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Texte intégral

(1)

Ontogénèse des

arbres construits par attachement préférentiel

Igor Kortchemski (travail avec N. Curien, T. Duquesne & I. Manolescu)

CNRS & CMAP, École polytechnique

Journée de lancement ANR GRAAL, Bordeaux, juin 2015

(2)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Plan

I. Influence de la condition initiale

II. Limites d’échelle via les « arbres à boucles » III. = I. + II.

IV. Autres « arbres à boucles »

(3)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Plan

I. Influence de la condition initiale

II. Limites d’échelle via les « arbres à boucles » III. = I. + II.

IV. Autres « arbres à boucles »

(4)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Arbres construits par attachement préférentiel

(5)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Arbres construits par attachement préférentiel

Soit (Tn(S))n>k une suite d’arbres aléatoires construits récursivement comme suit :

I Tk(S) = S est un arbre avec k sommets (la condition initiale),

I pour tout n > k, Tn+1(S) est obtenu à partir de Tn(S) en rajoutant une arête à un sommet de Tn(S)

choisi au hasard proportionnellement à son degré.

Il s’agit du modèle d’attachement préférentiel (Szymánski ’87 ; Albert & Barabási ’99 ; Bollobás, Riordan, Spencer & Tusnády ’01).

(6)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Arbres construits par attachement préférentiel

Soit (Tn(S))n>k une suite d’arbres aléatoires construits récursivement comme suit :

I Tk(S) = S est un arbre avec k sommets (la condition initiale),

I pour tout n > k, Tn+1(S) est obtenu à partir de Tn(S) en rajoutant une arête à un sommet de Tn(S)

choisi au hasard proportionnellement à son degré.

Il s’agit du modèle d’attachement préférentiel (Szymánski ’87 ; Albert & Barabási ’99 ; Bollobás, Riordan, Spencer & Tusnády ’01).

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Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Arbres construits par attachement préférentiel

Soit (Tn(S))n>k une suite d’arbres aléatoires construits récursivement comme suit :

I Tk(S) = S est un arbre avec k sommets (la condition initiale),

I pour tout n > k, Tn+1(S) est obtenu à partir de Tn(S) en rajoutant une arête à un sommet de Tn(S)

choisi au hasard proportionnellement à son degré.

Il s’agit du modèle d’attachement préférentiel (Szymánski ’87 ; Albert & Barabási ’99 ; Bollobás, Riordan, Spencer & Tusnády ’01).

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Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Arbres construits par attachement préférentiel

Soit (Tn(S))n>k une suite d’arbres aléatoires construits récursivement comme suit :

I Tk(S) = S est un arbre avec k sommets (la condition initiale),

I pour tout n > k, Tn+1(S) est obtenu à partir de Tn(S) en rajoutant une arête à un sommet de Tn(S) choisi au hasard

proportionnellement à son degré.

Il s’agit du modèle d’attachement préférentiel (Szymánski ’87 ; Albert & Barabási ’99 ; Bollobás, Riordan, Spencer & Tusnády ’01).

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Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Arbres construits par attachement préférentiel

Soit (Tn(S))n>k une suite d’arbres aléatoires construits récursivement comme suit :

I Tk(S) = S est un arbre avec k sommets (la condition initiale),

I pour tout n > k, Tn+1(S) est obtenu à partir de Tn(S) en rajoutant une arête à un sommet de Tn(S) choisi au hasard proportionnellement à son degré.

Il s’agit du modèle d’attachement préférentiel (Szymánski ’87 ; Albert & Barabási ’99 ; Bollobás, Riordan, Spencer & Tusnády ’01).

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Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Arbres construits par attachement préférentiel

Soit (Tn(S))n>k une suite d’arbres aléatoires construits récursivement comme suit :

I Tk(S) = S est un arbre avec k sommets (la condition initiale),

I pour tout n > k, Tn+1(S) est obtenu à partir de Tn(S) en rajoutant une arête à un sommet de Tn(S) choisi au hasard proportionnellement à son degré.

Il s’agit du modèle d’attachement préférentiel (Szymánski ’87 ; Albert &

Barabási ’99 ; Bollobás, Riordan, Spencer & Tusnády ’01).

