( A n a l y s e )
]6e a n n i e , 1 9 7 5 / 7 6 .
! S U R L A S T R U C T U R E D E S C O U R A N T S P O S I T I F S F E R M E S
p a r P i e r r e L E L 0 N G
I . - I n t r o d u c t i o n . L ' ~ t u d e d e s c o u r a n t s p o s i t i f s f e r m ~ s
p r e n d u n e c e r t a i n e i m p o r t a n c e d e p u i s q u ' o n s a i t d i s t i n g u e r c e u x d o n t l e s s u p p o r t s s o n t l e s e n s e m b l e s a n a l y t i q u e s c o m p l e x e s . L e r ~ s u l -
t a t le p l u s p r e c i s ( c o m p l g t a n t c e l u i o b t e n u d ' a b o r d p a r J . K I N G [3]) e s t c e l u i d g m o n t r g p a r Y . - T . S I U [5] d a m s l ' a r t i c l e " A n a l y t i c i t y o f s e t s a s s o c i a t e d to L e l o n g n u m b e r s a n d t h e e x t e n s i o n o f c l o s e d p o s i t i v e c u r r e n t s " . II ~ n o n c e : s u r le s u p p o r t ( n o t ~ s u p p t) d ' u n c o u r a n t p o s i t i f f e r m ~ t, l ' e n s e m b l e ~ ( x ) ~ c e s t p o u r t o u t c • 0 u n s o u s - e n s e m b l e a n a l y t i q u e . L ' e x i s t e n c e d ' u n h o m b r e d e n s i t ~ f i n i
e n ] 9 5 7 d a m s [ 4 , a ] e s t u n e p r o p r i ~ t ~ f o n d a m e n t a l e
~ ( x ) g t a b l i e
d e s c o u r a n t s p o s i t i f s f e r m ~ s ; ~ (x) e s t a p p e l ~ le h o m b r e d e L e l o n g d u c o u r a n t t a u p o i n t x d e p u i s le m ~ m o i r e [7]. L e s r g s u l t a t s d e J . K I N G e t d e Y . - T . S I U a p p o r t e n t u n e n o u v e l l e d ~ f i n i t i o n d e s e n s e m - b l e s a n a l y t i q u e s c o m p l e x e s , q u i e s t b i e n a d a p ~ e g l ' e m p l o i d e s m ~ - t h o d e s d e la g ~ o m ~ t r i e d i f f ~ r e n t i e l l e g ~ n ~ r a l i s g e .
T o u t e f o i s l a d ~ m o n s t r a t i o n d e Y . - T . S i u se d g r o u l e e n 103 p a g e s . N o u s d o n n o n s i c i u n e d ~ m o n s t r a t i o n n o u v e l l e , p l u s c o u r t e , q u i d o n n e a u s s i d e s r ~ s u l t a t s n o u v e a u x s u r l a s t r u c t u r e d e s c o u - r a n t s p o s i t i f s f e r m ~ s .
L ' i d ~ e d e d g p a r t ( m a i s q u ' o n n ' a r e m a r q u g e q u ' a p r ~ s c o u p ! ) p e u t - ~ t r e p r g s e n t g e s i m p l e m e n t d a m s le c a s o O t e s t le c o u r a n t d ' i n t g g r a t i o n s u r u n e n s e m b l e a n a l y t i q u e c o m p l e x e M d e c o d i m e n s i o n p d g f i n i d a m s u n d o m a i n e G p s e u d o - c o n v e x e d e C n . Ii e x i s t e e n e f f e t a l o r s n + ] f o n c t i o n s f . ( z ) h o l o m o r p h e s d a m s G q u i d g f i n i s s e n t M
J
c o m m e e n s e m b l e d e s z g r o s c o m m u n s :
M = [ m E G ; f = ( z ) = O , ! ~ j ~ n + 1 ] . J
O n c o n s i d ~ r e a l o r s l a f o n c t i o n p l u r i s o u s h a r m o n i q u e
U =
L e c o u r a n t p o s i t i f f e r m ~ d e t y p e ( 1 , 1 ) d ~ f i n i d a n s G p a r t = i ~ -1 d ' d " U
1
a c o m m e s u p p o r t s i n ~ u l i e r l ' e n s e m b l e a n a l y t i q u e M. Si o n le c o m p a r e a u c o u r a n t d ' i n t ~ g r a t i o n t s u r M q u i e s t u n c o u r a n t p o s i t i f , f e r m i , d e t y p e ( p , p ) o n v o i t q u e t o u s d e u x o n t m ~ m e s u p p o r t s i n g u l i e r . C e t t e c o n s t a t a t i o n s u g g ~ r e u n ~ n o n c ~ g ~ n ~ r a l q u ' o n
~ t a b l i r a i c i : ~ t a n t d o n n g u n c o u r a n t p o s i t i f f e r m ~ d e
t y p e ( p , p ) darts G p s e u d o - c o n v e x e , il e x i s t e u n c o u r a n t p o s i t i f f e r m ~ ( ; , l ) darts G q u i e n t o u t p o i n t x d e G a m ~ m e h o m b r e d e L e l o n g D ( x ) q u e le p r e m i e r . C e r ~ s u l t a t p e r m e t e n p a r t i c u l i e r d ' o b t e n i r - ~ ( x ) c o m m e l i m i t e d ' u n e s u i t e c r o i s s a n t e d e f o n c t i o n s p l u r i s o u s h a r m o n i q u e s s u r t o u t c o m p a c t d e G, q u e l q u e s o i t le t y p e ( p , p ) d u c o u r a n t p o s i t i f f e r m ~ c o n s i d e r S .
2. - U n t h @ o r ~ m e s u r l e s p o t e n t i e l s d e m e s u r e s r ~ g u l i ~ r e s . D a n s ce p a r a g r a p h e , o n c o n s i d ~ r e d e s p o t e n t i e l s d ' u n e m e s u r e p o s i - t i v e ~ , d a n s l ' e s p a e e r ~ e l R q, q 7 2 , e t d e n o y a u x g s ( a , x ) d ~ p e n d a n t d e l ' e n t i e r s, 0 ~ s ~ q - 2 . O n p o s e
(I) 5 g s ( a , x ) = l o g ~a-xll si s = 0
1
g s ( a ' x ) - e s la-xll -so h e s = - I s , gO s ~ t a n t la m e s u r e d e la s p h g r e u n i t ~ d e R s e t ~s s o n v o l u m e . O n
a ~s = 2 ~ s / 2 [ ~ ( s / 2 ) ] - 1
L e s n o y a u x gs sont~ p o u r a f i x ~ , d e s f o n c t i o n s R q - s o u s h a r m o n i -
~ u e s d e x ~ R q. L e l a p l a c i e n ~ g s v a u t s ( q - 2 - s ) c ~a-xll - s - 2 e t e s t
S
u n e f o n c t i o n p o s i t i v e , l o c a l e m e n t s o m m a b l e darts R q p o u r 0 ~ s < q - 2 . Si s = q - 2 , ~ g s se r ~ d u i t a u c o n t r a i r e ~ u n e m e s u r e d e v a l e u r 2 ~ d e s u p p o r t le p o i n t a. O n d ~ s i g n e p a r ~ ( f , x , r ) l a m o y e n n e
s p h E r i q u e d ' u n e f o n c t i o n f s u r la s p h g r e S ( x , r ) d e c e n t r e x, d e r a y o n r. O n a
L E M M E I . - L e s n o y a u x g s ( a , x ) v E r i f i e n t :
[ s s ]
c s s u p - r , - l l a l l ~ X x ( g s , O , r ) < 0 .
gi IIall ~ r , c ' e s t u n e c o n s e q u e n c e d e la p r o p r i E t E d e la m o y e n n e d e s f o n c t i o n s R q - s o u s h a r m o n i q u e s . Si llall ~ r , o n u t i l i s e la s y m a t r i e d e gs p a r r a p p o r t ~ llall e t ~ llx]l= r .
T H E O R E M E 1. - S o i t ~ u n e m e s u r e p o s i t i v e f i n i e d a n s u n d o - m a i n e G ~ R q (q $ 2 ) . O n n o t e ~ - ( x , r ) l a m e s u r e ~ - p o r t E e p a r l a b o u l e c o m p a c t e B ( x , r ) d e c e n t r e x, d e r a y o n r.
