Communication Num´erique

(1)

Communication Num´ erique

Filtrage des signaux

Yoann Morel

(2)

1 Généralités sur les filtres

2 M´ethode de Fourier

3 M´ethode s´equentielle : Filtres RIF et RII

4 Filtrage adapt´e

5 Effet du bruit et probabilit´e d’erreur

6 Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist Interf´erence entre symboles (IES)

(3)

Communication Numérique Généralités sur les filtres

4 Filtrage adapt´e

6 Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

(4)

Un canal de transmission réel a une bande passante limitée : physiquement (bande passante réelle)

par l’utilisateur (limitation de d´ebit, partage entre utilisateurs, probl`emes de CEM, . . .)

Or la DSP d’un signal réel, donc limité dans le temps, n’est jamais limité.

(5)

Rappel sur les filtres

-

x A

R.I. : h ^-

y

y=h∗x ˆ

y=H×xˆ

où,H = ˆh est la fonction de transfert du filtre. Un filtre est caractérisé par sa fonction de transfert

, →

Modification du contenu spectral du signal

(6)

Rappel sur les filtres

-

x A

R.I. : h ^-

y

y=h∗x ˆ

y=H×xˆ

o`u,H = ˆh est la fonction de transfert du filtre.

(7)

Principaux filtres

•Filtre passe-bas

6

@

@ G

|H(f)|

(8)

Principaux filtres

•Filtre passe-bande

6

@

@ G

|H(f)|

(9)

Principaux filtres

•Filtre passe-haut

6

G

|H(f)|

(10)

Synth` ese de filtres

•M´ethode analogique : ´electronique, composants actifs et passifs

•M´ethode num´erique :

m´ethode de Fourier : ´etude deH(f)

(11)

Communication Num´erique M´ethode de Fourier

4 Filtrage adapt´e

(12)

Filtre passe-bas id´eal

- 6

|H(f)|

logf

−B B

−2iπf t

h(t) = 2aBsinc(2B(t−t₀))

(13)

Filtre passe-bas id´eal

- 6

|H(f)|

logf

−B B

(14)

Filtre passe-bande id´eal

- 6

−f₀ f0

|H(f)|

logf

-

2B 2B ^-

H(f) =a[Rect_2B(f−f₀) +Rect_2B(f+f₀)]e^{−2iπf t}⁰

R.I. filtre passe-bas fr´equence porteuse

(15)

Filtre passe-bande id´eal

- 6

−f₀ f0

|H(f)|

logf

-

2B 2B ^-

H(f) =a[Rect_2B(f−f₀) +Rect_2B(f+f₀)]e^{−2iπf t}⁰

(16)

Exemple de filtrage

D´ebruitage d’un signal

Un bruit blanc additif gaussien (BBAG) est un signal additif

“haute fr´equence”.

=⇒Filtrage par un filtre passe-bas pour d´ebruiter un signal

6|H(f)|

(17)

DD

(18)

Propriété : Un filtre est réalisable (causal) si et seulement si Supp h est borné, i.e. si et seulement si la réponse impulsionnelle h(t) est nulle en dehors d’un intervalle deIR.

Problème : Ces filtres idéaux ne sont pas réalisables

|H(f)|

(19)

On multiplieh(t) par une fenêtre W telle que h(t) W(t) = 0 pourt /∈[t₁;t₂] où W est une fenêtre

par cette troncature, on introduit des oscillations (Gibbs)

(20)

rectangulaire

(21)

triangulaire

(22)

Hanning (ou plutˆot Hann . . .)

(23)

Hamming

(24)

Blackman

(25)

(26)

(27)

(28)

M´ethode s´equentielle : Filtres RIF et RII

4 Filtrage adapt´e

(29)

Filtres numériques ←→ Signaux échantillonés

-

(xk) A

R.I. : h ^-

(yk)

La relation générale s’écrit alors (convolution discrète) :

(30)

Transformation discr`ete de Fourier : yb_k =X

n

y_k e^{−2iπf n}

=X

n

X

l

h_l xn−l

!

e^{−2iπf n}

=X

l

hl

X

n

xn−l e^{−2iπf n}

!

