Les concepts normatifs : surplus et optimalité de Pareto

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THEME 6

Les concepts normatifs : surplus et optimalité de Pareto

Concepts et définitions essentiels

Boite d’Edgeworth Optimum de Pareto.

Economie d’échange Economie de production.

Frontière des utilités possibles Frontière des production possible Courbe de contrat Courbe de conflit.

Exercice n°16 : L’optimalité au sens de Pareto

Une économie est composée de 2 biens,j = 1,2 et de 2 consommateurs i = 1,2 dont les fonctions d’utilités sont définies par :

U_i =U_i(x_i1, x_i2)

Les fonctions d’utilités sont définies strictement croissantes, deux fois continu- ment différentiables et strictement quasi-concaves. Les dotations initiales globales sont : w₁ = (1; 2) et w₂ = (2; 1).

1. Tracez dans une boite d’Edgeworth les courbes d’indifférences passant par le point de distribution initiale des ressources.

2. Quel est l’ensemble des allocations préférées aux allocations initiales ? 3. Comparer le TMS des 2 individus au point où l’échange n’est plus profitable.

4. En rappelant la définition du critère d’optimalité au sens de Pareto, montrez qu’un tel optimum peut ne pas vérifier la condition portant sur les TMS.

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Correction

Une économie est composée de 2 biens,j = 1,2 et de 2 consommateurs i= 1,2 dont les fonctions d’utilités sont définies par :

U_i =U_i(x_i1, x_i2)

Les fonctions d’utilités sont définies strictement croissantes, deux fois continu- ment différentiables et strictement quasi-concaves. Les dotations initiales globales sont : w₁ = (1; 2) et w₂ = (2; 1).

1 - Tracez dans une boite d’Edgeworth les courbes d’indifférences passant par le point de distribution initiale des ressources.

Voir graphique.

2- Quel est l’ensemble des allocations préférées aux allocations ini- tiales ?

L’aire délimitée par les courbes d’indifférences du consommateur 1 (I₁) et du consommateur 2 (I₂) représente l’ensemble des allocations préférées à la distribution initiale des ressources (w), et strictement préférées pour au moins un agent.

A partir de w il existe des possibilités d’échange mutuellement avantageuses, qui cessent dès lors que cet ensemble est vide (point E).

3- Comparer le TMS des 2 individus au point où l’échange n’est plus profitable.

Le point E est un point de tangence entre les courbes d’indifférence des 2 consommateurs. En ce point, les pentes des courbes d’indifférences sont égales. Or les pentes sont égales en valeur absolue aux rapports des utilités marginales au point considéré :

U₁⁰x₁₁(x^E₁₁, x^E₁₂)

U₁⁰x₁₂(xÊ₁₁, xÊ₁₂) = U₂⁰x₂₁(xÊ₂₁, xÊ₂₂) U₂⁰x₂₂(xÊ₂₁, xÊ₂₂) Ou encore :

T M S₁ =T M S₂

4- En rappelant la définition du critère d’optimalité au sens de Pareto, montrez qu’un tel optimum peut ne pas vérifier la condition portant sur les TMS.

Un optimum de Pareto est une allocation réalisable, telle qu’il n’existe aucune autre allocation réalisable pour laquelle l’utilité d’un consommateur serait strictement supérieur à l’utilité que le procure la première allocation, sans que l’utilité

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de l’autre consommateur ne soit strictement inférieure.

Le point E⁰ est par exemple une allocation pareto optimale. Les possibilités d’échange mutuellement avantageuses sont épuisées.

Remarque : L’égalité des TMS garantit la pareto optimalité pour les allocations intérieures à la boite d’Edgeworth (ie : pour des quantités non nulles de chaque bien pour les deux consommateurs).

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Exercice n°17 : Optimum de Pareto dans une économie d’échange

Une économie est composée de 2 biens,j = 1,2 et de 2 consommateurs i = 1,2 dont les fonctions d’utilités sont définies par :

U₁ =x^0.3₁₁x^0.7₁₂ U₂ =x^0.6₂₁x^0.4₂₂

Les dotations initiales sont données par w₁ = (3; 5) et w₁ = (8; 3)

1. Déterminez l’équation de l’ensemble de Pareto. Les dotations initiales appartiennent- elles à cet ensemble ?

2. Etudier l’équilibre général (déterminer le prix relatif d’équilibre et les consommations d’équilibre).

3. Démontrer que l’allocation d’équilibre est donnée par l’intersection de l’ensemble de Pareto et la droite de pente égale au rapport des prix d’équilibre, et passant par les dotations initiales. Cette allocation d’équilibre est elle équitable

?