O n s u p p o s e q u ' i l e x i s t e u n e n t i e r s, 0 ~ s ~ q - 2 tel q u e p o u r t o u t p o i n t x d ' u n d o m a i n e c o m p a c t G I ~ c G , le q u o t i e n t
~ ( x , r ) = ( I s r S ) - l ~ ( x , r )
s o i t f o n c t i o n c r o i s s a n t e d e r p o u r 0 ~ r 6 ~ (x). A l o r s l e p o t e n t i e l (2) U ( x ) = O--a~ g s ( a , x ) = ~ d ~ ( a ) g s ( a , x )
e s t u n e f o n c t i o n R q - s o u s h a r m o n i q u e d e x et, e n t o u t p o i n t x E G
1
(3) l i m ( l o g r) -l ~ ( U , x , r ) . r = o
e x i s t e e t v a u t la l i m i t e
(4) ~ ( x ) = l i m ~ ( x , r )
r = o
D E m o n s t r a t i o n . O n s u p p o s e x = 0 m G I , o n p o s e ~ ( O , r ) = ~ ( r ) ,
~ ( O , r ) = 9 ( r ) ; o n c h o i s i t R • 0 tel q u e l ' o n a i t ~ ( 0 ) < 9 ( r ) ~ ( 0 ) * E p o u r 0 ~ r $ R .
P a r m i l e s m a s s e s a, o n d i s t i n g u e c e l l l e s q u i v E r i f i e n t [ a l > R ; e l l e s d o n n e n t u n p o t e n t i e l U p ( X ) , q u i e s t c o n t i n u p o u r ~xlI~ ~ ; e l l e s n ' i n t e r v i e n n e n t p a s d a n s le c a l c u l d e l a l i m i t e (3). II s u f f i t d e c o n s i d ~ r e r le p o t e n t i e l U I d e s m a s s e s a v E r i f i a n t k r ~ la] < R et c e l u i , U 2 , d e s m a s s e s a v ~ r i f i a n t l a I < k r e t d e c a l c u l e r (3) e n r e m p l a q a n t U p a r U l + U 2 . D a n s c e p a r t a g e o n c h o i s i r a k a s s e z
g r a n d e t d e t o u t e m a n i g r e k>~ 2 ; o n n e c o n s i d ~ r e r a a l o r s q u e l e s v a l e u r s r, a s s e z p e t i t e s p o u r v ~ r i f i e r k r < R .
P o u r llxll = r , llall>/kr, lla-xll - s d i f f g r e p e u de llall -s. P l u s p r g c i - s ~ m e n t p o u r k >j2, il e x i s t e C ] > 0 t e l q u ' o n a i t
I Ua d-s -
U a l l - S ~ c I k -I o 5 l ' o n a p o s ~ C l = s u p l u [ - ] l ( l - u ) - S - I I pour~ul~ I.Alors g > 0 gtant donn~, on choisit k ~ k o ~ 2 , tel que l'on ait C lk-] < ~ . O n a a l o r s , @', 8" ... d O s i g n a n t d e s n o m b r e s d e m o d u l e i n f ~ r i e u r ~ I :
~ ( U l ' O ' r ) = - Cs(]l+@ g ) ~ k r t -s da-(t)
= - ( I + @ ~ ) s ~ s c s i~ ( t ) d t + sc s @'E •
~r
M a i s c s = ~ -I e n t r a ~ n e s ~ c = i . D ' o 5 :
s s s
= -(I + @g) ( l o g R - l o g kr) [ ~ ( o ) + 8 " 6 ]
~(UI , O , r ) + S C s ~ 1 ~
D ' a u t r e p a r t d ' a p r ~ s le l e m m e l , o n a p o u r le p o t e n t i e l d e s m a s s e s a, v ~ r i f i a n t [ a l ~ k r :
(5) )~(U2,0,r) ~ - C p ' [ p [ ~ ( o ) + 6 ] E l + s l o g k ] .
F i n a l e m e n t o n a , k ~ t a n t f i x ~ a i n s i q u ' i l a ~ t ~ d i t et p o u r r < R k -] •
X ( U , O , r ) (| + @ 6 ) ~I~(o) + @ " ~ 3 + ( l o g r) -l S l o g r
o 5 S e s t u n e q u a n t i t ~ q u i ne d e p e n d p a s d e r. A i n s i , £ ~ t a n t a r b i - t r a i r e , la l i m i t e (3) e x i s t e et v a u t %)(o), p o u r x = O, ce q u i ~ t a b l i t l ' ~ n o n c ~ .
3. - L ' ~ n o n c ~ p r 6 c ~ d e n t c o n d u i t a u r ~ s u l t a t a n n o n c ~ p o u r l e s c o u r a n t s p o s i t i f s ferm~is :
T H E O R E M E 2. - E t a n t d o n n ~ u n c o u r a n t t p o s i t i f , f e r m i , d e t y p e ( k , k ) ~ (k = n - p ) d a n s u n d o m a i n e G p s e u d o - c o n v e x e b o r n ~ d e C n, il e x i s t e u n c o u r a n t p o s i t i f f e r m ~ tl, d e t y p e ( l , ] ) q u i , e n t o u t p o i n t x ~ G a m ~ m e n o m b r e d e L e l o n g ~ ( x ) q u e t.
O n p a r t i r a d e l a m e s u r e t r a c e ~ = t ~ _~p d u c o u r a n t t. O n p o s e
i Zdzj
A , p rq)
|
~ = = et o n r a p p e l l e f 4 , q u e p o u r x
d o n n ~ d a n s G, le p r o d u i t
i d "
[[ Z-X I[
)PI) x = t A ( ~ d' log
d ~ f i n i t d ' a p r ~ s le t h ~ o r ~ m e de m u l t i p l i c a t i o n d e s c o u r a n t s p o s i t i f s par les f o r m e s p o s i t i v e s (;,;) (cf. [4,a] ) u n e m e s u r e l ) ~ d e n s i t ~ d a n s C n - { ~ x . E l l e se p r o l o n g e ~ t o u t C n p a r l ' a d d i t i o n d ' u n e m e s u r e p o n c t u e l l e en x de v a l e u r n o t ~ e ~ ( x ) jan l i e u de ~ x ( X ) ] et qui v a u t :
(6) ~ ( x ) = l i m ~ ( x , r )
r = o ~2p r2P
Le q u o t i e n t qui f i g u r e au s e c o n d m e m b r e de (6) est f o n c t i o n c r o i s s a n t e de r ; sa l i m i t e p o u r r = 0 d ~ f i n i t le h o m b r e de L e l o n g
~ ( x ) du c o u r a n t t au p o i n t x. P a r c o n s t r u c t i o n ~ ( x ) est f o n c t i o n s e m i - c o n t i n u e s u p ~ r i e u r e m e n t de x. On n o t e ~ ( x , r ) la m e s u r e ~ ( a i n s i p r o l o n g ~ e en x) p o r t ~ e p a r la b o u l e B ( x , r ) ; e l l e est g g a l e au q u o - t i e n t q u i f i g u r e au s e c o n d m e m b r e de (6). L e s h y p o t h e s e s du t h ~ o r ~ m e l
c o n c e r n a n t ~- s o n t a i n s i v 6 r i f i 6 e s . D ' a u t r e p a r t c o n s i d g r o n s , c o m m e le f a i t H . S k o d a d a n s [6, a, p. 4 0 1 ] u n e s u i t e G. d ' o u v e r t s c r o i s s a n t s
J
~ p u i s a n t G. On d g f i n i t G. = [z ~ G ; ~ ( z ) > 2 -j ] o~ ~ ( z ) est j
la d i s t a n c e de z ~ G g la f r o n t i ~ r e bG. S o i t
i - " ] l
G. = [ z ~ G ; ~(z) > 2 J ( ~ + ~) j • E n f i n s o i t ~ u n e f o n c t i o n C ~ , p o s i - t i v e , g s u p p o r t la b o u l e u n i t ~ et d ' i n t ~ g r a l e ~ g a l e ~ I. S o i t
~j ( z ) = 2 - n ( j + 2 ) ~ ~ [ 2 J + 2 ( z - x ) ] d x
~ j est C ~ , ~j (z) = i sur G et est n u l l e darts le c o m p l 6 m e n t a i r e 3 3
de G J + l "
On c o n s i d ~ r e la p a r t i t i o n de l ' u n i t g d ~ f i n i e darts G p a r ~] = ~ I '
~2 = ~2 - ~] "'" ~j = ~j - ~ j - I et ~j = ~ j + 2 et l ' o n f o r m e
(7) U ( z ) 7 - ~ Uj (z)
I
o~ Uj (z) = f g p ( a , z ) ~ l j ( a ) d ~ ( a ) , et ~j = ~ j + 2
L o r s q u e z a p p a r t f e n t au s u p p o r t de ~ j , e t a au s u p p o r t de d " ~ j , on a llz - all~2-J-2 ; U ( z ) a a l o r s un d ~ f a u t de p l u r i s o u s -
~2U.