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Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Influence de la condition initiale

(12)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Question (Bubeck, Mossel & Rácz) : Quelle est l’influence de l’arbre initial ?

Asymptotiquement, peut-on reconnaître différentes conditions initiales ?

(13)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Question (Bubeck, Mossel & Rácz) : Quelle est l’influence de l’arbre initial ? Asymptotiquement, peut-on reconnaître différentes conditions initiales ?

(14)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Quatre simulations de Tn(S1) for n = 5000 :

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Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Quatre simulations de Tn(S2) for n = 5000 :

(16)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Referendum

Quatre simulations de Tn(S1), Tn(S2) for n = 5000 :

A-t-on S1 = S2 ?

(17)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Referendum

Quatre simulations de Tn(S1), Tn(S2) for n = 5000 :

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Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Referendum

Quatre simulations de Tn(S1), Tn(S2) for n = 5000 :

S1 S2

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Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Quatre simulations de Tn(S10) for n = 5000 :

(20)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Quatre simulations de Tn(S20) for n = 5000 :

(21)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Referendum

Quatre simulations de Tn(S10), Tn(S20) for n = 5000 :

A-t-on S10 = S20 ?

(22)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Referendum

Quatre simulations de Tn(S10), Tn(S20) for n = 5000 :

(23)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Referendum

Quatre simulations de Tn(S10), Tn(S20) for n = 5000 :

S’1 S’2

A-t-on S0 = S0 ?

(24)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Influence de l’arbre initial

Si S1 et S2 sont des arbres finis, on pose d(S1, S2) = lim

n!1 dTV(Tn(S1), Tn(S2)),

où dT V est la distance en variation totale entre des variables aléatoires à valeurs dans l’espace des arbres finis

(dT V(X, Y) = supA |P(X 2 A) - P(Y 2 A)|).

Proposition (Bubeck, Mossel & Rácz ’14)

La fonction d est une pseudo-métrique.

Conjecture (Bubeck, Mossel & Rácz ’14)

La fonction d est une métrique sur l’ensemble des arbres à au moins 3 sommets. Bubeck, Mossel & Rácz ont montré ce résultat quand S1 et S2 n’ont pas la

même suite de degrés en étudiant le comportement du degré maximal de Tn(S). La conjecture est vraie.

Théorème (Curien, Duquesne, K. & Manolescu ’14).

(25)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Influence de l’arbre initial

Si S1 et S2 sont des arbres finis, on pose d(S1, S2) = lim

n!1 dTV(Tn(S1), Tn(S2)),

où dT V est la distance en variation totale entre des variables aléatoires à valeurs dans l’espace des arbres finis (dT V(X, Y) = supA |P(X 2 A) - P(Y 2 A)|).

Proposition (Bubeck, Mossel & Rácz ’14)

La fonction d est une pseudo-métrique.

Conjecture (Bubeck, Mossel & Rácz ’14)

La fonction d est une métrique sur l’ensemble des arbres à au moins 3 sommets. Bubeck, Mossel & Rácz ont montré ce résultat quand S1 et S2 n’ont pas la

même suite de degrés en étudiant le comportement du degré maximal de Tn(S). La conjecture est vraie.

Théorème (Curien, Duquesne, K. & Manolescu ’14).

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Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Influence de l’arbre initial

Si S1 et S2 sont des arbres finis, on pose d(S1, S2) = lim

n!1 dTV(Tn(S1), Tn(S2)),

où dT V est la distance en variation totale entre des variables aléatoires à valeurs dans l’espace des arbres finis (dT V(X, Y) = supA |P(X 2 A) - P(Y 2 A)|).

Proposition (Bubeck, Mossel & Rácz ’14)

La fonction d est une pseudo-métrique.

Conjecture (Bubeck, Mossel & Rácz ’14)

La fonction d est une métrique sur l’ensemble des arbres à au moins 3 sommets. Bubeck, Mossel & Rácz ont montré ce résultat quand S1 et S2 n’ont pas la

même suite de degrés en étudiant le comportement du degré maximal de Tn(S). La conjecture est vraie.

Théorème (Curien, Duquesne, K. & Manolescu ’14).

