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Exercices supplémentaires de révision Phénomènes d’induction (PTSI)

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Academic year: 2022

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(1)

PT Lycée Benjamin Franklin mars-avril 2021

Exercices supplémentaires de révision Phénomènes d’induction (PTSI)

Exercice 1 :

Exercice 2 :

Aides à la résolution : On rappelle que (même si c’est à connaitre !) :

1. Une spire de surface S et de vecteur normal orienté unitaire , parcourue par un courant i possède un moment magnétique : et le moment de l’action de Laplace s’écrit : .

2. Dans ce mouvement de rotation autour de l’axe z, moment dynamique de l’ensemble des deux cadres de moment d’inertie J s’écrit :

n

M =iS n ΓL = MB

J ω · u

z

ExercicesExercices

CHAPITRE31– CIRCUIT FIXE DANS UN CHAMP MAGNÉTIQUE VARIABLE

• un filtre moyenneur, dont la sortieV4est la valeur moyenne de sa tension d’entréev3(t).

La batterie du portable est branchée à la sortie, elle requiert une tension de charge constante V4= 12 V.

1.Que vautV0,2en fonction deV0? 2.Tracer le graphe de la tensionv3(t).

3.Quelle est la nature (passe-bas, passe-haut ou passe-bande) du filtre ? Proposer une valeur pour sa fréquence de coupure.

4.Établir l’expression de la tensionV4en fonction deV0. 5.En déduire la valeur dem.

31.6 Table de cuisson à induction (⋆)

Dans la cuisson à induction, le fond métallique des récipients de cuisson est directement chauffé par des courants de Foucault induits par un champ magnétique variable. Ce champ est créé par un bobinage, nommé inducteur, qui est alimenté en courant sinusoïdal.

On fait la modélisation suivante :

• L’inducteur est assimilé à une bobine de résistance électrique R1= 1,8.102Ωet induc- tance propre L1= 30 µH. Il est alimenté par une tensioneg (t) sinusoïdale de fréquence

f = 25 kHz et valeur efficace égale à 24 V.

• Le fond du récipient est assimilé à une spire de courant de résistance R2 = 8,3 mΩ et d’inductance propreL2= 0,24µH.

• Les deux circuits ont une mutuelle inductanceM.

inducteur

i1

eg (R1,L1) induit

i2

(R2,L2) M

1.Écrire les équations de couplage entre les intensitési1eti2dans l’inducteur et l’induit.

2.En déduire l’expression littérale du rapport I2,0

I1,0 des amplitudes des courantsi2(t)eti1(t).

3.En déduire l’expression littérale de l’impédance d’entrée du système : Ze= eg i1.

4.Vérifier queR1L1ω et que l’on fait une erreur de moins de 5% en négligeantR22devant (L2ω)2. Utiliser ces approximations pour simplifier les deux expressions littérales précé- dentes, puis effectuer le calcul numérique de leur module, sachant que l’inductance mutuelle est estimée àM= 2µH.

5.On soulève la plaque à chauffer. Comment varie l’amplitude du courant i1 appelé par l’inducteur ?

1112

(2)

Exercice 3 :

2.Montrer que l’induit est soumis à un vecteur force F instantanée dans la direction du mouvement.

Exercices

S’ENTRAÎNER

S’ENTRAÎNER

30.1 Cadre qui chute dans un champ localisé (

)

Un cadre conducteur, constitué de 4 segments de longueura, tombe dans le plan du schéma sous l’effet de la gravité. Sa résistance électrique est notéeR, son autoinductanceL.

L’espace est divisé en deux régions :

• pourx<0, il n’y a pas de champ magnétique,

• pour x>0, un champ magnétique est présent. Il est uniforme, stationnaire et orthogonal au plan du schéma.

a

x 0

B

g

Établir les équations différentielles régissant la vitessev(t)du cadre dans les 3 régions : 1.le cadre est entièrement dans la région où −→B = −→0 ,

2.le cadre est à cheval sur les régions où −→B = −→0 et−→B ̸= −→0 , 3.le cadre est entièrement dans la région où −→B ̸= −→0 .

30.2 Deux cadres à angle droit (

) z

y x →−B

Vue de profil

x y

B θ

C1

S1 i1 C2

S2 i2

uz

Vue de face

Deux cadres rectangulaires, identiques et solidaires, dont les plans forment un angle droit, chacun de résistance électriqueR, d’auto-inductance négligeable, de surfaceS, sont mobiles

Exercices 1019

CHAPITRE30– CIRCUIT MOBILE DANS UN CHAMP MAGNÉTIQUE STATIONNAIRE

en rotation autour de l’axe vertical(Oz), sans aucun frottement. Leur moment d’inertie par rapport à cet axe estJ. Leur vitesse angulaire initiale estω0.

