Chapitre IX Trigonométrie Leçon 22 Formules fondamentales 1. Rappel sur les angles associés et trigonométrie En C4, on a déjà étudié sur les angles associés et trigonométrie 1) Angles

(1)

1

Chapitre IX Trigonométrie

Leçon 22 Formules fondamentales 1. Rappel sur les angles associés et trigonométrie

En C4, on a déjà étudié sur les angles associés et trigonométrie 1) Angles  et (90^ −)

• ^cos

(

⁹⁰^ ⁻^

)

⁼^sin^

• ^sin

(

⁹⁰^ ⁻^

)

⁼^cos^

•

( ) ( )

(

^^

)

^^ ^

 tan

1 sin

cos 90

cos 90 90 sin

tan = =

−

= −

− ^_



2) Angles  et (90^ +)

• ^cos

(

⁹⁰^ ⁺^

)

⁼⁻^sin^

• ^sin

(

⁹⁰^ ⁺^

)

⁼^cos^

•

( ) ( )

(

^^

)

^^ ^

 tan

1 sin

cos 90

cos 90 90 sin

tan =−

= − +

= +

+ ^_



3) Angles  et (180^ −)

• ^cos

(

¹⁸⁰^ ⁻^

)

⁼⁻^cos^

• ^sin

(

¹⁸⁰^ ⁻^

)

⁼^sin^

•

( ) ( )

(

^^

)

^^ ^

 tan

cos sin 180

cos 180 180 sin

tan =−

= −

−

= −

− ^_



2. Unités d’angles

Il existe trois unités d’angle : - Le degré

( )

^ ^,

- le grade

( )

gon , - le radian

( )

rad .

L’angle plat a donc pour mesure : 180^ ou 200gon ou rad. Ce tableau de proportionnalité permet les conversions

 (radian)  (degré)  (grade)

 180 200

Exemple :

Un angle mesure 72 degrés.

 (radian) 72 (degré)  (grade)

 180 200

On a :

5 180 72  

 =  = et 80

180 200 72 =

 =

Donc cet angle mesure 80 grades et 5

 radian.

Par la même manière, on en déduit le tableau ci-dessous :

(2)

2

 (degré) ₀^ ₃₀^ ₄₅^ ₆₀^ ₉₀^ ₁₈₀^ ₂₇₀^ ₃₆₀^

 (radian) 0

6



4



3



2

 

2

3 2 

3. Angles orientés

Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1, orienté dans le sens direct.

Sur le cercle, le sens direct (ou sens trigonométrique) est le sens contraire de celui des aiguilles d’une montre.

Exemple : Le repère

(

^O^;ⁱ^^, ^^j

)

^{, où}ⁱ^⁼ÔI êt ^^j ⁼ÔJ ^,

est un repère orthonormé direct : le quart de tour de centre O, tel que

, J

I  est de sens direct.

J est repéré par 2

 ; J' par 2

− ; I par 0 et '

I est repéré par  ou −.

- Si le chemin est décrit dans le sens direct,  est positif ; - Si le chemin est décrit dans le sens indirect,  est négatif ; Exemple : Résoudre l’équation et les inéquations suivantes.

a. , 0 2

2

sinx=1 x b. , 0 2

2

sinx1 x

c. , 2 0

2

sinx1 −  x d. , 2 0

2

sinx1 −  x Solution :

a. , 0 2

2

sinx=1 x

On a :









=















 



 −

=

6 5

6 6

sin 6 sin

sin 



 



x x

x donc







=

6 , 5 6

 S 

b. , 0 2

2

sinx1 x

- Sur l’axe de sinus (Oy), on place le point _



 



 2 ,1 0

P .

- Passant par P, on trace la parallèle à l’axe de cosinus (Ox).

Cette parallèle coupe le cercle trigonométrique en deux points M et M'.

Or , 0 2

2

sinx1 x on obtient donc :

0_ _6

x ou  

6 2

5 x .

J

I O

Sens direct

i

j I’

J’

Sens indirect

y

P

M O

M’

P

x

(3)

3

c. , 2 0

2

sinx1 −  x



 



 2 ,1 0

P .

Or , 2 0

2

sinx1 −  x on obtient donc :

6 2 +6  −−

− x soit

6 7 6

11 _ _₋ 

− x .

d. , 2 0

2

sinx1 −  x



 



 2 ,1 0

P .