3 = H ( U , k )
h a r m o n i c i t ~ m e s u r 8 p a r la f o r m e ~ Z s ~ t ~s it
O n a d ' a p r ~ s [ 6 , a , p. 4 0 2 ] : H ( U , ~ ) ~ - C ( p , n ) I~12 [ ~ ( z ~ - 2 p - 2 ~ d ~ ( a ) . if(a)>¼ ~(z) II e x i s t e a l o r s u n e f o n c t i o n C ~ , s t r i c t e m e n t p l u r i s o u s h a r m o n i q u e , u ( z ) , d a n s G q u i t e n d v e r s + ~ q u a n d z t e n d v e r s la f r o n t i 6 r e bG.
C e t t e f o n c t i o n p e u t ~ t r e c o n s t r u i t e d e m a n i @ r e g v 6 r i f i e r
~ ( z ) > - l o g ~ ( z ) , o ~ ~(z) e s t l a d i s t a n c e d e z ~ G ~ b G , ( c f . [ 2 ] , p. 4 8 ) . S o i t t ( z ) = u ( z ) + IIzll 2 et h ( t ) u n e f o n c t i o n c o n v e x e c r o i s s a n t e , C ~ d e t p o u r - ~ 4t 4 + ~ . A l o r s si l ' o n p o s e
= + 2 ] . o t ( z )
o n a
Ii s u f f i t d o n c de p r e n d r e
h ' ( t ) = C ( p , n ) e x p [ ( 2 p + 2 ) t . ~ ( x ) ~ ¼ e -t ]
o N ~ [ ] d ~ s i g n e la m e s u r e p o s i t i v e ~- p o r t 6 e p a r l ' e n s e m b l e d 6 f i n i e n t r e c r o c h e t s . O n o b t i e n t a l o r s u n e f o n c t i o n W ( z ) q u i e s t C ~ et s t r i c t e m e n t p l u r i s o u s h a r m o n i q u e d a n s G et q u i c o m p e n s e le d ~ f a u t de p l u r i s o u s h a r m o n i c i t ~ H ( U , ~ ) de U.
A l o r s
(8) V ( z ) = U ( z ) + w (z)
e s t p l u r i s o u s h a r m o n i q u e d a n s G d o n c e s t R 2 n - s o u s h a r m o n i q u e . O n a, W 6 t a n t c o n t i n u e :
l i m ( l o g r) -I ~ ( W , O , r ) = O r = o
et W , q u i a s e r v i ~ o b t e n i r u n e f o n c t i o n p l u r i s o u s h a r m o n i q u e , p e u t - ~ t r e n 6 g l i g 6 . D a n s le c a l c u l d e la l i m i t e (3) , il s u f f i t d e t e n i r c o m p t e de U ( z ) d 6 f i n i p a r (7).
U n p o i n t x e G e s t c e n t r e d ' u n e b o u l e B ( x , R ) c o m p a c t e d a n s G, d a n s l a q u e l l e u n n o m b r e f i n i de ~j s e u l e m e n t p r e n n e n t d e s v a l e u r s n o n n u l l e s . D a n s la b o u l e B ( x , R ' ) o~ s = s u p j, R' = i n f ( R , 2 - s - 2 ) les ~j s o n t t o u s de v a l e u r ] , et U ( z ) se d ~ c o m p o s e en U = S I + S 2 o~
S; p r o v i e n t d e s m a s s e s a p o u r l e s q u e l l e s lla - xllK2 - s - 2 , e t S 2 d e
m a s s e s e x t ~ r i e u r e s ~ B ( x , 2 - s - 2 ) ; e n t e n a n t c o m p t e d e ~ _ ~ j = 1,
~ j = ] , o n a S| (z) = f d ~ ' ( a ) g p ( a , z ) o ~ ~ ' e s t la r e s t r i c - t i o n d e ~- ~ B ( x , R ' ) . O n a a l o r s d ' a p r ~ s le t h ~ o r ~ m e |
l i m ( l o g r) -I ~ ( S I , x , r ) = D ( x ) r = o
(9)
q u i e n t r a l n e
l i m ( l o g r) -I ~ ( V , x , r ) = 9 ( x ) . r = o
C o n s i d ~ r o n s a l o r s le c o u r a n t p o s i t i f f e r m ~ (I ,|) d ~ f i n i d a n s G p a r t 1 = i F T - l d ' d " V 2 d d C v , d c _ i (d" - d ' )
4T~
i A v .
O n a ~-' = tl/~ ~n-] = 2--~ ~n
(ou encore~-' = ( 2 ~ ) - I A v a v e c la n o t a t i o n p a r u n e d i s t r i b u t i o n ) . II v i e n t a l o r s p o u r le c a l c u l d e 9 ' ( x ) r e l a t i f a u c o u r a n t t I :
,
I f 1 f ~ r2n-I
o- (x r) = ~ ' /~ d l = 2 W ~ V ( x + r ~ ) d g O 2 n ( ~ )
B ( x , r )
= ( 2 ~ ) - 1 ¢~2n r 2 n - 2 ~ k ( V x , r ) r 2 n - 2 ~ k ( V x , r ) .
~ l o g r ' = ~ 2 n - 2 ~ l o g r '
E n r e m a r q u a n t q u e k ( V , x , r ) e s t f o n c t i o n c o n v e x e c r o i s s a n t e d e l o g r, o n ~ n o n c e r a :
P R O P O S I T I O N I. - P o u r u n c o u r a n t t I = i ~ - I d ' d " V (V p l u r i - s o u s h a r m o n i q u e ) o n a ~ ' ( x ) = l i m ~ ~ ( V , x , r ) = l i m ( l o g r ) - l ~ ( u , x , r ~
r = o a l o g r r = o
Si l ' o n o p ~ r e a i n s i ~ partir d e l a f o n c t i o n V c o n s t r u i t e p a r (8) , o n a d ' a p r ~ s (9) :
~ ' ( x ) = ~(x)
c ' e s t - ~ - d i r e q u e t| e t le c o u r a n t t o n t m ~ m e n o m b r e ~ ( x ) e n t o u t p o i n t d e G, ce q u i a c h ~ v e d ' ~ t a b l i r le t h ~ o r ~ m e 2.
4. - E t u d e d e - ~) (x). L e t h ~ o r ~ m e 2 m o n t r e q u e , ~ t a n t d o n n ~ u n c o u r a n t t, p o s i t i f , f e r m i , d e t y p e ( k , k ) , d a n s u n d o m a i n e G p s e u d o - c o n v e x e , o n p e u t r e p r e s e n t e r s o n n o m b r e ~)(x) ~ p a r t i r d ' u n e f o n c t i o n p l u r i s o u s h a r m o n i q u e V d a n s G p a r
X(V,x,r)
- ~ ( x ) = r=olim ~ - , r < d ( x , b G )
S o i t G ~ C G R d i s t a n c e ~ e d e b G e t M ( G e ) = s u p V ( z ) ~ p o u r z ~ G ~ . O n a :
(]O) - ~ ( x ) = l i m ~ ( l o g I / r ) - I [ ~ ( V , x , r ) - M ( G ~ ) ~ , r < d ( x , b G e) r = o
E n e f f e t l ' o r i g i n e e s t darts R 2 s i t u ~ e d a n s la rfigion c o n v e x e
u = l o g I/r , ~ ( u ) = u - l ~ ( v , x , e - U ) - M ( G )~ ~ O, et la conve-
> ~ ( u ) Y
xit~ du graphe assure que darts (lO) la limite est atteinte par valeurs croissantes.
O n a a ~ n s i ~ t a h l i :
T H ~ O R E M E 3. - S o i t t u n c o u r a n t p o s i t i f f e r m ~ de t y p e ( k , k ) d ~ f i n i darts u n d o m a i n e G p s e u d o - c o n v e x e . A l o r s s u r t o u t c o m p a c t d e G, - ~ ( x ) e s t l i m i t e d ' u n e s u i t e c r o i s s a n t e d e f o n c t i o n s p l u r i s o u s - h a r m o n i q u e s n ~ g a t i v e s d a n s G.
