004.42:510.69
КОМПОЗИЦІЙНО-НОМІНАТИВНІ ЛОГІКИ БЕЗКВАНТОРНИХ РІВНІВ С.С. Шкільняк, Д.Б. Волковицький
Досліджено безкванторні композиційно-номінативні логіки часткових квазіарних предикатів. Виділено такі рівні цих логік: реномі- нативний, реномінативний з предикатами слабкої рівності, реномінативний з предикатами строгої рівності, безкванторно-функціо- нальний, безкванторно-функціональний з композицією слабкої рівності, безкванторно-функціональний з композицією строгої рів- ності. Основна увага приділена логікам безкванторно-функціональних рівнів з рівністю. Описано мови та семантичні моделі без- кванторних логік, досліджено їх семантичні властивості, зокрема, властивості відношень логічного наслідку для множин формул.
Ключові слова: безкванторна логіка, предикат, реномінація, суперпозиція, рівність, логічний наслідок.
Исследованы бескванторные композиционно-номинативные логики частичных квазиарных предикатов. Выделены такие уровни этих логик: реноминативный, реноминативный с предикатами слабого равенства, реноминативный с предикатами строгого равен- ства, бескванторно-функциональный, бескванторно-функциональный с композицией слабого равенства, бескванторно-функцио- нальный с композицией строгого равенства. Основное внимание уделено логикам бескванторно-функциональных уровней с равен- ством. Описаны язики и семантические модели бескванторных логик, исследованы их семантические свойства, в частности, свойс- тва отношений логического следствия для множеств формул.
Ключевые слова: бескванторная логика, предикат, реноминация, суперпозиция, равенство, логическое следствие.
Free-quantifier composition nominative logics of partial quasiary predicates are considered. We specify the following levels of these logics:
renominative, renominative with predicates of weak equality, renominative with predicates of strong equality, free-quantifier, free-quantifier with composition of weak equality, free-quantifier with composition of strong equality. The paper is mainly dedicated to investigation of logics of free-quantifier levels with equality. Languages and semantic models of such logics are described, their semantic properties are studied, in particular the properties of relations of logical consequence.
Key words: free-quantifier logic, predicate, renomination, superposition, equality, logical consequence.
Вступ
Апарат математичної логіки є основою сучасних інформаційних і програмних систем, він належить до основних засобів моделювання предметних областей. Для цього зазвичай використовується класична логіка предикатів та базовані на її основі спеціальні логіки (модальні, темпоральні, епістемічні, динамічні, програмні тощо). Водночас класична логіка має (див. [1,2]) низку обмежень, вона недостатньо враховує неповноту, част- ковість, структурованість інформації про предметну область. Це значною мірою ускладнює її використання при розв’язанні задач інформатики й програмування. Таким чином, постає проблема побудови нових логічних фор- малізмів, більше орієнтованих на потреби програмування й моделювання. Концептуальною основою такої по- будови є спільний для логіки й програмування композиційно-номінативний підхід. Логіки, збудовані на його основі, названо композиційно-номінативними (КНЛ). Такі логіки базуються на класах часткових квазіарних відображень, що задаються на номінативних (іменних) даних.
Метою даної роботи є дослідження нових класів КНЛ – безкванторних логік квазіарних предикатів. Такі логіки посідають проміжне становище між пропозиційною та першопорядковими логіками, в них немає компо- зицій квантифікації, характерних для першопорядкових логік. Описано рівні безкванторних логік, розглянуто їх семантичні моделі та мови, досліджено семантичні властивості. Описано композиції суперпозиції та слабкої і строгої рівності, розглянуто нормальні форми термів та формул, наведено властивості відношень логічного на- слідку для множин формул. Такі властивості є семантичною основою побудови для різних класів безквантор- них логік числень секвенційного типу.
Можна виділити такі рівні безкванторних логік квазіарних предикатів:
– реномінативний (РНЛ);
– реномінативний з предикатами слабкої рівності (РНЛР);
– реномінативний з предикатами строгої рівності (РНЛРС);
– безкванторно-функціональний (БКФЛ);
– безкванторно-функціональний з композицією слабкої рівності (БКФЛР);
– безкванторно-функціональний з композицією строгої рівності (БКФЛРС).
Найабстрактнішим з цих рівнів є реномінативний. Реномінативні логіки добре досліджені (див. [1–3]).
Вивчення реномінативних логік з рівністю та безкванторно-функціональних логік започатковано в [4.5], во- но продовжено в даній роботі, особлива увага приділена логікам безкванторно-функціонального рівня з рів- ністю.
В цій роботі будемо вважати, що функції та предикати – часткові однозначні.
