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(1)

Corrigé de l’exercice 2 du de voir AMIMATHS 7° C 04/02/2017 par Moc tar Baba Hamdi 1

ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES

Par Moctar Baba Hamdi

On se propose dans cet exercice de calculer, par deux méthodes différentes, l’intégrale

3 2

I

2  x 6x 8dx ^{1)On pose}^g(x)^^{sin x}^avec^{  }₂^ ^x ^₂^. a) Montrer que g réalise une bijection de ,

2 2

 

 

  sur un intervalle que l’on déterminera et montrer que

 

^g ¹ ^'(x) ¹ ₂

1 x

 

 .

b) Calculer la dérivée de la fonction H définie par : H(x)(x3)  x² 6x 8 g (x^¹ 3). c) En déduire le calcul de l’intégrale ³ ²

I

2  x 6x 8dx ^.

2) En posant x 3 cost, recalculer I et comparer avec les résultats précédents.

avec :

1. a) Montrons que réalise une bijection de sur un intervalle que l’on déterminera et que

: Comme :

Alors est continue et strictement croissante sur , donc elle réalise une bijection de sur l’intervalle et :

(2)

Corrigé de l’exercice 2 du de voir AMIMATHS 7° C 04/02/2017 par Moc tar Baba Hamdi 2

Or , alors . Ainsi :

b) Calculons la dérivée de :

c) Déduisons la valeur de :

2. Recalculons I en effectuant le changement de variable On pose : . On a :

Si , alors Si , alors

(3)

Corrigé de l’exercice 2 du de voir AMIMATHS 7° C 04/02/2017 par Moc tar Baba Hamdi 3 car .

Et donc :

On constate que c’est la mê me valeur de I trouvée en 1.c).