O n v a ~ t u d i e r p l u s p r ~ c i s ~ m e n t le e a s ( l , l ) . P a r le p o i n t x e G f a i s o n s p a s s e r u n e d r o i t e c o m p l e x e L : la r e s t r i c t i o n
V I L = V ( x + u y ) = ~ x , y ( U ) e s t s o u s h a r m o n i q u e ou, ~ v e n t u e l l e m e n t , la c o n s t a n t e - o = ; c e d e r n i e r c a s n ' i n t e r v i e n t q u e p o u r y ~ x ' c S n e p o l a i r e d a n s cn. O n a a l o r s , c o m m e d a n s (lO) :
P R O P O S I T I O N 2 . - S o i t G e c = G e_~t M ( G ~ ) = s u p V ( z ) , z ~ G e . A l o r s p o u r llyll ~ ~ , x G G 2 ~ , r ~ ,posons Reg SUPx f(x) = lim sup f(x') p o u r x' ---~x . O n a
(ll) - ~ ( x , y ) = l i m ~ ( l o g r - l ) -I [ 2 ~ I 2 ~ V ( x + r y e i ~ ) d ~ - M ( G e ) ] Jo
a/ - ~ ( x , y ) e s t d ~ f i n i pour x m g 2 @ , I I Y l I ~ • O n a - ~ ( x , y ) = - ~ si et s e u l e m e n t si V ( x + u y ) m - = o , c ' e m t ~ - d i r e Y ~ x "
b / - ~ ( x , y ) e s t l i m i t e c r o i s s a n t e d e f o n c t i o n s p l u r i s o u s h a r m o n i q u e s d e ( x , y ) , n ~ g a t i v e s .
c/ O n a ~ ( x , y ) ~ ( x ) et R e g S U p y [ - ~ ( x , y ) ~ = - ~ ( x ) et p o u r c h a q u e x ~ G @ , l ' e n s e m b l e d e s y o__~ ~ ( x , y ) e s t s u p 6 r i e u r g ~ ( x ) e s t u n c S n e p o l a i r e d a n s C n.
L ' ~ n o n c ~ a d ~ j a ~ t ~ d o n n ~ e n d i m e n s i o n i n f i n i e d a n s ~ , c I . P o u r ~ t a b l i r c/ o n r e m a r q u e q u e (II) e n t r a T n e ~ ( x , ~ y ) = ~ ( x , y ) d e
q u e R e g S U p y ~ - ~ ( x , y ) ~ e s t u n e
s o r t e f o n c t i o n p l u r i s o u s h a r m o n i q u e
d e y darts C n - ~ O } q u i e s t i n v a r i a n t e p a r l e s h o m o t h ~ t i e s . E l l e se p r o l o n g e ~ t o u t C n et ~ t a n t b o r n ~ e , e s t u n e c o n s t a n t e
O n a ~ ( x , y ) ~ . M a i s d ' a p r ~ s (I0) et (||) la m o y e n n e de ~ ( x , y ) p o u r y p a r c o u r a n t la s p h e r e u n i t E , ~ a u t ~ . D ' o ~ ~ = ~ x).
R a p p e l o n s q u ' o n n o t e
R e g S U P x f ( x ) = l i m s u p f ( x ' ) x I ~ x
L a p r o p o s i t i o n s u i v a n t e e s t i m p o r t a n t e p o u r la s u i t e .
P R O P O S I T I O N 3. - S o i t M l ' e n s e m b l e a n a l y t i q u e z = 0 d a n s n
u n d o m a i n e G d e C n c o n t e n a n t l ' o r i g i n e , et V u n e f o n c t i o n p l u r i s o u s - h a r m o n i q u e d a n s G, 0 = i ~ - ; d ' d " V . O n n o t e ~ u n v e c t e u r u n i t e de C ( Z n ) et p o u r z ' ~ M, o n E c r i t z' + r 4 e i ~ u n p o i n t de G. O n n o t e
~ ( z ' ) la r e s t r i c t i o n de ~ ( z ) ~ M, ~ g t a n t r e l a t i f au c o u r a n t 0 ; o n n o t e D (z', ~ ) , la v a l e u r de Q ( x , y ) d E f i n i N la p r o p o s i t i o n 2,
a u x p o i n t s x = z ' ~ M et y = ~ . A l o r s o n a (;2) l i m i n f ~ ( ~ , ~ ) l i m i n f ~ (~) ~ , z ' ~ M
~ z ' %-->z'
A i n s i e n z ' ~ M , l a r E g u l a r i s E e i n f E r i e u r e s u r M de la restriction de M e s t E g a l e ~ la r E g u l a r i s g e i n f E r i e u r e e n z' de %)(x,~( ) q u a n d x p a r c o u r t M.
D E m o n s t r a t i o n . D ' a p r ~ s la p r o p o s i t i o n 2, o n a 9 ( x ) ~<~)(x,y), c e q u i e n t r a T n e d a n s (]2) q u e le m e m b r e d e g a u c h e s o i t au m o i n s E g a l ~ c e l u i d e d r o i t e . S ' i l le s u r p a s s a i t o n a u r a i t
(]3) l i m i n f ~ ( ~ ' ) = a et ~ ) ( ~ ,=4 ) ~ a+o- , ~ - > 0 p o u r ~ M , l l ~ - z ' l J ~ .
~-~z'
M a i s o n a, e n p o s a n t M ( ~ + r ~ ) = s u p o V ( ~ + r ~ e i ~ ) , ~ m M : l i m ( l o g r) -l 2 ~ i~Tf_9 V ( ~ + r = 4 e i ~ ) d ~ = l i m ( l o g r) -l M ( ~ + r ~ ) .
r = o Jo r = o
S u p p o s o n s V~< 0 ce q u i e s t s a n s i n c o n v e n i e n t et a p p l i q u o n s le l e m m e d e H a r t o g s a u x f o n c t i o n s p l u r i s o u s h a r m o n i q u e s n ~ g a t i v e s :
1 -l
U r ( ~ ) = ( l o g ~-) M ( ~ + r~( ) .
I I e x i s t e ro > 0 tel q u ' o n a i t U ( ~ ) . 4 - (a + g ) p o u r ~ - z' ,,4 ~ r et r >z r o
S o i t ~ u n v e c t e u r u n i t E ~ M , ~ c r i v o n s ~ = =4' +'~¢~, =4'&M, O <-C ~ I. O n a
pourll - z,ll ) , ,
< i n f ( r ° , ~)v( 9 +
4'
D'ofi ~ ( ~ , p ) ~ a + ~ t o u t ~ ~ M. A l o r s d'
F i n a l e m e n t on a lim~__.~im~ ~ ( ~ ) ~ a + ~ , o ~ et z ' ~ M (13) et gtablit l'6nonc6 .
r e l ~ + % ~ r e i ~ ) 4 (a+ ~) (log r + l o g ~ ) . p o u r t o u t ~ M , v6rifiantll ~ - z'l14~ , et a p r ~ s la p r o p o s i t i o n 2, on a
p o u r t o u t ~ ~ M vfirifiamt ~ - z'll ~ )~
ce qui c o n t r e d i t
5. - E t u d e d ' u n e f o n c t i o n p l u r i s o u s h a r m o n i q u e t au v o i s i n a g e d ' u n s o u s - e n s e m b l e a n a l y t i q u e .
R a p p e l o n s le " t h 6 o r ~ m e des f o n c t i o n s i m p l i c i t e s " d o n n 6 d a n a [4,b] .
¢ •
T H E O R E M E 4. - Soit V(zJ, Zn) une f o n c t i o n p l u r i s o u s h a r m o n i q u e d a m s un c y l i n d r e D = [ z ' ~ d ~ C n-I , z m e , z = r e i ~ ] et
L n n n J - -
M ( z ' , r ) = s u p ~ V ( z ' , r e i ~ ) . A l o r s si l ' o n d ~ f i n i t la f o n c t i o n i n v e r - se
[ s u p r, r > O, M ( z ' , r) < m ]
( 1 3 ) g ( z ' , m )
- log g ( z ' , m) eat u n e f o n c t i o n p l u r i s o u s h a r m o n i q u e de z ' ~ d , d 6 - c r o i s s a n t e et c o n v e x e de m et t e n d v ers - ~ q u a n d m - > + ~ .
P l u s p r 6 e i s 6 m e n t si l ' o n d 6 f i m i t p o u r m = - l o g l ~ I , ~ C
~I (z', ~ ) = [ s u p r, r > O, M ( z ' , r ) + l o g l ~ l < O ]
log ~I (z', ~ ) eat p l u r i s o u s h a r m o m i q u e de (z', ~ ) ~ & , o ~ eat le d o m a i n e d 6 f i n i d a m s c m ( z ' ) X C ( ~ ) p o u r z' ~ d, I ~ ] < e - V ( z ' ' ° )
A p p l i q u o n s cet ~ n o n c 6 g u n p r o b l ~ m e p r 6 1 i m i n a i r e . P R O P O S I T I O N 4. - Soit
e y l i m d r e [ z ' ~ d ~ C n-I , Z n ~ ¢]. On p o s e M ( z ' ,r) = s u p ~ A l o r s la l i m i t e
(14) c(z') = l i m ( l o g r ) - 1 M ( z ' , r ) r =
e x i s t e , f i n ~ e o u i n f i n i e p o u r t o u t z ' , e t i l e x i s t e C o ,
t e l q u e l ' o n a i t e ( z ' ) ~ c o p o u r z ' ~ d e t q u e s u r t o u t d o m a i m e d 1 V ( z ' , Zn) p l u r i s o u s h a r m o n i q u e d a n a le
V ( z ' , r e i ~ ) .
o ~ c ° 4 ÷
l ' e n s e m b l e c ( z ' ) < c o s o i t p o l a i r e .