Поняття, які в роботі не визначаються, тлумачимо в сенсі [1, 2]. Нагадаємо основні визначення.
V-A-іменна множина (V-A-ІМ) – це однозначна функція d:V→A. Множину всіх V-A-ІМ позначаємо VA.
Функцію asn:VA →2V вводимо так: asn(d) = {v∈V | vaa∈d для деякого a∈A}.
Для V-A-ІМ операцію ||−Х , де X ⊆V , задаємо так: d ||−Х = {vaa∈d | v∉X}. Операцію ∇ накладки V-A-ІМ h на V-A-ІМ d визначаємо так: d h d∇ = ||−asn h( ) ∪h. Операцію реномінації 1
1
,..., ,...,
r n :
n
v v
x x VА→VA задаємо так: 1
1
,..., ,...,
r n( )
n
v v
x x d =d∇[v1ad(x1),...,vnad(xn)].
Замість y1,...,yn зазвичай будемо скорочено писати y. Тоді замість 1
1
,..., ,...,
r n
n
v v
x x також пишемо rvx. Функції вигляду VA→А назвемо V-А-квазіарними функціями. Клас цих функцій позначимо FnA.
Функції вигляду VA→{T,F} назвемо V-А-квазіарними предикатами. Клас цих предикатів позначимо PrA. Область істинності та область хибності V-А-квазіарного предиката P – це множини
) (P
T = {d∈VА | P(d) = T} та F(P)= {d∈VА | P(d)=F}.
Предикат P: VА→{T, F} назвемо:
− неспростовним (частково істинним), якщо F(P)=∅;
− тотожно істинним, якщо T(P)=VА та F(P)=∅;
− виконуваним, якщо T(P)≠∅;
− всюди невизначеним, якщо T(P)= F(P)=∅.
Предикат P: VА →{T,F} еквітонний (монотонний), якщо: P(d)↓ та d⊆d′⇒P(d′)↓=P(d). Предметне ім’я x∈V неістотне для квазіарнoї функції (предиката) g, якщо
) ( )
( 1 2
2
1|| d || g d g d
d −x= −x⇒ = .
1. Композиційні системи логік реномінативних та безкванторно-функціональних рівнів
Семантичною основою КНЛ є композиційні предикатні системи. Для реномінативних логік такі системи мають вигляд (VА, PrA, C), для безкванторно-функціональних – (VА А, FnA∪PrA, C). Тут FnA та PrA – це множини V-А-квазіарних функцій та V-А-квазіарних предикатів, C – множина композицій відповідного рівня.
Будемо розглядати КНЛ, розширені шляхом виділення підмножини U⊆V тотально неістотних пред- метних імен (неістотних для всіх базових функцій та предикатів). Будемо вважати, що така U розв’язна від- носно V .
На рівні РНЛ можна перейменовувати компоненти вхідних даних, що дає змогу ввести композицію рено- мінації. Базовими композиціями РНЛ є логічні зв’язки ¬, ∨ та реномінація Rvx.
Композиція Rvx: PrA→PrA визначається так: для кожного d∈VА маємо R ( )( )vx P d =P(r ( ))vx d . Дамо визначення логічних зв’язок ¬ та ∨ через області істинності й хибності відповідних предикатів:
T(¬P) = F(P); F(¬P) = T(P);
T(P∨Q) = T(P)∪T(Q); F(P∨Q) = F(P)∩F(Q);
Подібним чином можна визначити похідні логічні зв’язки →, &, ↔ (див. [1]).
На рівнях РНЛР та РНЛРС можна ототожнювати й розрізняти значення предметних імен за допомо- гою спеціальних 0-арних композицій – параметризованих за іменами предикатів рівності. Можна розгляда- ти дві різновидності цих предикатів: слабкої (з точністю до визначеності) рівності =xy та строгої (точної) рівності ≡xy.
Предикати =xy та ≡xy задаються їх областями істинності й хибності наступним чином:
T(=xy) = {d∈VA | d(x)↓, d(y)↓ та d(x) = d(y)}, F(=xy) = {d∈VA | d(x)↓, d(y)↓ та d(x) ≠ d(y)};
T(≡xy) = {d∈VA | d(x)↓, d(y)↓ та d(x) = d(y)}∪{d∈VA | d(x)↑ та d(y)↑},
F(≡xy) = {d∈VA | d(x)↓, d(y)↓ та d(x) ≠ d(y)}∪{d∈VA | d(x)↓, d(y)↑ або d(x)↑, d(y)↓}.
Предикати =xy є частковими еквітонними, предикати ≡xy тотальні немонотонні (нееквітонні).