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Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Influence de l’arbre initial

Si S1 et S2 sont des arbres finis, on pose d(S1, S2) = lim

n!1 dTV(Tn(S1), Tn(S2)),

où dT V est la distance en variation totale entre des variables aléatoires à valeurs dans l’espace des arbres finis (dT V(X, Y) = supA |P(X 2 A) - P(Y 2 A)|).

Proposition (Bubeck, Mossel & Rácz ’14)

La fonction d est une pseudo-métrique.

Conjecture (Bubeck, Mossel & Rácz ’14)

La fonction d est une métrique sur l’ensemble des arbres à au moins 3 sommets.

Bubeck, Mossel & Rácz ont montré ce résultat quand S1 et S2 n’ont pas la même suite de degrés en étudiant le comportement du degré maximal de Tn(S).

La conjecture est vraie.

Théorème (Curien, Duquesne, K. & Manolescu ’14).

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Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Influence de l’arbre initial

Si S1 et S2 sont des arbres finis, on pose d(S1, S2) = lim

n!1 dTV(Tn(S1), Tn(S2)),

où dT V est la distance en variation totale entre des variables aléatoires à valeurs dans l’espace des arbres finis (dT V(X, Y) = supA |P(X 2 A) - P(Y 2 A)|).

Proposition (Bubeck, Mossel & Rácz ’14)

La fonction d est une pseudo-métrique.

Conjecture (Bubeck, Mossel & Rácz ’14)

La fonction d est une métrique sur l’ensemble des arbres à au moins 3 sommets.

Bubeck, Mossel & Rácz ont montré ce résultat quand S1 et S2 n’ont pas la même suite de degrés en étudiant le comportement du degré maximal de Tn(S).

La conjecture est vraie.

Théorème (Curien, Duquesne, K. & Manolescu ’14).

(29)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Influence de l’arbre initial

Si S1 et S2 sont des arbres finis, on pose d(S1, S2) = lim

n!1 dTV(Tn(S1), Tn(S2)),

où dT V est la distance en variation totale entre des variables aléatoires à valeurs dans l’espace des arbres finis (dT V(X, Y) = supA |P(X 2 A) - P(Y 2 A)|).

Proposition (Bubeck, Mossel & Rácz ’14)

La fonction d est une pseudo-métrique.

Conjecture (Bubeck, Mossel & Rácz ’14)

La fonction d est une métrique sur l’ensemble des arbres à au moins 3 sommets.

Bubeck, Mossel & Rácz ont montré ce résultat quand S1 et S2 n’ont pas la même suite de degrés en étudiant le comportement du degré maximal de Tn(S).

La conjecture est vraie.

Théorème (Curien, Duquesne, K. & Manolescu ’14).

(30)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Arbres plans construits par attachement préférentiel

Soit (Tn(S))n>k une suite d’arbres plans construits récursivement comme suit :

I Tk(S) = S est un arbre plan avec k sommets,

I pour tout n > k, Tn+1(S) est obtenu à partir de Tn(S) en ajoutant une arête à l’intérieur d’un coin de Tn(S)

choisi uniformément au hasard.

y La structure de graphe de Tn(S) est celle des arbres construits par attachement préférentiel.

(31)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Arbres plans construits par attachement préférentiel

Soit (Tn(S))n>k une suite d’arbres plans construits récursivement comme suit :

I Tk(S) = S est un arbre plan avec k sommets,

I pour tout n > k, Tn+1(S) est obtenu à partir de Tn(S) en ajoutant une arête à l’intérieur d’un coin de Tn(S)

choisi uniformément au hasard.

y La structure de graphe de Tn(S) est celle des arbres construits par attachement préférentiel.

(32)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Arbres plans construits par attachement préférentiel

Soit (Tn(S))n>k une suite d’arbres plans construits récursivement comme suit :

I Tk(S) = S est un arbre plan avec k sommets,

I pour tout n > k, Tn+1(S) est obtenu à partir de Tn(S) en ajoutant une arête à l’intérieur d’un coin de Tn(S)

choisi uniformément au hasard.

y La structure de graphe de Tn(S) est celle des arbres construits par attachement préférentiel.