4. Calculez les optima de Pareto individuellement rationnels.

5. Représentez l’ensemble de ces questions dans la boite d’Edgeworth.

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Correction

Une économie est composée de 2 biens,j = 1,2 et de 2 consommateurs i= 1,2 dont les fonctions d’utilités sont définies par :

U₁ =x^0.3₁₁x^0.7₁₂ U₂ =x^0.6₂₁x^0.4₂₂

Les dotations initiales sont données par w1 = (3; 5) et w1 = (8; 3)

1- Déterminez l’équation de l’ensemble de Pareto. Les dotations initiales appartiennent-elles à cet ensemble ?

Maximisons l’utilité du premier consommateur en maintenant l’utilité du second consommateur inchangé.

xmax11x12

U₁(x₁₁, x₁₂) =x^0.3₁₁x^0.7₁₂ U₂(x₂₁, x₂₂) = U₂

En tenant compte des contraintes de rareté :

x11+x21 =11⇒x21= 11−x11

x₁₂+x₂₂ =8⇒x₂₁= 8−x₂₁ La fonction de Lagrange est alors :

L=x^0.3₁₁x^0.7₁₂ −λ[(11−x₁₁)^0,6(8−x₁₂)^0,4−U₂] les CPO :

λ=− 0,3x^−0,7₁₁ x^0,7₁₂

0.6(11−x11)^−0.4(8−x12)^0,4 λ=− 0,7x^−0,3₁₁ x^0,3₁₂

0.4(11−x₁₁)^−0.6(8−x₁₂)^0,6

En simplifiant il vient :

3x₁₂

7x₁₁ = 3(8−x₁₂) 2(11−x₁₁)

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L’équation de l’ensemble de pareto s’écrit alors : x₁₂= 168x₁₁

66 + 15x₁₁

Les dotations initiales n’appartiennent pas à cet ensemble car elles ne vérifient pas l’équation de l’ensemble de Pareto :

x₁₂= 168.(3)

66 + 15.(3) = 4,546= 5

2- Etudier l’équilibre général (déterminer le prix relatif d’équilibre et les consommations d’équilibre).

Premier consommateur A l’équilibre le TMS :

∂U1

∂x₁₁

∂U₁

∂x₁₂

= 0,3x^−0,7₁₁ x^0,7₁₂ 0,7x^0,3₁₁x^−0,3₁₂

= 3x₁₂ 7x₁₁ = p₁

p₂

La contrainte budgétaire du consommateur 1 peut aussi s’écrire : p₁x₁₁+p₂x₁₂= 3p₁+ 5p₂

En combinant ces deux fonctions, on obtient les fonctions de demande : x₁₁(p₁, p₂) = 3

10(3 + 5p₂ p₁) x12(p1, p2) = 7

10(5 + 3p₁ p₂) Second consommateur

A l’équilibre le TMS :

∂U₂

∂x₂₁

∂U₂

∂x₂₂

= 0,6x^−0,4₂₁ x^0,7₂₂ 0,4x^0,6₂₁x^−0,6₂₂

= 3x₂₂ 2x21 = p₁

p2

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La contrainte budgétaire du consommateur 2 peut aussi s’écrire : p₁x₂₁+p₂x₂₂= 8p₁+ 5p₂

En combinant ces deux fonctions, on obtient les fonctions de demande : x₂₁(p₁, p₂) =3

5(8 + 3p₂ p₁) x₂₂(p₁, p₂) =2

5(3 + 8p₁ p₂) La condition d’équilibre sur le marché du bien 1 est alors :

3

10(3 + 5p₂ p₁) + 3

5(8 + 3p₂ p₁) ce qui nous donne le rapport des prix d’équilibre :

(p₂

p1)∗ '1,6 (p₁

p₂)∗ '0,62

Compte tenu du corrolaire de la loi de Walras, (^p_p²₁)^∗ ' 1,6 est aussi le prix d’équilibre sur le marché du bien 2. (Vous pouvez le vérifier).