=X

h X

e^−2iπf⁽ⁿ⁰^+l)

!

(31)

On retrouve ainsi la relation,

yb_k=hc_kxc_k

Filtre à réponse impulsionnelle finie : RIF (FIR) Ce sont des filtres tels que Supph borné, c’est-à-direhn= 0 sin /∈[n1;n2]

On a alors,

bh(f) =

n=n2

X hne^{−2iπf n}

(32)

Sch´ema d’un filtre RIF

{x_i, xi+1, . . . , x_k} a_k

Tk ak−1

T_k−1 · · ·

· · · ..

P

_y

k

(33)

Exemple simple de filtre num´erique htel que h₀ =h₁ = 1

2, et h_n= 0 si n6= 0 et n6= 1.

C’est-`a-dire,

y_k=X

l

h_lxk−l= 1

2(x_k+xk−1) y_k est une moyenne locale du signalx_k d’entr´e.

On a alors, bh(f) =X

h_ne^{−2iπf n} = 1 2+1

2e^−2iπf =e^−iπf cos(πf)

hn d´efinit ainsi un filtre passe-bas.

(34)

Exemple simple de filtre num´erique htel que h₀ =h₁ = 1

2, et h_n= 0 si n6= 0 et n6= 1.

C’est-`a-dire,

y_k=X

l

h_lxk−l= 1

2(x_k+xk−1) y_k est une moyenne locale du signalx_k d’entr´e.

On a alors, bh(f) =X

n

h_ne^{−2iπf n} = 1 2+1

2e^−2iπf =e^−iπf cos(πf)

(35)

Les filtres FIR ne sont en g´en´eral pas suffisants (trops restrictifs).

On définit alors les filtres à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII, ou IIR), pour lesquels on a :

bh(f) =

n=+∞

X

n=−∞

hne^{−2iπf n} , hn6= 0

En pratique, il est impossible d’impl´ementer des suites de longueur infinie.

On introduit alors ces filtres de mani`ere r´ecursive :

(36)

Sch´ema d’un filtre RII {x_i, . . . , x_k} ak

T_k ak−1

Tk−1 · · ·

· · · ...

P

_y

k

{y_i,· · · , y_k} b_k

(37)

En r´eordonnant, on obtient, en posant α0 = 1, α₀y_k =

M

X

n=0

β_nxk−n−

N

X

n=1

α_nyk−n ⇐⇒

N

X

n=0

α_nyk−n=

M

X

n=0

β_nxk−n

soit, en prenant la transform´ee de Fourier,

N

X

n=0

αne^{−2iπf n}

!

y(fb ) =

M

X

n=0

βne^{−2iπf n}

! bx(f) d’o`u, la fonction de transfert, _M

(38)

En utilisant une transform´ee enz (z=e^−2iπf),

H(f) =H(z) =e

M

X

n=0

βnzⁿ

N

X

n=0

αnzⁿ

= β_Mz^M +· · ·+β₁z+β₀ αNz^N +· · ·+α1z+α0

= P(z) Q(z)

=⇒Les fr´equences de coupure sont les racines de P.

=⇒Problème de stabilité du filtre, si le dénominateur s’an- nule (racines de Q)

=⇒ En général, existence d’un domaine de stabilité qu’il faut respecter.

(39)

En utilisant une transform´ee enz (z=e^−2iπf),

H(f) =H(z) =e

M

X

n=0

βnzⁿ

N

X

n=0

αnzⁿ

= β_Mz^M +· · ·+β₁z+β₀ αNz^N +· · ·+α1z+α0

= P(z) Q(z)

=⇒Les fr´equences de coupure sont les racines de P.