Базовими композиціями РНЛР є ¬, ∨, R ,vx =ху. Базовими композиціями РНЛРС є ¬, ∨, R ,vx ≡ху.
На функціональних рівнях можна формувати нові базові значення для вхідних даних. Це дає змогу ввес- ти композицію суперпозиції. Нехай FА – клас квазіарних функцій вигляду f : VA→R.
Параметрична (n+1)-арна композиція суперпозиції Sv1,...vn :FA×(FnA n) →FA визначається так.
Для кожного d∈VА задаємо
1,...
Sv vn( , ,...,f g1 gn)( )d = f d v( ∇[ 1ag d1( ),...,vnag dn( )]). Розглядатимемо суперпозиції двох типів:
– суперпозиції вигляду (FnA)n+1→FnA функцій у функції (результатом є функція);
– суперпозиції вигляду PrA×(FnA)n→ PrA функцій у предикати (результатом є предикат).
Для роботи з окремими компонентами даних доцільно ввести спеціальні 0-арні композиції – функції де- номінації (розіменування) 'v, де v∈V. Ці функції задаємо так: 'v(d) = d(v).
При наявності функцій деномінації композиції реномінації можна промоделювати за допомогою компо- зицій суперпозиції: для кожної f ∈FnA∪PrA маємо
1 1
1
,..., ,...,
,..., 1
R n( ) S n( , v ,..., v )
n
u u u u
v v f = f ' ' n .
Отримуємо рівень безкванторно-функціональних логік – БКФЛ. Базові композиції БКФЛ: ¬, ∨, S ,x 'v.
На функціональних рівнях з рівністю можна ототожнювати й розрізняти предметні значення, що дає змогу ввести спеціальну композицію рівності. Розглядаємо дві її різновидності: слабкої (з точністю до ви- значеності) рівності = та строгої (точної) рівності ≡. Ці композиції задаються так. Для кожних f,g∈FnA та d∈VА маємо:
= , якщо ( ) , ( ) , ( ) ( ), ( , )( ) , якщо ( ) , ( ) , ( ) ( ), невизначене, якщо ( ) або ( ) ;
T f d g d f d g d
f g d F f d g d f d g d
f d g d
⎧ ↓ ↓ =
=⎪⎨ ↓ ↓ ≠
↑ ↑
⎪⎩
≡( , )( ) , якщо ( ) , ( ) , ( ) ( ) або ( ) , ( ) ; , якщо ( ) , ( ) , ( ) ( ) або ( ) , ( ) або ( ) , ( ) .
T f d g d f d g d f d g d
f g d
F f d g d f d g d f d g d f d g d
⎧ ↓ ↓ = ↑ ↑
= ⎨⎩ ↓ ↓ ≠ ↓ ↑ ↑ ↓
Отже, композиція ≡ в усіх випадках має результатом тотальний предикат.
На функціональних рівнях з рівністю наявність функцій розіменування є цілком природною.
Таким чином, отримуємо рівні БКФЛР та БКФЛРС безкванторно-функціональних логік з рівністю.
Базові композиції БКФЛР: ¬, ∨, S ,x 'v, =. Базові композиції БКФЛРС: ¬, ∨, S ,x 'v, ≡. Властивості композицій реномінації та предикатів рівності розглянуто в [1, 2, 4].
Опишемо властивості композицій суперпозиції та рівності
Теорема 1. Композиції Sv та = зберігають тотальність та еквітонність (монотонність) V-A-квазіарних функцій і предикатів; водночас композиція ≡ еквітонність не зберігає.
Таким чином, на рівні БКФЛРС логіки еквітонних предикатів не розглядаємо.
Розглянемо основні властивості композицій суперпозиції.
S¬) Дистрибутивність суперпозиції щодо ¬: S (v ¬P f, )= ¬S ( , )v P f .
S∨) Дистрибутивність суперпозиції щодо ∨: S (v P Q f∨ , ) S ( , ) S ( , )= v P f ∨ v Q f .
SS) Згортка суперпозицій: (тут ϕ∈FnA∪PrA та введені позначення: u для u1,...,un; t для t1,...,tn ; x для x1,...,xk; r для r1,...,rk; w для w1,...,wk; v для v1,...,vm; s для s1,...,sm):
, , , , ,
Su x(Sx v( , , ), , ) Sϕr s t w = u x v( , ,Sϕ t u x( , , ),r t w1 ...,Su x, ( , , ),Sr t wk u x, ( , , ),...,Ss t w1 u x, ( , , ))s t wm . CN) Згортка імен (тут ϕ∈FnA∪PrA):
1,..., ,
Sx x vm ( , x ,..., x , ) S ( , )ϕ' 1 ' m g = v ϕ g ; зокрема, Sx1,...,xm( , x ,..., x )ϕ' 1 ' m = ϕ. SD) Згорткa неістотних імен для функцій 'x: S ( x, )v ' g ='x за умови { }x∉ v .