S

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Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Arbres plans construits par attachement préférentiel

Soit (Tn(S))n>k une suite d’arbres plans construits récursivement comme suit :

I Tk(S) = S est un arbre plan avec k sommets,

I pour tout n > k, Tn+1(S) est obtenu à partir de Tn(S) en ajoutant une arête à l’intérieur d’un coin de Tn(S) choisi uniformément au hasard.

y La structure de graphe de Tn(S) est celle des arbres construits par attachement préférentiel.

S

(34)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Arbres plans construits par attachement préférentiel

Soit (Tn(S))n>k une suite d’arbres plans construits récursivement comme suit :

I Tk(S) = S est un arbre plan avec k sommets,

I pour tout n > k, Tn+1(S) est obtenu à partir de Tn(S) en ajoutant une arête à l’intérieur d’un coin de Tn(S) choisi uniformément au hasard.

y La structure de graphe de Tn(S) est celle des arbres construits par

(35)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Nos observables : plongements de sapins de Noël

Un sapin de Noël ⌧ est un arbre ⌧ dont les sommets sont étiquetés par des entiers strictement positifs (`(u), u 2 ⌧).

On interprète les étiquettes comme

`(u) flèches indistingables pointant vers chaque sommet u 2 ⌧.

Si T est un arbre plan, on note D(T) le nombre de plongements décorés de ⌧ dans T.

C-à-d D(T) est le nombre de manières de plonger ⌧ dans T de sorte que chaque flèche pointant vers un sommet de ⌧ est associée à un coin de T

adjacent au sommet correspondant (des flèches différentes sont nécessairement associées à des coins différents).

2 2

1 1

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Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Nos observables : plongements de sapins de Noël

Un sapin de Noël ⌧ est un arbre ⌧ dont les sommets sont étiquetés par des entiers strictement positifs (`(u), u 2 ⌧). On interprète les étiquettes comme

`(u) flèches indistingables pointant vers chaque sommet u 2 ⌧.

Si T est un arbre plan, on note D(T) le nombre de plongements décorés de ⌧ dans T.

C-à-d D(T) est le nombre de manières de plonger ⌧ dans T de sorte que chaque flèche pointant vers un sommet de ⌧ est associée à un coin de T

adjacent au sommet correspondant (des flèches différentes sont nécessairement associées à des coins différents).

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Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Nos observables : plongements de sapins de Noël

Un sapin de Noël ⌧ est un arbre ⌧ dont les sommets sont étiquetés par des entiers strictement positifs (`(u), u 2 ⌧). On interprète les étiquettes comme

`(u) flèches indistingables pointant vers chaque sommet u 2 ⌧.

Si T est un arbre plan, on note D(T) le nombre de plongements décorés de ⌧ dans T.

C-à-d D(T) est le nombre de manières de plonger ⌧ dans T de sorte que chaque flèche pointant vers un sommet de ⌧ est associée à un coin de T

adjacent au sommet correspondant (des flèches différentes sont nécessairement associées à des coins différents).

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Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Nos observables : plongements de sapins de Noël

Un sapin de Noël ⌧ est un arbre ⌧ dont les sommets sont étiquetés par des entiers strictement positifs (`(u), u 2 ⌧). On interprète les étiquettes comme

`(u) flèches indistingables pointant vers chaque sommet u 2 ⌧.

Si T est un arbre plan, on note D(T) le nombre de plongements décorés de ⌧ dans T.

C-à-d D(T) est le nombre de manières de plonger ⌧ dans T de sorte que chaque flèche pointant vers un sommet de ⌧ est associée à un coin de T

adjacent au sommet correspondant (des flèches différentes sont nécessairement associées à des coins différents).

(39)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Nos observables : plongements de sapins de Noël

Il existe un ordre partiel 4 sur l’ensemble des sapins de Noël

, tel que pour chaque sapin ⌧, il existe des constantes {cn(⌧, ⌧0) : ⌧0 4 ⌧, n > 2} telles que, pour tout arbre plan initial S,

M(S) (n) = X

04

cn(⌧, ⌧0) · D0(Tn(S))

est une martingale bornée dans L2.

Proposition.

