Thermique de l’ingénieur et applications

Thermique de l’ingénieur et applications

Bernard CASTAGNÈDE et Philippe DANIEL

Table des matières

I. Rappels de cours

1- Introduction générale ……….... 11

1.1- Introduction …..………..…... 11

1.2- Introduction à la conduction ……….…..…. 14

1.3- Introduction au rayonnement thermique ……….……….. 20

1.4- Introduction à la convection ………...…. 21

2- Transferts thermiques par conduction ………...……… 23

2.1- Equations générales pour les transferts de chaleur dans les solides …..……... 23

2.2- Solutions fondamentales de l’équation de la chaleur sans terme source ……. 28

2.3- Transferts thermiques dans les murs et les surfaces planes ……….. 28

2.4- Analogie électro-acousto-thermique ………..……….……….. 35

2.5- Transferts thermiques dans une coque sphérique ……….…… 37

2.6- Transferts thermiques dans un tuyau ……….…... 39

2.7- Equation de la chaleur avec terme source (plan, cylindre, sphère) …...…. 40

2.8- Equation de la chaleur dans une plaque rectangulaire ………... 43

2.9- Equation de la chaleur avec terme dépendant du temps …………...…….….. 46

2.10- Applications au choc thermique (cas du solide semi-infini) …………..….… 53

3- Transferts thermiques par convection (libre et forcée) ………..…... 61

3.1- Equations générales pour les transferts de chaleur dans les fluides ……... 61

3.2- Couplage entre écoulement du fluide et transfert de chaleur ………..… 67

3.3- Description des applications classiques (plaque, tube, barreau, ailette) …... 67

3.4- Théorie de la similitude, nombres caractéristiques ………..…..……. 68

3.5- Théorie de la similitude, application aux couches limites …….……...… 71

3.6- Equations fondamentales pour la convection libre ………...… 76

3.7- Transferts thermiques pour un fluide en écoulement dans un tuyau …….…. 80

3.8- Transferts thermiques pour un barreau immergé dans un fluide ………....… 81

3.9- Application à la thermique des ailettes (planes, cylindriques) ……….….…. 82

4 Thermique de l’ingénieur et applications

4- Le rayonnement thermique ………...….…. 89

4.1- Introduction ………...……….…… 89

4.2- Notion de photométrie ………...…..……….….. 91

4.3- Le rayonnement du corps noir ………..……….…. 99

4.4- Introduction au rayonnement des surfaces réelles ………...…... 108

II. Exercices avec éléments de correction 5- Transferts thermiques par conduction – Solutions élémentaires ……….….….…. 119

Exercice 1 : Transferts de chaleur dans une plaque isolante (A) ………....….… 119

Exercice 2 : Isolation thermique d’un mur en briques (A) ….……….…….... 119

Exercice 3 : Isolation thermique des parois d’un four (A) ……….………. 120

Exercice 4 : Bilan thermique pour une plaque uniformément chauffée (A) ……...…. 121

Exercice 5 : Isolation thermique d’un mur simple (A) ……….……...… 122

Exercice 6 : Transferts de chaleur dans une plaque de cuivre (A) ………..… 122

Exercice 7 : Transferts de chaleur dans un mur avec tirants d’acier (A) ………....…. 123

Exercice 8 : Isolation thermique d’une fenêtre avec simple / double vitrage (B) …....124

Exercice 9 : Thermique d’une tuyère de turboréacteur (A) ………...… 127

Exercice 10 : Calorifugeage d’une canalisation (B) ………...…..….….. 128

Exercice 11 : Transferts de chaleur pour le béton d’un petit barrage (A) ... 129

Exercice 12 : Transferts de chaleur dans une ligne à haute tension (B) ………..….... 130

Exercice 13 : Etude thermique d’un thermomètre à résistance métallique (A) …..…. 132

Exercice 14 : Transferts de chaleur dans un mur double (B) ……….. 133

6- Transferts thermiques par conduction – Etude d’autres cas …………..………… 137

Exercice 15 : Etude thermique d’un fer à repasser (B) ………...…137

Exercice 16 : Etude thermique d’un four ayant une conductivité variable (B) ……. 138

Exercice 17 : Conduction de la chaleur dans une plaque rectangulaire (B) …...… 140

Exercice 18 : Conduction de la chaleur dans un tube en présence d’une source de chaleur (B) ………...……….. 143

Exercice 19 : Réciprocité des échanges thermiques dans un mur double (B) ……... 145

Exercice 20 : Calorifugeage d’une conduite avec deux couches d’isolants

Table des matières 5

thermiques (B) ………... 146 Exercice 21 : Optimisation thermique d’un élément bicouche sphérique (B) ….….. 148 Exercice 22 : Conduction de la chaleur en régime dépendant du temps (B) ……... 150 Exercice 23 : Transferts de chaleur dans un mur en béton au cours d’un

incendie (B) ……… 153 Exercice 24 : Choc thermique périodique / Notion de pseudo-onde thermique (B) .. 155

