DEVOIR DE
MATHEMATIQUES DU 2 ème
TRIMESTRE
L’élève doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l’appréciation des copies.
Barème probable : 6 – 4 – 6 – 4
Exercice commun à tous les élèves
EXERCICE 2
:Elèves n’ayant pas suivi la spécialité
1. On désigne par g la fonction définie sur I = [ 0 ; π ] par : g(x) = xcos(x) − sin(x)
a) Dresser le tableau de variations de la fonction g sur I b) En déduire le signe de g(x) sur I.
2. Soit f la fonction définie ci-dessous sur [ 0 ; π ]. Etudier les variations de f sur [ 0 ; π ]
f(0) = 1 f(x)=sin(x)
x si x ≠ 0
3. Dans cette question, on veut étudier la dérivabilité de f en 0.
a) Prouver que, pour tout réel x ⊳ 0 : x − x3
6 ⊲ sin(x)
Pour cela, on introduira la fonction ϕ définie sur [ 0 ; π ] par : ϕ(x) = sin(x) − x + x3 Puis on déterminera les dérivées successives de ϕ : ϕ’, ϕ’’ et ϕ’’’, dont on étudiera leur 6 signe et leurs variations.
b) En introduisant une autre fonction, prouver que pour tout réel x ⊳ 0 : sin(x) ⊲ x
c) En déduire un encadrement de sin(x) − x pour tout réel x ⊳ 0.
d) En utilisant le résultat précédent, prouver que f est dérivable en 0 et calculer f ‘(0).
EXERCICE 2: Elèves ayant suivi l’enseignement de spécialité
Pour tout entier naturel n non nul, on considère les nombres :
an = 4 x 10n - 1 ; bn = 2 x 10n - 1 ; cn = 2 x 10n + 1
1°) a) Calculer a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 , a3 , b3 et c3 . b) Montrer que an et cn sont divisibles par 3.
c) Montrer, en utilisant la liste des nombres premiers inférieurs à 100 donnée ci-dessous, que b3 est premier.
d) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, bnx cn = a2n En déduire la décomposition en facteurs premiers de a6 . e) Montrer que PGCD(bn ; cn) = PGCD(bn ; 2).
En déduire que bn et cn sont premiers entre eux.
2°) On considère l'équation (E) b3 x + c3 y = 1 d'inconnues les entiers relatifs x et y.
a) Justifier le fait que l'équation (E) possède au moins une solution.
b) En appliquant l'algorithme d'Euclide aux nombres c3 et b3, déterminer une solution particulière de (E).
c) Résoudre l'équation (E).
Liste des nombres premiers inférieurs à 100 :
Exercice commun à tous les élèves
Exercice commun à tous les élèves
Exercice 4
. A chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour chaque question, une réponse exacte rapporte le nombre de points affecté ; une réponse inexacte enlève la moitié du nombre de points affecté. Vous pouvez décider de ne pas répondre à certaines de ces questions. Ces questions ne rapportent aucun point et n’en enlèvent aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0. Pour chaque question, une seule des 4 propositions est exacte. Vous devez cocher la case correspondante. Aucune justification n’est demandée.1. Soit z ∈ C vérifiant z+ z=6+2i. L’écriture algébrique de z est : i
3 2
8− − 2i
3
8− 2i
3
8+ 2i
3 8+
−
2. Dans le plan complexe, l’ensemble des points M d’affixe z = x + i y vérifiant z−1= z+i est la droite d’équation :
y = x – 1 y = − x y = − x + 1 y = x
3. Soit n un entier naturel. Le nombre
(
1+i 3)
nest réel si et seulement si, n s’écrit sous la forme (avec k un entier naturel) :3k + 1 3k + 2 3k 6k
4. Soit l’équation (E) :
z z z
−
= − 3
6 (z ∈ C). une solution de (E) est :
− 2 − i 2 2 + i 2 1 − i − 1 − i
5. Soit deux points A et B d’affixes respectifs zA = i et zB = 3 dans un repère orthonormal (O, u , v
).
L’affixe zC du point C tel que ABC soit un triangle équilatéral avec (
→
AB ,
→
AC ) = 3 π est :
− i 2 i 3 + i 3 +2 i
6. Dans le plan complexe, l’ensemble des points M d’affixe z = x + i y vérifiant la relation arg
2 2
2 =π
− +
i z
z est inclus dans : la droite d’équation y = − x
Le cercle de centre I(1 ; 1) et de rayon r = 2 la droite d’équation y = x
Le cercle de diamètre [AB], A et B étant les points d’affixes respectives zA = − 2 et zB = 2i.