R e m a r q u e - c o e s t le s u p d e s c } O, t e l s q u e l ' e n s e m b l e c ( z ' ) ~ c o s o i t p o l a i r e s u r t o u t d l C ~ d .
D ~ m o n s t r a t i o n . L a l i m i t e (]4) e x i s t e p o u r t o u t z ' ~ d , M ( z ' , r ) ~ t a n t c o n v e x e c r o i s s a n t d e l o g r ; c ( z ~ ) = 0 si et s e u l e m e n t
z') ~ V ( Z o , O ) # - ~ . si l ' o n a V ( Z o , n
O n a c ( z ' ) ) 0 s a u f s u r l ' e n s e m b l e ( p o l a i r e d a n s t o u t d 1 = ~ d ) d e s z ' 4 d o ~ l ' o n a V ( z ' , z n) = V ( z ' , O ) = - ~ q u e l q u e s o i t z n e C.
S o i t d| ¢ = d e t ~ ( d l ) = s u p V ( z ' , p o u r z ' ~ d | , z n A l o r s si l ' o n d ~ f i n i t M ( z ' , r ) = s u p ~ V ( z ' , r e i ~ ) e t ~ ( z ' , m ) p a r (|3) - l o g ~ ( z ' , m ) e s t d ~ f i n i , n ~ g a t i f p o u r z' ~ d] , m ~ A ( d ] ) , et p l u r i - s o u s h a r m o n i q u e d e z ' ~ d! . O n a d ' a p r & s ( | 4 ) :
_ l l o g ~ ( z ' , m )
~ ( z ' ) = c ( z ' ) m=+lim ~ m - A ( d | )
le s e c o n d m e m b r e e s t f o n c t i o n c r o i s s a n t e d e m, d ' a p r ~ s la c o n v e x i t ~ e n m d u n u m ~ r a t e u r ; c ' e s t d ' a p r ~ s le t h ~ o r g m e 4 u n e f o n c t i o n p l u r i - s o u s h a r m o n i q u e d e z ' ~ d I .
E n v i s a g e o n s a l o r s d i v e r s c a s c o m p t e - t e n u d e ~ ( z ' ) ~ 0 : a/ ~ ( z ' ) = R e g . s u p . ~ ( z ' ) m 0 , o n a ~ ( z ' ) = 0 s a u f s u r
N !
u n e n s e m b l e v o l a i r e d a n s t o u t d l ~ ~ d (cf. [ 4 , d et 4 , e l ) . L ' ~ n o n c ~ e s t & t a b l i a v e c c = + ~ .
o
S i n o n ~ m e s t u n e f o n c t i o n p l u r i s o u s h a r m o n i q u e d a n s d e t
m a j o r f i e p a r u n n o m b r e s t r i c t e m e n t n f i g a t i f s u r t o u t d l ~ d .
b / S u p p o s o n s q u ' o n a i t c ( z ' ) ~ 0 p o u r z ' ~ ~ c d I ,
dl ~ ~ d, e t ~ n o n p o l a i r e d a n s d] , a l o r s V ( z ' , z n) = V ( z ' , O ) e s t i n d ~ p e n d a n t d e z n p o u r z ' ~ , c e q u i e n t r a l n e
- l o g ~ ( z ' , m ) = - ~ p o u t z ' & ~ ~ d I d ~ s q u ' o n a m • A ( d l ) . O n a d o n c ~ ( z ' , m ) m + ~ s u r t o u t c o m p a c t d ' = = d p o u r m ? A ( d ' ) , V n e d ~ - p e n d p a s d e z n e t c ( z ' ) ~ 0 , z ' m d.
c/ C o n s i d ~ r o n s l e s e n s e m b l e s e ( h ) = [ z ' ~ d ; c ( z ' ) $ h i . L e s h , 0 < h 4 + ~ , t e l s q u e e ( h ) s o i t n o n p o l a i r e s u r au moins un
d ' = c d f o r m e n t u n e n s e m b l e n o n v i d e et o n t u n e b o r n e i n f ~ r i e u r e c , o O $ c o K + ~ • S o i t e ( h ) p o u r h > c o : e ( h ) e s t n o n p o l a i r e s u r u n d l ~ C d . A l o r s , r e l a t i v e m e n t ~ ce d o m a i n e d 1 ~ c d c o n s t r u i s o n s :
p u i s
W ( z ' , r ) = M < z ' , r ) A ( d l ) - h l o g I Z n l
W ' ( z ' , r ) = s u p [ W ( z ' , r ) , I] p o u r
W ' ( z ' , r ) = I p o u r
z ' ~ d 1 , l Z n l ~ l z ' ~ d I , l Z n l ~ l
~ ( z ' , r ) e s t p l u r i s o u s h a r m o n i q u e d a n s le c y l i n d r e z' ~ d l , z n ~ E. Si o n p o s e
c l ( z ' ) = l i m ( l o g r) r =
-I W ' ( z ' , r )
o,<z') sup[c<z'> -
h,0].
O n a Cl (z') = 0 , p o u r z' &. e ( h ) #%dl , n o n p o l a i r e d a n s d l , d o n c c l ( z ' ) -~ O, z ' ~ d d ' a p r ~ s b / .
O n a d o n c ci (z') ~ h p o u r t o u t h > C o , d o n c c ( z ' ) ~ c o.
D ' a u t r e p a r t l e s e n s e m b l e s c ( z ' ) < h sont polaires sur tout d i ~ d , p o u r h < C o , doric il e n e s t e n c o r e a i n s i d e l ' e n s e m b l e c ( z ' ) < C o , la r ~ u n i o n d ~ n o m - b r a b l e d e t e l s e n s e m b l e s @ t a n t e n c o r e p o l a i r e s u r t o u t d l , ' " d
(cf. [ 4 , d e t 4 , e l ) . L a p r o p o s i t i o n 4 e s t a i n s i ~ t a b l i e .
T H E O R E M E 5 . - S o i t V ( z ' ,z n) p l u r i s o u s h a r m o n i q u e d a n s [z' ~=d, O <IZnl ~ a ] e t
(15) c ( z ' ) = l i m ( l o g I/r) -l M ( z ' , r ) o ~ M ( z ' , r ) = s V ( z ' r e i ~ )
r = o ' - - U p '
A l o r s il e x i s t e u n e c o n s t a n t e Co, - ~ < C o ~<+ oo t e l l e q u ' o n a i t c ( z ' ) 4 c ° e t q u e l ' e n s e m b l e c ( z ' ) < C o , z ' ~ d, s o i t p o l a i r e d a n s t o u t d o m a i n e d ],'~d.
D @ m o n s t r a t i o n . P o u r z' = z' f i x ~ le g r a p h e y = M(Z'o,r) = ~ ( u )
o •
o ~ u = - l o g r, e s t u n e c o u r b e c o n v e x e d @ f i n i e p o u r - l o g a < u < + oo,
Z n 1 -1
= z ' ) = V ( z ' z n)
m a i s n o n d ~ c r o i s s a n t e e n g ~ n ~ r a l . O n p o s e z' V l ( Z ' ' n ' n
e s t plurisou harmonique p o u r z . d , O n p o s o
i i
A = s u p V i ( z ' , Z n ) s u r le c o m p a c t d ~ f i n i p ~ r z ' ~ dl r d, IZnl = 2 a -| , p u i s
~ V 2 ( z ' ,z') = A + I n si z ' ~ d l , I Z n l ~ 2 a - I
L V 2 ( z ,Zn) s u p [ ( A + l ) , V1 ( z ' , Z n ) ] si I Z n l ~ 2 a - ] . A 1 o r s V 2 e s t p l u r i s o u s h a r m o n i q u e d a n s [ Z ' ~ dl , Z n ~ ~ ] e t la p r o p o - s i t i o n 4 s ' a p p l i q u e ; o n a C l ( Z ' ) = s u p [ c 1 ( z ) , O ] = C'o, 0 ~ C o , , < + ~ , l ' e n s e m b l e C l ( Z ' ) KC'o ~ t a n t p o l a i r e s u r t o u t d ' ~ c d . O n a
a l o r s d e u x c a s p o s s i b l e s :
a/ c' o > 0 . Le t h ~ o r ~ m e 5 e s t ~ t a b l i a v e c c o = c' o 7 0 ; c o = i n f h, t e l s q u e c ( z ' ) ~ h s o i t n o n p o l a i r e darts u n d o m a i n e d l r r ' d .
b/ c o = 0 . A l o r s V 2 ( z ' , Z n ) = V 2 ( z ' , O ) e s t m a j o r ~ s u r
t o u t c o m p a c t au v o i s i n a g e de z n = 0 et se p r o l o n g e c o m m e f o n c t i o n p l u - r i s o u s h a r m o n i q u e g t r a v e r s z = O. O n a c ( z ' ) ~ O. O n a c ( z ' ) = - ¢ 0
n
si et s e u l e m e n t si o n a V ( z ' , Z n ) = - = O p o u r t o u t z n , I Z n l < a , et c e l a n ' a r r i v e q u e p o u r z' a p p a r t e n a n t ~ u n e n s e m b l e p o l a i r e d a n s d.