7- Transferts thermiques par convection (libre ou forcée) ………..……...… 159 Exercice 25 : Quelques questions à propos du nombre de Prandtl (A) ……...…... 159 Exercice 26 : Quelques questions sur le nombre de Nusselt (A) ………..…...…..….. 160 Exercice 27 : Nombres caractéristiques en convection forcée (A) ………...…161 Exercice 28 : Convection libre et forcée pour une lampe ordinaire (B) …………...163 Exercice 29 : Convection forcée d’une conduite chauffée en surface (B) ……...…164 Exercice 30 : Refroidissement en convection forcée de pompes industrielles (C)…...167 Exercice 31 : Champ de température d’une sphère immergée dans un fluide (B)…... 171 Exercice 32 : Evolution de la température d’une bille immergée dans un fluide (B).. 173 Exercice 33 : Distribution des champs de vitesse et de température en convection forcée (C) ………...… 175 Exercice 34 : Convection forcée dans une conduite – Distribution spatiale

du champ de température pour le fluide en écoulement (C) ……….…………..…… 180 8- Transferts thermiques mixtes (conduction et convection) – Problèmes divers ….. 185 Exercice 35 : Transferts de chaleur dans un barreau encastré entre deux murs (C) .... 185 Exercice 36 : Transferts de chaleur dans un barreau composite (B) ……….….. 187 Exercice 37 : Transferts de chaleur dans une ailette plane (B) ……….…….. 190 Exercice 38 : Transferts de chaleur dans une ailette cylindrique (B) ………..…....… 191 Exercice 39 : Manipulation d’objets dans un four à l’aide d’une tige (B) ………..… 193 Exercice 40 : Modélisation élémentaire d’un système de chauffage central et

optimisation de la position du radiateur par rapport à la fenêtre (C) ………….…... 195 Exercice 41 : Echanges thermiques dans un réacteur chimique sphérique (C) …... 198 Exercice 42 : Calcul de la durée de vie d’un marin tombé à l’eau à 10 °C sans

protection, ou bien d’un homme enfermé dans un frigo (C) ………...….…... 202

Exercice 43 : Calcul de la durée de congélation (réfrigérateur usuel) et de surgélation

6 Thermique de l’ingénieur et applications

(installation industrielle) pour des fruits (C) ...………...…….… 205

Exercice 44 : Plasturgie pour pièces de géométrie cylindrique ou sphérique (C) …... 208

Exercice 45 : Thermodynamique du moulage et effets thermiques associés (C) .…... 211

Exercice 46 : Bilan thermique global et isolation d’une maison (C) …………..…... 215

Exercice 47 : Refroidissement d’un fil ou d’une bille d’acier plongée dans l’air (C).. 218

Exercice 48 : Calcul de la durée de fonte d’un glaçon (ou d’un glacier) et estimation de celle de l’Antarctique (C) ……….………….……….. 223

9- Transferts thermiques par rayonnement ………...….…. 227

Exercice 49 : Calcul d’angle solide (A) ………...… 227

Exercice 50 : Puissance lumineuse d’une source (A) ………...….…...… 227

Exercice 51 : Emittance d’un laser (A) ……….………...… 228

Exercice 52 : Intensité et luminance (A) ………...……...………...… 228

Exercice 53 : Eclairement produit par un laser (A) ………..………...… 228

Exercice 54 : Photométrie, système Terre - Soleil (B) …………..……...………...… 229

Exercice 55 : Chauffage par rayonnement (A) …………..………...………...… 230

Exercice 56 : Etude d’un corps noir (B) ………...………...… 230

Exercice 57 : Corps noir porté au rouge et à l’incandescence (A) ……..………...… 232

Exercice 58 : Emittance spectrale du corps noir (A) …………...… 233

Exercice 59 : Lampe à filament de tungstène (B) ……….…..… 234

Exercice 60 : Température de surface du soleil (B) ……..………...… 235

Exercice 61 : Température de brillance d’un corps non noir (A) ……....………...… 236

Exercice 62 : Satellite en orbite (B) ………...………...… 237

Exercice 63 : Etude d’un four solaire (C) ………...…...………...… 237

Exercice 64 : Combinaison spatiale assimilable à un corps gris (B) ...………...… 240