SF) Cпрощення для функцій 'x: S ( x, , )x v, ' f g = f ; зокрема, S ( x, )x' f = f . CU) Згортка за неістотним іменем (тут ϕ∈FnA∪PrA):
за умови x неістотне для ϕ маємо S ( , , ) S ( ,, )x v, ϕ f g = v ϕ g , зокрема, S ( , )x ϕ f = ϕ.
Зауважимо, що властивості SS, CN, CU формулюються для квазіарних функцій та предикатів, а власти- вості SD, SF – лише для квазіарних функцій.
Укажемо основні властивості композицій рівності. Вважаємо, що P∈PrA та h,f,f1,...,fn,g,g1,...,gn∈ FnA
∈ .
Rf) (рефлективність) кожний предикат вигляду =(f,f) є неспростовним;
кожний предикат вигляду ≡(f,f) є тотожно істинним.
Sm) (симетричність) для кожного d∈VA маємо =(f,g)(d)= =(g,f)(d) та ≡(f,g)(d)= ≡(g,f)(d); це означає, що предикати ≡(f,g) і ≡(g,f) рівні та предикати =(f,g) і =(g,f) рівні;
Tr) (транзитивність) для кожного d∈VA маємо: якщо =(f,g)(d)=T та =(g,h)(d)=T, то T
d h
f =
=( , )( ) ;
якщо ≡(f,g)(d)=T та ≡(g,h)(d)=T, то ≡(f,h)(d)=T .
Як наслідок маємо: кожний предикат вигляду =(f,g)&=(g,h) →=(f,h) неспростовний;
кожний предикат вигляду ≡(f,g)&≡(g,h)→ ≡(f,h) тотожно істинний (адже він тотальний).
Твердження 1. Якщо ≡(f,g) та ≡(g,h) тотожно істинні, то ≡(f,h) тотожно істинний.
Водночас для композиції = аналогічне твердження невірне.
Приклад. Якщо =(f,g) та =(g,h) неспростовні, то =(f,h) може бути спростовним.
Справді, візьмемо f(d)≠h(d) для деякого d∈VA, та нехай функція g – всюди невизначена.
Наведемо властивості, пов’язані з заміною рівних.
EF) кожний предикат вигляду =(f,g)→=(S ( , , ), S ( , , ))z v, h f r z v, h g r є неспростовним;
кожний предикат вигляду ≡(f,g)→≡(S ( , , ), S ( , , ))z v, h f r z v, h g r є тотожно істинним;
EP) кожний предикат вигляду =(f,g)→(S ( , , )z v, P f r ↔S ( , , ))z v, P g r є неспростовним;
кожний предикат вигляду ≡(f,g)→(S ( , , )z v, P f r ↔S ( , , ))z v, P g r є неспростовним.
Дистрибутивність суперпозиції щодо рівності:
SЕ) S (v =( , ), )f g r = =(S ( , ), S ( , ))v f r v g r ; S (v ≡( , ), )f g r = ≡(S ( , ), S ( , ))v f r v g r .
2. Мови логік безкванторно-функціональних рівнів. Відношення логічного наслідку
На безкванторно-функціональних рівнях композиційна система (А, FnA∪PrA,C) визначає композицій- ну алгебру квазіарних функцій і предикатів (FnA∪PrA,C) та алгебру (алгебраїчну систему) даних (А, FnA∪PrA). Побудова композиційної алгебри дає змогу визначити мову логіки: терми такої алгебри є фор- мулами мови.
Опишемо мову БКФЛ. Алфавіт мови: множини предметних імен (змінних) V та тотально неістотних імен U⊆V; множина Dns={'v|v∈V} деномінаційних символів (ДНС) – імен функцій розіменування; множини Fns та Ps функціональних (ФНС) та предикатних (ПС) символів; множина {¬,∨,Sv,'v} символів базових композицій.
Множину σ = Fns∪Ps назвемо сигнaтурою мови. Множини термів Тr і формул Fr вводимо так.
Т0) Кожний ФНС та кожний ДНС є термом, такі терми – атомарні.
Т1) Нехай τ, t1,...,tn∈Tr; тоді Sv1,...vnτt t1...n∈Tr.
Ф0) Кожний ПС є формулою (атомарною), такі формули – атомарні.
Ф1) Нехай Φ,Ψ∈Fr, t1,...,tn∈Tr; тоді Sv1,...vnΦt t1...n∈Fr, ¬Φ∈Fr, ∨ΦΨ∈Fr.
