Module Image 2018
mercredi 28 mars,
institut de botanique - 163, rue Auguste Broussonnet
Partie 2
Exemples d’application de la thermographie IR en mécanique des matériaux
B. Wattrisse & A. Chrysochoos
LMGC, UMR 5508, CNRS Université de Montpellier
Modèles thermiques, cinématiques et
mécaniques pour l'interprétation des images
Très bref historique …
1805, Gough, caoutchouc naturel
… 1857, Joule, métaux vs. caoutchouc, μcalorimètre (
a)
… 1900, Charbonnier & Galy Aché, métaux en compression + μcalorimètre
… 1933, Taylor & Quinney, 1933, métaux en torsion μcalorimètre
… 1965, Scanner IR Agema IR Systems
… 1975, J.J. Moreau, P. Germain, N.Q. Son & B. Halphen, MSG/TPI
… 1976, Saix, XC38, flexion, radiomètre (
1)
… 1978, naissance de FLIR
… 1982, LMA, Thèse de P. Brémond, fatigue, fissure, PVC, Aga 780 (
2) 1982, Lemaître & Chaboche, Greco 47 GDE
(1)
(a)
(2)
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2
Très bref état des lieux …
Renouvelé 2 fois !
1992 2003-2014
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3
… bilan incomplet !!
taux d’énergie élastique
w def i = s : e = s r : e + s ir : e
= s r : e + A a . a + d 1
w e i + w s i
d
1: dissipation intrinsèque
w s i : taux d’énergie stockée
Bilan d’énergie … à la sauce mécanique
w e i :
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4
C.1: chaleur spécifique
● Taux d’énergie interne
● Equation de la chaleur
cinématique nécessaire
d
1● Commentaires
r e = rC T + (s r : e + A . a) - ( T s , r T : e + TA , T . a)
= rC T + w e i + w s i - w thc i
C.3: T = ¶ T
¶t + v . ÑT
C.2 : q = -k . gradT
« thc » = thermomechanical couplings
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5
Sources de chaleur
s
e
a
A B
s
e
a
A B
s
e
a
A
B
s
e
a
A
B
A = B
a
e s
A = B
a
e s
(i)
(i) A ≠ B
(iii)
(ii) Boucle d’hystérésis : w
def= A
h( chargement uniaxial) Charge-décharge = cycle thermodynamique
(ii)
A=
B(iii) A = B
w def = s : e
t
At
Bò dt = ò t t
ABd 1 dt + ò t t
AB(r e - rC T + w thc i )dt
w def = d 1
t
At
Bò dt + ò t t
ABw thc i dt
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6
Exemple « élémentaire » de bilan d’énergie
Beaucoup d’aspects matériels, métrologiques,
traitement d’images ont été vus dans la 1
èrepartie du cours
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7
Dispositif expérimental
rayonnement I.R.
détecteur : délivre un signal électrique (V) lié à la puissance rayonnée (W) exitance : flux global émis par la cible par unité de surface (W.m
-2)
… pour une bande passante donnée
Un minimum de radiométrie IR
cible rayonnante détecteur IR
atmosphère
Objectifs : mesurer des températures de surface pour « identifier » les sources
Moyen : caméra IR matricielle
exitance spectrale varie avec T !
Dl=3-5 µm / 4-8 µm / 8-12 µm
( , ) R R T d
D
l= ò ¶ l ¶l l
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8
Cible : corps noir capable d ’ absorber tout rayonnement incident, j, l, (i.e. pas de réflexion, pas de transmission)
revêtement absorbant parfait (*)
Une situation sympa …
[G. Gaussorgues, TEC & DOC, 99]
cavité presque totalement fermée
(*) peinture noir mat … Pub.: 3M velvet coating
Atmosphère : petite distance, air sec, transparent aux IR, transmission parfaite.