= )
D g f i n i s s o n s a l o r s c o i n f h, h ~ 0 t e l s q u ' i l e x i s t e u n d o - m a i n e d l = ~ d off c ( z ' ) ~ h e s t n o n p o l a i r e . S o i t - ~ > 0 et
V 3 ( z ' ) Z n ) V ( z ' , Z n ) + e ° l o g IZnl o - l o g IZnl .
A l o r s c 2 ( z ' ) c a l c u l g s e l o n (15) , m a i s g p a r t i r de V 3 , a p o u r v a l e u r
(16) c 2 ( z ' ) = s u p ~ c ( z ' ) - c o +o--, 0 ~
O n a ~- = i n f , d e s h t e l s q u e c 2 ( z ' ) < h s o i t n o n p o l a i r e d a n s u n d o m a i n e d i c r - d ; o n a d o n c d ' a p r 8 s a/, c 2 ( z ' ) =~r-, ~-->0, l ' e n s e m b l e c 2 ( z ' ) ~ - ~ t a n t p o l a i r e d a n s t o u t d o m a i n e d i ~ = d ; d ' a p r ~ s (16) la m ~ m e p r o p r i S t ~ v a u t p o u r c ( z ' ) et c , ce q u i g t a b l i t l ' S n o n c S .
o
L e t h ~ o r ~ m e 5 s ' a p p l i q u e a i s ~ m e n t ~ l ' ~ t u d e d u p r o l o n g e m e n t d ' u n e f o n c t i o n p l u r i s o u s h a r m o n i q u e ou d ' u n c o u r a n t p o s i t i f f e r m g
( ] , I ) ~ t r a v e r s u n s o u s - e n s e m b l e a n a l y t i q u e c o m p l e x e et l ' o n r e t r o u - v e r a i t a i n s i d e s ~ n o n c ~ s de ~5] ou II~ u n p e u p r ~ c i s g s . P a r e x e m p l e
P R O P O S I T I O N 5. - Si V e s t p l u r i s o u s h a r m o n l q u e a u v o i s i n a g e
d ' u n s o u s - e n s e m b l e N a n a l y t i q u e i r r ~ d u e t i b l e d e c o d i m e n s i o n ] d o n t e s t l ' e n s e m b l e d e s p o i n t s o r d i n a i r e s et s ' i l e x i s t e u n e d i r e c t i o n
o
d e d r o i t e c o m p l e x e ~ n o n t a n g e n t e g N , t e l l e q u e le q u o t i e n t
M ( z ' + r ~ ) f l o g r[-]---~0 p o u r l e s z' & N d ' u n e n s e m b l e n o n l o c a l e m e n t o
p o l a i r e s u r N , a l o r s V d e m e u r e b o r n ~ au v o i s i n a g e d e N et se p r o - l o n g e g t r a v e r s N.
L a c o n s 6 q u e n c e s u i v a n t e d u t h 6 o r ~ m e 5 p e r m e t l ' 6 t u d e d e
~ ( x ) :
P R O P O S I T I O N 6. S o i t t u n c o u r a n t p o s i t i f f e r m g ( I , ] ) d a n s ' I I ] d e c n S ° i t N l ' e n s e m b l e z = 0
le d o m a i n e D : z'[l K a' Z n < a n - - " n
d a n s D. II e x i s t e c, 0 ~ c f + u o t e l q u e l ' o n a i t ~ ( x ) ~ c s u r N et q u e l ' e n s e m b l e d ~ f i n i p a r ~ ( x ) > c s o i t l o c a l e m e n t p o l a i r e s u r N.
E n e f f e t d ' a p r ~ s la p r o p o s i t i o n 3 a p p l i q u ~ e ~ z' p a r c o u r a n t N e t ~ ~ v e c t e u r u n i t ~ d e l ' a x e d e s Zn, la r ~ g u l a r i s ~ e i n f ~ r i e u r e de ~ ( z ' ) , z ' ~ N, et c e l l e d e ~ ( z ' , ~ ) s u r N s o n t ~ g a l e s .
S o i t V u n e s o l u t i o n de l ' g q u a t i o n i ~ - I d ' d " V = t d a n s D. A l o r s o n a
_ %)(z, , ~ ) = l i m ( l o g l / r ) - I r = o - - 217 l 12o]T V ( z ' ,ro(e ~ d ~ = l l m ( l o g i . r j 14-1 M(z , ,r) r=o
O3 l'on a posfi M(z',r) = s u p ~ V ( z ' , r ~ e i~O) . A l o r s (15) d o n n e
- ~ ( z ' , ~ ) = c ( z ' ) .
L e t h g o r ~ m e 5 et la p r o p o s i t i o n 3 m o n t r e n t p o u r z ' & N
(17) R e g
sup E- ~(z')]
= R e g s u p [ - ~ ( z ' , ~ ) ] = R e g s u p c ( z ' ) = c •m y Z ~ Z v O
A u s s i l o r s q u ' o n p a r c o u r t N , la f o n c t i o n - ~ ( x ) e s t u n e l i m i t e ( c r o i s s a n t e ) d e f o n c t i o n s p l u r i s o u s h a r m o n i q u e s n g g a t i v e s , e t sa r g g u - l a r i s ~ e s u p @ r i e u r e e s t u n e c o n s t a n t e n e d ~ p e n d a n t q u e d e t et de N.
L a p r o p o s i t i o n 6 e n r ~ s u l t e , l ' e n s e m b l e o3 c e t t e l i m i t e d i f f ~ r e d e s a r ~ g u l a r i s ~ e c o n s t a n t e ~ t a n t p o l a i r e s u r N (cf. [ 4 , e ] )
D ' a u t r e part on a :
P R O P O S I T I O N 7. - Le h o m b r e ~ ( x ) d ' u n c o u r a n t p o s i t i f f e r m ~ t de type ( l , 1 ) eat i n v a r i a n t par [es h o m ~ o m o r p h i s m e s a n a l y t i q u e s c o m p l e x e s .
a/ Soft V(y) une f o n c t i o n p l u r i s o u s h a r m o n i q u e au v o i s f n a g e de l ' o r i g i n e et s o l u t i o n de i ~ I d ' d " V = t. Soft d ' a b o r d y' = A(y) ou y ~ a y : e ~ u n h o m ~ o m o r p h i s m e i i n ~ a i r e . U t i l i s o n s l e s n o m b r e s
J J
~ ( x , y ) d ~ f i n i s p a r ( 1 1 ) e t l a p r o p o s i t i o n 2 :
, .
~ ( 0 , y ' ) = } $ ~ ( l o g ~) 2 ~
L ' a p p l i c a t i o n y' = A(y) eat b i j e c t i v e de C n - { o } d a n s C n - ~ } . O n a SUpy, ~ ( O , y ' ) = s u ~ ( O , y ) ; afnsi ~ ( 0 ) eat i n v a r i a n t par A, et figal
leur v a l e u r c o m m u n e .
b/ S i ~ e s t un h o m ~ o m o r p h i s m e a n a l y t i q u e au v o i s i n a g e de l ' o r i g i n e on d ~ e o m p o s e ~ = A o 7 , o~ A eat la t r a n s f o r m a t i o n t a n g e n t e e t ~ a l ' i d e n t i t ~ c o m m e t r a n s f o r m a t i o n t a n g e n t e ; A eat b i j e c t i v e et con- serve donc 9(0) d ' a p r g s a/.
R e s t e ~ m o n t r e r q u ' i l en eat de m ~ m e d e # . Or 7 s ' ~ c r i t
t = • . . .