Exercice 65 : Etude de l’effet de serre (A) ………...……...… 241

III. Éléments annexes Tables de valeurs usuelles des paramètres thermiques pour divers matériaux ...….... 245

Bibliographie ……….………....….. 259

Index ……….………...……… 261

Avant-propos

Les échanges thermiques sont très importants pour de nombreux problèmes et diverses configurations en sciences de l’ingénieur. Traditionnellement enseignée en fin de cursus de Licence dans les Facultés des Sciences et dans les écoles d’ingénieurs, cette matière se prête assez bien à une modélisation simple de phénomènes qui sont parfois compliqués. En principe, un cours de thermique aborde dans l’ordre les trois domaines suivants : transferts de chaleur par conduction (dans les solides, mais aussi dans les fluides en mouvement ou pas), transferts de chaleur par convection libre ou forcée (dans les fluides uniquement), et transferts de chaleur par rayonnement. Nous avons ici choisi le parti-pris de traiter les trois items, conduction, convection et rayonnement, incluant les transferts mixtes associant les différents mécanismes de transfert. Cependant, nous nous sommes concentrés plus spécifiquement sur les deux premiers mécanismes que sont conduction et convection, avec des exemples en thermique du bâtiment, en convection forcée dans les conduites, ou bien à la surface de plaques chauffées, au refroidissement apportés par des ailettes (planes ou cylindriques), etc.

Le grand mérite de la thermique de l’ingénieur vient de sa relative simplicité, tout du moins au début pour l’étude élémentaire de la conduction dans les solides, et de son couplage naturel avec la mécanique des fluides pour la partie relative à la convection.

Par ailleurs, il existe des analogies profondes entre thermique, électrocinétique et acoustique. La loi de Fourier en thermique de la conduction par exemple est tout à fait analogue à l’équation d’Euler de l’acoustique en fluide parfait (sans prendre en compte la viscosité). Cette analogie est d’ailleurs emblématique de l’intérêt profond de l’étude des transferts thermiques pour former les étudiants. Enfin, la notion d’isolation, de conducteurs ou d’isolants de la chaleur, prend tout son sens dans l’analogie soit avec l’électrocinétique, ou bien en acoustique par exemple celle des matériaux insonorisants.

D’ailleurs, ce n’est pas vraiment un hasard si en règle générale les bons conducteurs thermiques (par exemple les métaux) sont aussi de bons conducteurs électriques, ou bien si les bons isolants thermiques (par exemple les laines de roche ou les laines de verre) sont en règle générale aussi de bons isolants au niveau acoustique (matériaux insonorisants).

En bref, ce modeste ouvrage a l’objectif d’introduire les étudiants à ce champ passionnant que sont les échanges de chaleur, offrant diverses applications et de très nombreuses pistes de réflexion, à la fois dans les cursus de physique appliquée et de ceux en sciences de l’ingénieur. L’ouvrage est structuré en 4 parties principales.

L’essentiel du travail présente plus de soixante exercices et problèmes (soit pour près

8 Thermique de l’ingénieur et applications

des deux tiers de l’ouvrage), dont une bonne moitié sont issus de l’expérience de presque 30 années d’enseignement dans ce domaine de la part des deux auteurs. Avant chaque partie principale, nous effectuons de plus des rappels de cours (à hauteur du plus du tiers du texte), en nous limitant aux éléments essentiels, sachant que les exercices le plus souvent les reprennent et les approfondissent. Les exercices eux-mêmes sont calibrés avec trois niveaux de difficulté ou de longueur croissante. Les exercices de la catégorie (A) correspondent à des applications directes du cours, et en général ils sont brefs. Ceux du niveau (B) sont déjà plus consistants, correspondant à des configurations spécifiques ou bien à des développements prenant plus de temps pour les traiter. Enfin, la catégorie (C) est relative à de véritables petits problèmes, nécessitant davantage d’efforts pour les résoudre complétement.

Nous espérons que les lecteurs trouveront stimulant ce petit ouvrage. Nous remercions au passage les nombreuses générations d’étudiants de la Faculté des Sciences et Techniques de l’Université du Maine qui depuis plus de 25 ans nous ont servi de

« cobayes » pour ces exercices.

Nous remercions aussi tous les collègues qui nous ont encouragé dans cette entreprise, à la lisière de nos spécialités de départ (acoustique, physique des matériaux) sur un domaine situé à l’interface de plusieurs spécialités connexes (électrocinétique, thermique, acoustique, mécanique des fluides). En premier lieu, nous tenons à remercier le professeur Serge Zimmermann ( † ) et Mme Annie Ducouret qui tous les deux dans les années 70 avaient initié les premières générations (dont l’un des auteurs) à cette discipline à l’Université du Maine. Nos remerciements appuyés vont également à M.