(i.e. ce qui est émis par la cible, est reçu par le détecteur)
j
n
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9
Loi de Planck
R
cnT = 300 K
Loi de Stefan-Boltzmann
… où s ’ appliquent directement les lois du rayonnement
R : exitance spectrale, W.m-3 h : Planck, 6,66.1034 J.s
k : Bolzmann, 1,38.1023 J.K-1 c : lumière, 3.108 m.s-1
T : température, K
[G. Gaussorgues]
2 5
( , ) 2
exp(
h) 1
cn
kTc
hc T
R
-l
¶ p l
l =
¶ -
l
cn s 4
R = s T
5 4
2 3 8 2 4
σ
σ
2
15
constante de Stephan
5,6710 . .
s
:
s
k
c h
-W m
-K
-= p =
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10
fraction du rayonnement incident absorbée
fraction du rayonnement incident transmis
fraction du rayonnement
incident réfléchi fraction du rayonnement incident ré-émis
A (l) = e(l)
équilibre « thermodynamique » ...
A (l) + R (l) + T (l) = 1
conservation de l ’ énergie ………..
Cible et environnement quelconques …
… ça se complique un peu !
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11
j : angle observation
émissivité de l ’ eau à l=10 µm Jusqu ’ à 45-50 degré, corps lambertiens … ¶e/¶j 0
Risque faibles : éprouvettes planes axe optique de la caméra + corps gris à forte émissivité (peinture)
émissivité sphère diélectrique
e : émissivité
Rôle de l ’ incidence du rayonnement
( )
cn( ) R
lT R T
D
e
DlModule Image : Modèles thermiques, … Partie 2 ; BW & AC
12
t x
y
Une caméra IR en quelques chiffres
Image : 320240 pixels Codage : 14 bits
Fréq. Acq. : 50 images/seconde Résolution spatiale : 100 µm/pix NETD : 20 mK à l ’ ambiante
Cedip MW (4-8 µm)
NETD : (noise equivalent temperature difference) Différence de Température Equivalente à la valeur efficace du Bruit mesuré sur le thermosignal
S (DL*)
T0 T sensibilité
T0
S T
¶¶
(*) DL : digital level
0
0
std( ) NETD ( )
T
T S
S T
= ¶
¶
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13
Etalonnage : constructeur
-2 scènes thermiques uniformes (F
1et F
2) feuille blanche + main …
- 50 % de la dynamique des capteurs (partie linéaire) - opérations NUC et BPR
Rcn DL
element responses detector
response
high saturation
low saturation S2
ith element response
Φ1 Φ2 si2
S1 si1
i i i
s a = + b a
i= gain b
i= offset
Nb pixels défectueux = 255, soit 0.29%
Tcn = 34 °C
0 50 100 150 200 250 300 0
50 100 150 200
33.965 33.97 33.975 33.98 33.985 33.99 33.995 34 34.005 34.01 34.015
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14
Etalonnage : laboratoire
- nécessité d ’ 1 corps noir plan (20 mK) + 30 k€ (+ 40-120 k€ de caméra !) - stabilité thermique de la caméra (4-5 h) et de la salle d ’ essai …
- étalonnage pixel à pixel (polynôme de degré 5)
- précision 20 mK et plus de remplacement de «bad pixel»
- à refaire dès que l ’ on modifie un paramètre (temps d ’ intégration, taille des images, objectif, …)
Digital level 104
Corps noir
Caméra IR
Calibration pixel à pixel
0
( , ) ( , ) ( , )
p P p
p p
T i j a i j DL i j
=
=
=
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15
Direct estimate of heat sources using noisy and discrete thermal data
Estimate of the partial derivative operators
mono-detector
• thermal data projection onto spectral solutions (1990)
CCD cameras
• convolutive filtering by DFT (2000)
• local l.sq. fitting (2004)
• POD: pre-filtering of thermal fields (1D : 2014 - 2D : 2017)
Main refs:
IJES : 2000
EXP-MECH : 2007 JoMMS : 2010 EXP-MECH : 2014 QIRT : 2017
Heat equation averaged over the thickness of a thin, flat sample
• Image processing has evolved with
the increasing performance of IR cameras
1980-90
2000-18
Heat rate assessments
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16
q w
hcarte des températures 1 « point chaud »
q = 3.5 ° C
carte des sources de chaleur 2 fils chauffés par effet Joule puissance : 3. 10
-2W
Ô temps ! suspend ton vol …
1990, 28 ans déjà !!