(18) Yk Yk + ~ k ( Y | , yn ) ] < k < n
o~ ~k eat d ' o r d r e 2 au m o i n s et v ~ r i f i e l ~ k ( y ) I ~< C] By ~ , pour IIyII4R . S o i t ~ - ' l ' i m a g e de la m e s u r e o - p a r Y' = 7 (Y)"
(]9) O~'(O'r) = --'~I iTT -I d'd"V/~ ~ n ~ l
fly <r
Soft ~ r = ~ - I [ B ( O , r ) ] , D ' a p r ~ s (18), on a en p o s a n t v = []y';l ]J yIl-] : ~ - I ;~ C 1 [ly'JI pour lly'll ~ R , et ~ r v ~ r i f i e
B [ O , r ( l ~ r ) ] g ~ r C B[O,r(I + 6r)] , oO Er --)- 0 avec r.
D a n a (19), d ' d " V eat i n v a r i a n t par la t r a n s f o r m a t i o n y' = 7 ( y ) . L t On a pn_] (y') = ~n.l (y) + ~ ( y ) o~ lea c o e f f i c i e n t s de la f o r m e ~"
~ 2 V sont m a j o r , s par C2r , pour lly'lI<r < R , Lea m e s u r e s qui
~ y - ~
P q
f i g u r e n t a u s e c o n d m e m b r e d e ( 1 9 ) , q u a n d o n e x p l i c i t e y' = 7 ( y ) , s o n t m a j o r , s e n n o r m e p a r C 3 ~ V ~ C 4 ~ , l a f o r m e h e r m i t i e n n e d z d--z V ~ t a n t s e m i - d f i f i n i e p o s i t i v e . Ii e n r ~ s u l t e p o u r r ~ R :
- -
l e s C. ~ t a n t d e s c o n s t a n t e s i n d ~ p e n d a n t e s d e r : l e s q u o t i e n t s i
2 n - 2
d e o - ( O , r ) e t d e ~ - ' ( O , r ) p a r ~ 2 n _ 2 r t e n d e n t d o n c v e r s l a m ~ m e l i m i - t e q u a n d r --->-O .
T H E O R E M E 6. S o i t N u n e n s e m b l e a n a l y t i q u e i r r ~ d u c t i b l e d a n s u n
o
d o m a i n e G p s e u d o - c o n v e x e et N, l a v a r i g t ~ a n a l y t i q u e c o n n e x e d e s p o i n t s r ~ g u l i e r s d e N. A l o r s si t e s t u n c o u r a n t d e t y p e ( k , k ) d a n s G, p o s i t i f , f e r m i , d a n s G, il e x i s t e c ~ O t e l q u e s u r N o n a i t ~ ( x ) ~ c, e t q u e l ' e n s e m b l e ~ ( x ) ~ c s o i t l o c a l e m e n t p o l a i r e s u r N . L a r ~ g u l a - r i s ~ e i n f ~ r i e u r e d e l a r e s t r i c t i o n d e ~ ( x ) ~ N e s t e o n s t a n t e s u r N.
O n s u b s t i t u e ~ t le c o u r a n t t' p o s i t i f f e r m i , d e t y p e ( I , I ) d o n n ~ d a n s G p a r le t h ~ o r g m e 2, t' a y a n t e n t o u t p o i n t x d e G le m ~ m e n o m - b r e ~ ( x ) q u e t. O n e s t doric r a m e n g a u e a s d ' u n c o u r a n t ( l , l ) .
x ° ~ N , e t codimension n = 1 . U n h o m ~ o m o r p h i s ~ a n a l y t i q u e c o m p l e x e
S o i t a m i -
n e u n v o i s i n a g e U d e x s u r u n v o i s i n a g e W d e l ' o r i g i n e , e t ~ ( U ~ N)
O
o
s u r W ~ ~ = O J . e a p r o p r i f i t ~ d e ~ ( x ) s u r N r ~ s u l t e a l o r s d e l a p r o p o s i t i o n 6 e t d e l a p r o p o s i t i o n 7 : l a r g g u l a r i s ~ e i n f ~ r i e u r e d e
~ ( x ) s u r N e s t l o c a l e m e n t c o n s t a n t e , d o n c e s t c o n s t a n t e . D e p l u s e n u n p o i n t x n o n r ~ g u l i e r o n a ~ ( x ) ~ c ; ~ ( x ) e s t p a r c o n s t r u c t i o n u n e f o n c t i o n s e m i - c o n t i n u e s u p ~ r i e u r e m e n t , ~ ( x , r ) e t
~ - ( x , r ) a y a n t c e t t e p r o p r i e t Y , E = Ix ~ G ; ~ ( x ) ~ c ] et E O N s o n t
e e
f e r m ~ s .
S o i t m a i n t e n a n t N d e c o d i m e n s i o n > l et t = i ~ - I d ' d " V , o O V e s t p l u r i s o u s h a r m o n i q u e d a n s G. La" p r o p r i ~ t ~ g ~ t a b l i r ~ t a n t l o c a l e , o n se r a m ~ n e p a r u n h o m ~ o m o r p h i s m e a n a l y t i q u e c o m p l e x e a u c a s o ~ N e s t u n s o u s - e s p a c e N d ~ f i n i p a r Z p + 1 ... = z n = 0 d a n s le d o m a i n e
D = Zkl < a , I s k 4 p , zj ~ . D ' a p r ~ s le t h ~ o r g m e 2, il e x i s t e V p l u r i s o u s h a r m o n i q u e d a n s D d e m a n i ~ r e q u e l ' o n a i t , si r K d [ x , b D ) :
(21) ~ ( x ) = l i m ( l o g r) -I ~ ( V , x , r ) , x ~ D . r = o
R e m p l a ~ o n s V p a r sa m o y e n n e d a n s C n - p + l en p o s a n t zj = ~ j
p+l $ j 4 n , ~ ~ e, ~ j = 1 et s o i t
p+l
V ' ( z 1 . . . p, > ) = o u 2 ~ _ 2 p f V ( z 1 . . . P ~ p + l .... ' ~ M n ) d ° ~ n - 2 p (~) V' e s t p l u r i s o u s h a r m o n i q u e de z' = (Zl , . . . , Z p ) et de ~ , d a n s
[IZkl ( a , I ~ k ~ p , I ~ [ ~ R J . D ' a u t r e p a r t p o u r D'
x = (z', z = O ... z = O) ~ N , o n a
p+] n
(22) ~ ( V , z ' , r) = ~ ' ( V ' , z', r)
o8 ~' d 6 s i g n e la m o y e n n e s u r la s p h 6 r e d e c e n t r e ( z ' , O ) d a n s c P + ] ( Z l , . . . , Z p , ~ ) = c P + ] ( z ' , ~ ). D e (21) et (22) r ~ s u l t e q u e l e s d e u x c o u r a n t s i ~ - ] d ' d " V d a n s D et i r r - l d ' d " V ' darts D' o n t m ~ m e h o m - b r e ~ e n u n p o i n t z ' ~ N. N a n s D ' , N e s t de c o d i m e n s i o n l et o n c o n - c l u t e n a p p l i q u a n t a/ au c o u r a n t c o n s t r u i t ~ p a r t i r d e V ' .
6. - P a s s a g e d e l ' e n s e m b l e l o c a l e m e n t p o l a i r e ~ l ' e n s e m b l e a n a l y t i q u e .
R a p p e l o n s u n t h ~ o r 6 m e d u ~ H . S k o d a (cf. [ 6 , p. 4 0 6 ] ) et 6 t a b l i ~ p a r t i r d u t h 6 o r ~ m e d e H o r m a n d e r - B o m b l e r i (cf. [8] et [2 , p. 9 6 ] ) . L e r 6 s u l t a t d e H . S k o d a s ' 6 n o n c e darts le c a s (} ,1) :
P R O P O S I T I O N 8 ( H . S k o d a ) . S o i t t u n c o u r a n t p o s i t i f f e r m ~ ( I , I ) ,dans G ~ C n p s e u d o - c o n v e x e : s i ~ ( x ) e _ s t le h o m b r e d e L e l o n $ d e t e!t E e , l ' e n s e m b l e [x raG; ~ ( x ) ~ c ] , il e x i s t e u n e n s e m b l e a n a l y - t i q u e X d a n s G t e l q u ' o n a i t
(23) E ~ X C E
c c / n
P o u r a p p l i q u e r ce r 6 s u l t a t m o n t r o n s d ' a b o r d
P R O P O S I T I O N 9, - S o i t M u n e n s e m b l e a n a l y t i ~ u e ~ r r ~ d u c t i h l e d a n s G p s e u d o - c o n v e x e e t t u n e o u r a n t p o s i t i f (I ~I) d a n s G. A l o r s si [ M ] e s t le c o u r a n t d ' i n t ~ g r a t i o n s u r M , e t c M l a c o n s t a n t e d ~ f i n i e a u
t h ~ o r ~ m e 6, l e c o u r a n t
t' = t - c M [ M ] e s t u n c o u r a n t p o s i t i f f e r m ~ ( I , I ) darts G.