Pour le consommateur 1 les consommations à l’équilibre sont alors : x^∗₁₁=3

2(3

5 + 1,6)'3,3 x^∗₁₂= 7

10(5 + 3(0,62))'4,808

Pour le consommateur 2 les consommations à l’équilibre sont alors : x^∗₂₁=3

5(8 + 3(1,6))'7,69 x^∗₂₂=2

5(3 + 8(0,62))'3,19

Les consommations d’équilibre x^∗₁₁ et x^∗₁₂ vérifient l’équation de l’ensemble de Pareto:

168(3,3) '4,808

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Le premier théorème du bien être est ainsi vérifié : dans une économie de CPP, toute allocation d’équilibre est pareto-optimale.

3- Démontrer que l’allocation d’équilibre est donnée par l’intersection de l’ensemble de Pareto et la droite de pente égale au rapport des prix d’équilibre, et passant par les dotations initiales. Cette allocation d’équilibre est elle équitable ?

L’équation de la droite passant par les dotations initiales de pente (−p₁/p₂)^∗ est :

x₁₂−5 =−0,62(x₁₁−3)

Les quantités d’équilibres du consommateur 1, x^∗₁₁ = 3,3 et x^∗₁₂ = 4,808, appartiennent à cette droite.

Les quantités d’équilibres du consommateur 2 sont : x^∗₂₁ = 7,690 et x^∗₂₂= 3,194.

Ainsi on a :

U₁^∗(x^∗₁₁, x^∗₁₂) = 4,299 et U₂^∗(x^∗₂₁, x^∗₂₂) = 5,411 U₁^∗(x^∗₂₁, x^∗₂₂) = 4,299 et U₂^∗(x^∗₁₁, x^∗₁₂) = 3,842 Les allocations d’équilibre (x^∗₁₁, x^∗₁₂, x^∗₂₁, x^∗₂₂) sont donc équitables.

4- Calculez les optima de Pareto individuellement rationnels.

Les utilités des 2 consommateurs procurés par les dotations initiales sont : U₁(w₁₁, w₁₂ =3^0,35^0,7 = 4,288

U₂₁(w₁, w₂₂ =8^0,63^0,4 = 5,404

Les 2 conditions pour que les optima soient individuellement rationnels sont donc :

x^0,3₁₁x^0,7₁₂ >4,888 x^0,6₂₁x^0,4₂₂ >5,404 Il faut alors :

x^0,3₁₁( 168x₁₁

66 + 15x₁₁)^0,7 >4,288 On obtient :

3,15< x₁₁<3,32 4,673< x₁₂<5

5- Représentez l’ensemble de ces questions dans la boite d’Edgeworth.

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Exercice n°18 : Equilibre concurrentiel, loi de Walras et optimum de Pareto

Deux consommateurs notés i et j se répartissent les ressources en biens X et Y d’une économie d’échange de la manière suivante: (x_i, y_i) = (9,0) et (x_j, y_j) = (0,9). Les préférences des consommateurs sont représentées par les fonctions d’utilité : U_i =x_iy_i² etU_j =x²_jy_j.

1. Déterminez l’équilibre concurrentiel de cette économie.

2. Montrez que la loi de Walras est respectée. Quelles en sont les conséquences Expliquez.

3. Déterminez l’ensemble des allocations optimales au sens de Pareto.

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Correction

Deux consommateurs notés i et j se répartissent les ressources en biens X et Y d’une économie d’échange de la manière suivante: (x_i, y_i) = (9,0) et (x_j, y_j) = (0,9). Les préférences des consommateurs sont représentées par les fonctions du- tilité : U_i =x_iy²_i et U_j =x²_jy_j.

1. Déterminez l’équilibre concurrentiel de cette économie.

Cherchons d’abord les équilibres individuels : Consommateur i

max_x

i,yi

U_i(x_i, y_i) scp_xx_i+p_yy_i ≤9p_x On utilise la méthode de Lagrange :

xmaxi,yi,λLx_iy²_i +λ(9p_x−p_xx_i−p_yy_i) Les conditions du premier ordre sont :

∂L

∂xi = 0

∂L

∂y_i = 0

∂L

∂λ = 0 Soit,

y²_i −λp_x = 0 (1)

2x_iy_i−λp_y = 0 (2)

p_xx_i+p_yy_i = 9p_x (3) Les équation 1 et 2 donnent TMS=rapport des prix :

T M Sy/x = y_i²

2x_iy_i = ^p_p^x_y y_i = 2pxxi

p_y (4)

(11)