Or , 2 0

2

sinx 1 −  x on obtient donc :

2 6 2  −  +

− x ou 0

6  

−

−  x soit

6 2  −11

− x ou 0

6 7  

−  x . 4. Angles associés et trigonométrie

1) Angles  et (−)

Soit deux angles de mesures POˆM = et POˆN =−. Dans les triangles rectangles OPM et OPN,

on a :





=

= ON OM

PN

PM OP est le côté commun.

Donc :

• cos

( )

− =cos

• sin

( )

− =−sin

•

( ) ( )

( )

 ^



  tan

cos sin cos

tan sin = − =−

−

= −

−

Exemple : Calculer _



 

−

+

 −



 

−

sin 4 4 2

3 tan 6 sin

cos    

Solution :

sin4 4 2

3 tan 6sin 4 cos

sin 4 2

3 tan 6 sin

cos     ₌   ₋  ₋ 



 

−

+

 −



 

−

y

M

O M’

x P

y

P

M

O M’

P

x

y



x M O P

N

(4)

4

x

4 1 5 4 1 3 2 2 2 2 1

3 2

3 − −  = − − =−

= 2) Angles  et (+)

Soit deux angles de mesures POˆM = et POˆN = +. Dans les triangles rectangles OPM et OQN,

on a :







=

= ON OM

OQ OP

QN PM

Donc :

• cos

(

 +

)

=−cos

• sin

(

 +

)

=−sin

•

( ) ( )

( )

 ^







 

 tan

cos sin cos

tan sin =

−

= − +

= + +

5. Formules trigonométriques 1) Formule fondamentale

Soit

(

^O^;ⁱ^^, ^^j

)

un repère orthonormé direct et le cercle trigonométrique de centre O.

À tout nombre x correspond un point M du cercle trigonométrique tel que x est une mesure en radian de l’angle AOˆM. L’abscisse de M est cosx et l’ordonnée de M est sinx :

x OD

y

x OC

M x

M M

sin cos

=

Puisque M est un point du cercle trigonométrique, son abscisse et son ordonnée sont toutes deux comprises entre -1 et 1.

Le triangle OMC est rectangle en C et OM =1 ; d’après le théorème de Pythagore : OC²+CM²=OM², soit aussi

(

cosx

) (

² + sinx

)

² =1.

Propriétés :

Pour tout nombre x, on a :

• −1cosx1 et −1sinx1.

•

(

^cos^x

) (

²⁺ ^sin^x

)

² ⁼¹, noté aussi cos²x+sin²x=1. 2) Formules d’addition

Soient A et B les points du cercle trigonométrique Caractéristiques par

( )

ⁱ^^,ÔA ⁼âêt

( )

ⁱ^^,^OB ⁼^b^.

Le principe consiste à exprimer OBOA de deux façons :

y



x M

O P N

Q

B

A O ^cos^x

x sin

M

C D

B A

O a

b i

) 2 ( sin sin cos

cosa b a b 

OA

OB = +

Puisque ₍₁₎₌₍₂₎ on obtient donc :

• cos(a−b)=cosacosb+sinasinb

• cos(a+b)=cos

(

a−(b)

)

=cosacos(−b)+sinasin(−b) b

a b a b

a ) cos cos sin sin (

cos + = −

• _



 



 −



 

 −

=



 



 − +

=

+b a b a b

a ( ) cos 2

cos 2 ) (

sin  

b a b

a b

a sin

sin 2 2 cos

cos ) (

sin 



 

 −

 +



 

 −

=

+  

b a b

a b

a ) sin cos cos sin (

sin + = +

• sin(a−b)=sin

(

a−(−b)

)

=sinacos(−b)+cosasin(−b) sin(a−b)=sinacosb−cosasinb

• a b a b

b a b

a b

a b b a

a cos cos sin sin

sin cos cos

sin ) cos(

) ) sin(

(

tan −

= + +

On suppose a b a b +k , kZ , 2

0 cos

cos  

, on obtient :

b b a

a b b a

a

b a

b a b a

b a

b a b

a b

a b a

b a b

b a a

cos sin cos

1 sin

cos sin cos

sin

cos cos

sin sin cos cos

cos cos

sin cos cos sin sin

sin cos cos

) sin (

tan



−

= +

− +

− =

= + +

b a

b b a

a 1 tan tan tan ) tan

(

tan −

= + +

•

( ) ( )

b a

b a b

a b b a

a b

a 1 tan tan

tan tan ) tan(

tan 1

) tan(

) tan ( tan

tan +

= −

−

= +

− +

=

− Propriété

Pour tout nombre a et b, on a :

• cos(a+b)=cosacosb−sinasinb b a b

a b

sin + = +

b a

b b a

a 1 tan tan tan ) tan

(

tan −

= +

+ avec a b a b +k , kZ

, 2 0 cos

cos  

.