Preuve de la conjecture, c-à-d lim

n!1

d

TV

(T

n(S1)

, T

n(S2)

) > 0 .

Si S1 6= S2, il existe un sapin de Noël ⌧ et n0 tels que E h

M(S 1)(n0)i

6

= E h

M(S 2)(n0)i

.

D’où

nlim!1 dTV(Tn(S1), Tn(S2)) > lim inf

n!1 dTV(M(S 1)(n), M(S 2)(n))

> 0.

(40)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Nos observables : plongements de sapins de Noël

Il existe un ordre partiel 4 sur l’ensemble des sapins de Noël, tel que pour chaque sapin ⌧, il existe des constantes {cn(⌧, ⌧0) : ⌧0 4 ⌧, n > 2} telles que, pour tout arbre plan initial S,

M(S) (n) = X

04

cn(⌧, ⌧0) · D0(Tn(S))

est une martingale bornée dans L2.

Proposition.

Preuve de la conjecture, c-à-d lim

n!1

d

TV

(T

n(S1)

, T

n(S2)

) > 0 .

Si S1 6= S2, il existe un sapin de Noël ⌧ et n0 tels que E h

M(S 1)(n0)i

6

= E h

M(S 2)(n0)i

.

D’où

nlim!1 dTV(Tn(S1), Tn(S2)) > lim inf

n!1 dTV(M(S 1)(n), M(S 2)(n))

> 0.

(41)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Nos observables : plongements de sapins de Noël

Il existe un ordre partiel 4 sur l’ensemble des sapins de Noël, tel que pour chaque sapin ⌧, il existe des constantes {cn(⌧, ⌧0) : ⌧0 4 ⌧, n > 2} telles que, pour tout arbre plan initial S,

M(S) (n) = X

04

cn(⌧, ⌧0) · D0(Tn(S))

est une martingale

bornée dans L2.

Proposition.

Preuve de la conjecture, c-à-d lim

n!1

d

TV

(T

n(S1)

, T

n(S2)

) > 0 .

Si S1 6= S2, il existe un sapin de Noël ⌧ et n0 tels que E h

M(S 1)(n0)i

6

= E h

M(S 2)(n0)i

.

D’où

nlim!1 dTV(Tn(S1), Tn(S2)) > lim inf

n!1 dTV(M(S 1)(n), M(S 2)(n))

> 0.

(42)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Nos observables : plongements de sapins de Noël

Il existe un ordre partiel 4 sur l’ensemble des sapins de Noël, tel que pour chaque sapin ⌧, il existe des constantes {cn(⌧, ⌧0) : ⌧0 4 ⌧, n > 2} telles que, pour tout arbre plan initial S,

M(S) (n) = X

04

cn(⌧, ⌧0) · D0(Tn(S))

est une martingale bornée dans L2. Proposition.

Preuve de la conjecture, c-à-d lim

n!1

d

TV

(T

n(S1)

, T

n(S2)

) > 0 .

Si S1 6= S2, il existe un sapin de Noël ⌧ et n0 tels que E h

M(S 1)(n0)i

6

= E h

M(S 2)(n0)i

.

D’où

nlim!1 dTV(Tn(S1), Tn(S2)) > lim inf

n!1 dTV(M(S 1)(n), M(S 2)(n))

> 0.

(43)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Nos observables : plongements de sapins de Noël

Il existe un ordre partiel 4 sur l’ensemble des sapins de Noël, tel que pour chaque sapin ⌧, il existe des constantes {cn(⌧, ⌧0) : ⌧0 4 ⌧, n > 2} telles que, pour tout arbre plan initial S,

M(S) (n) = X

04

cn(⌧, ⌧0) · D0(Tn(S))

est une martingale bornée dans L2. Proposition.

Preuve de la conjecture, c-à-d lim

n!1

d

TV

(T

n(S1)

, T

n(S2)

) > 0 .

Si S1 6= S2, il existe un sapin de Noël ⌧ et n0 tels que E h

M(S 1)(n0)i

6

= E h

M(S 2)(n0)i

.

D’où

nlim!1 dTV(Tn(S1), Tn(S2)) > lim inf

n!1 dTV(M(S 1)(n), M(S 2)(n))

> 0.