При зафіксованій множині базових композицій мови БКФЛ істотно відрізняються сигнaтурами. Неістот- ні відмінності – це способи запису термів і формул. Ми використовуємо префіксну форму.
Для бінарних композицій зазвичай використовують не префіксну, а інфіксну форму (див. [1]), коли сим- вол композиції записується між аргументами. Надалі вживаємо інфіксну форму та допоміжні символи – коми й дужки "(" і ")", а також символи похідних композицій &, →, ↔. Не пишемо зайвих дужок, вводячи пріоритет символів композицій: Sv,¬, &, ∨, →, ↔. Подібні скорочені записи також називатимемо термами і формулами.
У випадку БКФЛР множина базових композицій {¬, ∨, Sv,'v, =}. Визначення множини Тr термів таке ж, як для мови БКФЛ. Індуктивне визначення множини Fr формул задається пп. Ф0, Ф1, до якого додаємо:
ФЕ) t,s∈Tr ⇒ =ts∈Fr.
У випадку БКФЛРС множина базових композицій {¬, ∨, S ,x 'v, ≡}. Визначення множини Тr термів таке ж, як для мови БКФЛ. Індуктивне визначення множини Fr формул задається пп. Ф0, Ф1, до якого додаємо:
ФЕS) t,s∈Tr⇒ ≡ts∈Fr.
Замість =ts та ≡ts також писатимемо t=s та t≡s.
Інтерпретуємо мови БКФЛ, БКФЛР, БКФЛРС на відповідних композиційних системах квазіарних функ- цій та предикатів. Символи сигнатури σ = Fns∪Ps позначають (виділяють) базові функції та базові предикати в множинах FnA та PrA, символи 'v позначають відповідні функції деномінації 'v. Для такого позначення задає- мо тотальне однозначне відображення I : Dns∪Fns∪Ps→FnA∪PrA. При цьому I('v)='v для кожного 'v∈Dns, кожне z∈U неістотне для кожного g∈I(σ). Далі продовжимо I до відображення інтерпретації I : Tr∪Fr→FnA∪PrA згідно побудови термів та формул із простіших за допомогою символів композицій:
ІТ) I S( v1,...vnτt t1... ) Sn = v1,...vn( ( ), ( ),..., ( ))I τ I t1 I tn ;
ІΦ) I S( v1,...vnΦt t1... ) Sn = v1,...vn( ( ), ( ),..., ( ))I Φ I t1 I tn ; I(¬Φ) = ¬(I(Φ)), I(∨ΦΨ) = ∨(I(Φ), I(Ψ)).
У випадках мови БКФЛР та мови БКФЛРС відповідно додаємо:
IΦЕ) I(t=s =ts) = =(I(t), I(s)).
IΦS) I(t≡s) = ≡(I(t), I(s)).
Трійку J = (CS, σ, I) назвемо інтерпретацією мови БКФЛ (БКФЛР, БКФЛРС) сигнатури σ.
Cкорочено інтерпретації мови також позначаємо як (A, σ, I) чи (A, I).
Функцію I(t), яка є значенням терма t при інтерпретації J, позначаємо tJ.
Предикат I(Φ), який є значенням формули Φ при інтерпретації J, позначаємо ΦJ.
Ім’я x∈V неістотне для термa t, якщо при кожній інтерпретації J ім’я x неістотне для функції tJ.
Ім’я x∈V неістотне для формули Φ, якщо при кожній інтерпретації J ім’я x неістотне для предиката ΦJ. Формула Φ виконувана при інтерпретації J, якщо предикат ΦJ – виконуваний. Формула Φ виконувана, якщо Φ виконувана при деякій інтерпретації J.
Формула Φ неспростовна (частково істинна) при інтерпретації J, що позначаємо J|=Φ, якщо предикат ΦJ – неспростовний. Формула Φ неспростовна, що позначаємо |=Φ, якщо J|=Φ при кожній інтерпретації J.
Формула Φ тотожно істинна при інтерпретації J, що позначаємо J=idΦ, якщо предикат ΦJ – тотожно істинний. Формула Φ тотожно істинна, що позначаємо =idΦ, якщо J =idΦ при кожній інтерпретації J.
Поняття тотожно істинної формули змістовне лише для БКФЛРС, тому що їх побудова неможлива без використання ≡. Зокрема, =idt≡t та =idt≡s↔s≡t. Водночас:
Твердження 2. У випадках БКФЛ та БКФЛР множина тотожно істинних формул порожня.
Справді, розглянемо таку інтерпретацію J, на якій кожний ПС інтерпретується як всюди невизначений предикат, а кожний ФНС інтерпретується як всюди невизначена функція.