Michel Bruneau, professeur émérite au Mans, et qui avait été tenu au courant de ce

projet depuis son début. Notre collègue Claude Depollier lui aussi professeur émérite,

de la Faculté des Sciences du Mans nous a aussi encouragés dans cette entreprise. Une

mention spéciale doit être donnée à Mme Catherine Potel, professeur de mécanique et

d’acoustique à la Faculté des Sciences et Techniques du Mans, pour bien avoir voulu

nous faire bénéficier de son expérience d’auteur d’ouvrages scientifiques. Enfin, nos

remerciements s’adressent aussi à Luc Leviandier, Ingénieur-physicien. Nous avions

enseigné ensemble pendant près de dix ans cette matière, alors qu’il était au Mans

professeur associé au début des années 2000. C’est un peu grâce à lui que ce projet a été

initié, car nous avions tous les trois, à cette époque là, beaucoup échangé sur le sujet.

I. Rappels de cours

Chapitre 1- Introduction générale

I. Introduction

L’énergie correspond à un transfert ou échange par interaction d’un système avec son environnement. Ce système subit alors une transformation. On distingue habituellement deux types d’énergie : i) le travail noté W qui peut prendre diverses formes selon l’origine physique du transfert en jeu (électrique, magnétique, mécanique, ...), et ii) la chaleur notée Q. La thermodynamique classique (ou phénoménologique) ne s’intéresse généralement qu’aux états d’équilibre et aux variations entre ces états, grâce à l’utilisation de fonctions d’état, qui sur un plan mathématique sont des différentielles totales exactes. On pourrait d’ailleurs plus logiquement appeler cette discipline la thermostatique. Le formalisme généralement utilisé nécessite ainsi seulement la connaissance des états initiaux et finaux sans pour autant examiner en détail le processus de transfert d’énergie, ni les modes d’interaction. L’étude complète et générale des mécanismes de transfert d’énergie nécessite d’aborder le formalisme de la thermodynamique hors équilibre (formalisme d’Onsager par exemple et théories de Prigogine). Dans le cadre de cet ouvrage, nous nous limiterons de façon modeste, parmi les transferts énergétiques, à l’étude des transferts de chaleur ou transferts thermiques, selon un point de vue macroscopique. Nous serons ainsi amenés à répondre à trois questions :

1. Qu’est ce qu’un transfert de chaleur ? 2. Comment la chaleur est elle transmise ?

3. Pourquoi est-ce important d’en étudier les mécanismes ?

Les réponses apportées à ces trois questions nous permettrons de comprendre les mécanismes physiques mis en jeu dans les transferts de chaleur et d’en apprécier l’importance dans plusieurs problèmes et configurations industrielles, liés à des applications environnementales et économiques. Par définition, un transfert de chaleur ou transfert thermique entre deux corps est une interaction énergétique qui résulte d’une différence de température entre eux.

On distingue habituellement trois modes de transfert de chaleur : 1. La conduction thermique ou diffusion thermique ; 2. Le rayonnement thermique ;

3. La convection.

Ces trois modes sont régis par des lois spécifiques et font ainsi l’objet de chapitres

différents, cependant strictement parlant, seuls la conduction et le rayonnement sont des

12 Thermique de l’ingénieur et applications

modes fondamentaux de transmission de la chaleur ; la convection, tout en étant très importante, ne fait que combiner la conduction avec un déplacement de fluide. Pourtant, ce mode de transfert est plus difficile à étudier, car il mélange de manière intime échange de chaleur et transfert de masse. Les applications directes en sont aussi très larges, à la fois en convection libre et surtout en convection forcée.

En outre il est rare qu’une situation particulière ne concerne qu’un seul mode ; le plus souvent deux sinon trois modes entrent en jeu. Il sera donc nécessaire de poser correctement les problèmes pour prendre en compte ces différents mécanismes.

N’oublions pas qu’un autre mode de transfert, qui ne fera pas l’objet ici d’étude, existe : il s’agit des changements d’état.

La conduction

La conduction est définie comme étant le mode de transmission de la chaleur (ou l’échange d’énergie interne) provoquée par la différence de température entre deux régions d’un milieu solide, liquide ou gazeux ou encore entre deux milieux en contact physique (gradient de température dans un milieu). Dans la plupart des cas, on étudie la conduction dans les milieux solides, puisque dans les milieux fluides (c'est-à-dire liquide ou gazeux), il y a souvent couplage avec un déplacement de matière et donc mécanisme de convection. La conduction est le seul mécanisme intervenant dans le transfert de chaleur dans un solide homogène, opaque et compact.

La conduction s’effectue de proche en proche :

Si on chauffe l’extrémité d’un solide il y a transfert progressif de chaleur.

Si on coupe le solide, on stoppe le transfert.

Exemple : Barre de métal chauffée à l’une de ces extrémités.

On comprend donc intuitivement que la conduction a une origine microscopique. Il s’agit d’un mécanisme de diffusion de la chaleur.