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Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Nos observables : plongements de sapins de Noël

Il existe un ordre partiel 4 sur l’ensemble des sapins de Noël, tel que pour chaque sapin ⌧, il existe des constantes {cn(⌧, ⌧0) : ⌧0 4 ⌧, n > 2} telles que, pour tout arbre plan initial S,

M(S) (n) = X

04

cn(⌧, ⌧0) · D0(Tn(S))

est une martingale bornée dans L2. Proposition.

Preuve de la conjecture, c-à-d lim

n!1

d

TV

(T

n(S1)

, T

n(S2)

) > 0 .

SihS 6= S , il existe un sapin de Noëli h i ⌧ et n tels que

D’où

nlim!1 dTV(Tn(S1), Tn(S2)) > lim inf

n!1 dTV(M(S 1)(n), M(S 2)(n))

> 0.

(45)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Nos observables : plongements de sapins de Noël

Il existe un ordre partiel 4 sur l’ensemble des sapins de Noël, tel que pour chaque sapin ⌧, il existe des constantes {cn(⌧, ⌧0) : ⌧0 4 ⌧, n > 2} telles que, pour tout arbre plan initial S,

M(S) (n) = X

04

cn(⌧, ⌧0) · D0(Tn(S))

est une martingale bornée dans L2. Proposition.

Preuve de la conjecture, c-à-d lim

n!1

d

TV

(T

n(S1)

, T

n(S2)

) > 0 .

Si S1 6= S2, il existe un sapin de Noël ⌧ et n0 tels que E h

M(S 1)(n0)i

6

= E h

M(S 2)(n0)i

. D’où

> 0.

(46)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Nos observables : plongements de sapins de Noël

Il existe un ordre partiel 4 sur l’ensemble des sapins de Noël, tel que pour chaque sapin ⌧, il existe des constantes {cn(⌧, ⌧0) : ⌧0 4 ⌧, n > 2} telles que, pour tout arbre plan initial S,

M(S) (n) = X

04

cn(⌧, ⌧0) · D0(Tn(S))

est une martingale bornée dans L2. Proposition.

Preuve de la conjecture, c-à-d lim

n!1

d

TV

(T

n(S1)

, T

n(S2)

) > 0 .

SihS 6= S , il existe un sapin de Noëli h i ⌧ et n tels que

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Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

I. Influence de la condition initiale

II. Limites d’échelle via les « arbres à boucles »

III. = I. +II.

IV. Autres « arbres à boucles »

(48)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

y Question. Est-ce que la suite (Tn(S)) admet une limite d’échelle ?

Il est connu que le diamètre de Tn(S) est de l’ordre de log(n) : Est-ce que

1

log(n) · Tn(S)

converge vers un espace métrique compact limite en loi pour la topologie de Gromov–Hausdorff ?

(49)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

y Question. Est-ce que la suite (Tn(S)) admet une limite d’échelle ? Il est connu que le diamètre de Tn(S) est de l’ordre de log(n) :

Est-ce que 1

log(n) · Tn(S)

converge vers un espace métrique compact limite en loi pour la topologie de Gromov–Hausdorff ?

(50)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

y Question. Est-ce que la suite (Tn(S)) admet une limite d’échelle ? Il est connu que le diamètre de Tn(S) est de l’ordre de log(n) : Est-ce que

1

log(n) · Tn(S) converge vers un espace métrique compact limite

en loi pour la topologie de Gromov–Hausdorff ?

(51)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

y Question. Est-ce que la suite (Tn(S)) admet une limite d’échelle ? Il est connu que le diamètre de Tn(S) est de l’ordre de log(n) : Est-ce que

1

log(n) · Tn(S)

converge vers un espace métrique compact limite en loi pour la topologie de Gromov–Hausdorff ?

(52)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

La distance de Gromov–Hausdorff

Soient X, Y deux espaces métriques compacts.

La distance de Gromov–Hausdorff entre X et Y est l’infimum des distances de Hausdorff entre tous les plongements isométriques possibles de X et Y dans un même espace métrique Z.

(53)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

La distance de Gromov–Hausdorff

Soient X, Y deux espaces métriques compacts.