Ils sont placés dans un champ magnétique uniforme et constant−→B = B−→ux horizontal.

Il n’y a aucun contact électrique entre les cadres, leur courants ne se mélangent pas.

1.Calculer la vitesse angulaireω(t)des deux cadres.

2.Former un bilan énergétique du fonctionnement.

30.3 Rails de Laplace croisés (

)

On considère deux rails de Laplace qui se croisent au pointO. Ils sont horizontaux et plongés dans un champ magnéique−→B uniforme. Une tige T glisse sans frottement sur eux, tout en restant parallèle à elle-même ; elle est entrainée à la vitesse constante−→v = v−→ux.

i

x

v

B

α O

i

1.Établir, en fonction de la positionx(t) de la tigeT, l’expression de la f.é.m. induite dans le circuit formé des rails et de la tige.

2.Attendu que la résistance électrique du circuit est proportionnelle à sa longueur, c’est à dire queR= kℓ, déterminer l’intensité du courant dans le circuit. Commenter son signe.

3.Établir l’expression de la force qu’un opérateur doit exercer sur la tige T afin qu’elle garde sa vitesse constante.

4.Établir les expressions de la puissance perdue par effet Joule, de la puissance fournie par l’opérateur. Les comparer.

30.4 Cadre oscillant (

)

Un cadre conducteur tourne sans frottement autour de l’axe∆. Il est composé de 4 segments, 2 de longueura, 2 de longueurb. La masse totale du cadre est m, son moment d’inertie par rapport à∆estJ, sa résistance électrique est Ret son autoinductance est négligée.

b

a

θ

g

B

1020

1.Calculer à chaque instant le flux qui traverse la petite bobine mobile. On appelleFo le

flux maximum à travers la bobine. Calculer la f.e.m. instantanée induite dans le circuit et en déduire le courant induit.

2.Exprimer le moment magnétique de la bobine. En déduire le moment instantanéG(t) du couple de forces électromagnétiques s’exerçant sur cette bobine. Que vaut la valeur moyenneGmde ce moment ? À quelle condition le dispositif peut-il être considéré comme un moteur ?

3. Étudier les variations de Gm avec v. On supposera que vo > L/R. Interpréter les différentes branches de la courbeGm(v).

4. La bobine, initialement au repos, est soumise à un couple résistant de momentGr, dû aux frottements. À quelle condition se met-elle en mouvement ? Montrer qu’elle atteint un régime permanent stable dont on précisera la vitesse angulaire. Le couple résistant augmente brusquement, décrire le fonctionnement ultérieur du moteur.

Exercice 34 Moteur linéaire

v B(x,t) O

z

y

x

Dans le référentiel du laboratoire (Oxyz) un inducteur linéaire est constitué par des bobinages créant dans l’espace considéré un champ magnétique de la forme :

B =Bocos! 2px

l −vot"

uy oùl est une longueur constante et vo une pulsation constante.

L’induit est représenté par un cadre carré, de côté a, situé dans le plan xOz, de sorte que ses côtés restent parallèles aux axes Ox

et Oz. Il se déplace alors selon un mouvement rectiligne et uniforme de vitesse v. On suppose quealc’est-à-dire que le flux qui traverse l’induit à l’instant t correspond à celui d’un champ uniforme sur toute la surface du cadre.

1. Exprimer le flux F traversant l’induit en fonction de t. On posera v = 2pv/l et Fo = Boa2 (v peut être > 0 ou < 0 selon le signe de v). Calculer le courant induit i circulant dans le cadre à l’instantt en régime permanent. Le cadre possède une résistance Ret une inductance propreL.

2. Montrer que l’induit est soumis à une force instantanée −→F = F−→ux. Calculer F et sa valeur moyenneFm. Étudier les variations deFm avecv (on admettra queR < Lvo).

3. Pour quelle valeur de v le dispositif fonctionne-t-il comme un moteur ? Le moteur est soumis de la part des liaisons et des pièces qu’il entraîne à une force de frottement

F

f = −Ff−→ux (Ff > 0). À quelle condition le moteur démarre-t-il s’il est initialement au repos ? Montrer qu’il atteint alors un régime de fonctionnement stable.