Le rayonnement

Le rayonnement thermique peut être considéré comme un cas particulier du rayonnement électromagnétique. L’exemple le plus simple est celui du rayonnement solaire. Le rayonnement thermique est le mode de transmission par lequel la chaleur passe d’un corps à haute température à un autre plus froid sans nécessité de support matériel. C’est donc le seul mode de transfert de chaleur qui peut se propager dans le vide. Le rayonnement thermique ne diffère des autres ondes électomagnétiques, comme les ondes hertziennes par exemple, que par son origine : la température. En effet tout corps rayonne tant que sa température est différente de 0 K. Le rayonnement thermique est un phénomène de surface.

La convection

La convection est le mode de transmission qui implique le déplacement d’un fluide

gazeux ou liquide (écoulement) et échange avec une surface qui est à une température

différente.

Chapitre 1 – Introduction générale 13

Exemple : C’est ce qui se passe le long d’un radiateur. L’air froid s’échauffe au contact du radiateur, se dilate et monte sous l’effet de la poussée d’Archimède. Il est alors remplacé par de l’air froid et ainsi de suite ; il y a existence de courants de fluide dans l’air ambiant.

On distinguera la convection forcée (due à l’action d’une pompe, d’un ventilateur, etc.,

…) de la convection naturelle (ou libre) dans laquelle le mouvement du fluide est créé par des différences de densité, elles mêmes provoquées par des différences de température.

(a) CONDUCTION

(b) RAYONNEMENT

(c) CONVECTION

Figure 1.1 : Illustration des mécanismes de transferts de chaleur : (a) conduction thermique ; (b) rayonnement ; (c) convection.

Sens du flux de chaleur

Sens du flux de chaleur

Sens du flux de chaleur

14 Thermique de l’ingénieur et applications

II. Introduction à la conduction

II.1 Origine microscopique du mécanisme de conduction

Rappelons que la conduction nécessite un support matériel et que son origine est microscopique, liée aux atomes et aux molécules du milieu où se produit la conduction.

La conduction peut être vue comme le transfert d’énergie de particules les plus énergétiques vers les particules les moins énergétiques, à cause des interactions prenant place entre elles.

Proposons une description simplifiée du mécanisme physique – Exemple : gaz sans mouvement d’ensemble (pas de convection).

Prenons un gaz contenu entre deux surfaces à T

et T

avec T

> T

(voir Figure 1.2).

Figure 1.2 : Mécanisme de dissipation thermique à la base de l’agitation moléculaire.

La chaleur s’écoule le long de l’axe x pour des températures décroissantes

Dans un modèle moléculaire simple (théorie cinétique des gaz parfaits – distribution de Maxwell), l’énergie cinétique moyenne peut se mettre sous la forme suivante :

cinétique _ translation

1

3

U E mv kT

2 2

= = =

où V désigne la vitesse quadratique moyenne d’agitation des molécules sous la seule action de la température T. Dans cette expression, k est la constante de Boltzmann (k =1.38 10

J.K

) et m la masse d’un atome ou d’une molécule. Les molécules en mouvement près de T

ont la température T

. Les molécules en mouvement près de T

ont la température T

. Une énergie plus grande est par conséquent associée à une température plus élevée.

Au moment des collisions qui sont incessantes, il y a transfert d’énergie des molécules les plus énergétiques vers les moins énergétiques, des plus rapides vers les moins rapides, c'est-à-dire des plus hautes températures vers les plus basses. Si l’on considère un plan fictif d’abscisse x

dans le gaz (voir Figure 1.2), des molécules traversent continûment la surface dans un sens ou dans l’autre. Mais les molécules du dessus ont

T ₁

2

x

Sens

d’écoulement de la chaleur

1

T ₂

Chapitre 1 – Introduction générale 15

une énergie plus grande car la température est plus élevée, il se produit ainsi un transfert net dans le sens des x > 0 par mouvement aléatoire des molécules. Il s’agit d’un processus de diffusion d’énergie

Pour un liquide le modèle est à peu près le même avec des interactions plus fortes. Dans les solides il faudra distinguer deux cas, à savoir celui des matériaux de type conducteur électrique, et celui des matériaux de type isolant électrique.

On observe que les bons conducteurs thermiques sont aussi des bons conducteurs électriques (métaux), intuitivement, il est facile de comprendre que dans le cas des matériaux conducteurs électriques, les électrons responsables de la conduction électrique sont aussi responsables de la conduction thermique. Par contre dans le cas des isolants électriques, les vibrations atomiques (phonons) sont à l’origine microscopique de la conduction thermique.