La distance de Gromov–Hausdorff entre X et Y est l’infimum des distances de Hausdorff entre tous les plongements isométriques possibles de X et Y dans un

X Z Y

(54)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

y Question. Est-ce que la suite (Tn(S)) admet une limite d’échelle ? Il est connu que le diamètre de Tn(S) est de l’ordre de log(n) : Est-ce que

1

log(n) · Tn(S)

converge vers un espace métrique compact limite en loi pour la topologie de Gromov–Hausdorff ?

y Réponse : non.

(55)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

y Question. Est-ce que la suite (Tn(S)) admet une limite d’échelle ? Il est connu que le diamètre de Tn(S) est de l’ordre de log(n) : Est-ce que

1

log(n) · Tn(S)

converge vers un espace métrique compact limite en loi pour la topologie de Gromov–Hausdorff ?

y Réponse : non.

(56)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Arbres à boucles discrets

Si ⌧ est un arbre plan, on définit Loop(⌧) comme le graphe obtenu à partir de ⌧

en remplaçant chaque sommet u par une boucle avec deg(u) sommets, puis en collant ces boucles suivant la structure d’arbre de ⌧.

On voit Loop(⌧) comme un espace métrique compact.

y Très grossièrement, un arbre à boucles code la structure géométrique des sommets de grands degré de l’arbre.

(57)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Arbres à boucles discrets

Si ⌧ est un arbre plan, on définit Loop(⌧) comme le graphe obtenu à partir de ⌧ en remplaçant chaque sommet u par une boucle avec deg(u) sommets,

puis en collant ces boucles suivant la structure d’arbre de ⌧.

On voit Loop(⌧) comme un espace métrique compact.

y Très grossièrement, un arbre à boucles code la structure géométrique des sommets de grands degré de l’arbre.

(58)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Arbres à boucles discrets

Si ⌧ est un arbre plan, on définit Loop(⌧) comme le graphe obtenu à partir de ⌧ en remplaçant chaque sommet u par une boucle avec deg(u) sommets,

puis en collant ces boucles suivant la structure d’arbre de ⌧.

On voit Loop(⌧) comme un espace métrique compact.

y Très grossièrement, un arbre à boucles code la structure géométrique des sommets de grands degré de l’arbre.

(59)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Arbres à boucles discrets

Si ⌧ est un arbre plan, on définit Loop(⌧) comme le graphe obtenu à partir de ⌧ en remplaçant chaque sommet u par une boucle avec deg(u) sommets,

puis en collant ces boucles suivant la structure d’arbre de ⌧.

On voit Loop(⌧) comme un espace métrique compact.

y Très grossièrement, un arbre à boucles code la structure géométrique des sommets de grands degré de l’arbre.

a

b c

d(a,b)=2; d(a,c)=3; d(b,c)=3

(60)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Arbres à boucles discrets

Si ⌧ est un arbre plan, on définit Loop(⌧) comme le graphe obtenu à partir de ⌧ en remplaçant chaque sommet u par une boucle avec deg(u) sommets,

puis en collant ces boucles suivant la structure d’arbre de ⌧.

(61)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Limites d’échelle

Soit S un arbre plan. Il existe un espace métrique compact L(S) tel que : n-1/2 · Loop(Tn(S)) p.s.!

n!1 L(S),

où la convergence a lieu p.s. pour la topologie de Gromov–Hausdorff.

Presque sûrement, la dimension de Hausdorff de L(S) vaut 2.

Théorème (Curien, Duquesne, K., Manolescu).

Figure: L’arbre à boucles discret d’un grand arbre construit par attachement préférentiel.

(62)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Limites d’échelle

Soit S un arbre plan. Il existe un espace métrique compact L(S) tel que : n-1/2 · Loop(Tn(S)) p.s.!

n!1 L(S),

où la convergence a lieu p.s. pour la topologie de Gromov–Hausdorff.

Presque sûrement, la dimension de Hausdorff de L(S) vaut 2. Théorème (Curien, Duquesne, K., Manolescu).

Figure: L’arbre à boucles discret d’un grand arbre construit par attachement préférentiel.

