Compl´ements d’alg`ebre Universit´e de Nice Ann´ee 2019-2020
Examen du 12 novembre 2019
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Les calculatrices sont interdites.
Toutes les r´eponses doivent ˆetre justifi´ees.
Exercice 1 - (5 points) SoitGl’ensemble des fonctionsf deRdansRd´efinies parx7→f(x) =ax+b, avec a∈R∗ etb∈R, muni de la composition des fonctions.
1. Est-ce que la loi de composition est commutative ? 2. Quel est l’´el´ement neutre deG?
3. D´eterminer l’inverse de l’´el´ementf(x) =ax+b.
4. Est-ce queG est un groupe ?
5. On consid`ere H={f ∈G|f(x) =x+b, b∈R}. Est-ce queH est un sous-groupe de G? Exercice 2 - (4 points) Soit A le sous-ensemble des nombres rationnelsr∈Qqui s’´ecrivent comme quotient r= mn avec m, n∈Z etnimpair.
1. Montrer que (A,+,·) est un anneau.
2. Est-ce queA est unitaire ? 3. Quels sont les inversibles deA? Exercice 3 - (4 points)
1. Est-ce que 18 est inversible dansZ/49Z? Si oui, quel est son inverse ? 2. Est-ce que 42 est inversible dansZ/135Z? Si oui, quel est son inverse ? Exercice 4 - (2 points) R´esoudre l’´equation suivante dansZ/37Z:
7x= 2.
Exercice 5 - (5 points) SoitG= (Z/20Z)∗ le groupe des inversibles de l’anneau Z/20Z.
1. Donner la liste de tous les ´el´ements de G.
2. Pour touta∈G, d´eterminer le sous-groupe hai engendr´e par a.
3. Est-ce que (G,·) est cyclique ?
4. Donner 2 ´el´ementsa, b∈Gtel queG=ha, bi, c’est-`a-dire aetbengendrentG.
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