caméra Agéma 880, signal vidéo numérisé 2 image/s
IBM 80286
Dos 4.1 , DD 60 Mo NETD : 200 mK
Photo d ’ écran, programmation turbo Pascal
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17
Modèle local 0D : distribution homogène de sources, utilisation de la solution spectrale pour des CL linéaires homogènes ; diffusion = problème différentiel Modèle 1D : intégration dans une section droite , échanges linéaires
Deux autres modèles thermiques bien commodes
Pour q , on prend des thermo - profils moyennés suivant la largeur
1
M i m
jk M m
=IR ijk
q = q
-
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18
Bruit thermique
• spectre de puissance uniforme
• distribution de probabilité gaussienne
0 10 20 30 40
20 0 40 80 60
0.4 0.5 0.6
q (°C)
y (pixel) x (pixel)
Champs discrets et bruités de température
Amplification bruit (D surtout !!)
y
,
x,dt d D
différences finies
Calcul des sources
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19
utilisation de la base spectrale de l’opérateur –Dx,y : expressionde fk(x), gl(y), lk et ml
1 1
, ,
kl( )
k lk l
x y t a t f x g y
= =
q =
-Dx fk(x) = lkfk(x)
-Dy gl(y) = mlgl(y)
Approximation de q
mescalcul des a
klpar projection
calcul du laplacien
Points délicats :
- calcul numérico-analytique des vvp,
- calcul numérique des projections (a
kl) : très long, calcul d ’ intégrales … - méthode limitée au 1D ou 2D stationnaire
Base spectrale et seuillage
Fonctions propres orthogonales
Hyp: existence d ’ une solution spectrale
ap
1 1
, ( )
k l
n n
xy kl k l k l
k l
x y a t f x g y
= =
D q = l + m
ap
1 1
, ( )
k l
n n
kl k l
k l
x y a t f x g y
= =
q =
Module Image : Modèles thermiques, … Partie 2 ; BW & AC
20
signal mesuré : q
mesChoix du filtre
q
filt= TFD
-1(TFD().TFD(q
mes))
= q
mes*
calcul du laplacien
Points délicats :
- choix du filtre : (fréquence de coupure f
c) - périodisation : temps CPU long
TFD :
- Shannon - périodisation
TFD(q
mes)
Filtrage convolutif « passe-bas »
filtr 1 mes
mes
TFD ( ( ).TFD( ))
xy xy
xy -
TFD
D q = q D
= q *D
Module Image : Modèles thermiques, … Partie 2 ; BW & AC
21
Approximation locale du champ de températures
- lissage : q
lis(x=x
0) = a
0x
02+b
0x
0+c
0- dérivation : D
xq
lis(x=x
0) = 2 a
0Points délicats :
- choix des paramètres :
type de fonction d ’ approximation zone d ’ Approximation
Lissages locaux
q
x Z.A.
x
x x
x x
x
0x x
x x
x
x
1q
ap(x)= a
0x
2+b
0x+c
0x
x x
x x
0
x x
x x
x
q
ap(x)= a
1x
2+b
1x+c
1x
11
Module Image : Modèles thermiques, … Partie 2 ; BW & AC
22
Proper Orthogonal Decomposition
… some words
POD applications: model order reduction, turbulence models, data compression, … Hotelling (1933), Karhunen (1946), Loève (1955)
Interest: to approximate a high dimension system by another one of significantly smaller size
to determine a basis of orthogonal modes representative of the “most likely accomplishments”
Thermal images:
where F
p i jcomponents of the POM, eigen “vector” of the “snapshots” matrix
Module Image : Modèles thermiques, … Partie 2 ; BW & AC
23