• cos(a−b)=cosacosb+sinasinb b a b

a b

sin − = −

( )

b a

b b a

a 1 tan tan tan tan tan

+

= −

− avec a b a b +k , kZ

, 2 0 cos

cos  

.

(6)

6 Exemples 1 :

1. ^cos¹⁰⁵^ ⁼^cos

(

⁶⁰^ ⁺⁴⁵^

)

⁼^cos⁶⁰^ ^cos⁴⁵^⁻^sin⁶⁰^ ^sin⁴⁵^

4 6 2 2

2 2

3 2

2 2 105 1

cos ^ =  −  = −

2. ^cos¹⁵^ ⁼^cos

(

⁶⁰^ ⁻⁴⁵^

)

⁼^cos⁶⁰^ ^cos⁴⁵^ ⁺^sin⁶⁰^ ^sin⁴⁵^

4 6 2 2

2 2

3 2

2 2 15 1

cos +

=

 +



=



3. ^sin¹⁰⁵^ ⁼^sin

(

⁶⁰^⁺⁴⁵^

)

⁼^sin⁶⁰^ ^cos⁴⁵^ ⁺^cos⁶⁰^ ^sin⁴⁵^

4 2 6 2

2 2 1 2

2 2 105 3

sin ^ =  +  = +

Exemple 2 : Calculer cos12

et sin12 Solution :

On sait que :

4 3 12



 = −

• sin4

sin3 cos4

cos3 4

cos 3

cos12   ₌   ₊  



 

 −

=

4 6 2 2

2 2

3 2

2 2 1

cos12 +

=

 +



 =

• sin4

cos3 cos4

sin3 4

sin 3

sin12   ₌   ₋  



 

 −

=

4 2 6 2

2 2 1 2

2 2

3

sin12 =  −  = − Exemple 3 : Calculer sin15^ et cos75^ Solution :

• ^sin¹⁵^ ⁼^sin

(

⁴⁵^ ⁻³⁰^

)

⁼^sin⁴⁵^^cos³⁰^ ⁻^cos⁴⁵^^sin³⁰^

4 2 6 2 1 2

2 2

3 2 15 2

sin ^ =  −  = −

• ^cos⁷⁵^ ⁼^cos

(

⁴⁵^⁺³⁰^

)

⁼^cos⁴⁵^^cos³⁰^⁻^sin⁴⁵^^sin³⁰^

4 2 6 2 1 2

2 2

3 2 5 2

cos ^ =  −  = −

Exemple 4 : On pose : ,

0 2 2,

0   

2 tan=1 et

3 tan =1. Calculer tan

(

+

)

en déduire la mesure de +.

Solution :

•

( )

¹

5 6 6 5 3 1 2 1 1

3 1 2 1 tan

tan 1

tan

tan tan =  =



− +

− =

= +

+  



 



(7)

7

• 0 4

0 2

0 2   

 

 

 +















et tan

(

+

)

=1 donc

4

 

 + = .

Exemple 5 : On pose :

2 sinx+coy=1,

3 sin 1

cosx+ y= . Calculer sin

(

x+y

)

.

Solution :

) 1 4 (

cos 1 sin 2 1

4 cos 1 sin 2 cos 2 sin

cos 1

sin ² ²

=  +

= +

+



= +

y x

y x y

x y

x

) 2 9 (

sin 1 cos 2 1

9 sin 1 cos 2 sin 3 cos

sin 1

cos ² ²

=  +

= +

+



= +

y x

y x y

x y

x

: ) 2 ( ) 1 ( +

9 1 4 ) 1 sin cos cos

(sin 2

2+ x y+ x y = +

36 ) 13 (

sin 2

2+ x+y =

36

2 59 36 ) 13 (

sin

2 x+y = − =− soit

( )

72 sin x+y =−59. Exemple 6 : Soit la fonction f(x)= 3cosx−sinx−3. Déterminer l’ensemble des images de f .