On intègre 4 dans 3 :

p_xx_i+p_y2p_xx_i p_y =9p_x 3p_xx_i =9p_x

x₁ =3 On transfère ce résultat dans 4 :

y_i = 6p_x p_y

Consommateur 2

max_x

j,yj

U_j(x_j, y_j) sc p_xx_j+p_yy_j ≤9p_y On utilise la méthode de Lagrange :

xmaxj,yj,λLx²_jyj +λ(9py −pxxj −pyyj) Les conditions du premier ordre sont :

∂L

∂x_j = 0

∂L

∂y_j = 0

∂L

∂λ = 0 Soit,

2x_jy_j−λp_x = 0 (1)

x²_j −λp_y = 0 (2)

p_xx_j+p_yy_j = 9p_y (3)

(12)

Les équation 1 et 2 donnent TMS=rapport des prix :

T M S_y/x = 2x_jy_j x²_j =p_x

p_y

x_j =2p_yy_j p_x On intègre 4 dans 3 :

p_x2p_yy_j

p_x +p_yy_j = 9p_y 3p_yy_j = 9p_y yj = 3 On transfère ce résultat dans 4 :

xj = 6p_y p_x

Après avoir trouver les demandes individuelles, nous cherchons l’équilibre général (offre = demande en tenant compte de la contrainte de rareté).

( x^∗_i +x^∗_j = 9 y_i^∗+y_j^∗ = 9

( 3 + ^6p_p_x^y = 9

6px

py + 3 = 9

( py

px = 1

px

py = 1

Les quantités consommées sont : x^∗_i = 3, x^∗_j = 6 et y₁^∗ = 6, y^∗₂ = 3.

Les demandes nettes de chaque consommateur sont :

• Consommateur i :

x^∗_i −x_i =−6<0. Il est offreur de bien x.

y_i^∗−y_i = 6>0. Il est demandeur de bien y.

• Consommateur j :

x^∗_j −x_j = 6 >0. Il est demandeur de bien x.

y_j^∗−y_j =−6<0. Il est offreur de bien y.

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2. Montrez que la loi de Walras est respectée. Quelles en sont les conséquences? Expliquez.

A l’équilibre général, la somme des demandes nettes pondérées par les prix sur tous les marchés est nulle :

p_x[(x^∗_i −x_i) + (x^∗_j −x_j)] +p_y[(y^∗_i −y_i) + (y^∗_j −y_j)] =0 p_x[(3−9) + (6−0)] +p_y[(6−0) + (3−9)] =0 0p_x+ 0p_y =0 La loi de Walras est vérifiée.

En conséquences, si il y a équilibre sur (n−1) marchés, le n^ème marché est en équilibre.

3. Déterminez l’ensemble des allocations optimales au sens de Pareto.

Ensemble des allocations qui ne sont dominées par aucune autre allocation réalisables au sens de Pareto, c’est à dire qu’il n’existe pas d’allocation qui permette d’augmenter l’utilité d’un consommateur sans baisser celle d’un autre. Nous devons chercher à égaliser les TMS des deux consommateurs.

T M S = ^∂U_∂U^∂x

∂y

Nous obtenons pour le consommateur i : T M S_i = y²_i

2x_iy_i = y_i 2x_i Et nous obtenons pour le consommateur j :

T M S_j = 2x_jy_j

x²_j = 2y_j x_j

Donc :

T M S_i =T M S_j y_i

2x_i =2y_j x_j y_ix_j =4x_iy_j

(14)

Prenons en compte les contraintes de rareté dans l’économie (allocations réalisables):

x_i+x_j =9 y_i +y_j =9 nous pouvons réécrire :

xi = 9−xj

y_i = 9−y_j

Remplaçons cela dans l’équationy_ix_j = 4x_iy_j trouvée précédemment

(9−y_j)x_j =4(9−x_j)y_j 9x_j−x_jy_j =36y_j −4x_jy_j 36y_j−3x_jy_j−9x_j =0

yj(36−3xj) =9xj

yj = 9x_j 36−3x_j y_j = 3x_j

12−xj

qui est la courbe des contrats pareto-efficients dans le repère (0j;x_j;y_j).

9−y_i = 3(9−x_i) 12−(9−x_i)

=27−3x_i 3 +x_i y_i =9− 27−3x_i

3 +x_i

=27 + 9x_i−27 + 3x_i 3 +x_i

= 12x_i 3 +x_i

Qui est la courbe des contrats pareto-efficients dans le repère (0i;x_i;y_i)

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Voir la figure 1.