Benchmark test: a penalizing case
2D heat diffusion problem
(averaged over the thickness)Material of high thermal diffusivity (pure copper : 10
-4m
2/s) Domain :
Noise superimposition (rnd / dq=70 mK) Complex heat source distribution …
High longitudinal heat exchange coefficient ( l
x=170 W/m/K)
Module Image : Modèles thermiques, … Partie 2 ; BW & AC
24
y (px)
x (px)
O
t= 0 t= 0.3 D t = 0.5 D
t = 0.7 D t = 0.9 D t= D
°
-120 40 60 20
40 60 80
-1 0 1 2 3 4 5 6
1 2 3
4 5 6
Heat source fields
cyclique coupling source
Lüders’ band localization
s
the(s
dis)
L(s
dis)
N1 4 6
0.05 aL 3e-3
a
N 6.25e-6p
L 0.25a
N 10-4120
i=24 j=52
Module Image : Modèles thermiques, … Partie 2 ; BW & AC
25
Noisy temperature fields
Peak-to-peak signal noise N
g= 70 mK Regularizing effect of heat diffusion
20 40 60 10
20 30 40 50 60 70
80 -0.2
-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2
2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4
6 6.2 6.4 6.6 6.8 7
8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9
16.5 17 17.5 18 18.5
23.5 24 24.5 25 25.5 (°C)
1 2 3 4 5 6
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26
Lifting of the heat diffusion problem
POD of Ñ s data
Module Image : Modèles thermiques, … Partie 2 ; BW & AC
27
First POMs and components
0 100 200 300 400 500 600 700
-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20
a1 a2 a3 a4 a5
p
( °C )
POD
Module Image : Modèles thermiques, … Partie 2 ; BW & AC
28
Examples of thermo-profile
number of POMs = 14 Ng = 0.07 × (rnd
ij-0.5)
reduction of the noise amplitude curvature preservation
0 20 40 60
-0.2 -0.1 0
3I-3L 3S 3POD
0 20 40 60 80
-0.2 -0.1 0
3I-3L 3S 3POD
(°C) (°C)
Ox (px) Oy (px)
i =24 k =210
j =52 k =210
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+
+ +
+
+ +
+
+ +
+ +
Module Image : Modèles thermiques, … Partie 2 ; BW & AC
29
20 40 60 20
40 60 80
-0.2 -0.1 0
20 40 60
20 40 60 80
-0.2 -0.1 0
20 40 60
20 40 60
80 -0.05
0 0.05
20 40 60
20 40 60 80
# 10-3
-2 -1 0 1
i=24
j=52 k = 210
J
PODJ i
PODD J
POD -2D J i
POD -2Laplacian operator estimates
direct computation
using a finite difference method
«slight» 2D convolutive filtering prior to a finite difference computation
Remember ! High diffusivity Poor SNR
Complex HS Distribution
Module Image : Modèles thermiques, … Partie 2 ; BW & AC
30
(°C.s-1)
20 40 60 20
40 60 80
-1 0 1 2 3 4 5 6
20 40 60 20
40 60 80
-1 0 1 2 3 4 5 6
(°C.s-1)
y (px)
x (px)
O t = 0 t = 0.3 D t = 0.5 D
t = 0.7 D t = 0.9 D t = D
1 2 3
4 5 6
Heat source fields
given reconstructed
filtering induces a slight crushing of thermoprofiles and thus a spreading of sources
loss of part of the HS field due to zero-padding
Module Image : Modèles thermiques, … Partie 2 ; BW & AC
31
10 20 30 40 50 60 0
2 4 6
10 20 30 40 50 60 70 80
0 2 4 6
0.1 D 0.3 D
0.5 D
0.95 D
0.1 D 0.3 D
0.95 D
0.5 D (°C.s-1)
(°C.s-1) i=24
j=52
Heat source profiles
Copper : 10
-4m
2/s Polyamide : 2.10
-7m
2/s
High diffusivity : Slight spreading of HS concentration due to filtering!
Low diffusivity : POD directly used.