(63)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Limites d’échelle

Soit S un arbre plan. Il existe un espace métrique compact L(S) tel que : n-1/2 · Loop(Tn(S)) p.s.!

n!1 L(S),

où la convergence a lieu p.s. pour la topologie de Gromov–Hausdorff.

Presque sûrement, la dimension de Hausdorff de L(S) vaut 2. Théorème (Curien, Duquesne, K., Manolescu).

Quand S =( est un arbre plan avec un sommet, L(() est appelé « arbre à boucles brownien ».

Figure: L’arbre à boucles discret d’un grand arbre construit par attachement préférentiel.

(64)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Limites d’échelle

Soit S un arbre plan. Il existe un espace métrique compact L(S) tel que : n-1/2 · Loop(Tn(S)) p.s.!

n!1 L(S),

où la convergence a lieu p.s. pour la topologie de Gromov–Hausdorff.

Presque sûrement, la dimension de Hausdorff de L(S) vaut 2. Théorème (Curien, Duquesne, K., Manolescu).

Quand S =( est un arbre plan avec un sommet, L(() est appelé « arbre à boucles brownien ».

y n1/2 est l’ordre de grandeur du degré maximal de Tn(S).

Figure: L’arbre à boucles discret d’un grand arbre construit par attachement préférentiel.

(65)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Limites d’échelle

Soit S un arbre plan. Il existe un espace métrique compact L(S) tel que : n-1/2 · Loop(Tn(S)) p.s.!

n!1 L(S),

où la convergence a lieu p.s. pour la topologie de Gromov–Hausdorff.

Presque sûrement, la dimension de Hausdorff de L(S) vaut 2. Théorème (Curien, Duquesne, K., Manolescu).

(66)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Qu’est-ce que l’arbre brownien ?

On définit d’abord la fonction de contour d’un arbre plan :

(67)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Qu’est-ce que l’arbre brownien ?

Connaissant la fonction de contour, il est facile de retrouver l’arbre parcollage :

(68)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Qu’est-ce que l’arbre brownien ?

L’arbre brownien Te est obtenu en collant l’excursion brownienne e.

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

(69)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Une simulation de l’arbre brownien

(70)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Construction de l’arbres à boucles brownien

Soit (Xi)i>0 une suite de points i.i.d. uniformes de l’arbre brownien Te.

définit L(() en faisant les identifications suivantes Te : On - X1 avec X0

- pour i > 2, Xi avec Pi, qui est le sommet de Span(Te; X0, X1, . . . , Xi-1) qui est le plus proche de Xi.

Figure: Construction de l’arbre à boucles brownien L(() comme un quotient de l’arbre brownien.

(71)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Construction de l’arbres à boucles brownien

Soit (Xi)i>0 une suite de points i.i.d. uniformes de l’arbre brownien Te. On définit L(() en faisant les identifications suivantes Te :

- X1 avec X0

- pour i > 2, Xi avec Pi, qui est le sommet de Span(Te; X0, X1, . . . , Xi-1) qui est le plus proche de Xi.

Figure: Construction de l’arbre à boucles brownien L(() comme un quotient de l’arbre brownien.

(72)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Construction de l’arbres à boucles brownien

Soit (Xi)i>0 une suite de points i.i.d. uniformes de l’arbre brownien Te. On définit L(() en faisant les identifications suivantes Te :

- X1 avec X0

- pour i > 2, Xi avec Pi, qui est le sommet de Span(Te; X0, X1, . . . , Xi-1) qui est le plus proche de Xi.

Figure: Construction de l’arbre à boucles brownien L(() comme un quotient de l’arbre brownien.

(73)

Influence de la condition initiale Arbres à boucles et attachement préférentiel Extensions et conjectures Autres arbres à boucles ?

Construction de l’arbres à boucles brownien

Soit (Xi)i>0 une suite de points i.i.d. uniformes de l’arbre brownien Te. On définit L(() en faisant les identifications suivantes Te :

- X1 avec X0

- pour i > 2, Xi avec Pi, qui est le sommet de Span(Te; X0, X1, . . . , Xi-1) qui est le plus proche de Xi.

Figure: Construction de l’arbre à boucles brownien L(() comme un quotient de l’arbre brownien.

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