Figure 1: Exercice 18 : La courbe des contrats

A partir des résultats précédents :

1. Donnez un exemple d’optimum de Pareto "individuellement rationnel".

2. Peut-on définir un optimum de Pareto non-individuellement rationnel ?

3. Construire la boite d’Edgewoth en représentant le coeur de l’économie d’échange et l’équilibre concurrentiel.

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Correction

1. Donnez un exemple d’optimum de Pareto "individuellement ra- tionnel".

Une allocation est individuellement rationnelle si elle procure un niveau d’utilité égal ou supérieur à l’allocation initiale pour chaque individu et strictement supérieure pour un individu.C’est l’ensemble des allocations qui ne sont dominées par aucune autre allocation réalisable.

L’allocation réalisable est une allocation efficace ou optimale au sens de Pareto si à partir de cette situation on ne peut plus améliorer la satisfaction d’un individu sans détériorer celle d’un autre.

Un optimum de Pareto est individuellement rationnel si il appartient à la courbe des contrats et à l’ensemble des allocations individuellement rationnelles.

Prenons tout d’abord l’exemple de l’exercice 18.

Dans notre exemple, chaque agent détient uniquement l’un des deux biens.

La satisfaction initiale est donc :

U_i =x_iy_i² = 9∗0² = 0 pour le consommateur i. U_j =x²_jy_j = 0²∗9 = 0 pour le consommateur j.

Une allocation est individuellement rationnelle si elle procure une utilité pos- itive à au moins un des deux consommateurs.

Cherchons un exemple d’optimum de Pareto individuellement rationnel avec (x_i = 1;y_i = 3) et (x_j = 8;y_j = 6) :

U_i(1; 3) =1∗3² = 9 >0 U_j(8; 6) =8²∗6 = 384>0

L’allocation (x_i = 1;y_j = 3) et (x_j = 8;y_j = 6) appartient à l’ensemble des allocations individuellement rationnelles car U_i > U_i et U_j > U_j.

De plus (x_i = 1;y_j = 3) et (x_j = 8;y_j = 6) appartiennent bien à la courbe des contrats :

3x_j

12−x_j = 3∗8

12−8 = 6 =y_j 12x_i

3 +x_i =12∗1

3 + 1 = 3 =y_i.

(17)

Prenons un autre exemple d’optimum de Pareto individuellement rationnel avec (x_i = 5;y_i = ¹⁵₂) et (x_j = 4;y_j = ³₂).

Comment le trouver?

Posonsx_i = 5. La courbe des contrats nous donne : 12xi

3 +x_i = 12∗5 3 + 5 = 15

2 =y_i

De plusx_i+x_j = 9 doncx_j = 9−5 = 4 ety_i+y_j = 9, doncy_j = 9−¹⁵₂ = ³₂. Il faut maintenant vérifier que cette allocation appartient à l’ensemble des allocations individuellement rationnelles

U_i(5; 15

2 ) =5∗ 15 2

2

≈281.25>0 U_j(4;3

2) =4²∗ 3

2 = 24>0

C’est bien un optimum de pareto individuellement rationnel.

2. Peut-on définir un optimum de Pareto non individuellement ra- tionnel?

Les optima de pareto appartiennent tous à la courbe des contrats. Détaillons tous les points de la courbe des contrats :

sur la courbe des contrats :

• si x_i >0 et y_i >0 alors U_i >0 d’oùU_i > U_i

• et si x_j >0 et y_j >0 alors U_j >0 d’oùU_j > U_j.

Donc les allocations sont individuellement rationnelles. Dans cet exemple il n’existe pas d’optimum de Pareto non individuellement rationnel.

3. Construire le diagramme d’Edgeworth en représentant le coeur de l’économie d’échange et l’équilibre concurrentiel.

Voir le graphique 2.

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Figure 2: Exercice 19 : le coeur de l’économie

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Exercice n°19 : Equilibre général, loi de Walras et optimun de Pareto

Dans une économie d’échange les biens sont notésh= 1, ..., let les consommateurs sont notés i= 1, ..., m. x^h_i est la dotation en bien h du consommateur i, et x^h_i est une allocation en bienh du consommateur i, ph est le prix du bien h.