Direct estimates using FD!
continuous lines : given sources ; symbols : reconstructed sources
Module Image : Modèles thermiques, … Partie 2 ; BW & AC
32
x (px) 10 30 y (px) 20
40
60 0.14
0.18 0.22 0.26
0.14 0.18 0.22 0.26
# 10-3
-8 -4 0 4 x (px)
10 30
y (px)
20 40 60
0.15 0.2 0.25
0.15 0.2 0.25
# 10-3
-4 -2 0 2 4
silsqh
(°C.s-1) (°C.s-1) (°C.s-1)
Image ♯100
Image ♯300
sipodh dsih
x (px)
10 30
y (px)
20 40
60 0.15
0.2 0.25
0.15 0.2 0.25
# 10-3
-5 0 5
x (px)
10 30
y (px)
20 40
60 0.2
0.22 0.24 0.26
0.2 0.22 0.24 0.26
-0.01 0 0.01
Image ♯600
Image ♯900
LSQ vs. POD
Fatigue test on short glass fiber reinforced PA 6.6
R
s=0.1, f
L=10 Hz
Mean dissipation per cycle LSQ vs. POD : low mismatch!
|δs| ≤ 10
-2° C.s
-1JACKPOT : CPU times ! POD/LSQ ≈ 10
-3!
Data : 60 Go
3 months → 1 hour
PC: Intel Core i7 2.5 GHz processor
RAM: 16 GB
Module Image : Modèles thermiques, … Partie 2 ; BW & AC
33
Thermoélasticité
Thermo-élasto-plasticité des métaux
Pseudoélasticité des AMF
Thermo vs. visco. élasticité (DMA)
Fatigue à grand nombre de cycles des aciers
Effets thermiques, effets dissipatifs et de couplage Exemples illustratifs
Module Image : Modèles thermiques, … Partie 2 ; BW & AC
34
Thermoélasticité
Gough 1805, Joule 1857, Lord Kelvin, 1880 Techniques microcalorimétriques
….
+ de 100 ans après
…
IR thermography
William Thomson Lord Kelvin (1824-1907)
[90-00]
Module Image : Modèles thermiques, … Partie 2 ; BW & AC
35
Matériaux thermo-élasto-plastique
σ
1σ
2σ
3Domaine « élastique »
Frontière plastique
Taylor-Quinney 1933
Ecrouissage
Module Image : Modèles thermiques, … Partie 2 ; BW & AC
36
Pseudo-élasticité des AMF (transformation de phase)
( ° C)
-3
(W.cm
-3)-100 100
q
w
h
a b c d
s
c= F/S (MPa) DL 10
-2m
2 0
25
t (s)
0 125
- Creep of the sample
- Heat diffusion
- localization - propagation - front
Module Image : Modèles thermiques, … Partie 2 ; BW & AC
37
-2 -1 0 1 2 -0.02
0.06 0.02 0
40 80
q (°C)
exx
sxx (MPa)
-2 -1 0 1 2
-0.02 0.06 0.02
0 40 80
q (°C)
exx
sxx (MPa)
-2 -1 0 1 2
-0.02 0.06 0.02
0 40 80
q (°C)
exx
sxx (MPa)
Energy balance for “pseudoelastic” SMA
specimen response (macroscale)
A C
B
A
h1,9 MJ.m
-3
-3def
4,9MJ.m w
C=
A
-3h
28 MJ.m w
C=
A
M def
0,39 R = w A
h
R
T= 0 non dissipative (intrinsically) + isothermal or adiabatic process
R
T= 1 purely dissipative (intrinsically) process without any coupling effect
[S. Vigneron, PhD 09]
strong thermomechanical couplings
CuAlBe
Module Image : Modèles thermiques, … Partie 2 ; BW & AC
38
0 4 8 6 % en 75 s
0 40
e (%)
s
C(M P a )
h
2> h
1j = -h (T-T
0)
2 % en 120 s
0 2 4
0 30
e (%)
s
C(M P a )
h
1Creep due to heat diffusion Inversion of heat flux :
« reverse creep »
Time-dependent behavior
e (%)
s
C(M P a )
0 2 4 6
j< 0
j> 0
0 40
T
0
Effets du temps et de structure dans les AMF
creep + hysteresis ( viscosity !!)