На множині формул можна ввести [2,6] низку відношень логічного наслідку. Спочатку задаємо відно- шення наслідку між двома множинами формул при фіксованій інтерпретації J. Нехай Γ⊆Fr, Δ⊆Fr. Введемо позначення T( J)
Φ∈ΓI Φ як T∧(ΓJ), F( J)
Ψ∈ΔI Ψ як F∧ΔJ), T( J)
Ψ∈ΔU Ψ як T∨(ΔJ), F( J)
Φ∈ΓU Φ як F∨(ΓJ).
Δ є IR-наслідком Γ при J (позн. ΓJ=ID Δ), якщо T∧(ΓJ)∩F∧(ΔJ)=∅.
Δ є T-наслідком Γ при J (позн. ΓJ=TΔ), якщо T∧(ΓJ)⊆T∨(ΔJ).
Δ є F-наслідком Γ при J (позн. ΓJ=F Δ), якщо F∧(ΔJ)⊆F∨(ΓJ).
Δ є TF-наслідком Γ при J (позн. ΓJ=TFΔ), якщо T∧(ΓJ)⊆T∨(ΔJ) та F∧(ΔJ)⊆F∨(ΓJ).
Відповідні відношення логічного наслідку визначаємо за схемою: Γ=*Δ, якщо ΓJ=*Δ для кожної J.
Твердження 3. Маємо такі співвідношення: =TF = =T ∩=F ; =TF ⊂=T⊂ =IR, =TF ⊂ =F⊂ =IR . Окремим випадком розглянутих відношень для множин формул є відповідні відношення для пари фор- мул: відношення наслідку при фіксованій J та відношення логічного наслідку; для них вводимо традиційні поз- начення ΦJ=*Ψ та ΦJ=*Ψ, де Φ,Ψ∈Fr.
Відношення логічного наслідку для пари формул індукують відношення логічної еквівалентності.
Відношення еквівалентності при інтерпретації J визначаємо за схемою: Φ J∼∗ Ψ, якщоΦJ=*Ψ та Φ
=
ΨJ * . Відношення логічної еквівалентності ∼IR, ∼T, ∼F, ∼TF визначаємо за схемою: Φ∼∗ Ψ, якщо Φ=*Ψ та Φ
= Ψ * .
Із визначень випливає: Φ∼∗ Ψ ⇔ Φ J∼∗ Ψ для кожної інтерпретації J.
Властивості описаних вище відношень вивчались в [1,2]. Зокрема, зазначимо, що відношення логічного наслідку для пар формул рефлексивні й транзитивні; відношення логічної еквівалентності рефлексивні, тран- зитивні й симетричні; відношення логічного наслідку для множин рефлексивні та нетразитивні.
Особливу роль мають відношення =IR та ∼IR , вони традиційно позначаються [1] як = та ∼. Це пов’язано з тим фактом, що логічні зв’язки → та ↔ узгоджуються з відношеннями =IR та ∼IR :
Ψ
=
Φ IR ⇔ = Φ→Ψ; Φ∼IR Ψ ⇔ |=Φ↔Ψ.
Важливим є також відношення J ∼TF : Φ J∼TF Ψ ⇔ T(ΦJ)=T(ΨJ) та F(ΦJ)=F(ΨJ) ⇔ ΦJ =ΨJ. Розглянемо співвідношення між =idΦ→Ψ і Φ= Ψ
TF та між =idΦ↔Ψ і Φ∼TF Ψ. Для БКФЛ та БКФЛР множина тотожно істинних формул порожня (твердження 2), проте для БКФЛРС це питання нетривіальне.
Теорема 2. 1) =idΦ→Ψ ⇒ Φ= Ψ
TF , водночас зворотне невірне;
2) =idΦ↔Ψ ⇒ Φ∼TF Ψ, водночас зворотне невірне.
Доводимо п. 1. =idΦ→Ψ ⇔ для кожних J=(A, I) маємо F(ΦJ)∪T(ΨJ)=VA. Звідси, враховуючи диз’юнктність множини та її доповнення, із F(ΦJ)∪T(ΨJ)=VA, маємо T(Ψ ⊆J) F(ΦJ) та F(Φ ⊆J) T(ΨJ).
Враховуючи F(ΦJ)∩T(ΨJ)=∅ та F(ΨJ)∩T(ΨJ)=∅, отримуємо F(Ψ ⊆J) T(ΨJ) та T(Φ ⊆J) F(ΦJ). Звідси F(Ψ ⊆J) F(ΦJ) та T(ΦJ)⊆T(ΨJ), що дає ΦJ=TFΨ. Це вірно для кожної J, звідки Φ=TFΨ. Отже,
Ψ
= Φ
⇒ Ψ
→ Φ
=id TF .