1. Ecrivez l’expression de la contrainte budgétaire du consommateur représen- tatifi.

2. Ecrivez l’expression de la loi de Walras à partir du résultat obtenu en 1.

3. Présentez et expliquez les conséquences de la loi de Walras.

4. Application :

Les dotations initiales en biens x¹ et x² de l’économie sont réparties de la manière suivante entre les deux consommateurs i =I, II : (x¹_I, x²_I) = (5,0) et (x¹_II, x²_II) = (0,5). Les préférences des consommateurs sont représentées par les fonctions d’utilité suivantes :

u_I(x_I, y_I) = x^0.5_I y_I^0.5 u_II(x_II, y_II) = x^0.5_IIy_II^0.5

• Ecrivez les contraintes de budget des deux consommateurs

• Déterminez l’équilibre concurrentiel de cette économie

(20)

Correction

Dans une économie déchange les biens sont notés h= 1, ..., let les consommateurs sont notés i= 1, ..., m. x^h_i est la dotation en bien h du consommateur i, et x^h_i est une allocation en bienh du consommateur i, p_h est le prix du bien h.

1. Ecrivez l’expression de la contrainte budgétaire du consommateur représentatif i.

l

X

h=1

p_hx^h_i ≥

l

X

h=1

p_hx^h_i

2. Ecrivez lexpression de la loi de Walras à partir du résultat obtenu en 1.

A l’équilibre général, la somme des demandes nettes pondérées par les prix sur tous les marchés est nulle :

p_x[(x^∗_i −x_i) + (x^∗_j −x_j)] +p_y[(y_i^∗−y_i) + (y_j^∗−y_j)] = 0

ceci peut se réécrire comme la somme des demandes nettes en valeur sur tous les marchés est nulle. La somme des demandes nettes est valeur sur le marché du bien h s’écrit:

p_h

m

X

i=1

(x^h_i −x^h_i) On peut donc réécrire la loi de Walras :

l

X

h=1

p_h

m

X

i=1

(x^h_i −x^h_i) = 0

3. Présentez et expliquez les conséquences de la loi de Walras.

Si (l−1) marchés sont à l’équilibre, alors lel^ème marché est en équilibre.

En effet, la loi de Walras se réécrit : p_l

m

X

i=1

(x^h_i −x^h_i) +

l−1

X

h=1

p_h

m

X

i=1

(x^h_i −x^h_i) = 0 Si (l−1) marchés sont en équilibre alors :

l−1

X

h=1

p_h

m

X

i=1

(x^h_i −x^h_i) = 0

(21)

et si p_l>0 (il existe un marché pour le bien l), alors :

m

X

i=1

(x^h_i −x^h_i) = 0 4. Application :

Les dotations initiales en biens x¹ et x² de léconomie sont réparties de la manière suivante entre les deux consommateurs i =I, II : (x¹_I, x²_I) = (5,0) et (x¹_II, x²_II) = (0,5). Les préférences des consommateurs sont représentées par les fonctions dutilité suivantes : u_I(x_I, y_I) = x^0.5_I y_I^0.5 et u_II(x_II, y_II) = x^0.5_IIy_II^0.5.

• Ecrivez les contraintes de budget des deux consommateurs La contrainte budgétaire du consommateur I s’écrit : p_xx_I+p_yy_I = 5p_x. La contrainte budgétaire du consommateur II s’écrit : p_xx_II+p_yy_II = 5py.

• Déterminez l’équilibre concurrentiel de cette économie Cherchons d’abord les équilibres individuels :

Soit unConsommateur i aveci=I ouII

max_x

I,yI

U_I(x_I, y_I)sc p_xx_I+p_yy_I =m_i avecm_i le revenu du consommateur i.

On utilise la méthode de Lagrange :

xmaxi,yi,λLx^0.5_i y_i^0.5+λ(m_i−p_xx_i−p_yy_i) Les conditions du premier ordre sont :

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∂L

∂x_i =0

∂L

∂y_i =0

∂L

∂λ =0

Soit,

0.5x^−0.5_i y_i^0.5−λp_x =0 (1) 0.5x^0.5_i y_i^−0.5 −λpy =0 (2) p_xx_i+p_yy_i =m_i (3) Les équation 1 et 2 donnent TMS=rapport des prix :

T M Sy/x = y_i x_i = p_x

p_y yi = pxxi

p_y (4)

p_xx_i+p_yp_xx_i p_y =m_i 2p_xx_i =m_i x_i =mi

2p_x On transfère ce résultat dans 4 :

y_i = p_x p_y

m_i

2p_x = m_i 2p_y On obtient :

– mI = 5pxd⁰oùxI = ⁵₂ et yI = ⁵₂^p_p^x_y. – m_II = 5p_y d’où x_II = ⁵₂^p_p^y_x ety_II = ⁵₂.