Solution :

3 2sin

cos 1 2 2 3 3 sin cos 3 )

( −





 −

=

−

= x x x x

x f

sin 3

sin6 6cos

cos

2 −



 



 −

=  x  x

3 cos 6

2 −



 

 +

=  x

Puisque 1

cos 6

1 



 

 +



−  x

on obtient donc:

2

cos 6 2

2 



 

 +



−  x

3 1

cos 6 2

5 − −



 

 +



−  x

a+b

)

=cosacosb−sinasinb Si b=a on obtient :

• ^cos

(

^a⁺^a

)

⁼^cos²â⁼^cosâ^cosâ⁻^sinâ^sinâ⁼^cos²â⁻^sin²â

cos2a=(1−sin²a)−sin²a=1−2sin²a cos2a=cos²a−(1−cos²a)=2cos²a−1 Dans la formule d’addition :

( )

b a

b b a

a 1 tan tan tan tan tan

−

= + + Si b=a on obtient :

•

( )

a a a

a

a ₂

tan 1

tan 2 2

tan

tan + = = −

Propriété :

Pour tout nombre a, on a :

• sin2a=2sinacosa

• cos2a=cos²a−sin²a a a 1 2sin² 2

cos = −

1 cos 2 2

cos a= ²a−

• a

a a₂

tan 1

tan 2 2

tan = − avec a +k , kZ

2 



Exemple : Étant donné

5

cos =3 et sin 0. Calculer sin2, cos2 et tan2a.

Solution :

- On calcule sin 

• On utilise la formule - On utilise le triangle rectangle



 ² ² ²

2 sin 1 sin 1 cos

cos + =  = −

25 16 25

9 25 25 1 9 5 1 3 sin

2

2  = − = − =



 



−

 =

Puisque sin 0,

5 4 25 sin =− 16 =− - On obtient donc :

• sin2a=2sinacosa

25 24 5

3 5 2 4 2

sin  =−



 

−

 =

• cos2a=cos²a−sin²a

25 7 25 16 25 2 9

cos a= − =−

4 3 5



(9)

9

• 7

24 25

7 25 24 2

cos 2 2 sin

tan =

−

=

= a

a a

Remarque :

D’après les formules de duplication on peut trouver les formules :

• sin3a=sin

(

2a+a

)

=sin2acosa+cos2asina

(

^a ^a

)

^a

a a a

a 2sin cos cos cos sin sin 3

sin =  + ² − ²

a a

a

a 2sin cos² cos² sin sin³ 3

sin = + −

a a

a

a 3sin cos² sin³ 3

sin = −

a a

a

a 3sin (1 sin² ) sin³ 3

sin = − −

a a

a

a 3sin 3sin³ sin³ 3

sin = − −

a a

a 3sin 4sin³ 3

sin = −

• cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa−sin2asina a a a a

a a

a (cos sin )cos 2sin cos sin 3

cos = ² − ² − 

a a a

a a

a cos sin cos 2sin cos 3

cos = ³ − ² − ²

a a a

a cos 3sin cos 3

cos = ³ − ²

a a a

a cos 3(1 cos )cos 3

cos = ³ − − ²

cos3a=cos³a−3cosa+3cos³a a

a

a 4cos 3cos 3

cos = ³ −

4) Utiliser les formules de duplication

D’après la formule de duplication : cos2a=2cos²a−1 On obtient :

• 2

2 cos cos 1

2 2 cos

cos² 1 a

a a

a +



= + 

=

D’après la formule de duplication : cos2a=1−2sin²a On obtient :

• 2

2 cos sin 1

2 2 cos

sin² 1 a

a a

a −



=

− 

= En remplaçant a par

2

a on obtient :

• 2

cos 1 cos2a = + a

• 2

cos 1

sin2a − a



=

• a

a a

cos 1

cos 1 2

cos 1

2 cos 1

cos2 sin2 tan2

+

 − + =

−

 + =



 −

=

(10)

10 a

a a

cos 1

cos 1 tan2

+

 −

=

Exemple : On considère

cosa=0,8

et





 0,2

a

. Calculer

tan2 2, cos 2,

sina a a

et

tan2 1 cot2

a a=

.

Solution : Puisque

0_ _2

a

donc

4 0_ 2a_

et

0

cos2 , 2 0

sina a 

et

tan2 = =  =

a a a

•

3

3 1 1 tan2

1

cot2= = =

a a

6. Formules de transformation 1) Produit en somme

D’après les formules d’addition :

( )





−

=

−

+

= +

) 2 ( sin

cos cos sin sin

) 1 ( sin

cos cos

sin sin



 b a b

a b

a

b a b

a b

a

• (1)+(2) membre à membre, on a :

(

D’après les formules d’addition :

( )





+

=

−

= +

) 4 ( sin

sin cos cos cos

) 3 ( sin

sin cos cos cos



 b a b a b

a

b a b a b

a

• (3)+(4) membre à membre, on a :

(

(11)

11

Exemple : Calculer

A=cos20^cos40^cos80^

Solution :



cos40 cos80

20

=cos A



cos40 )cos80

20

=(cos A

( ) ( )