coupling + heat diffusion
Module Image : Modèles thermiques, … Partie 2 ; BW & AC
39
variables d’état ( , )
E
variables d’état (
v)
Couplage thermomélastique (i.e. d
1=0) couplage fort
Processus dissipatif visqueux couplage faible
thE
h
équation rhéologique équation rhéologique
e =
sE
+ l
thq q + q
t
th= - E l
th( T
0+ q) e r
0C
0 í ï î ï
s = E (e - e
v) s = h e
v+ m e
v í ï îï
s + t
ths E e + E t
th 1+ c e s + E m + h s = E Eh + h e + E Em + h e Visco-analyse de polymère (DMA)
Thermo. vs. visco. élasticité
Module Image : Modèles thermiques, … Partie 2 ; BW & AC
40
Effets thermoélastiques : couplage fort
Module Image : Modèles thermiques, … Partie 2 ; BW & AC
41
Effets visqueux : couplage faible
Module Image : Modèles thermiques, … Partie 2 ; BW & AC
42
Comparaison des bilans d’énergie
0 20 40 60 80 100 120 140 160
0 1 2 3 4 5 6 7 8
9x 104 energy balance
time (s)
energy (J/m3)
w
thew
defw
defΔw
the>>Δw
defD = étendues w
d≤ w
defw
the= w
defw
d= w
defw
d6.8×104 J.m-
3
10
610
4Thermoélasticité vs. Viscoélasticité
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Viscoelasticity vs. thermoelastic coupling
Isothermal linear viscoelasticity : J. Alfrey (48), M. Biot (65), F. Sidoroff (70-75) Equivalence of series and parallel models (e.g. P.T. and Z. models)
Introduction of thm couplings …. [S. Moreau, PhD 03] PMMA, PC
PMMA : Zener wins !
200 300
-0.04 -0.02
0 0.02
0.04 (mW.mm-3)
t (s) whi
PC : Poynting Thomson wins !
300 400 500
-0.02 0 0.02
t (s) (mW.mm-3)
whi
hPT
w
h
w
Thermal data
hZ
w
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Fatigue (à GNC) des matériaux HCF test on DP 600 steel
3 ° C within 160 s 0.4 ° C every 1/60 s
d
1rC 0.1°C.s
-1Ds the
rC 75 °C.s -1
σ
2σ
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[Boulanger et al., PhD 2004]
Fatigue à grand nombre de cycles
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Champs (chants ?) de dissipation
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0 200 400 600
0 200 400 600
Blocks
m
i: series of “mini” cycle blocks (3000 cycles) at different stress ranges:
energy balance at “constant fatigue state”
p
i: large blocks (100 000 cycles) at constant stress range:
energy balance evolution induced by fatigue mechanisms highest stress range ≈ fatigue limit
(MPa) Ds
175 MPa 560 MPa m
ip
im
i+1…
…
[Boulanger, PhD 2004]
[Berthel, PhD 2008]
[Blanche, PhD 2012]
Fatigue des aciers
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48
y (mm)
6,9° C/s
0 0.05 0.1
0.15
° C/s
00 12,8
0 0.01
0.02
0.01 0.025
0.04
° C/s
0 0.05 0.1
0.15
° C/s
heterogeneous distribution
similar distribution, whatever Δσ
non linear,
slow time evolution of dissipation
plastic shakedown ? (TQ ratio ≈ 50 % !)
f
L= 30Hz and R
σ= -1
x (m m )
6,9 00
12,8
6,9 00
12,8
6,9 00
12,8
5 .0 0 0 cy c le s
Δσ = 260MPa Δσ = 340MPa Δσ = 512MPa
5 0. 0 00 c yc le s
Propriétés de la dissipation (I)
d 1 µ f L d 1 (Ds)
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Propriétés de la dissipation (II)
Interpretation of curves m
i= dissipation induced by
activated “micro-defects”
at constant fatigue state for different stress ranges p
i= dissipation drift at constant
stress range, reflecting a slow evolution of the
fatigue state
energy safeguard: kinetics of fatigue progress
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Température, 1
èrevariable d’état…
Effet thermique vs. effet calorimétrique Pas totalement intrinsèque
Sources de différentes natures
Source de couplage: thermo-sensibilité du matériau Source dissipative : dégradation matérielle
Comportement dépendant du temps
[d
1(viscosité)] vs. [couplage thm + d
2(diffusion)]
Imagerie mesures de champs
Bilan d’énergie et lois de comportement
Énergie « stockée », source de couplage / lois d’état Énergie dissipée / lois d’évolution
Matériau vs. Structure
Quelques conclusions
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