(23)

( x^∗_I+x^∗_II = 5 y^∗_I+y^∗_II = 5











5 2 +5

2 py

p_x = 5 5

2 p_x p_y + 5

2 = 5











p_y p_x = 1 p_x py = 1

Les quantités consommées sont : x^∗_I = ⁵₂, x^∗_II = ⁵₂ ety_I^∗ = ⁵₂, y^∗_II = ⁵₂. Les demandes nettes de chaque consommateur sont :

– Consommateur I :

x^∗_I −x_I =−⁵₂ <0. Il est offreur de bien x.

y_I^∗−y_I = ⁵₂ >0. Il est demandeur de bien y.

– Consommateur II :

x^∗_II −x_II = ⁵₂ >0. Il est demandeur de bien x.

y_II^∗ −y_II =−⁵₂ <0. Il est offreur de bien y.

• Déterminez l’expression de la courbe des contrats Pareto ef- ficients.

L’ensemble des allocations qui ne sont dominées par aucune autre allocation réalisables au sens de Pareto, c’est à dire qu’il n’existe pas d’allocation qui permette d’augmenter l’utilité d’un consommateur sans diminuer celle d’un autre.

Nous devons chercher à égaliser les TMS des deux consommateurs : T M S = ^∂U_∂U^∂x

∂y

(24)

Nous obtenons pour le consommateur I : T M S_I = y_I xI

Et nous obtenons pour le consommateur II : T M S_II = y_II

x_II Alors :

T M S_I =T M S_II y_I

x_I =y_II x_II

Prenons en compte les contraintes de rareté dans l’économie (allocations réalisables):

x_I +x_II =5 y_I+y_II =5 Nous pouvons réécrire :

x_II =5−x_I y_II =5−y_I

Remplaçons cela dans l’équation ^y_x^I_I = ^y_x^II_II trouvée précédemment :

y_I

x_I =5−y_I 5−x_I 5x_I−x_Iy_I =5y_I−x_Iy_I

y_I =x_I

Ceci est la courbe des contrats pareto-efficients dans le repère (0I;x_I;y_I)

5−x_II =5−y_II y_II =x_II

Ceci est la courbe des contrats pareto-efficients dans le repère (0II;x_II;y_II)

(25)

Exercice n°20 :

Deux consommateurs notésietj se répartissent les ressources en biensX etY d’une économie d’échange de la manière suivante: (x_i, y_i) = (9,0) et (x_j, y_j) = (0,9). Les préférences des consommateurs sont représentées par les fonctions d’utilité : Ui =xiy_i² etUj =x²_jyj.

1. Déterminez l’équilibre concurrentiel de cette économie.

2. Montrez que la loi de Walras est respectée. Quelles en sont les conséquences?

Expliquez.

3. Déterminez l’ensemble des allocations optimales au sens de Pareto.

(26)

Exercice n°21 :

On considère une économie d’échange à deux biens et deux consommateurs.

Le consommateur 1 a pour fonction d’utilité : U₁ = 1

3logx¹₁+2 3logx¹₂ et le consommateur 2 :

U₂ = 1

2logx²₁+1 2logx²₂

Où xⁱ_h désigne la consommation de bien h de l’individu i, avec h = 1,2 et i= 1,2. Une unité de chacun des biens est disponible dans l’économie.

1. Déterminez l’équation de la courbe des contrats (c’est à dire le lieu des optima de Pareto). On écrira cette équation sous la forme x¹₂ =f(x¹₁).

Représentez cette courbe dans la boite d’Edgeworth.

2. On suppose que les ressources en biens 1 et 2 sont également partagées entre les consommateurs. Déterminez le rapport q du prix du bien 2 au prix du bien 1 ainsi que les quantités consommées par chaque individu au point d’équilibre des marché.

Vérifiez que cet équilibre est un optimum de Pareto et représentez le graphique- ment.

