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MPSI 1 2002-2003

CPGE Agadir

Feuille d’exercices N

°

20

Mardi le:25-Février-2003

Fonctions intégrables

1. Etudier l’integrabilite sur0,+∞de :x → ^sin_x^a^x ,a ∈ IRfixé on admet que poura = 1 la fonction n’est pas integrable

2. Meme question pour la fonctionx → ln 1+ ^sin_x^a^x

3. Meme question sur0, 1pour la fonctionx → _x−¹_x

4. Meme question sur0, 1,1,+∞pour la fonctionx → x^αlnx^β, ( Intégrales deBertrand)α > 0,β > 0 5. Meme question sur0,+∞pour la fonctionx → x^αe^−xβ, α > 0,β > 0

a. montrer que :∀n ∈ IN^∗,∀x ∈ 0, n : 1− ^xnⁿ ≤ e^−x ≤ 1+ n^x ⁻ⁿ

b. en deduire la valeur de :

∫

₀^{+∞e−x2dx(}Integrale de Poisson) on pourra utiliser la formule deStirling: n!  2πn^enⁿ

Probléme 1:Controle99-2000

Soitnentier nature non nul etudier l’integrabilite sur0, 1de la fonctionf : x → xⁿlnxpuis calculer

∫

_0,1^f

,

∫

_0,1 2f

1. etudier l’integrabilite sur0, 1de la fonctionx → ^ln₁^₋^x_x^ 2. montrer que :∀n ∈ IN^∗,

∫

_0,1 ^ln₁^₋^x_x^ −

∑

_kⁿ_{=1 k}¹2 ≤ _n+¹₁ 3. En déduire la valeur de

∫

_0,1 ^ln₁^₋^x_x^ (Indication :

lim+∞

∑

k=1

n 1

k² = ^π₆²,1−x^x = 1−x

∑

k=0 n−1

x^k) 4. avec un raisonnement pareil que le precedent montrer que:

∫

_0,1

2 lnx

1−x = −ln 2²−

lim+∞

∑

k=1

n 1

k²2^k

5. etudier l’integrabilite sur0, 1des fonctions :g : x → ^lnx_x⁺2¹−1^{−ln 2},h : x → ^lnx+_x¹2^−−1^{xln 2}

on pose :I =

∫

_0,1 ^lnx_x⁺2¹−^−1^{ln 2},J =

∫

_0,1 ^lnx+_x¹2^−−1^{xln 2}

6. montrer que :I = ¹₂

∫

_1 2,1

lnx

1−x + ¹₄ln 2² 7. en deduire les valeurs deI,J.

Probléme 2: DS2000-2001

Dans tout le problème on posea = 2+ 2 ,b = 2− 2 ,P2X = X−aX−b 1. Montrer que :∀P ∈ IR1Xla fonctiont → Pte^−test intégrable sur0,+∞

2. Trouver 2 réelsα,βtels que :

∫

_0,+∞^Pte^−t = αPa+βPb,∀P ∈ IR4X∗

3. Vérifier que∗est aussi vraie pourP ∈ IR2X

4. SoitP ∈ IR3Xmontrer que∃Q,R ∈ IR1X²/P = P2Q+R

Vérifier que

∫

_0,+∞^P2tQte^−t = 0 , (Qpolynôme de la question précédente),en déduire quePvérifie∗

siP ∈ IR3X

5. Soit f :0,+∞→ IRde classeC⁴telle quef^4est bornée montrer que :

∃T ∈ IR4X/0 ≤ |f^4t| ≤ |Tt|,∀ ∈ 0,+∞(indic : On pourra utiliser la formule de Taylor avec reste intégral)

6. En déduire que la fonctiont → fte^−test intégrable sur0,+∞

7. montrer que∃!S ∈ IR3X/Sa = fa,S′a = f′a,S′a = f′a,S”b = f”b.

8. soitx ∈a,bquelconque mais fixe dans cette question , on posegt = ft−St−AP2t²oùA = ^f_P^{x−Sx}

2x²

, montrer que g^4admet au moins une racine dansa,b(indication : on pourra utiliser le théorème de Rolle).en déduire que alors que |fx−Sx| ≤ ^M_4!^4fP2x²oùM4f = sup_0,+∞|f^4|

9. en déduire que :

∫

_0,+∞fxe^−xdx−αfa−βfb ≤ ^M4₆^f 10. donner une valeur approchée de

∫

_{0,+∞ 2}^e₊^−x_x^dx