II.2 La loi de Fourier II.2.1 Notion de flux

Après cette brève introduction sur l’origine microscopique du mécanisme de conduction thermique, intéressons nous à son aspect macroscopique, tel que l’a découvert J.B Fourier au début du 19

siècle. C’est en effet J.B Fourier qui en 1822 publie la loi fondamentale de la conduction dans son traité : « La théorie analytique de la chaleur ».

Rappelons qu’il avait obtenu en 1812 le prix de l’Académie des Sciences pour un mémoire sur la propagation de la chaleur, délivré par un jury qui comprenait Laplace, Legendre et Lagrange ! Fourier apparente ainsi la conduction de la chaleur à l’écoulement d’un fluide des régions les plus chaudes vers les régions les plus froides et considère les milieux comme continus, en négligeant toute dilatation volumique.

Considérons un transfert élémentaire de chaleur δ Q entre deux plans indéfinis portés aux températures T et T+dT. Ces deux plans délimitent une portion de solide et sont supposés perpendiculaires à un axe Ox. La loi de Fourier exprime naturellement que la chaleur échangée est proportionnelle : à la surface d’échange, à la différence de température entre les deux parois, au temps écoulé et qu’elle est inversement proportionnelle à la distance entre les deux plans. La Figure 1.3 donne un schéma de principe sur la conduction à une dimension, le long de l’axe Ox.

Soit : Q S ^dT dt

δ = −λ dx (loi de Fourier) . (1.1) S est la surface d’échange (perpendiculaire à l’axe Ox),

dT est l’écart de température entre les deux plans séparés de dx, dt désigne le temps que dure l’expérience.

λ est le coefficient de proportionnalité appelé conductivité thermique ou conductance

spécifique.

16 Thermique de l’ingénieur et applications

Figure 1.3 : Géométrie de base pour l’établissement de la loi de Fourier à une dimension (le long de l’axe horizontal Ox).

Le signe ( - ) correspond à une convention qui impose une quantité de chaleur échangée positive ( δ Q 0 > ) dans le sens des températures décroissantes le long des x croissants. Il faut noter que cette convention est en fait opposée à elle choisie généralement en thermodynamique classique ou l’on impose toujours que toute énergie perdue par le système est comptée négativement.

Il est en fait plus commode d’utiliser le flux thermique que l’on peut définir par :

Q t φ = δ

δ , avec φ homogène à une puissance s’exprimant en Watts (W). On a donc :

S dT

φ = −λ dx . (1.2) On utilise aussi couramment la densité de flux qui correspond au flux échangé rapporté à l’unité de surface.

Soit : ! = " / S , ϕ s’exprime en (W/m²) Et ainsi

dx λ dT

−

=

ϕ dans un problème unidimensionnel. (1.3)

Dans le problème simplifié ci-dessus on a implicitement considéré un mécanisme de conduction unidimensionnel perpendiculaire à l’axe des x. Dans un cas général de mécanisme tri-dimensionel on exprimera une densité de flux de chaleur selon chacune des directions principales d’un repère orthonormé (O x,y,z).

Soit suivant Ox :

z , y

x

x

T ⎟

⎠

⎞

∂ λ ∂

−

=

ϕ ^,

T+dT T

x x+dx

x O

δQ

Chapitre 1 – Introduction générale 17

suivant Oy :

z , x

y

y

T

⎟⎟ ⎠

⎞

∂ λ ∂

−

=

ϕ ^,

suivant Oz :

y , x

z

z

T ⎟

⎠

⎞

∂ λ ∂

−

=

ϕ ^,

ou encore de manière globale :  grad T  λ

−

=

ϕ ^. (1.4)

Dans le modèle de l’équation (1.4), la conductivité thermique est supposée être un scalaire constant. C’est le cas des solides homogènes et isotropes. Il existe cependant de nombreux cas ou la conductivité thermique dépend des propriétés d’orientation du solide (cristal, matériau déposé en couches minces, matériau fibreux, etc., ...). La conductivité thermique devient alors un tenseur et la loi de Fourier généralisée s’exprime par :

[ ] ^{grad T }

 = − Λ

ϕ ^, (1.5)

où [ ]

zz zy zx

yz yy yx

xz xy xx

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

=

Λ désigne le tenseur des conductivités thermiques.

Dans la plupart des cas, le tenseur peut être diagonalisé sous la forme :

[ ]

w v u

0 0

0 0

0 0

λ λ λ

=

Λ ^,

où les grandeurs λ

, λ

, λ

désignent les conductivités principales du milieu selon les directions Ou, Ov, Ow.

II.2.2 La conductivité thermique

La conductivité thermique λ (souvent notée k dans les pays anglo-saxons) exprime, de par sa définition, l’aptitude d’un matériau à conduire la chaleur.

Définition : la conductivité thermique est le flux de chaleur qui traverse une surface unité pour un matériau soumis à un gradient de température égal à l’unité.