(27)

Correction

Dans une économie déchange, les ressources en biens X etY sont réparties de la manière suivante initialement entre deux consommateurs notésietj : (x_i, y_i) = (4,0) et (x_j, y_j) = (0,4). Les préférences des consommateurs sont représentées par les fonctions dutilité suivantes : u_i(x_i, y_i) =x

1 3

i y

2 3

i et u_j(x_j, y_j) =x

2 3

jy

1 3

j . 1. Présentez les contraintes de budget des deux consommateurs

La contrainte de budget du consommateur i s’écrit : p_xx_i+p_yy_i = 4p_x. La contrainte de budget du consommateur j s’écrit : p_xx_j +p_yy_j = 4p_y. 2. Déterminez léquilibre concurrentiel de cette économie

Cherchons d’abord les équilibres individuels : Consommateur i

max_x

i,yi

U_i(x_i, y_i) scp_xx_i+p_yy_i ≤4p_x On utilise la méthode de Lagrange : maxxi,yi,λLx

1 3

i y

2 3

i +λ(4px−pxxi−pyyi).

Les conditions du premier ordre sont :

∂L

∂x_i = 0

∂L

∂y_i = 0

∂L

∂λ = 0 Soit,

1 3x

−2 3

i y

2 3

i −λp_x = 0 (1)

2 3x

1 3

i y

−1 3

i −λp_y = 0 (2)

p_xx_i+p_yy_i = 4p_x (3) Les équation 1 et 2 donnent TMS=rapport des prix :

T M S_y/x = y_i

2x_i = p_x p_y

y = 2pxxi

(4)

(28)

p_xx_i+p_y2p_xx_i p_y =4p_x 3p_xx_i =4p_x

x₁ =4 3 On transfère ce résultat dans 4 :

y_i = 8 3

p_x p_y Consommateur 2

maxxj,yjU_j(x_j, y_j) sc p_xx_j+p_yy_j ≤4p_y On utilise la méthode de Lagrange : maxxj,yj,λLx

2 3

jy

1 3

j +λ(4py−pxxj−pyyj).

Les conditions du premier ordre sont :

∂L

∂x_j = 0

∂L

∂y_j = 0

∂L

∂λ = 0 Soit,

2 3x

−1 3

j y

1 3

j −λp_x = 0 (1)

1 3x

2 3

jy_j

−2

3 −λp_y = 0 (2)

pxxj+pyyj = 4py (3) Les équation 1 et 2 donnent TMS=rapport des prix :

T M S_y/x = 2y_j x_j =p_x

p_y y_j =pxxj

2p_y (4)

(29)

p_xx_j +p_yp_xx_j 2p_y =4p_y 3

2pxxj =4py

x_j =8 3

p_y px

On transfère ce résultat dans 4 :

y_j = 4 3

( x^∗_i +x^∗_j = 4 y_i^∗+y_j^∗ = 4

( ₄

3 +⁸₃_p^p^y_x = 4

8 3

px

py +⁴₃ = 4

( ₈

3 py

px = ⁸₃

8 3

px

py = ⁸₃

( py

px = 1

px

py = 1

Les quantités consommées sont : x^∗_i = ⁴₃, x^∗_j = ⁸₃ et y^∗₁ = ⁸₃, y₂^∗ = ⁴₃. Les demandes nettes de chaque consommateur sont :

• Consommateur i :

x^∗_i −x_i =−⁸₃ <0. Il est offreur de bien x.

y_i^∗−y_i = ⁸₃ >0. Il est demandeur de bien y.

• Consommateur j :

x^∗_j −x_j = ⁸₃ >0. Il est demandeur de bien x.

y_j^∗−y_j =−⁸₃ <0. Il est offreur de bien y.

(30)

3. Déterminez lexpression de la courbe des contrats Pareto efficients.

Ensemble des allocations qui ne sont dominées par aucune autre allocation réalisables au sens de Pareto, c’est à dire qu’il n’existe pas d’allocation qui permette d’augmenter l’utilité d’un consommateur sans baisser celle d’un autre. Nous devons chercher à égaliser les TMS des deux consommateurs.

T M S =

∂U

∂x

∂U

∂y

Nous obtenons pour le consommateur i : T M S_i = y_i

2x_i Et nous obtenons pour le consommateur j :

T M S_j = 2y_j x_j

Donc :

T M S_i =T M S_j y_i

2xi =2y_j xj

y_ix_j =4x_iy_j

Prenons en compte les contraintes de rareté dans l’économie (allocations réalis- ables):

x_i+x_j = 4 y_i+y_j = 4 nous pouvons réécrire :

x_j = 4−x_i yj = 4−yi