2. ÉLECTROMAGNÉTISME 189

(3)

Un calcul (assez laborieux utilisant l’expression précédente de i) donne pour la projection

moyenne de la force dans le sens des x croissants :

Etudier les variations de Fm avec 𝜔 pour tracer l’allure de Fm(𝜔). (R<L𝜔0)

Exercice 4 :

1.Calculer à chaque instant le flux qui traverse la petite bobine mobile. On appelleFole

flux maximum à travers la bobine. Calculer la f.e.m. instantanée induite dans le circuit et en déduire le courant induit.

2.Exprimer le moment magnétique de la bobine. En déduire le moment instantanéG(t) du couple de forces électromagnétiques s’exerçant sur cette bobine. Que vaut la valeur moyenneGmde ce moment ? À quelle condition le dispositif peut-il être considéré comme un moteur ?

3. Étudier les variations de Gm avec v. On supposera que vo > L/R. Interpréter les différentes branches de la courbeGm(v).

4.La bobine, initialement au repos, est soumise à un couple résistant de momentGr, dû aux frottements. À quelle condition se met-elle en mouvement ? Montrer qu’elle atteint un régime permanent stable dont on précisera la vitesse angulaire. Le couple résistant augmente brusquement, décrire le fonctionnement ultérieur du moteur.

Exercice 34 Moteur linéaire

v B(x,t) O

z

y

x

Dans le référentiel du laboratoire (Oxyz) un inducteur linéaire est constitué par des bobinages créant dans l’espace considéré un champ magnétique de la forme :

B =Bocos! 2px

l −vot"

uy oùlest une longueur constante et vo une pulsation constante.

L’induit est représenté par un cadre carré, de côtéa, situé dans le plan xOz, de sorte que ses côtés restent parallèles aux axes Ox

et Oz. Il se déplace alors selon un mouvement rectiligne et uniforme de vitesse v. On suppose quealc’est-à-dire que le flux qui traverse l’induit à l’instantt correspond à celui d’un champ uniforme sur toute la surface du cadre.

1. Exprimer le flux F traversant l’induit en fonction de t. On posera v = 2pv/l et Fo = Boa2 (v peut être > 0 ou < 0 selon le signe de v). Calculer le courant induit i circulant dans le cadre à l’instantt en régime permanent. Le cadre possède une résistance Ret une inductance propreL.

2. Montrer que l’induit est soumis à une force instantanée −→F = F−→ux. Calculer F et sa valeur moyenneFm. Étudier les variations deFm avecv (on admettra queR < Lvo).

3. Pour quelle valeur de v le dispositif fonctionne-t-il comme un moteur ? Le moteur est soumis de la part des liaisons et des pièces qu’il entraîne à une force de frottement

F

f = −Ff−→ux (Ff > 0). À quelle condition le moteur démarre-t-il s’il est initialement au repos ? Montrer qu’il atteint alors un régime de fonctionnement stable.

2. ÉLECTROMAGNÉTISME 189

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

=

( ) ( )

( )

=

( )

⋅ ⋅

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

= ( )

( )= ( )⋅ ⋅

( )

( ) ( ) λ

= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅

( ) ( ) ( )= ( ) ( ) ( )

=

( )= (ω ) ω= ⋅ ⋅π

( )= (ω + ϕ) ( )= (ω+ϕ)

=

( ) ( )

ω = ( )

( ) ( ) ( )

=

θ

( )

( )

( ) ( ) λ

= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅

( ) ( ) ( ) ( )

= ( ) ( )

=

( )= (ω ) ω= ⋅ ⋅π

( )= (ω +ϕ) ( )= (ω+ϕ)

=

( ) ( )

ω = ( )

( ) ( ) ( )

=

θ

( )

(4)

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

=

( )

( )

=

( )

⋅ ⋅

( )

( ) ( )

λ

= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅

( ) ( ) ( ) ( )

=

( ) ( )

=

( )

=

(

ω

)

ω = ⋅ ⋅π

( )

=

(

ω + ϕ

) ( )

= (ω+ϕ)

=

( ) ( )

ω =

( )

( ) ( ) ( )

= ⋅

θ

( )

( )

( ) ( )

λ

= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅

( ) ( ) ( ) ( )

=

( ) ( )

=

( )

=

(

ω

)

ω= ⋅ ⋅π

( )

=

(

ω + ϕ

) ( )

= (ω+ϕ)

=

( ) ( )

ω =

( )

( ) ( ) ( )

= ⋅

θ

( )

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