La conductivité thermique s’exprime en W.m

.K

. Cette grandeur dépend de plusieurs

paramètres, et l’on doit noter :

18 Thermique de l’ingénieur et applications

- la nature physico-chimique du matériau ;

- la nature de la phase considérée (solide, liquide, gaz) ; - la température ;

- l’orientation dans les matériaux anisotropes.

On trouvera dans la Table 1.1 des ordres de grandeur pour la conductivité thermique pour divers matériaux à température ambiante (20°C).

Type de matériau Conductivité thermique (W.m

.K

) Gaz à la pression atmosphérique 0.006 - 0.18

Matériaux isolants 0.025 - 0.25

Liquides non métalliques 0.1 - 1.0

Solides non métalliques 0.025 - 3

Liquides métalliques 8.5 - 85

Alliages métalliques 10 - 150

Métaux purs 20 - 400

Diamants 1000 - 2600

Table 1.1 : Ordres de grandeur de la conductivité thermique pour divers matériaux.

La conductivité thermique dépend de la température lorsque l’on considère des plages étendues de leur variation. Dans ce cas on pourra cependant souvent considérer une variation linéaire avec T, sous la forme : λ = λ

( 1 + b ( T − T

) ) . Dans cette expression, le paramètre λ

désigne la conductivité évaluée à T=T

et b est une constante expérimentale, qui reste faible dans de nombreux cas, tant que la variation de température elle-même n’est pas trop importante. Dans certains cas toutefois, cette dépendance linéaire n’est pas suffisante, et il faut alors prendre en compte des termes d’ordre supérieur, quadratique, cubique, etc.

La dépendance en température de différents matériaux est illustrée dans la Figure 1.4 ci- dessous, à la fois pour divers métaux mais aussi pour plusieurs matériaux isolants.

Dans la suite de ces rappels de cours on considérera systématiquement la conductivité

thermique λ comme un scalaire constant ce qui revient à se placer dans le cas de

matériaux homogènes et isotropes. Cette simplification n’est cependant pas abusive

car il est souvent difficile de procéder différemment et même dans le cas de matériaux

typiquement inhomogènes (béton par exemple) on considère une conductivité moyenne

appelée conductivité effective.

Chapitre 1 – Introduction générale 19

a)

b)

Figure 1.4 : Exemples d’évolution de la conductivité thermique de matériaux en fonction de la température : a) Métaux ; b) Autres matériaux de type isolants.

0   50   100   150   200   250   300   350   400   450   500  

-­‐200   0   200   400   600   800   1000  

Conduc'vité   thermique    (W.m

.K

)  

Température  (°C)   Cuivre  

Plomb  

Nickel   Argent  

Aluminium   Laiton  

Zinc   Pla@ne  

Acier  0.1C   Or  

Fer  pur  

0   0,5   1   1,5   2   2,5  

-­‐400   -­‐200   0   200   400   600   800   1000   1200   1400   Conduc'vité  

thermique     (Wm-­‐1.K-­‐1)  

Température  (°C)   Porcelaine  

Argile  réfractaire   Brique  sèche  

Soie   Amiante  

Suie  

Caoutchouc  

20 Thermique de l’ingénieur et applications

III. Introduction au rayonnement thermique

Considérons un matériau recevant un flux d’énergie électromagnétique φ

. Ce flux peut être réfléchi en partie φ

, transmis en partie φ

ou absorbé en partie φ

, voir Figure 1.5.

Figure 1.5 : Schéma de principe des échanges radiatifs, avec bilan des transferts observés.

La conservation de l’énergie impose que : φ

= φ

+ φ

+ φ

. Cette relation peut encore s’écrire : 1 = ! _r

! _i ⁺

! _t

! _i ⁺

! _a

! _i ^{= r + t +} " . Avec : - r : coefficient de réflexion

- t : coefficient de transmission - α : coefficient d’absorption

Si α = 1 le matériau absorbe tout le rayonnement qu’il reçoit, on parle alors de corps noir.

Le corps noir sert de référence à l’étude du rayonnement thermique des corps. Le corps noir correspond à un corps susceptible d’absorber tout le rayonnement qu’il reçoit, mais il est aussi capable de le réémettre intégralement. On parle alors de radiateur intégral et d’émetteur intégral. Si l’on définit le coefficient d’émission ε d’une surface réelle comme étant le rapport du flux émis par cette surface à celui émis par la même surface si elle était noire, on a évidemment pour le corps noir :

α = ε = 1.