D f i m o n s t r a t i o n . I ° / S o i t d ' a b o r d c o d i m e n s i o n M = I, x ~ M e t o
U ( x o) u n v o i s i n a g e d e X o ; o n a t = i ~ -I d ' d " V 1 , [ M ] = i ~ - I d 'd''V 2, V 1 e t V 2 ~ t a n t d e u x f o n c t i o n s p l u r i s o u s h a r m o n i q u e s d a n s U ( x ). O n p e u t
o
r e m p l a c e r , si b e s o i n e s t , X o p a r u n p o i n t o r d i n a i r e x! ~ U ( X o ) . P a r u n h o m ~ o m o r p h i s m e a n a l y t i q u e c o m p l e x e , o n s e r a m ~ n e a u c a s x I = O, M ~ t a n t d ~ f i n i p a r Z n = O a u v o i s i n a g e d e O. A l o r s V I' - V ~ e s t p l u r i s o u s h a r - m o n i q u e d a n s u n d o m a i n e ~ = [ ( z ' , Z n ) , I I z ' l ] ~ b , O ~ I Z n I ~ a ] , e t l ' o n a p - p l i q u e l e t h g o r ~ m e 5 en r e m a r q u a n t q u ' o n a c ( z ' ) ~ O p o u r IIz,l] ~ b , d o n c p o u r z T a p p a r t e n a n t g u n e n s e m b l e o u v e r t e t n o n p o l a i r e s u r M. A l o r s W' = V I' V 2' e s t b o r n ~ a u v o i s i n a g e d e Z n = O e t se p r o l o n g e g t r a v e r s z n = O. R e v e n a n t ~ l a f i g u r e p r i m i t i v e , o n v o i t q u e W = V 1 - V 2 se p r o i o n g e c o m m e f o n c t i o n p l u r i s o u s h a r m o n i q u e ~ t r a v e r s M , c e q u i g t a - b l i t l a p r o p r i ~ t ~ d e t' = i ~ - I d ' d " W .
2 ° / Si c o d . M > I, o n o p ~ r e a u v o i s i n a g e d ' u n p o i n t o r d i n a i r e x I ~ M c o m m e ~ l a d ~ m o n s t r a t i o n d u t h ~ o r ~ m e 6, e t l ' o n se r a m ~ n e a u c a s d e l a c o d i m e n s i o n I.
O n v a m a i n t e n a n t f i t a b l i r q u ' o n p e u t r e m p l a c e r l e s e n s e m b l e s p o l a i r e s p a r d e s s a u s - e n s e m b l e s a n a l y t i q u e s , o u d e s r f i u n i o n s d ~ n o m b r a - b l e s d e s o u s - e n s e m b l e s a n a l y t i q u e s .
P R O P O S I T I O N 10. - S o i t darts u n d o m a i n e p s e u d o - c o n v e x e G ~ C n u n e n s e m b l e a n a l y t i q u e i r r ~ d u c t i b l e M d e d i m e n s i o n q , 0 ~ q ~ n, e t t u n c o u r a n t p o s i t i f f e r m ~ ( 1 , 1 ) d g f i n i d a n s G . A l o r s l ' e n s e m b l e
E = Ix ~ G ; ~ ( x ) ~ c ] o ~ ~ e s t r e l a t i f g t, c o n t i e n t M o u b i e n E N M
c • - - c
e s t c o n t e n u d a n s u n s o u s - e n s e m b l e a n a l y t i q u e d e M . o
L ' ~ n o n c ~ e s t ~ v i d e n t p o u r q = 0 ; o n p r o c ~ d e p a r r ~ c u r r e n c e d e q - ] ~ q. S o i t q ~ ! : si l a c o n s t a n t e 9 ( M ) r e l a t i v e g t e t ~ M v ~ r i f i e ~ ( M ) ~ c , o n a M ~ E c et l ' & n o n c ~ e s t ~ t a b l i . S i n o n o n c o n - s i d & r e l e c o u r a n C d ' i n t ~ g r a t i o n [ M ] s u r M e t o n f o r m e :
t' = t - 9 ( M ) [M] .
R e l a t i v e m e n t ~ t' e t ~ M, o n a 9 ' ( M ) = 0 e t si l ' o n p o s e ~ = c - ~(bl) e t E ~ = ~ ~ G ; ~ ' ( x ) ~ ~ ] o n a ( E ~ o M ) = ( E c ~ M) . A l o r s t' e s t n n
c o u r a n t p o s i t i f f e r m i , d ' a p r g s l a p r o p o s i t i o n 9. L ' ~ n o n e g d e H . S k o d a , r a p p e l g ~ l a p r o p o s i t i o n 8, d o n n e l ' e x i s t e n c e d ' u n e n s e m b l e a n a l y t i q u e X = G q u i v ~ r i f i e :
( 2 4 ) E' C X C E'
"¢/n
c ' e s t - & - d i r e
( E c A M ) = ( E ~ ( % M ) ~ (X f~ M) ,- (Ei.~,i,n £~ M )
o M a i s d ' a p r ~ s l e t h @ o r ~ m e 6, E ' % , / n e s t l o c a l e m e n t p o l a i r e s u r M . O n
o
n ' a p a s M c X ' c a r M ~ X e n t r a l n e M ~ M , ' X ~ E ' ~'/n c o n t r a i r e m e n t a u f a i t q u e E' e s t l o c a l e m e n t p o l a i r e s u r M D o n c M ~ X e s t u n s o u s - e n s e m b l e
~'/n
a n a l y t i q u e M' d e M , e t o n a
(E O M ) = (E' £~ M ) C M' a v e c d i m M' ~< q - I , c e q u i @ t a b l i t l ' ~ n o n c @ .
7. - D ~ m o n s t r a t i o n d e l ' a n a l y t i c i t ~ d e s e n s e m b l e s ~ ( x ) ~ e ( t h ~ o r & m e d e Y . T . S i u ) .
O n v a ~ t a b l i r
#
T H E O R E M E ( S i u ) - S o i t u n c o u r a n t p o s i t i f f e r m & t d e t y p e P
( p , p ) a u v o i s i n a g e d e l ' o r i g i n e d a n s C n. A l o r s si ~ ( x ) e s t l e n o m b r e d e L e l o n g r e l a t i f ~ t, l ' e n s e m b l e E d ~ f i n i p a r ~ ( x ) ~ c , c > O
e e s t u n e n s e m b l e a n a l y t i q u e .
D @ m o n s t r a t i o n . a/ D a n s u n e b o u l e d e c e n t r e 0, s o i t B ( 0 , R ) , o n r e m p l a e e ~ p a r t p o s i t i f f e r m ~ d e t y p e (] , I ) , q u i a m ~ m e n o m b r e d e L e l o n g ~ ( x ) q u e t e n t o u t p o i n t x ~ B ( O , R ) ( t h ~ o r & m e 2 ) .
P
b / L ' e n s e m b l e E e s t c o ~ t e n u d a n s u n s o u s - e n s e m b l e a n a l y t i q u e , c
il s u f f i t d o n c d ' g t a b l i r p o u r t o u t e n t i e r q, 0 ~ q ~ n - I e t p o u r t o u t g e r m e d ' e n s e m b l e a n a l y t i q u e M q d e d i m e n s i o n q ~ l ' o r i g i n e q u e M q O E c e s t u n g e r m e d ' e n s e m b l e a n a l y t i q u e ° L a d ~ m o n s t r a t i o n s e r a f a i t e p a r r ~ c u r - r e n c e s u r l ' e n t i e r q ~ 0 . P o u r q = O, il s ' a g i t d e 0 l u i - m ~ m e e t l ' ~ n o n - c ~ e s t ~ v i d e n t . P o u r q ~ I , M e s t i r r ~ d u c t i b l e d a n s u n e b o u l e B ( O , R q )
q
e t o u b i e n o n a M q = E , o u b i e n M ~ E e s t c o n t e n u d a n s u n s o u s - e n s e m -
e q c
b l e a n a l y t i q u e W q _ ! ~ M q . S o i t M ~j# j = 1 . S l ' e n s e m b l e ( ~ v e n -
q-I ' "" '
t u e l l e m e n t v i d e ) d e s g e r m e s d e W e n O. D ' a p r ~ s l a p r o p o s i t i o n p o u r q-I
M ( J ) = A j
q - l , E n e s t u n e n s e m b l e a n a l y t i q u e . O n a d o n c s o i t c q - I q-1
E ~ M c q U j A j q - l ' s o i t E c n M q = M q d a n s u n e b o u l e B ( O , R q _ I ) , Rq_14R q d e r a y o n n o n n u l , c e q u i g t a b l i t l ' ~ n o n c ~ .
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