, cette solution n'est pas acceptable (non entièr e).

Graphiquement, on voit que pour 13 ou 14 jours, la différence est voisine de 1. Mais cette différence est de 1 pour 13 jours, 2 pour 14 jours, 4 pour 12 jours, 5 pour 15 jours, etc.

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