La loi de Stephan-Boltzmann (1879) énonce que le rayonnement thermique d’une surface S noire à la température T

, s’exprime par :

. (1.6)

4

ST

σ

= Φ

φ

φ

φ

φ

Chapitre 1 – Introduction générale 21

Elle exprime que le flux d’énergie radiante émis par une surface idéale appelée « noire » est proportionnel à l’aire de cette surface et à la puissance quatrième de la température absolue T

de la surface.

σ est la constante de Stephan qui vaut .

Le flux d’énergie rayonné émis par une surface réelle quelconque (appelée corps gris, voir chapitre des rappels de cours sur le rayonnement) devient alors : , où est le facteur d’absorption de la surface grise et ε le facteur d’émission de la surface considérée. Dans le cas de la surface grise on a : α = ε

1 (et bien sûr ). Lorsqu’il y a échange entre la surface rayonnante et le milieu extérieur (à la température ), l’équation d’échange s’écrit :

. (1.7) Exemple : corps gris à la température T

enfermé dans une enceinte à .

IV. Introduction à la convection

Rappelons que la convection est le mode de transmission qui implique nécessairement le déplacement d’un fluide, liquide ou gazeux. Le traitement mathématique de la convection est complexe puisqu’il combine les lois de la conduction et celles relatives à l’écoulement des fluides, c’est pourquoi on fait souvent appel dans la pratique à des formules semi-empiriques. Pour pouvoir aisément traiter les problèmes de convection, on exprime assez intuitivement que le flux de chaleur échangé par convection le long d’une surface S, à la température de surface T

et plongé dans un milieu ambiant à T

, s’exprime par la relation, dite de Newton :

( −

)

=

Φ hS T

T , (1.8) avec : h : conductance spécifique du milieu considéré, souvent appelé coefficient

d’échange ou coefficient de surface ou plus simplement coefficient de convection.

S : l’aire perpendiculaire au flux de chaleur,

T

: La température de la surface « léchée » par le phénomène de convection,

T

: la température du fluide « au large » ( c’est-à-dire loin de la surface).

Dans l’équation (1.8), h s’exprime en W.m

.K

. Cette relation, dont la simplicité est trompeuse, permet d’exprimer globalement le phénomène de convection. Le paramètre h est souvent considéré comme constant. Toutefois, il faut savoir qu’en fait h dépend :

- du point où l’on est,

- de l’état de surface et de la géométrie du système, - de la vitesse du fluide et de ses propriétés physiques, - de la différence de température T T −

.

8 2 4

5.66697.10 W.m .K

σ =

4 S 4

S

ST

ST = εσ ασ

=

Φ α

≠ 0 ≤ α = ε < 1

T

( ^T

^T

)

S −

σ

α

= Φ

T _∞

22 Thermique de l’ingénieur et applications

La quantité h est donc une grandeur globale, complexe et variable. Reprenons la loi sur le rayonnement :

( ^T

^T

)

S −

σ

α

=

Φ ^{, avec T}

qui peut s’écrire : ^T

= ^T

+ ( ^T

− ^T

) = ^T

+ Δ ^{T ,} c’est à dire

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜ ⎝

⎛ Δ

+

=

∞

∞

T

1 T T

T

, d’où

4 4

4

S

T

1 T T

T ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜ ⎝

⎛ Δ

+

=

∞

∞

.

Si Δ ^T << ^T

, on obtient :

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜ ⎝

⎛ Δ

+

=

∞

∞

T

T 1 4 T

T

,

d’où : T

− T

= 4 Δ T . T

, soit Φ = 4 ασ ST

( T

− T

) .

Ainsi pour le rayonnement thermique, on montre que le flux échangé avec une surface T

est, en première approximation, proportionnel à la quantité S ( T

− T

) . Dans le cas de la convection, la relation de Newton exprime également que le flux échangé est proportionnel à S ( T

− T

) . On peut donc exprimer de manière globale que le flux échangé par convection-rayonnement est fourni par :

( −

)

=

Φ KS T

T , (1.9) où K est appelé coefficient global, ou encore coefficient de convection-rayonnement, ou encore coefficient de transmission thermique (CTT), ou encore coefficient de transfert.

Nous exprimons ici la loi de Newton de la convection en remplaçant h par K. Le CTT englobe la convection et le rayonnement, il s’exprime en W.m

.K

.

Remarquons enfin que la loi de Newton nous permet d’aborder le cas d’une condition aux limites très fréquente en conduction : celui où un solide est « léché » par un fluide à la température T

, le coefficient de convection rayonnement étant K. On applique alors la loi de conservation du flux :

(

)

S

S dT K S T T

dx

−λ ⎞ ⎟ = −

⎠ . (Cas d’un problème unidimensionnel) Dans cette équation, le terme

S

S dT dx

−λ ⎞ ⎟

⎠ traduit la conduction dans le solide, et le

terme K S T (

− T

) traduit la convection entre le solide et le fluide.