(40)

Communication Num´erique Filtrage adapt´e

4 Filtrage adapt´e

(41)

Soit un signal cod´e avec la forme d’ondeg(t) (formant du code en ligne), et bruit´e :

x(t) =g(t) +w(t) , t∈[0;Tb] o`u west un BBAG de densit´e spectraleW(f) = N₀

2 On cherche le filtre en receptionh(t) :

y(t) =h(t)∗x(t) =g (t) +n(t)

(42)

On a :

g0(T) =h(t)∗g(t) = Z

IR

H(f)G(f)e^{2iπf T}df et,

E(n²(t)) = Z

IR

|H(f)|²|W(f)|²df = N₀ 2

Z

IR

|H(f)|²df d’o`u,

(43)

Par Cauchy-Schwarz, on a : η ≤ 2

N0

Z

IR

|G(f)|²df avec ´egalit´e si et seulement si,

H(f) =k G(f)e^{−2iπf T} , k∈C soit, pour des filtres r´eels,

h(t) =g(T−t)

(44)

Communication Num´erique Effet du bruit et probabilit´e d’erreur

4 Filtrage adapt´e

(45)

Effet du bruit et probabilit´ e d’erreur

Le filtre adapt´e est le filtre optimal pour la d´etection du signal utile.

La mesure de la performance du filtrage (adapté ou non) est donnée par la probabilité d’erreur :

(46)

Exemple de calcul de la probabilit´e d’erreur On consid`ere un signal polaire NRZ :

x(t) =

( +A+w(t) , si bit ´emis = +1

−A+w(t) , si bit émis = +0 D’après le théorème de Bayes, on a

p_e=p(0|1)p₁+p(1|0)p₀

(47)

SoitY la sortie du filtre adapt´e : Y =g(−t)∗x(t) = 1

Tb

Z Tb

0

x(t)dt et donc, si un 0 a été envoyé,

Y =−A+ 1 T_b

Z Tb

0

w(t)dt d’où la densité de probabilité conditionnelle,

(48)

On obtient alors, avec un seuil de d´ecision λ,

p(1|0) =p_Y_|0(Y ≥λ) = Z +∞

λ

T(Y|0)dz= 1

2erfc A+λ pN₀/T_b

!

avec la fonction d’erreur compl´ementaire : erfc(u) = 2

√π Z +∞

u

e^−s²ds

(49)

Au total, on obtient, p1

2 erfc A−λ pN₀/T_b

! +p0

2 erfc A+λ pN₀/T_b

!

Dans le cas o`u, p0=p1 = 1

2, alorspe est minimum pourλ= 0et alors,

pe= 1

2erfc A pN₀/T_b

!

(50)

p_e= 1 2erfc

rε_b N0

(51)

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

4 Filtrage adapt´e

(52)

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist Interf´erence entre symboles (IES)

4 Filtrage adapt´e

(53)

Interf´ erence entre symboles (IES)

Interf´erence entre symboles :

L’interférence entre symboles est un phénomène qui se produit si le niveau échantillonné à l’instant de décision ne dépend pas du seul symbole attendu, mais se trouve

(54)

Interf´ erence entre symboles (IES)

Réponse globale du système, avec filtre adapté en réception :

- (an)

h(t)

Codage en ligne -

M? Bruit

- h(−t) -

y(t)

Filtrage adapt´e On a alors,

y(t) =X

anr(t−nT) + bruit

(55)

Interf´ erence entre symboles (IES)

R´eponse en sortie du filtre adapt´e : y(t) =X

n

anr(t−nT) + bruit Echantillonnage aux instantst=kT :

y(kT) =X

a_nr(kT −nT) +b_k

Symbole

`

a d´etecter IES bruit

(56)

Interf´ erence entre symboles (IES)

n

anr(t−nT) + bruit Echantillonnage aux instantst=kT :

y(kT) =X

n

anr(kT −nT) +b_k

Symbole

`

a d´etecter IES bruit

(57)

Interf´ erence entre symboles (IES)

n

a_nr(t−nT) + bruit Echantillonnage aux instantst=kT :

y(kT) =X

n

anr(kT −nT) +bk

(58)

Interf´ erence entre symboles (IES)

(59)

Interf´ erence entre symboles (IES)

On appelle distortion maximale, le ratio :

Dmax = X

n6=0

|a_nr(nT)|

|r(0)|

= X

n6=0

|r(nT)|

|r(0)| , sia_n∈ {−1,+1}

(60)

Diagramme de l’œil

(61)

En l’abscence d’IES, l’œil est complètement “ouvert” à l’instant de décision ; tous les trajets passsent par deux points seulement (en binaire, M points en M-aires).