Водночас зворотне невірне: завжди маємо Φ=TFΦ, проте =idΦ→Φ вимагає, щоб для кожної J преди- кат Φ→ΦJ, тобто ¬Φ∨ΦJ, був тотальним, звідки для кожної J предикат ΦJ має бути тотальним. Така ситу- ація можлива для БКФЛРС, проте неможлива для БКФЛ та БКФЛР.
Доводимо п. 2. =idΦ↔Ψ⇔ для кожних J=(A, I) та d∈VA маємо (Φ↔Ψ)J(d)=T ⇔ для кожних J=(A, I) та d∈VA маємо ΦJ(d)↓=ΨJ(d)↓. Тепер Φ∼TF Ψ ⇔ для кожних J=(A, I) та d∈VA маємо
↓ Ψ
↓=
ΦJ(d) J(d) або ΦJ(d)↑ та ΨJ(d)↑. Отже, =idΦ↔Ψ⇒Φ∼TF Ψ. Водночас зворотне невірне: завжди Φ∼TF Φ, проте =idΦ↔Φ вимагає тотальності предиката Φ↔ΦJ для кожної J. Це можливо для БКФЛРС, не- можливо для БКФЛ і БКФЛР.
3. Семантичні властивості логік безкванторно-функціональних рівнів
Виділення тим чи іншим способом (див. [1, 2]) множини U⊆V тотально неістотних предметних імен дає змогу визначити для кожного терма чи формули ϕ множину ν(ϕ) імен, які гарантовано неістотні.
Для кожного g∈Fns∪Ps маємо ν(g) = U. Для кожного 'x∈Dns задамо ν('x) = V\{x}. Далі задаємо:
1,...
(Sx xn t t1... )n
ν τ =(ν(τ)∪{x1,...,xn})∩
{ | ( )} ( )
i
i v ti
∉ν τI ν ; ν(Sx1,...xnΦt t1... )n =(ν(Φ)∪{x1,...,xn})∩
{ | ( )} ( )
i
i v ti
∉ν ΦI ν ; ν(t=s) = ν(t)∩ν(s); ν(t≡s) = ν(t)∩ν(s); ν(¬Φ) = ν(Ф); ν(∨ΦΨ) = ν(Φ)∩ν(Ψ).
Теорема 3 (див. [1]). х∈ν(τ) ⇒ х неістотне для термa τ; х∈ν(Φ) ⇒ х неістотне для формули Φ.
Семантичні властивості формул індуковані відповідними властивостями композицій та записуються ана- логічно, але замість рівності предикатів фігурує строга еквівалентність формул, які позначають ці предикати.
S¬) Sv(¬Φ, )t TF ¬Sv( , )Φ t ;
S∨) Sv(Φ ∨ Ψ, )t TF Sv( , )Φ t ∨Sv( , )Ψ t .
SSФ) Згортка суперпозицій для формул (тут позначення: u для u1,...,un; t для t1,...,tn; x для x1,...,xk; r для r1,...,rk; w для w1,...,wk; v для v1,...,vm; s для s1,...,sm):
, , , , ,
( ( , , ), , ) ( , , ( , , ),1
u x x v u x v u x
S S Φ r s t w TF S Φ t S r t w ...,Su x, ( , , ),r t w Sk u x, ( , , ),...,s t w1 Su x, ( , , ))s t wm . CNФ) Згортка імен для формул: Sx v, ( , , )Φ'x t TF Sv( , )Φ t ; зокрема, Sx( , )Φ'x TF Φ.
СUФ) Згортка за неістотним іменем для формул:
, ( , , ) ( , )
x v v
S Φ s t TF S Φ t , якщо x неістотне для Φ; зокрема, Sx( , )Φt TF Φ, якщо x неістотне для Φ. Властивості SS, CN, CU для функцій та властивості SD, SF, які формулюються лише для функцій, у ви- падку БКФЛ індукують відповідні властивості нормалізації термів у формулах, які подаємо у вигляді ї теореми:
Теорема 4. Нехай формула Ψ отримана з формули Φ заміною деяких входжень термів:
rpSS) Su x, (Sx v, ( , , ), , )τr s t w на Su x v, , ( , ,τ t Su x, ( , , ),r t w1 ...,Su x, ( , , ),r t w Sk u x, ( , , ),...,s t w1 Su x, ( , , ));s t wm rpCN) Sx v, ( , , ) на ( , )τ'x t Sv τt , зокрема, Sx( , ) на τ'x τ;
rpCU) Sx v, ( , , )τt t на Sv( , )τt , якщо x неістотне для τ; зокрема, Sx( , ) на τt τ, якщо x неістотне для τ.
rpSD) S 'x tv( , ) на 'x за умовиx∉{ }v ;
rpSF) Sx v, ( , , )'x τt на τ, зокрема, S 'xx( , ) на τ τ. Тоді Φ ∼TF Ψ.