^cos²⁰^ ⁴⁰^ ^cos²⁰^ ⁴⁰^



^cos⁸⁰^



 cos20 80 cos20 80

2 1 2 80 1 4cos 80 1

cos 20 cos 80 2cos 1 2

1 = +  + + −



 



 +

= A

( )

(

^ ^

) (

^ ^ ^

)

 cos80 cos100 cos60

4 60 1 cos 100 4 cos 80 1 4cos

1 + + − = + +

= A



 



 − +

=



 



 + − +

= 2

80 1 cos 80 4 cos 1 2 ) 1 80 180 cos(

80 4 cos

1      

A

8 1 2 1 4 1 =

= A

2) Somme en produit D’après les formules :

= −

= +

 



=

−

= +

2 2

B b A

B a A

B b a

A b

a

on obtient donc :

• cos 2

sin 2 2 sin

sin A B A B

B

A+ = + −

• sin 2

cos 2 2 sin

sin A B A B

B

A− = + −

• cos 2

cos 2 2 cos

cos A B A B

B

A+ = + −

• sin 2

sin 2 2 cos

cos A B A B

B

A− =− + −

Exemple 1 : Calculer

A=sin75^+sin15^

Solution :



 sin15

75 sin +

= A

2 15 cos75

2 15 sin75

2



 + −

= A

(12)

12 2

6 2

3 2 2 2 30 cos 45 sin

2 =   =

= ^ ^

A

Exemple 2 : Calculer

B=cos10^+cos110^+cos230^

Solution :



 cos110 cos230

10

cos + +

=

B⁼

(

^cos¹⁰^⁺^cos¹¹⁰^

)

⁺^cos²³⁰^

B

(

^

)

^



230 cos 50

cos 60 cos 2 230 2 cos

110 cos10

2 110 cos10

2 + − + = − +

= B

2 230 cos50

2 230 cos 50 2cos 2 1



 + = + −



= B

0 0 140 cos 2 90 cos 140 cos 2 ) 90 cos(

140 cos

2 − = =  =

= ^ ^ ^ ^ ^

B

Exemple 3 : On considère

sinx+siny=1

et

3 cos 1

cosx+ y=

. Calculer

tan(x+y)

. Solution :

) 1 ( 2 1

2 cos sin 2 1 sin

sin + − = 



=

+ x y x y

y x

) 2 3 (

1 cos 2

cos 2 3 2

cos 1

cos + =  x+y x−y = 

y x

On divise (1) par (2) membre par membre, on obtient :

3 3 1 1 tan x+2y = =

Exercices

1. Compléter le tableau suivant.



(en degré)

180^ 32^ 9^ 1^



(en radian)



10



12

 ₁

2. Donner la mesure négative de chacune des angles suivants.

5

; 7

; 16 140

;

40_ _  

.

3. Donner la mesure positive de chacune des angles suivants.

; 5 16

; 5 130

;

35 ₋ ₋  ₋

− ^ ^

.

4. Résoudre l’équation et les inéquations suivantes.

a.

, 0 2

2

cosx=−1 x

b.

_₋  _ _

x

x , 2

2 cos 1

c.

, 2 0

2

cosx 1 −  x

(13)

13

d.

 

2 2 , 3 2

cosx1 x

5. Calculer chacune des expressions suivantes.

a.

sin105^; sin135^; tan75^; cos225^; tan15^

. b.

sin22,5^; cos22,5^; tan75^; tan22,5^

. c.

cos170^ +sin200^ +tan70^ −sin280^

. 6. On considère

tan =2, tan =3

et

0 2 2,

0  

. Calculer

tan

(

+

) . En déduire

+

.

7. On considère

17 sin 15

5,

sin =−3  =−

et

   3  2 2

2 ,

3  



.

Calculer

sin

(

−

) et

cos

(

−

) .

8. Déterminer le domaine de valeur de chacune des expressions suivantes.

a.

sinx+cosx

. b.

sinx− 3cosx

. c.

sinx−cosx+2

. d.

1−sinx+ 3cosx

.

9. On considère

 ,   2 5

cos =1  

. Calculer

cos2

. 10. On considère

0 2 5,

sin =3 

. Calculer

tan2

. 11. Soit

=18^

a. Montrer que

sin2 =cos3

b. Calculer

sin18^

et

cos18^

12. Calculer

A=sin65^ +sin185^ +sin235^

.

13. On considère

sinx+siny=1

et

0x, 0 y

.

Déterminer le domaine de valeur de

cosx+cosy