(62)

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist Cas id´eal - Filtre de Nyquist

4 Filtrage adapt´e

(63)

Cas id´ eal - Filtre de Nyquist

C’est le casDmax = 0.

Cela revient `a :

( r(kT) = 0 , ∀k6= 0 r(0)6= 0

Dans ce cas, le filtre, de R.I.r(t), est dit de Nyquist.

(64)

Critère de Nyquist fréquentiel Le critère de Nyquist implique que :

X

n

r(t−nT) =r(t)X

n

δ(t−nT) =r(0)δ_t soit, dans le domaine fr´equentiel :

br(f)∗ 1 T

X

n

δ f− n

T

=r(0) soit,

X

n

rb f− n

T

=T r(0)

1

(65)

Choix le plus simple :

R(f) =T r(0)Rect_1/T(f) =

1 , si|f| ≤ _2T¹ 0 , sinon On a alors,

r(t) =r(0)sinc t

T

(66)

Inconv´ enients des filtres de Nyquist

A l’instant d’´echantillonnage exactt=kT, on a r(kT) =sinc(kT) = 0 , mboxet r(0) = 0 c’est-`a-dire, D_max= 0.

Mais, si l’instant d’échantillonnage est nettement moins précis à la réception :t=kT +ε, avecε6= 0, alors,

(67)

Application : Critère et Filtre de Nyquist Filtre en cosinus surélevé

4 Filtrage adapt´e

(68)

Filtre en cosinus sur´ elev´ e

Sia_k+1=−a_k, alors, X

n

a_nr(t−nT) doit s’annuler entrekT et (k+ 1)T,

le cas optimal ´etant : X

n

a_nr(t−nT) = 0 pourt= k+¹₂ T

1`ere solution :r k+¹₂ T

= 0 =⇒ r(t) =sinc 2πt

T

2`eme solution : On impose

(69)

De cette fa¸con, on a, ent= k+¹₂ T











si ak+1=−a_k , r(0)

2 −r(0) 2 = 0 si a_k+1=a_k , ±

r(0)

2 + r(0) 2

=±r(0)

La fonction r(t) =

sinc

2πt T

+ 1

2sinc 2π

T

t+T 2

+1

2sinc 2π

T

t−T 2

(70)

avec la fonction cosinus cardinal : cosc(x) = cosx 1−x²

=⇒On a alors une d´ecroissance en 1

n² (etX

n

1

n² <+∞) Dans le domaine fr´equentiel, fonction de trnasfert associ´ee est :

R(f) = T r(0)

2 [1 + cos(πf T)] , |f| ≤ 1 T

(71)

Application : Critère et Filtre de Nyquist Filtre en racine de cosinus surélevé

4 Filtrage adapt´e

(72)

Filtre en racine de cosinus sur´ elev´ e

Problème :r(t) ainsi calculé est la R.I. globale du système, r(t) =h(t)∗h(−t)

−→D´etermination de h(t)? R(f) = T r(0)

2 [1 + cos(πf T)] =T r(0) cos² πf T

2

=⇒H(f) =p

T r(0) cos πf T

2

(73)

La transform´ee de Fourier inverse donne alors la R.I.

h(t) =

pT r(0) 2

sinc

2t T −1

2

+sinc 2t

T +1 2

soit aussi,

h(t) = 2 π

pT r(0)cosc 2t

T

(74)

Filtre en cosinus surélevé avec coefficient de retombée

4 Filtrage adapt´e

(75)

Filtre de Nyquist :R0(f) Filtre en cosinus sur´elev´e : R1(f)

(76)

On remarque que pourα= 1, on a r(t) =sinc

πt T

cosc

πt T

=rO(t)

=⇒R(f) =R0(f)∗C(f) avec,C(f) =T.F.

cosc

πt T

= πT

2 cos (πf T)Rect_1/T(f) On remplace alorsC(f) par 1

C f

,

(77)

En temporel, on a alors,

αt

πt

αt