Основою еквівалентних перетворень формул є теорема еквівалентності:
Теорема 5. Нехай Φ′ отримано з формули Φ заміною деяких входжень Φ1,...,Φn на Ψ1,...,Ψn. 1) Якщо Φ1∼TF Ψ1,...,Φn ∼TF Ψn, то Φ ∼ Φ′ (тут ∼ – одне з відношень ∼T, ∼F, ∼TF, ∼IR).
2) Якщо Φ1∼IR Ψ1,...,Φn ∼IR Ψn, то Φ ∼IR Φ′. Для відношень ∼T та ∼F теорема 5 невірна (див. [2]).
Для множин формул подібне твердження – це теорема заміни еквівалентних (=– одне з =T, =F , =TF,
=IR):
Теорема 6. 1) Нехай Φ∼TF Ψ, тоді Φ,Γ|=Δ ⇔ Ψ,Γ|=Δ та Γ|=Δ,Φ⇔ Γ|=Δ,Ψ.
2) Нехай Φ∼IR Ψ, тоді Φ,Γ
=IRΔ ⇔ Ψ,Γ
=IRΔ та Γ
=IRΔ,Φ⇔ Γ
=IRΔ,Ψ.
Властивості рівності. Спочатку розглянемо властивості, пов’язані з композицією слабкої рівності.
RfW) =t=t;
SmW) =t=s↔s=t ; це можна подати так: t=s IR s=t; більше того, маємо t=s∼TF s=t; TrW) =t=s&s=r→t=r; це можна подати так: t=s, s=r =IR t=r;
EF) =t=s→Sv z, ( , , )τr t =Sv z, ( , , )τr s ; це можна подати так: t=s =IR Sv z, ( , , )τr t =Sv z, ( , , )τr s ; EP) =t=s→(Sv z, ( , , )Φ r t ↔Sv z, ( , , ))Φ r s ; це можна подати так: t=s =IR Sv z, ( , , )Φ r t ↔Sv z, ( , , )Φ r s . SЕ) |=S s r tv( = , )↔S s tv( , )=S r tv( , ); це можна подати так: S s r tv( = , ) IRS s tv( , )=S r tv( , ). Властивості кроку нормалізації термів, індуковані властивостям SS, CN, CU, SD, SF для функцій:
ST) |=Su x, (Sx v, ( , , ), , )τr s t w =Su x v, , ( , ,τ t Su x, ( , , ),r t w1 ...,Su x, ( , , ),r t w Sk u x, ( , , ),...,s t w1 Su x, ( , , ));s t wm CNT) |=Sx v, ( , , )τ'x t =Sv( , )τt ; зокрема, |=Sx( , )τ'x = τ;
CUT) за умови x неістотне для τ маємо: |=Sx v, ( , , )τt t =Sv( , )τ t , зокрема, |=Sx( , )τt = τ; SDT) |=S 'x tv( , )='x, де x∉{ }v ;
SFT) |=Sx v, ( , , )'xτ t = τ; зокрема, |=S 'xx( , )τ ≡ τ.
Наведемо властивості, пов’язані з композицією строгої рівнoсті.
RfS) =idt ≡t;
SmS) =idt≡s↔s≡t; TrS) =idt≡s&s≡r→t≡r.
Враховуючи, що t≡s та s≡t завжди інтерпретуються як тотожні предикати, властивості SmS та TrS можна подати так: t≡s∼TF s≡t; t≡s, s≡r
=TFt≡r.
EFS) |=id t≡s→Sv z, ( , , )τr t ≡Sv z, ( , , )τr s ; це можна подати так: t≡s =TF Sv z, ( , , )τr t ≡Sv z, ( , , )τr s . Подібну властивість для формул так подати неможливо, адже формула вигляду Sx( , )Φ t ↔Sx( , )Φ s не завжди інтерпретується як тотальний предикат. Подібним способом можна записати лише ослаблену власти- вість = t≡s →(Sv z, ( , , )Φ r t ↔Sv z, ( , , ))Φ r s , або t≡s
=IR(Sv z, ( , , )Φ r t ↔Sv z, ( , , ))Φ r s Тому EPS формулюємо так:
EPSL) t≡s S, v z, ( , , ) |Φ r t =TF Sv z, ( , , )Φ r s .
